Trang bị, củng cố cho học sinh hai phương pháp cơ bản tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số. Từ hai phương pháp cơ bản đó, giúp học sinh tiếp cận một số bài toán khác về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư duy logic, sáng tạo. Giúp học sinh có hứng thú với bộ môn Toán học.
SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO ………… TRƯỜNG THPT ………… Chuyên đề ơn thi THPTQG: “MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT- GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRONG ĐỀ THI THPTQG” Tác giả: ………… Chức vụ: Giáo viên Đơn vị:…………… Năm học ………… MỤC LỤC PHẦN I: MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong đề thi THPTQG, nội dung GTLN- GTNN hàm số luôn xuất hiện, với nhiều dạng câu hỏi khác nhau, từ đến nâng cao Ví dụ đề thi THPTQG năm 2019 có tốn sau: “(Câu 36- mã đề 101, đề thi THPTQG 2019) Cho hàm số f ( x) , hàm số y = f ′( x) liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ bên Bất phương trình A m ≥ f ( 2) − f ( x) < x + m m x ∈ ( 0; ) ( tham số thực) nghiệm với B m ≥ f ( 0) C m > f ( 2) − D m > f ( 0) ” Đây toán thuộc mức độ vận dụng nội dung giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Trong trình giảng dạy nội dung nhận thấy rằng, hàm số cụ thể, học sinh thường sử dụng công cụ máy tính cầm tay để đưa giá trị nhỏ hàm số cách nhanh chóng tương đối xác Tuy nhiên, đề cho hàm số dạng hàm ẩn toán trên, tốn có liên quan đến giá trị tuyệt đối, học sinh lại lúng túng việc xác định cách làm Xuất phát từ thực tiễn giảng dạy việc trao đổi ý kiến với đồng nghiệp, nhóm chúng tơi xây dựng chun đề: “ Một số dạng toán giá trị lớn nhất- giá trị nhỏ hàm số đề thi THPTQG” , nhằm giúp học sinh hệ thống lại dạng toán Từ hình thành tư duy, cách giải số dạng toán nâng cao giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ lớp hàm ẩn, hàm giá trị tuyệt đối MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Trang bị, củng cố cho học sinh hai phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số Từ hai phương pháp đó, giúp học sinh tiếp cận số toán khác giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số - Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải tốn Qua học sinh nâng cao khả tư logic, sáng tạo - Giúp học sinh có hứng thú với mơn Tốn học ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Các dạng toán thường gặp nội dung giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số - Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm ẩn Một số dạng toán chứa tham số giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm trị tuyệt đối PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu sách, báo, tài liệu - Thực tiễn giảng dạy ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH - Học sinh lớp 12 - Học sinh ôn thi THPTQG DỰ KIẾN SỐ TIẾT GIẢNG DẠY - tiết * KÝ HIỆU VIẾT TẮT TRONG TÀI LIỆU • • • • Trung học phổ thông quốc gia: THPTQG Giá trị lớn nhất: GTLN Giá trị nhỏ nhất: GTNN Hướng dẫn giải: HDG PHẦN II: NỘI DUNG LÝ THUYẾT CƠ BẢN 1.1 ĐỊNH NGHĨA GTLN- GTNN CỦA HÀM SỐ Định nghĩa: Cho hàm số a) Số M tồn y = f ( x) xác định miền K gọi giá trị lớn hàm số x0 ∈ K cho y = f ( x) K f ( x) ≤ M với x∈K f ( x0 ) = M M = max f ( x) Kí hiệu b) Số m tồn K gọi giá trị nhỏ hàm số x0 ∈ K cho y = f ( x) K f ( x) ≥ m với x∈K f ( x0 ) = m m = f ( x) Kí hiệu K Lưu ý: + Một hàm số đồng thời đạt GTLN, GTNN K , đạt GTLN, đạt GTNN, không tồn hai giá trị + Khi nói đến GTLN hay GTNN hàm số y = f ( x) ( mà khơng nói rõ “trên tập K ” ) ta hiểu GTLN GTNN tập xác định 1.2 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT ĐOẠN Định lí 1: Mọi hàm số liên tục đoạn có giá trị lớn nhỏ đoạn Bài tốn 1: Cho hàm số y = f ( x) liên tục đoạn [a; b] max f ( x) Hãy tìm [ a ; b] f ( x) [ a ; b] Giải f '( x) Nếu đó, có dấu khơng đổi y = f ( x) Nếu y = f ( x) đồng biến nghịch biến [a; b] Khi đạt GTLN GTNN điểm đầu mút đoạn y = f ( x) khoảng [a; b] có hữu hạn điểm tới hạn ( xi ; xi +1 ) xi xi xi +1 y = f ( x) ( < ) hàm số đơn điệu Do đó, GTLN (GTNN) hàm số đoạn giá trị hàm số hai điểm đầu mút a, b Từ đó, ta có quy tắc tìm GTLN- GTNN hàm số điểm y = f ( x) [a; b] xi số lớn (nhỏ nhất) nói liên tục đoạn [a; b] sau: Quy tắc B1: Tìm điểm x1, x2, …, xn khoảng (a, b) f’(x) khơng f’(x) khơng xác định B2: Tính f(a), f(x1), f(x2), …, f(xn), f(b) B3: Tìm số lớn M số nhỏ m số Ta có: M = max f ( x ) m = f ( x ) [a ;b ] [a ;b ] ; Nhận xét 1: Nếu hàm số liên tục, đơn điệu đoạn điểm đầu mút + Nếu hàm số [a; b] y = f ( x) GTLN- GTNN hàm số đạt Cụ thể: liên tục ,đồng biến đoạn f ( x) = f (a ) [ a ; b] [a; b] ; [a; b] max f ( x) = f (b) [ a; b] + Nếu hàm số y = f ( x) liên tục, nghịch biến đoạn [a; b] max f ( x) = f ( a) [ a ; b] f ( x) = f (b) [ a ; b] 1.3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT KHOẢNG Bài toán 2: Cho hàm số y = f ( x) liên tục khoảng ( a; b ) max f ( x) Hãy tìm ( a ;b ) f ( x) ( a ;b ) Cách giải + Lập bảng biến thiên hàm số hàm số khoảng ( a; b ) y = f ( x) khoảng ( a; b ) từ kết luận GTLN, GTNN Nhận xét 2: Nếu khoảng ( a; b ) hàm số có cực trị cực đại (hoặc cực tiểu) giá trị cực đại giá trị lớn ( giá trị cực tiểu giá trị nhỏ nhất) hàm số khoảng ( a; b ) 1.4 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TRÊN MỘT ĐOẠN Bổ đề 1: Cho hàm số y = f ( x) liên tục đoạn m = f ( x) [ a ; b] Khi max f ( x) = max { M , m } a, b, [ a ; b] m, m>0 f ( x) = -M, M< [ a ; b] 0, m.M ≤ [a; b] M = max f ( x ) Biết [ a ; b] Chứng minh M = max f ( x) ⇒ ∃x1 ∈ [a; b] : f ( x1 ) = M ⇒ f ( x1 ) = M [ a ; b] a Ta có m = f ( x) ⇒ ∃x2 ∈ [a; b] : f ( x2 ) = m ⇒ f ( x2 ) = m [ a ; b] ⇒ ∃x0 ∈ [a; b] : f ( x0 ) = max { M , m } Giả sử : ( f − M )( f + M ) > f ( x) > M f ( x ) > max { M , m } ⇒ ⇔ ( f − m)( f + m) > f ( x) > m f +M 0 Vậy (vô lý) f ( x ) ≤ max { M , m } ⇒ f ( x) = max { M , m } (đpcm) b + Nếu m > ⇒ < m ≤ f ( x), ∀x ∈ [a; b] ⇒ f ( x) = f ( x ), ∀x ∈ [a; b] ⇒ f ( x) = f ( x ) = m [a ;b ] + Nếu [a ;b ] M < ⇒ f ( x ) ≤ M < 0, ∀x ∈ [a; b] ⇒ f ( x) = − f ( x), ∀x ∈ [a; b] Do m ≤ f ( x) ≤ M , ∀x ∈ [a; b] ⇒ − M ≤ − f ( x) ≤ −m, ∀x ∈ [a; b] ⇒ f ( x) = min( − f ( x)) = − M [a ;b ] + Nếu Mà [a ;b ] M n ≤ ⇒ ∃x0 ∈ [a; b] : f ( x0 ) = f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ [a; b] (đpcm) Nhận xét 3: Hàm số y = f ( x) hàm số chẵn nên max f ( x ) = max f ( x) a ≥ [a;b ] [a ;b ] f ( x ) = max f ( x) b ≤ max [a ;b ] [-b;− a ] max f ( x ) = max f ( x) a.b