SKKN hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số bài tích phân đặc biệt

MỤC LỤC 1.MỞ ĐẦU….….………………………………………………… …… .2 1.1 Lý chọn đề tài……………………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu…………………………………………….…… 1.3 Đối tượng nghiên cứu…………………………………………….…… 1.4 Phương pháp nghiên cứu………………………………………… …….3 1.5 Những điểm sáng kiến ……………………………….……….3 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ………………… …3 2.1 Cơ sở lí luận 2.2 Thực trạng vấn đề……… ……………………………………… … 2.3 Các giải pháp thực hiện……… ………………………………… … 2.4 Hiệu sáng kiến………… ……………………………… 20 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ ….………………… ……….…………… 20 3.1 Kết luận……………………………………………………………… 20 3.2 Kiến nghị………………………………………………………………21 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Nền giáo dục Việt Nam tập trung đổi mới, hướng tới giáo dục tiến bộ, đại ngang tầm với nước khu vực giới Một nội dung đổi thay đổi hình thức kiểm tra đánh giá kỳ thi THPT Quốc Gia Đối với mơn Tốn, từ năm 2017 thay hình thức thi tự luận tiến hành lâu hình thức thi trắc nghiệm Hình thức thầy trò, nước phát triển giới áp dụng lâu Cùng với thay đổi hình thức thi đề thi có thay đổi hình thức nội dung Trong đề thi khơng cịn nhiều câu hỏi hóc búa, địi hỏi phải suy luận tính tốn dài dịng, bên cạnh lại xuất cách hỏi khơng khó yêu cầu học sinh học phải hiểu đầy đủ cặn kẽ vấn đề Chủ đề tích phân chủ đề quan trọng chương trình tốn giải tích lớp 12, đồng thời nội dung kì thi THPTQG Thơng qua đề minh họa Bộ Giáo Dục thấy: Ngồi câu hỏi u cầu tính tốn tích phân thông thường giống lâu gặp đề thi tự luận, xuất dạng tập toán thực tế, cách hỏi tập u cầu tính tích phân khơng cho biểu thức Thực chất để giải câu hỏi học sinh sử dụng công thức, phương pháp quen thuộc học Nhưng qua thực tế giảng dạy nhận thấy học sinh bối rối gặp tính tích phân khơng cho biểu thức, em khơng biết tính nào, hay dùng phương pháp để tính Xuất phát từ thực tế đó, tơi lựa chọn đề tài : “Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải số tích phân đặc biệt ” Để giúp học sinh khơng cịn bị lúng túng gặp câu hỏi vậy, dần hình thành kỹ giải tốn tính xác linh hoạt q trình giải tốn Đồng thời tạo hứng thú, phát triển tư duy, lực sáng tạo học sinh học tập mơn tốn mơn học khác 1.2 Mục đích nghiên cứu Đưa số dạng tập phương pháp giải tương ứng giúp học sinh củng cố kiến thức, hình thành kĩ giải toán, phát triển tư sáng tạo Đồng thời thúc đẩy hứng thú học tập cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Học sinh thực nội dung học sinh lớp 12 - Đối tượng nghiên cứu: Các phương pháp tính tích phân 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lí thuyết: Nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài như: sách giáo khoa, tài liệu phương pháp dạy học toán, sách tham khảo, đề thi khảo sát chất lượng trường trung học phổ thông, mạng internet, - Phương pháp điều tra quan sát: Tìm hiểu việc nắm bắt học học sinh qua việc vận dụng kiến thức để giải tốn qua kiểm tra, tìm hiểu việc vận dụng phương pháp dạy học tích cực số trường phổ thông - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tham gia dự giờ, rút kinh nghiệm tổ môn, tham dự buổi họp chuyên đề, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp 1.5 Những điểm sáng kiến - Phân loại dạng tập tính tích phân hàm ẩn - Đưa số tập để học sinh tự luyện NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận - Các tính chất tích phân.[1] - Các phương pháp tính tích phân.[1] 2.2 Thực trạng vấn đề Học sinh vốn quen thuộc với tập tích phân mà biểu thức tính tích phân có cơng thức rõ ràng, tương ứng với dạng tập có phương pháp giải rõ ràng, số em cịn sử dụng hỗ trợ máy tính Casio Nhưng với hình thức thi mới, cách hỏi xuất dạng tập u cầu tính tích phân khơng biết biểu thức tính mà biết số tích chất Khi gặp tập đa số học sinh thường lúng túng trình tìm lời giải, em phải biến đổi hay phải sử dụng công thức nào, học sinh giỏi gặp phải vấn đề 2.3 Các giải pháp thực Để khắc phục khó khăn mà học sinh thường gặp phải, tơi thực số giải pháp sau: - Bổ sung, hệ thống kiến thức - Phân dạng tập, đưa dấu hiệu phương pháp giải tương ứng - Đưa hệ thống ví dụ tập trắc nghiệm khách quan tăng dần từ dễ đến khó, tăng dần từ mức độ nhận biết, thông hiểu lên vận dụng Giúp cho em làm quen dần với dạng tập Dần hình thành kỹ giải tốn tính xác linh hoạt q trình giải tốn - Đổi việc kiểm tra, đánh giá Ra đề kiểm tra với mức độ nhận thức: nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao để kiểm tra mức độ tiếp thu, kiểm tra lực học sinh có kế hoạch điều chỉnh 2.3.1 Các tốn tích phân đặc biệt Dạng 1: Sử dụng tính chất tích phân f x dx Ví dụ Cho 0 g x dx Tính I 3 f x g x dx [2] Phân tích tốn: Để tính tích phân ta sử dụng hai cơng thức sau: b b f x g x dx a b b g x dx ; kf x dx k f x dx a b a a với k f x dx a Lời giải: Ta có: I 3f x g x dx f x dx g x dx 3.2 I 3f Vậy x g x dx 1 3 Ví dụ Cho f x dx f z dz Tính tích phân If 0 t dt [2] Phân tích tốn: Để tính tích phân ta sử dụng công thức sau b b f x dxf t dt a a Lời giải: 1 3 Ta có: f t dtf x dx 3; f t dtf z 0 dz 3 If t dtf t dtf t dt Vậy Suy ra: I Ví dụ Cho hàm số f x , g f t dt b x liên tục a ; b 2f x 3g x 4, a b b f x dx 5; Tính tích phân I g a x dx [3] a Phân tích tốn: Để tính tích phân ta sử dụng hai công thức sau: b b f x g b x dx a b g x dx ; kf x d k x f x dx a b a a với k f x d x a Và coi I ẩn phương trình bậc để giải Lời giải: b b b Ta có: 2f x 3g x a Suy ra: 10 I f x dx g x dx 10 3I a I a b Vậy I g x dx a Ví dụ Cho hàm số f x có đạo hàm đoạn 1;3 f 1; f Tính tích phân I f ' x dx [3] Phân tích tốn: Ta sử dụng tính chất f ' x dx f x C với C số Lời giải: Ta có: f ' x dx f x 3 f f Vậy If ' x dx 1 Dạng 2: Sử dụng phương pháp đổi biến f (u ( x )) Trong tốn ngồi biểu thức f ( x ) cịn xuất biểu thức ( biểu thức nằm giả thiết tốn tích phân cần tính), tương ứng cận ta đổi biến t u ( x ) Với số tập phương pháp đổi biến ta cịn sử dụng cách chọn hàm Cách thức chấp nhận hình thức thi trắc nghiệm Thông thường ta hay nghĩ đến việc chọn hàm bậc nhất, tức giả sử f (x ) ax b ( a , b ) Từ giả thiết ta tìm a, b suy hàm số f ( x ) tính tích phân Với cách học sinh yếu trung bình dễ tiếp nhận thao tác tìm hàm f ( x ) thường không liên quan đến phép biến đổi tích phân phức tạp Tuy nhiên thường số tập đơn giản chọn hàm thỏa mãn, cịn cách giải từ đơn giản đến phức tạp Ví dụ Cho f x dx 26 Tính tích phân I f 2x dx [2] 0 b Phân tích tốn: Đặt t 2x b sử dụng công thức f x dxf t dt a a Ta tìm tích phân Lời giải: Đặt t 2x dt 2dx dx 1dt Đổi cận x t 0; x t 2 14 t dt f t dt 20 Ta có: f x dx f 0 26 13 2 Vậy If x dx 13 Ví dụ Cho f x dx Tính tích phân If cos x sin 2xdx [2] Phân tích tốn: Ta có cos x ' 2sin 2x b b Nên ta đặt t cos 2x sử dụng công thức f x dx f t dt , ta tìm a a tích phân Lời giải: Đặt t cos2x sin 2xdx dt Đổi cận x t 0; x 1 If cos2x sin 2xdx f t1 2 t dt f 20 t dt Vậy If cos x sin xdx 4 e Ví dụ Cho f ln x e dx Tính tích phân If x dx x [3] Phân tích tốn: Ta có ln x ' với x x b b Nên đặt t ln x sử dụng công thức f x dx f t dt , ta tìm tích a a phân Lời giải Đặt t e ln x f ln x e dt x dx Đổi cận x e t 1; x e 4 t 4 dxf t dtf x dx I x Vậy If x dx 2017 Ví dụ Cho hàm số f x liên tục 1;2018 , biết f x dx 2017 f x f 2018 x , x 1;2018 Tính tích phân I xf x dx [3] Phân tích tốn: 2017 xf x dx cách đặt x 2018 t sử dụng Xét biến đổi tích phân I b b công thức f x dx f t dt Ta phương trình bậc ẩn I ta a a giải I Lời giải: Đặt x 2018 t dx dt Đổi cận x t 2017; x 2017 t 2017 Khi I xf x dx 2017 2018 t f 2018 t dt 2017 2018 t f t dt 2017 Suy I 2018 2017 f t dttf t dt 2018.2 I I 2018 1 2017 Vậy Ixf x dx 2018 Ví dụ Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục thỏa mãn 10 f x 2x 3x Tính tích phân If x dx [3] Phân tích toán: Ta đặt x t 2t f x f t 2t 3t Khi tích phân cần tìm trở thành tích phân hàm đa thức Lời giải: Đặt x t 2t dx 3t 2 dt Đổi cận: x t 2t t 2t t x 10 t 2t 10 t 2t 12 t 10 Ta có: If x I9t dxf t3 2t 3t 2 dt3t 3t 2 dt 3t 10 6t dt t t 3t 135 2t 135 Vậy If x dx Ví dụ Cho hàm số f x liên tục đoạn 1;4 f x ln x f x Tính tích phân If x x thỏa mãn x dx [3] Phân tích tốn: a f x dx (2) a + Hàm số f x liên tục tuần hoàn với chu kỳ T thì: a T T f x dx dxf x a + Với a hàm số T f x dx f x (3) T chẵn liên tục t ; t thì: t t f x a t + Hàm số f x liên tục dx f x x dx (4) 0; thì: xf sin x dx f sin x dx 20 + Hàm số f x liên tục f sin0 x dx (5) 0;1 thì: 2 f sin x dxf cos x dx (6) x sin x dx [4] Ví dụ Tính tích phân I x1 Phân tích tốn: Ta có f x x2 hàm chẵn, g x x1 hàm lẻ Khi ta sử dụng cơng thức (1), (2) sin x x1 Lời giải Ta có I Suy I x sin dx x x 1 x2 x dx 1 x x1 1 dx 1 x x sin x dx x x2 x1 x ln x x2 2 2ln 1 Vậy I x2 sin x dx 2ln x 1 Ví dụ Tính tích phân I xx dx [4] ln Phân tích tốn: Ta có x2 f x ln x hàm lẻ Khi ta sử dụng cơng thức (2) Lời giải Ta có f x ln I ln x x x2 hàm lẻ đoạn 1;1 nên theo (2) ta có: x dx Ví dụ Cho hai hàm số f x , g x liên tục 2; g x hàm lẻ Biết f x hàm chẵn, f x dx , tính tích phân I 3f x 2g x dx [2] Phân tích tốn: Ta có f x hàm chẵn, g x hàm lẻ Khi ta sử dụng cơng thức (1), (2) Lời giải Ta có I f x g x dx 2 Vậy I 2 f x dx g x dx f x dx 36 2 x g x dx 36 3f 2018 Ví dụ Tính tích phân I cos 2xdx [4] Phân tích tốn: Ta có hàm số f x cos 2x có chu kỳ T= nên ta áp dụng công thức (3) Lời giải 2018 Ta có: I cos xdx cos xdx cos 2xdx 2017 2018 Suy I cos xdx 2018 I 2018 cos xdx 2018 0 cos x4036 Vậy I 00 cos 2xdx 4036 2018 1 Ví dụ Cho f sin xdx f x x dx 2018 Tính tích phân I 11 Phân tích tốn: Ta có dx [3] x 2018 f x hàm chẵn nên ta áp dụng công thức (4), (1) Lời giải 1 f x Ta có I x 11 dx f x dxf x dx 2018 2018 f x Vậy I x dx 2018 2018 x sin x Ví dụ Tính tích phân I dx [4] 4cos x 09 Phân tích tốn: Sử dụng cơng thức số (5) Lời giải Đặt xt dx dt Đổi cận x t Khi I t sin t 4cos t Suy I0 Vậy I sin x 4cos x 4cos x x sin x dt 4cos x sin x dx dx x sin x dx ; xt 4cos x 9 4cos2 x d cos x dx I ln I 12 ln ln 12 Ví dụ Tính tích phân 4sin x dx [4] I sin x cos x Phân tích tốn: Ta sử dụng cơng thức (6) Lời giải Đặt x t dx dt Đổi cận x t ;x t 2 I 4sin x 4cos t dx sin x cos x dt sin t cos t 4cos x sin x cos x dx Khi I I 2I Vậy I dx sin x cos x cos dx 2tan x x 4 2 4cos x sin x cos x Suy 4sin x dx d sin x cos x x 4I2 4sin x sin x cos x dx Dạng Một số tích phân liên quan đến f ' x hàm hợp thỏa mãn f ' x f x x x , x, biết Ví dụ Cho hàm số f x f Tính tích phân I f x dx [3] Phân tích tốn: Ta có f ngun hàm f ' 2f'x f x nên f ' x f x có x x Lời giải Ta có f ' x f x dx2 x 2x dx f2 x 2x 2x3 C 16 Vì f C f I f x f x dx 127 2x5 x dx I x3 dx Khi x2 x5 127 30 Vậy 30 f x Ví dụ Cho hàm số thỏa mãn 3f' xe f x x 2x f2 x f Tính tích phân I 0, x, biết xf x dx [3] Phân tích tốn: Ta có x f 2x 3f'x f nên f ' x f x ' có nguyên hàm f x Lời giải Ta có f ' x e f x x 2x f ' Suy f e f ' x Vì f C f3 x Khi Ixf x dxx x x xf x dx 45 e f3x x2 Vậy I e 2x e x x 21 x x f x e f 3x 3f' 1dx x2 ex C f x x x 1d x x Ví dụ Cho hàm số f x thỏa mãn f ' x 2xf x 2x e x2 , x , biết f e x f x dx [3] Tính tích phân I Phân tích tốn 17 Sử dụng đạo hàm e u x f x u ' x e ux f x e ux f ' x ' u ' x e u x f x e u x f ' x nên ta có hàm số có nguyên hàm e u x f x Lời giải Ta có f ' x 2x.e x 2xf x e x f ' x 2x.e x f x 2x Suy e x f x2xdx x C mà f C e x f x x2 1 Vậy I e x f x dx x x3 dx x Ví dụ Cho hàm số f x 0;1 liên tục có đạo hàm đoạnvà nhận giá trị dương đoạn f x ,f' x 0;1 f3 x d , x Tính tích phân 1 f biết f 2; f ' x x dx f'x f x dx [3] Phân tích tốn: Dựa vào f x 0, x a ; b f x x b a;b f x dx a Lời giải: Từ giả thiết ta có f'x f Suy 2 ' x f x dxf ' x f x dx x dx f 0 x f2 x f' x f x f' Mà f C Vậy f x dxx dx f3 x x C x2 8x 17 2.3.2 Các toán tích phân ơn tập 18 Bài Cho hàm số f xx x Tính If x x 2x Bài Cho hàm số f x dx [3] x2 f x x2 , biết f tan x dx 4; dx Tính If x dx [3] 16 f x f 4x Bài Cho biết cot xf sin2 x dx dx Tính x sin x cos x dx; 5x Bài Tính tích phân: I J Bài Tính tích phân: sinn x I n dx; n sin x cos x J 2x dx [4] Bài Tính tích phân: I sin 2xdx; f x 2f x cos x dx sin x cos x x sinx dx [4] sin x [3] 2018 Bài Cho f x thỏa mãn x sin x 2 dx [3] 4 x J 3x; x ;2 Tính [4] 2 f x dx Bài Cho hàm số f x x 4x 3x ; Tính If ' x f x dx [3] x Bài Cho hàm số f x liên tục thỏa mãn f x f x2 2cos2x Tính tích phân f x dx [2] Bài 10 Cho hàm số f x thỏa mãn f 0 có đạo hàm liên tục 0; , 2 f'x ;và sin x f x dx dx Tính tích phân f x dx [3] 2.4 Hiệu sáng kiến Năm học 2016-2017 giao nhiệm vụ hỗ trợ giảng dạy mơn Tốn lớp: 12B5, 12B2 Đa số học sinh chăm ngoan có ý thức học, đặc biệt em có hứng thú học giải tốn Tuy nhiên gặp tốn tích phân đặc biệt em lung túng giải Sau tiến hành thực nghiệm sáng kiến lớp dạy mình, tơi thu nhiều kết khả quan Hoạt động học tập học sinh diễn sôi nổi, đa số học sinh hiểu vận dụng vào giải toán Một số học sinh giỏi biết tự tìm tịi, nghiên cứu thêm đề thi sách tham khảo để hệ thống hóa, đào sâu kiến thức Kết kiểm tra: Lớp Điểm yếu Điểm TB Điểm Điểm giỏi Số % Số % Số % Số % 12B5 0 14 18 36 25 50 12B2 5,9 15,7 25 49 15 29,4 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Trong q trình giảng dạy, tơi nhận thấy rằng: sau đưa hệ thống tập trên, học sinh biết vận dụng cách linh hoạt, vào toán khác nhau, từ 20 đơn giản đến phức tạp Học sinh khơng cịn tâm lý e ngại gặp toán Mặt khác, hiệu áp dụng tương đối cao, giải trở nên sáng sủa, ngắn gọn hầu hết em vận dụng tốt 3.2 Kiến nghị Nhà trường cần tạo điều kiện nhiều cho giáo viên việc tiếp xúc với loại sách tham khảo có chất lượng thị trường, đồng thời cần có tủ sách lưu lại sáng kiến kinh nghiệm giáo viên xếp loại, chuyên đề tự học, tự bồi dưỡng giáo viên để đồng nghiệp có tư liệu tham khảo Các quan quản lý giáo dục tỉnh cần phát triển rộng rãi sáng kiến kinh nghiệm giáo viên, đặc biệt sáng kiến xếp loại để đồng nghiệp tham khảo, học hỏi Qua nâng cao hiệu sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng vào thực tế nhà trường Mặc dù có nhiều cố gắng song khơng thể tránh khỏi sơ suất, thiếu sót Kính mong hội đồng khoa học cấp bạn bè đồng nghiệp góp ý, xây dựng, bổ sung cho kinh nghiệm đạt chất lượng tốt Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2018 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác (Ký ghi rõ họ tên) 21 Mai Văn Ngọc TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa giải tích 12, tác giả Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng, nhà xuất giáo dục năm 2008 Đề thi minh họa mơn Tốn năm 2017, 2018 Bộ Giáo Dục Đào Tạo Đề thi thử THPTQG mơn tốn Sở Giáo Dục, trường THPT nước 4.Tuyển chọn ôn luyện thi vào đại học cao đẳng, tác giả Nguyễn Trọng Bá, Lê Thống Nhất, Nguyễn Phú Trường, nhà xuất giáo dục, năm 2001 22 ... chọn đề tài : ? ?Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải số tích phân đặc biệt ” Để giúp học sinh khơng bị lúng túng gặp câu hỏi vậy, dần hình thành kỹ giải tốn tính xác linh hoạt q trình giải toán Đồng... Tính tích phân f x dx [3] 2.4 Hiệu sáng kiến Năm học 2016-2017 giao nhiệm vụ hỗ trợ giảng dạy mơn Tốn lớp: 12B5, 12B2 Đa số học sinh chăm ngoan có ý thức học, đặc biệt em có hứng thú học giải. .. tốn tích phân đặc biệt em lung túng giải Sau tiến hành thực nghiệm sáng kiến lớp dạy mình, tơi thu nhiều kết khả quan Hoạt động học tập học sinh diễn sôi nổi, đa số học sinh hiểu vận dụng vào giải