MỘT số DẠNG TOÁN về số PHỨC ôn THI THPTQG

MỘT số DẠNG TOÁN về số PHỨC ôn THI THPTQG Chuyên đề này sẽ giúp các em rèn luyện kĩ năng Hướng dẫn giải toán liên quan tới số phức, lấy được 01 điểm thuộc về số phức trong các bài thi, để các em tiến gần hơn đến ngưỡng của ĐH – CĐ. Đối tượng học sinh bồi dưỡng: lớp 12 Dự kiến số tiết bồi dưỡng: 6 tiết

BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC ÔN THI THPTQG PHẦN I MỞ ĐẦU Kể từ năm học 2016 – 2017, mơn Tốn áp dụng hình thức thi trắc nghiệm Trong đó, số phức chiếm tỉ lệ tương đối ổn định qua năm Cụ thể: SL câu Vận dụng Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Tổng cao Năm 2017 2018 1 1 2019 1 2020 1 Chuyên đề giúp em rèn luyện kĩ Hướng dẫn giải toán liên quan tới số phức, lấy 01 điểm thuộc số phức thi, để em tiến gần đến ngưỡng ĐH – CĐ Đối tượng học sinh bồi dưỡng: lớp 12 Dự kiến số tiết bồi dưỡng: tiết PHẦN II NỘI DUNG A KIẾN THỨC CƠ BẢN Một số phức biểu thức có dạng a + bi, a, b số thực số i thoả mãn i2 = -1 Ký hiệu số phức z viết z = a + bi i gọi đơn vị ảo a gọi phần thực Ký hiệu Re(z) = a b gọi phần ảo số phức z = a + bi , ký hiệu Im(z) = b Tập hợp số phức ký hiệu C *) Một số lưu ý: - Mỗi số thực a dương xem số phức với phần ảo b = - Số phức z = a + bi có a = gọi số ảo số ảo - Số vừa số thực vừa số ảo Hai số phức Cho z = a + bi z’ = a’ + b’i �a  a ' � z = z’  �b  b ' Biểu diễn hình học số phức Mỗi số phức biểu diễn điểm M(a;b) mặt phẳng toạ độ Oxy Ngược lại, điểm M(a;b) biểu diễn số phức z = a + bi Phép cộng phép trừ số phức Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa: �z  z '  (a  a ')  (b  b ')i � �z  z '  (a  a ')  (b  b ')i Phép nhân số phức Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa: zz '  aa ' bb ' ( ab ' a ' b)i Số phức liên hợp Cho số phức z = a + bi Số phức z = a – bi gọi số phức liên hợp với số phức Vậy z = a  bi = a - bi Chú ý: 10) z = z  z z gọi hai số phức liên hợp với 20) z z = a2 + b2 *) Tính chất số phức liên hợp: (1): z  z (2): z  z '  z  z ' (3): z.z '  z.z ' (4): z z = a  b (z = a + bi ) Môđun số phức 2 Cho số phức z = a + bi Ta ký hiệu xác định sau: z mơđun số phư z, số thực không âm - Nếu M(a;b) biểu diễn số phc z = a + bi, z = uuuuu v OM 2 = a b z - Nếu z = a + bi, = z.z = a  b Phép chia số phức khác Cho số phức z = a + bi ≠ (tức a2+b2 > ) Ta định nghĩa số nghịch đảo z-1 số phức z ≠ số 2 1 z z a b z z-1= z' Thương z phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ xác định sau: z' z '.z  z.z 1  z z Với phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói có đầy đủ tính chất giao hốn, phân phối, kết hợp phép cộng, trừ, nhân, chia số thực thông thường Phương trình bậc hai với hệ số thực 2 * Cho phương trình bậc hai : ax  bx  c  , có   b  4ac + Nếu  > 0, PT có nghiệm thực phân biệt x1,2  b �  2a b + Nếu  = 0, PT có nghiệm kép x1 = x2 = 2a b �i |  | x1,2  2a + Nếu  < 0, PT có nghiệm phức * Cho phương trình bậc hai : ax  bx  c  Khi b chẵn có b’ = b/2 ;  ' =b’2 – ac + Nếu  ' > 0, PT có nghiệm thực phân biệt x1,2  b '�  ' a b ' + Nếu  ' = 0, PT có nghiệm kép x1 = x2 = a + Nếu  ' < 0, PT có nghiệm phức 10 Một số kết cần nhớ 1) i0 = � i4n = 3) i2 = - � i4n + = - 5) (1 – i)2 = - 2i x1,2  b '�i |  ' | a 2) i1 = i � i4n + = i 4) i3 = - i � i4n + = - i 6) (1 + i)2 = 2i B MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP DẠNG I TÍNH TỐN CÁC YẾU TỐ CỦA SỐ PHỨC I PHƯƠNG PHÁP: Sử dụng định nghĩa, phép toán để tính tốn yếu tố có liên quan II CÁC VÍ DỤ Ví dụ (Mã đề 101 - QG – 2017) Cho hai số phức z1   7i z2   3i Tìm số phức z  z1  z2 A z   4i B z   5i C z  2  5i Hướng dẫn giải D z   10i z  z  z2    7i     3i    4i Ta có Đáp án: A Ví dụ (Mã đề 102 - QG – 2017) Cho số phức z   i  i Tìm phần thực a phần ảo b z A a  0, b  B a  2, b  C a  1, b  Hướng dẫn giải D a  1, b  2 Ta có z   i  i   i  i   2i � a  1, b  2 Đáp án: D Ví dụ (Mã đề 104 - QG – 2017) Tìm số phức z thỏa mãn z   3i   2i A z   5i B z   i C z   5i Hướng dẫn giải z   i   i � z   i   i  1 i Ta có Đáp án: B D z   i z Ví dụ (Mã đề 104 - QG – 2017) Cho số phức z   i Tính A z 3 B z 5 z 2 C Hướng dẫn giải D z  z  22  12  Ta có Đáp án: D Ví dụ (QG-2019) Số phức liên hợp số phức  4i A 3  4i B 3  4i C  4i Hướng dẫn giải D 4  3i Đáp án: C III BÀI TẬP Câu (Mã đề 101 - QG – 2017) Số phức số ảo? A z  2  3i B z  3i C z  2 D z   i B z   6i C z  1  10i D z  3  6i Câu (Mã đề 102 - QG – 2017) Cho hai số phức z1   3i z2   3i Tìm số phức z  z1  z2 A z  11 Câu (Mã đề 103 - QG – 2017) Cho hai số phức z1   3i z2  2  5i Tìm phần ảo b số phức z  z1  z2 A b  2 B b  C b  D b  3 Câu (Mã đề 103 - QG – 2017) Cho số phức z   3i Tìm phần thực a z A a  B a  C a  3 D a  2 Câu (QG – 2018) Số phức 3  7i có phần ảo A B 7 C 3 D Câu (QG – 2018) Số phức có phần thực phần ảo A  4i B  3i C  4i Câu (QG – 2018) Số phức  6i có phần thực A – B C – Câu (QG – 2018) Số phức có phần thực phần ảo A 1  3i B  3i C 1  3i Câu (QG-2019) Số phức liên hợp số phức  3i A 5  3i B 3  5i C 5  3i D  3i D D  3i D  3i Câu 10 (QG-2019) Số phức liên hợp số phức  2i A 3  2i B  2i C 3  2i D 2  3i Câu 11 (QG-2019) Số phức liên hợp số phức  2i A 1  2i B  2i C 2  i D 1  2i Câu 12 Cho số phức z  6  3i Tìm phần thực phần ảo số phức z A Phần thực 6 phần ảo 3i B Phần thực 6 phần ảo C Phần thực phần ảo D Phần thực phần ảo 3i Câu 13 Cho số phức z z’ Các phát biểu sau sai ? z.z  z z z.z  D z ' z '.z A z  z '  z  z ' B C z  z Câu 14 Cho số phức z = 3- 4i Phần thực phần ảo số phức z A Phần thực phần ảo - 4i; B Phần thực phần ảo 4; C Phần thực phần ảo 4i; D Phần thực phần ảo -4 Câu 15 Tìm phần thực phần ảo số phức z = i2020 A 2020 B C D 2020 z    i     3i     i  Câu 16 Tìm phần thực, phần ảo A phần thực 1, phần ảo B phần thực 11, phần ảo C phần thực 1, phần ảo D phần thực 11, phần ảo z 1 i 1 i   i  i Trong kết luận sau kết luận đúng? Câu 17 Cho số phức A z có phần thực phần ảo �0 B z số ảo C Mô đun z D z có phần thực phần ảo Câu 18 Tính z  z z.z biết z   3i A 13 B C Câu 19 Cho số phức z   3i Tìm số phức w = 2iz - z A w  8  7i B w  8  i C w   7i Câu 20 Cho số phức A 17 ; D 13 z1   3i z2   4i Môđun số phức z1  z2 B 15 ; C 4; D w  8  7i D 3i là: Câu 21 Số phức nghịch đảo số phức z = 1 3  i  i 1 1 4 2 z z A = = B C z 1 = + 3i 1 D z = -1 + 3i   Câu 22 Mô đun số phức A B C D Câu 23 Cho số phức z = a + bi (với a, b số thực) Xét phát biểu sau (1) z² – z ² số thực (2) z² + z ² số ảo (3) z z số thực (4) |z| – z Số câu phát biểu A B C D Câu 24 Giá trị A = (1 + i)20 A 1024 B 220 C –1024 D 1024 – 1024i z (1  i )   i Câu 25 Cho số phức z thỏa mãn: Tìm mơ đun số phức   z  2i z   2i  i  B 17 A Câu 26 Cho số phức z biết i A C 24 z  2i  i B - z Câu 27 Cho số phức z thỏa mãn: A B D i  i Phần ảo số phức z2 C  1 i  1 i D  Tìm mơđun z  iz C D      Câu 28 Phần thực số phức z thỏa mãn  A 6 B 3 C D 1 DẠNG II PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC I PHƯƠNG PHÁP : Sử dụng phương pháp giải phương trình mẫu mực phương trình 1 i 2  i z   i   2i z bậc nhất, phương trình bậc hai….với ẩn số phức z II CÁC VÍ DỤ Ví dụ (Mã đề 101 - QG – 2017) Phương trình nhận hai số phức  2i  2i nghiệm ? A z  z   B z  z   C z  z   D z  z   Hướng dẫn giải    ; Cách 1: Ta có  nghiệm phương trình z  z   Đáp án: C Cách 2: Thử đáp án MTBT  2i   2i    Ví dụ (Mã đề 102 - QG – 2017) Kí hiệu 3z  z   Tính P  z1  z2 A P 3 B P 3 Suy  2i  2i z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình P C Hướng dẫn giải Phương trình z  z   có hai nghiệm P  z1  z2  Khi Đáp án: B   2i   2i  z1,2  D P 14 1�i 11 Ví dụ Tìm số phức sau: a) (1 + z)(2 + 3i) = + i b) 2i   3i z 1 i 2i Giải a) Ta có (1 + z)(2 + 3i) = + i 1 i  3i 5i � 1 z    13 � z    i     13 13 � 1 z  b) Ta có 2i 1  3i ( 1  3i)(1  i) z �z   1 i 2i (2  i) 2  4i (2  4i )(3  4i ) �z �z  4i 25 22 �z  i 25 25 Ví dụ Giải phương trình sau trường số phức: a) z4 + 2z2 -3 = b) z4 – 4z3 +7z2 – 16z + 12 = (1) Giải z  �1 � � z2  � �2 �� z  �i z  3 � � a) Ta có z4 + 2z2 -3 = z  �1 � � z  �i Vậy phương trình có nghiệm � b) Do tổng tất hệ số phương trình (1) nên (1) có nghiệm z = (1)  (z – 1)(z3 – 3z2 + 4z – 12) =  (z – 1) (z – 3) (z2 + 4) = z 1 � � z 1 � z 3 � z3 �� � � z  2i � z2   � � z  2i �  Vậy phương trình cho có nghiệm: III BÀI TẬP Câu (Mã đề 103 - QG – 2017) Kí hiệu 1 P  z1 z2 z  z   Tính A P Câu (QG-2019)Gọi B z1 , z2 A 16 P 12 z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình C P D P  z2  z2 hai nghiệm phức phương trình z  z  10  Giá trị B 56 C 20 D 26 Câu (QG-2019)Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z  z  14  Giá trị z12  z22 A 36 B Câu (QG-2019)Gọi z12  z22 A z1 , z C 28 D 18 hai nghiệm phức phương trình z  z   Gái trị B C 16 D 26 Câu (QG-2019)Gọi z12  z22 z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z  z   Giá trị A 10 B C 16 D Câu Tìm mô đun số phức z thoả 3iz  (3  i)(1  i)  A z  2 B z  2 C z  3 D Câu Cho số phức z thỏa mãn (1 + 2i)z – – 5i = Tìm số phức w = A + 2i B + 6i C –2 + 6i   3i  z  z  Câu Giải phương trình A z  i 10 10 B Câu Giải phương trình A z  i 5 B z  i 10 10   i z   z  i 5 2i 1  3i z 2i Câu 10 Giải phương trình  i z    i z   i 5 5 A B C C C z  i 10 10 z  i 10 10 z 22  i 25 25 2z 1  1 i Câu 11 Tìm nghiệm phương trình z  i 1 z   i z   i z   i 5 5 2 A B C z D D D z  3 10 z D –6 + 2i z  i 10 10 z  i 13 13 z  i 13 13 1 z  i 2 D Câu 12 Tìm nghiệm phương trình z  z   A z1  -1  2i; z2  -1- 2i z   2i; z  -1  2i B z1  -1  2i; z2  -1- 2i z  -1  2i; z  -1  2i 2 C D Câu 13 Tìm số thực b,c để phương trình (với ẩn z): z  bz  c  nhận z   i làm nghiệm A b  2, c  2 B b  2, c  C b  1, c  D b  2, c  2 Câu 14 Gọi z1 z2 nghiệm phương trình: z  z  10  Tính giá trị biểu A z  z 2 thức A 15 B 17 C 20 D 10 Câu 15 Gọi A, B hai điểm biểu diễn cho số phức nghiệm phương trình z  z   Tính độ dài đoạn thẳng AB A 2 B C D z Câu 16 Cho số phức z có phần thực dương thỏa mãn z  z  13  Tính C A 13 B 17 D z i DẠNG III TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN I PHƯƠNG PHÁP: Để giải tốn tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước, ta thực theo bước sau: z  a  bi  a, b �� B1: Đặt B2: Thay vào đk hệ phương trình hai ẩn a,b B3: Giải tìm a,b Chú ý:  Tìm số phức z  a  bi  a, b �� thật tìm phần thực a phần ảo b a0 � z  a  bi  � � b0 , �   z1  a1  b1i; z2  a2  b2i  z  a  bi  a, b �� a  a2 � z1  z2 � �1 b1  b2 � Khi đó: Khi số ảo (thuần ảo) a  , z z số thực b  z  3i  Ví dụ (Mã đề 101 - QG – 2017) Có số phức z thỏa mãn ảo ? A B Vô số C D Hướng dẫn giải Đặt z  a  bi  a, b �� Ta có z z  số Điều kiện z �4 z  3i  � a   b  3 i  � a   b  3  25 � a  b  6b  16   1 Lại có a  a  4  b2 z a  bi 4b    i z   a    bi  a    b  a    b z Vì z  số ảo nên Từ (1) + (2) suy a  a  4  b  a  4 b 2 4a  6b  16 � a    � a  b  4a    b Thay vào (1), ta được: b0 � � � � a  b � b  6b  16  � 24 � � b � � 13 � Với b  � a  � z  4 loa� i 10 Với b  � a  2 � z  2 loa� i b 1 � x   � z    i  tho� ama� n 5 5 Với Đáp án: D Ví dụ (Mã đề 104 - QG – 2017) Cho số phức z thỏa mãn số phức w  z   3i A w  3  8i Đặt z  a  bi  a, b �� B w   3i C w  1  7i Hướng dẫn giải z 5 z   z   10i Tìm D z  4  8i , ta có: z   �  a  3  bi  �  a  3  b  25 Lại có z   z   10i �  a    bi   a     b  10  i �  a  3  b   a  3   b  10  � b   b   2 2 � b  � a  � z  5i � w  4  8i Đáp án: D III BÀI TẬP z 2i  z Câu (Mã đề 102 - QG – 2017) Cho số phức z  a  bi (a, b ��) thoả mãn Tính S  4a  b A S  B S  C S  2 Câu (QG – 2018) Có số phức z thỏa mãn B A Câu (QG – 2018) Có số phức A D S  4 z  z   i   2i    i  z C z thỏa mãn B ? D z ( z   i)  2i  (7  i ) z C ? D z  z   i   2i    i  z thỏa mãn ? C D z3 5 z  2i  z   2i Câu (Mã đề 103 - QG – 2017) Cho số phức z thỏa mãn z Tìm số phức Câu (QG – 2018) Có số phức A B A z  17 B z  17 z C z  10 D z  10  x  yi     3i   x  6i với i đơn Câu (QG – 2018) Tìm hai số thực x y thỏa mãn vị ảo A x  1 ; y  3 B x  1 ; y  1 C x  ; y  1 D x  ; y  3 z  z   i   2i    i  z Câu (QG – 2018) Có số phức z thỏa mãn ? 12 B A C D  3x  yi     i   x  3i với i đơn y thỏa mãn Câu (QG – 2018) Tìm hai số thực x vị ảo A x  2; y  2 B x  2; y  1 C x  2; y  2 D x  2; y  1 Câu (QG – 2018) Tìm hai số thực x y thỏa mãn (3 x  yi)  (4  2i)  x  2i với i đơn vị ảo A x  2; y  B x  2; y  C x  2; y  Câu 10 (QG – 2018) Tìm hai số x y thỏa mãn ảo A x  1 ; y  1 B x  1 ; y  Câu 11 (QG-2019)Cho số phức z thỏa mãn   x  yi     i   5x  4i  C x  ; y  1 z  i    i  z   10i B A D x  2; y  D x  ; y  Mô đun C với i đơn vị z D z  i     3i  z   16i Câu 12 (QG-2019)Cho số phức z thỏa mãn  Môđun z A Câu 13 (QG-2019)Cho số phức A 13 Câu 15 Tìm số phức z, biết A z z  4i z D thỏa (2  i ) z  4( z  i )  8  19i Môđun z B Câu 14 (QG-2019)Cho số phức A C B C 13 D thỏa (2  i ) z   16i  2( z  i) Môđun z C 13 B 13 z  z   4i D z    4i C B z  D z  3  4i Câu 16 Số phức z thỏa mãn: (1  i ) z  (2  i ) z  13  2i A + 2i ; B 3-2i; C -3 + 2i ; D -3 -2i Câu 17 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2z + 3(1 – i) z = – 9i Tìm modun z A |z| = B |z| = C |z| = 13 D |z| = 13 Câu 18 Tìm phần thực phần ảo số phức z thỏa mãn (1 – i)z – (2 – i) z = + 9i A –3 B –4 C D –4 –3 Câu 19 Số số phức z thỏa mãn đẳng thức: A B z    C z  1  z   10i  z  Câu 20 Số số phức z thỏa mãn  A B C   1 z  z  1 z  z i 2 D D 13  iz z  2i   2z Câu 21 Tìm mơ đun số phức z thỏa mãn  i  2i A B Câu 22 Biết z số phức thỏa điều kiện 1 z  1  i z  i 2 A B C z2  i z  D 2 Tìm số phức 1 z  i 2 C DẠNG IV BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC z có phần ảo âm z  1 i D I PHƯƠNG PHÁP: Giả sử z = x + yi (x, y  R) Khi số phức z biểu diễn mặt phẳng phức điểm M(x;y) Sử dụng kiện đề để tìm mối liên hệ x y từ suy tập hợp điểm M Một số quỹ tích thường gặp: Với z = x+yi (x, y số thực) nếu: * x= a : Quỹ tích z đường thẳng x = a (song song với Oy) * y= b: Quỹ tích z đường thẳng y = b (song song với Ox) * (x-a)2 +(y-b)2= R2 Quỹ tích z đường trịn tâm I(a.b) bán kính R * (x-a)2 +(y-b)2 � R2 Quỹ tích z hình trịn tâm I(a.b) bán kính R ( kể biên) * (x-a)2 +(y-b)2> R2 Quỹ tích z điểm nằm ngồi đường trịn tâm I(a.b) bán kính R II CÁC VÍ DỤ Ví dụ (Mã đề 101- QG – 2017) Cho số phức z   2i Điểm điểm biểu diễn số phức w  iz mặt phẳng tọa độ ? A Q(1; 2) B N (2;1) C M (1; 2) Hướng dẫn giải D P (2;1) w  iz  i   2i    i Ta có Suy điểm biểu diễn số phức w N (2;1) Đáp án: B Ví dụ (Mã đề 102 - QG – 2017) Số phức sau có điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ điểm M hình bên ? A C z4   i B z3  2  i z2   2i z   2i D Hướng dẫn giải Đáp án: C Ví dụ (Mã đề 102 - QG – 2017) Có số phức z thỏa mãn | z   i | 2 ( z  1)2 số ảo A B C D 14 Đặt z  x  yi  x, y �� Theo giả thiết, ta có Hướng dẫn giải | z   i | 2 �  x     y  1 i  2 �  x     y  1   C  2 z  1    x  1  yi    x  1  y   x  1 yi Mặt khác,  2 2 Theo giả thiết ( z  1) số ảo nên  x  1 x  y 1   d  � �y  x   y  � y   x  1 � � �� x  y 1    �y   x  � I  2;1 Đường trịn (C) có tâm , bán kính R  2 d I, d   2  R Ta có  , suy d tiếp xúc (C) d I, d    R Ta có  , suy  cắt (C) hai điểm phân biệt Tập hợp điểm biểu diễn cho số phức giao điểm (C) với hai đường thẳng d  Số giao điểm Đáp án: C Ví dụ (Mã đề 104 - QG – 2017) Cho số phức số phức z1   2i, z2  3  i Tìm điểm biểu diễn z  z1  z2 mặt phẳng tọa độ A N (4; 3) B M (2; 5) z  z  z  2  i Ta có Vậy điểm biểu diễn số phức Đáp án: C z C P( 2; 1) Hướng dẫn giải D Q(1; 7) P(2; 1) z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z   Gọi M, N điểm biểu diễn z1 , z2 mặt phẳng tọa độ Tính Ví dụ (Mã đề 104 - QG – 2017) Kí hiệu T  OM  ON với O gốc tọa độ A T  2 B T  C T  Hướng dẫn giải D T  z  2i � z   � �1 z2  2i � Ta có M  0;2  , N  0; 2  � OM  ON  � T  OM  ON  Suy Đáp án: D Ví dụ (Mã đề 104 - QG – 2017) Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để tồn z  i  m số phức z thỏa mãn z.z  Tìm số phần tử S A B C D 15 Hướng dẫn giải Điều kiện: m  Đặt z  x  yi  x, y �� z.z  � z  � x  y  1 C1  Theo giả thiết  C1  đường tròn tâm O  0;0  , bán kính R1     z   i  m � x    y  1  m � x     y  1  m  C2  Mặt khác  C2  đường tròn tâm I  3; 1 , bán kính R2  m C  C  Để tồn số phức z tiếp xúc R  R  OI �  m  � m  1 thỏa mãn  C  C  TH1: tiếp xúc  C1   C2  S   1,3 Vậy TH2 R1  OI  R2 �   m � m   thỏa mãn  � � OI  R2  R1 � m   � m  1 loaïi  tiếp xúc � Đáp án: A  z  i   z   số ảo Trên mặt phẳng Ví dụ (QG – 2018) Xét số phức z thỏa mãn tọa độ, tập hợp tất điểm biểu diễn số phức z đường trịn có bán kính 5 A B C D Hướng dẫn giải z  x  yi  x, y �� Đặt Ta có  z  i   z     x  yi  i   x  yi     x  x  y  y    x  y   i 2 � 1� x  x  y  y  �  x  1  �y  �  z  i   z   số ảo nên � 2� Vì Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất điểm biểu diễn số phức kính Đáp án: C z đường trịn có bán III BÀI TẬP Câu (QG – 2018) Xét số phức z thỏa mãn  tọa độ, tập hợp tất điểm biểu diễn số phức z  3i A B z   z  3 số ảo Trên mặt phẳng đường tròn có bán kính C D 16  Câu (QG – 2018) Xét số phức z thỏa mãn  số ảo Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất điểm biểu diễn số phức z đường trịn có bán kính A B 2 C D z  2i  z  2  z  2i   z   số ảo Trên mặt phẳng Câu (QG – 2018) Xét số phức z thỏa mãn tọa độ, tập hợp tất điểm biểu diễn số phức z đường trịn có bán kính A 2 B C D Câu (QG-2019)Cho hai số phức biểu diễn số phức A 3z1  z2 z1   i Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , điểm có toạ độ  4;1 B  1;  C Câu (QG-2019)Xét số phức z thỏa mãn w điểm biểu diễn số phức A z2   2i 34 z   4;1 D  1;  Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp  iz  z đường trịn có bán kính B 26 C 34 D 26 z  Câu (QG-2019)Xét số phức z thỏa mãn Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức w A 3  iz  z đường trịn có bán kính D Câu (QG-2019)Cho hai số phức z1  2  i z2   i Trên mặt phẳng tọa độ Oxy điểm C 20 B 12 biểu diễn số phức 2z1  z2 có tọa độ B  2;  3 Câu (QG-2019)Cho hai số phức z1   i A  3;  3 số phức A z1  z2 z2   i  3;3 D  3;  Trên mặt phẳng Oxy , điểm biểu diễn có tọa độ  2;5 B Câu (QG-2019)Cho số phức điểm biểu diễn số phức A 10 w z  3;5 thỏa mãn thỏa mãn B Câu 10 (QG-2019)Cho hai số phức diễn số phức C 2z1  z2 w C z   5;2  D  5;3 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp  iz  z đường tròn có bán kính z1   i, z2   i C D 10 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm biểu có tọa độ là: 17 A  5; 1 Câu 11 (QG-2019)Cho số phức B  1;5 z thỏa mãn điểm biểu diễn số phức w thỏa mãn w C z   5;0  D  0;5  Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp  iz  z đường trịn có bán kính A 52 B 13 C 11 D 44 Câu 12 Giả sử M(z) điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z Tập hợp điểm M(z) thỏa mãn điều 2 z  i z A Đường thẳng x  y   B Đường thẳng x  y   A Đường thẳng x  y   D Đường thẳng x  y   Câu 13 Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z  2i  z   i A Đường thẳng x  y   B Đường thẳng x  y   A Đường thẳng x  y   D Đường thẳng x  y   Câu 15 Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z 1  i  A Đuờng thẳng x  y   x  1   y  1  B Đường tròn  I  1; 1 C Đường thẳng x  y   D Đường trịn tâm bán kính R  Câu 16 Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z  4i  z  4i  10 2 x2 y x2 y  1  1 A Đuờng elip 16 B Đuờng elip 16 x2 y x2 y2  1  1 C Đuờng elip D Đuờng elip Câu 17 Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện 2 z  z2 A Tập hợp điểm nửa mặt phẳng bên phải trục tung B Tập hợp điểm nửa mặt phẳng bên trái trục tung C Tập hợp điểm nửa mặt phẳng phía trục hồnh D Tập hợp điểm nửa mặt phẳng phía trục hoành Câu 18 Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện �z   i �2 A Tập hợp điểm hình trịn có tâm I  1; 1 , bán kính 18 B Tập hợp điểm hình vành khăn có tâm lượt 2; C Tập hợp điểm hình trịn có tâm A  1;1 bán kính lớn nhỏ lần I  1; 1 , bán kính I  1; 1 D Tập hợp điểm hình vành khăn có tâm bán kính lớn nhỏ 2; Câu 19 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z cho A Đường tròn tâm B Đường tròn tâm C Đường tròn tâm D Đường tròn tâm I  1; 1 I  1; 1 I  1;1 I  1;1 u z   3i z i số ảo bán kính R  A  0;1 ; B  2; 3 bán kính R  trừ hai điểm bán kính R  A  0;1 ; B  2; 3 bán kính R  trừ hai điểm x  y 1 Câu 20 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z  x  yi   thỏa mãn điều kiện A Ba cạnh tam giác B Bốn cạnh hình vng C Bốn cạnh hình chữ nhật D Bốn cạnh hình thoi DẠNG V CỰC TRỊ CỦASỐ PHỨC I PHƯƠNG PHÁP: Sử dụng kiến thức như: Bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng trung bình nhân, bất đẳng thức Bunhia- Cốpxki, bất đẳng thức hình học số tốn cơng cụ sau: BÀI TỐN CƠNG CỤ 1: Cho đường trịn (T ) cố định có tâm I bán kính R điểm A cố định Điểm M di động đường tròn (T ) Hãy xác định vị trí điểm M cho AM lớn nhất, nhỏ Hướng dẫn giải: TH1: A thuộc đường tròn (T) Ta có: AM đạt giá trị nhỏ M trùng với A AM đạt giá trị lớn 2R M điểm đối xứng với A qua I TH2: A khơng thuộc đường trịn (T) Gọi B, C giao điểm đường thẳng qua A,I đường tròn (T); Giả sử AB < AC +) Nếu A nằm ngồi đường trịn (T) với điểm M (T), ta có: AM �AI  IM  AI  IB  AB Đẳng thức xảy M �B AM �AI  IM  AI  IC  AC Đẳng thức xảy M �C 19 +) Nếu A nằm đường trịn (T) với điểm M (T), ta có: AM �IM  IA  IB  IA  AB Đẳng thức xảy M �B AM �AI  IM  AI  IC  AC Đẳng thức xảy M �C Vậy M trùng với B AM đạt gía trị nhỏ Vậy M trùng với C AM đạt gía trị lớn BÀI TỐN CƠNG CỤ 2: nhất (T1 ) có tâm I, bán kính R ; đường trịn (T2 ) có tâm J, bán kính (T ) (T ) R Tìm vị trí điểm M , điểm N cho MN đạt giá trị lớn Cho hai đường tròn nhất, nhỏ Hướng dẫn giải: Gọi d đường thẳng qua I, J; (T ) d cắt đường tròn hai điểm phân biệt A, B (giả sử JA > JB) ; d cắt biệt C, D ( giả sử ID > IC) (T2 ) hai điểm phân (T1 ) điểm N (T2 ) MN �IM  IN �IM  IJ  JN  R1  R2  IJ  AD Với điểm M bất khì Ta có: Đẳng thức xảy M trùng với A N trùng với D MN �IM  IN �IJ  IM  JN  IJ  R1  R2  BC Đẳng thức xảy M trùng với B N trùng với C Vậy M trùng với A N trùng với D MN đạt giá trị lớn M trùng với B N trùng với C MN đạt giá trị nhỏ BÀI TỐN CƠNG CỤ 3: Cho hai đường trịn (T ) có tâm I, bán kính R; đường thẳng  khơng có điểm chung với (T ) Tìm vị trí điểm M (T ) , điểm N  cho MN đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn giải: Gọi H hình chiếu vng góc I d Đoạn IH cắt đường trịn (T ) J Với M thuộc đường thẳng  , N thuộc đường trịn (T ) , ta có: MN �IN  IM �IH  IJ  JH  const Đẳng thức xảy M �H ; N �I Vậy M trùng với H; N trùng với J MN đạt giá trị nhỏ II CÁC VÍ DỤ 20 Ví dụ Trong số phức z thoả mãn z z   4i  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Hướng dẫn giải Cách z  x  yi Gọi  x; y �R  � M ( x; y) biểu diễn cho số phức z hệ toạ độ Oxy z   4i  � ( x  3)  ( y  4)  � ( x  3)  ( y  4)  16 2 Vậy điểm M biểu diễn cho số phức z thuộc đường trịn (T) có tâm I (3; 4) , bán kính R = z  x  y  OM OI   R ; nên O nằm ngồi đường trịn (T) z lớn OM lớn nhất, nhỏ OM nhỏ (Bài tốn qui Bài tốn cơng cụ 1- Trường hợp 2) Đường thẳng OI cắt đường tròn (T) hai điểm phân biệt �3 � �27 36 � A� ;  � ; B � ;  �� OA  1; OB  5� �5 � �5 OM�  OB OM �1 z Với M di động (T), ta có: OA ��� � OM nhỏ M trùng với A; OM lớn M trùng với B z z 27 36  i z z  i 5 ; 5 lớn Vậy nhỏ Cách z  x  yi  x; y �R  Gọi � M ( x; y) biểu diễn cho số phức z hệ toạ độ Oxy    4i � A(3; 4) biểu diễn cho số phức  z  OM ;   OA  � z    AM ; z   4i  � z    � AM  Theo giả thiết OM �� OA � AM�� ��+� OM + OA 4 OA OM  Ta có: 27 OA OM 36 z   i z 9 z  i �1 z z  5 ; 5 ; khi z z 27 36  i z z  i 5 ; 5 lớn Vậy nhỏ  Nhận xét: Ngồi tốn Hướng dẫn giải phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhia-Cốpxki phương pháp lượng giác hoá Ví dụ Trong số phức z thoả mãn điều kiện z ( z   4i ) số ảo, tìm số phức z cho   z   i có mơđun lớn Gọi z  x  yi  x; y �R  Hướng dẫn giải � M ( x; y) biểu diễn cho số phức z hệ toạ độ Oxy 21 z ( z   4i )  ( x  yi )  ( x  2)  ( y  4)i   x( x  2)  y ( y  4)   x( y  4)  y ( x  2)  i z ( z   4i ) số ảo � x( x  2)  y( y  4)  � x  y  x  y  � ( x  1)  ( y  2)  � M biểu diễn cho z thuộc đường trịn (T) có tâm I (1; 2) , bán kính   z   i  ( x  1)  ( y  1)i  ( x  1)  ( y  1)  AM R với A(1;1) IA  � A �(T ) (Bài toán qui Bài tốn cơng cụ - trường hợp 1) Vì M điểm di động (T) nên AM lớn � AM đường kính (T) � M đối xứng với A qua I � I trung diểm AM � M (3;3) � z  3  3i �   4  2i Vậy  lớn z  3  3i Ví dụ Trong số phức z có mơđun 2 Tìm số phức P  z 1  z  i đạt giá trị lớn Gọi z  x  yi z 2 2�  x; y �R  z cho biểu thức Hướng dẫn giải x2  y2  2 � x2  y2  P  z   z  i  ( x  1)  y  x  ( y  1) Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpxki cho hai số 2 2 1;1 ( x  1)  y ; x  ( y  1) , ta có: P �2 � ( x  1)  y  x  ( y  1) � � � 4(9  x  y ) Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-cốpxki cho hai số 1;1 x; y , ta có: x  y �  x2  y2    P 52  P 13 Đẳng thức xảy x  y  Vậy P đạt giá trị lớn 13 z   2i Ví dụ Trong số phức z có mơđun Tìm số phức P  z   z   7i đạt giá trị lớn Gọi z  x  yi z 2�  x; y �R  z cho biểu thức Hướng dẫn giải x2  y2  � x2  y  P  z   z   7i  ( x  1)  y  ( x  1)  ( y  7) 22 Xét ur ur ur ur u  x  1; y  , v   x; 7  y  � u  v   0; 7  ur u r ur u r P  u  v �u  v  u.r Khi ur đó: Đẳng thức xảy u , v hướng � ( x  1)(7  y )  y (1  x) � x  x 1� y  � ur ur x  1; y  u Với , v ngược hướng (khơng thoả mãn) ur ur x  1; y   u Với , v hướng (thoả mãn) Vậy z   i P đạt giá trị nhỏ z   i  ; z2   6i  Ví dụ Trong số phức z1, z2 thoả mãn: , tìm số phức z z z1, z2 cho đạt giá trị lớn Hướng dẫn giải Gọi z1  a  b.i ; z2  c  d i ; (a, b, c, d số thực); z1 biểu diễn điểm M(a; b); z2 biểu diễn điểm N(c; d) mặt phẳng toạ độ Oxy z1   i  � z1   i  � (a  1)2  (b  1)  suy M thuộc đường tròn tâm I(1; 1), bán kính R = z2   6i  � z2   6i  36 � (c  6)  ( d  6)  36 suy M thuộc đường trịn tâm J(6; 6), bán kính R' = z1  z2  (c  a )  (d  b)  MN (Bài toán qui Bài tốn cơng cụ 2) Đường thẳng IJ có phương trình y = x Đường thẳng IJ cắt đường tròn tâm I hai điểm �2  2  � �2  2  � M1 � ; M2 � � ; � � � ; � � � � � � Đường thẳng IJ cắt đường tròn tâm J hai điểm M N1 �MN �M N �  � z1  z2 �5  max z1  z2   M �M , N �N Vậy z1     N1  2;  ; N  2;   2 2  i ; z2     i z z 2 đạt giá trị lớn Ví dụ Cho số phức   z1 ; z2 thoả mãn: z1 1 ; z2  z2  (1  i )   2i số thực z ; z P  z2   z1 z  z1 z2  Tìm số phức cho đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn giải Gọi z1  a  bi ; z2  c  di ;  a, b, c, d �R  � M (a; b), N (c; d ) biểu diễn cho z1 ; z2 hệ toạ độ Oxy 23 z1  � a  b2  � a  b2  � M thuộc đường trịn (T ) có tâm O, bán kính R = z2  c  di; z� z   1 i  � � �  2i   c  di   (c  1)  (d  1)i    6i  c(c  1)  d ( d  1)    c( d  1)  d (c  1)   i  số thực � c(d  1)  d (c  1)   � c  d   � N thuộc đường thẳng : x y6  Ta có d (O; )  nên  (T ) khơng có điểm chung z1 z2  ac  bd  (bc  ad )i; z1 z2  ac  bd  (bc  ad )i � z1 z2  z1 z2  2( ac  bd ) P  c  d  2(ac  bd )  (c  a)  (b  d )   MN  (vì a  b  ) (Bài toán qui Bài tốn cơng cụ 3) Gọi H hình chiếu vng góc O  : x  y   � H (3;3) �2 2� I� �2 ; � � ( T ) � Đoạn OH cắt đường tròn � Với N thuộc đường thẳng  , M thuộc đường tròn (T ) , ta có: MN �ON  OM �OH  OI  IH   Đẳng thức xảy M �I ; N �H  P 3  2 18 Đẳng thức xảy z1  2  i; z2   3i 2 Vậy P đạt giá trị nhỏ 18  Ví dụ Trong số phức mơđun lớn Gọi z  x  yi z z1  thoả mãn điều kiện  x; y �R  2  i; z2   3i 2 z   z   10 Tìm số phức z có Hướng dẫn giải � M ( x; y) biểu diễn cho số phức z hệ toạ độ Oxy z   z   10 � ( x  3)  y  ( x  3)2  y  10 � MF1  MF2  10 (với F1 (3;0); F2 (3;0) ) ; x2 y2 � M �( E ) :   � M �( E ) có tâm O, trục lớn 10; tiêu cự 25 z  OM ; OM lớn � OM  a  � M (5; 0) �M (5; 0) 24 Vậy z lớn z  �z  5 III BÀI TẬP   z z  z  z   12i Câu Trong số phức z thỏa mãn điều kiện lớn nhất? A.1+2i B.1-2i C.2+4i D.1/2-i Câu Trong số phức z thỏa mãn điều kiện A.2+i B.4-i C 1  z 2i   1 i D  Số phức có mơ đun Số phức có mơ đun nhỏ nhất?    2i z   i  z   7i  Câu Xét số phức z thỏa mãn Gọi m, M giá trị nhỏ giá trị lớn z 1 i Tính P  m  M  73 B  73 P D P A P  13  73 C P   73 z   2i  z   i  Câu Xét số phức z thỏa mãn Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  z   z   3i A M  17  5, m  B M  26  5, m  C M  26  5, m  D M  17  5, m  z   3i  z   i  17 Câu Xét số phức z thỏa mãn Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  z   2i  z   i A M  2, m  B M  2, m  C M  2, m   D M  2, m   z   2i  z   3i  34 Câu Xét số phức z thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biển thức P  z 1 i A Pmin  34 B Pmin  C Pmin  13 Câu Trong số phức z thỏa mãn điều kiện môđun nhỏ � �� z� 1 � �2  � �� A � �� z � 1 � �2  � �� C � i � 5� � i � 5� z   2i  D Pmin  , tìm số phức z có � �� � z� 1 i � �2  � 5 � � � � B � �� � z  � 1 2 i � � � 5 � � � � D z  2i  z   i Câu Cho số phức z thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn z 25 A C z  10  3; z max  10  z   10  3; z max  10  B D z   10  3; z max  10  z   10  3; z max  10  PHẦN III: KẾT LUẬN Mục đích quan trọng đề tài muốn lấy làm tài liệu phục vụ trình giảng dạy thân, đồng thời tài liệu để trị tơi tự tin lấy trọn điểm phần số phức Chuyên đề giúp học sinh định hướng giải tốt tốn số phức Thơng qua việc hệ thống phân dạng, phương pháp giải dạng toán số phức nhằm phát triển tư linh hoạt cho học sinh Từ mang lại cho em say mê hứng thú học Toán Bản thân soạn chuyên đề này, nhận thấy nhiều nội dung liên quan đến số phức chưa khai thác hết Với thời gian lực có hạn tơi xin trình bày toán đơn giản nhất, bám sát nội dung thi trung học phổ thông quốc gia Hi vọng chuyên đề tài liệu hữu ích cho em học sinh Rất mong đóng góp ý kiến thầy cô giáo em học sinh để chun đề tơi hồn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn ! 26 ...Tập hợp số phức ký hiệu C *) Một số lưu ý: - Mỗi số thực a dương xem số phức với phần ảo b = - Số phức z = a + bi có a = gọi số ảo số ảo - Số vừa số thực vừa số ảo Hai số phức Cho z = a... nhân số phức Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa: zz '  aa ' bb ' ( ab ' a ' b)i Số phức liên hợp Cho số phức z = a + bi Số phức z = a – bi gọi số phức liên hợp với số phức. .. Biểu diễn hình học số phức Mỗi số phức biểu diễn điểm M(a;b) mặt phẳng toạ độ Oxy Ngược lại, điểm M(a;b) biểu diễn số phức z = a + bi Phép cộng phép trừ số phức Cho hai số phức z = a + bi z’