MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP SỬ DỤNG HÀM GIẢI BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ

Bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một hàm số hay biểu thức là một trong những bài toán quan trọng của bộ môn Toán. Bài toánđó luôn khơi gợi lòng say mê, sự sáng tạo trong tƣ duy của những học sinh khágiỏi. Những năm gần đây, trong đề thi ĐH – CĐ thƣờng xuất hiện những câu hỏitìm min – max của biểu thức đại số nên việc học giải bài toán này cũng là một trong những nội dung ôn thi THPTQG. Hàm số (hay hàm) là khái niệm giữ vai trò chủ đạo xuyên suốt chƣơng trình toán học phổ thông. Sử dụng hàm tốt làm cho học sinh phát triển tƣ duy không chỉ trong nội bộ môn Toán mà trong cả việc nhận thức thế giới sự vật hiện tƣợng. Vì vậy, mỗi thầy cô giáo nên rèn học sinh xem xét bài toán theo “ý tƣởng hàm” để đƣa bài toán về bài toán đơn giản hơn . Trong đó, việc sử dụng hàm để giải các bài toán tìm max – min của biểu thức đại số thƣờng mang lại hiệu quả cao

CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP SỬ DỤNG HÀM GIẢI BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ Đào Thùy Linh PHẦN I Mở đầu 1.1 Lý chọn chuyên đề Bài tốn tìm giá trị lớn (GTLN), giá trị nhỏ (GTNN) hàm số hay biểu thức tốn quan trọng mơn Tốn Bài tốn ln khơi gợi lòng say mê, sáng tạo tƣ học sinh giỏi Những năm gần đây, đề thi ĐH – CĐ thƣờng xuất câu hỏi tìm – max biểu thức đại số nên việc học giải toán nội dung ôn thi THPTQG Hàm số (hay hàm) khái niệm giữ vai trò chủ đạo xun suốt chƣơng trình tốn học phổ thơng Sử dụng hàm tốt làm cho học sinh phát triển tƣ không nội mơn Tốn mà việc nhận thức giới vật tƣợng Vì vậy, thầy giáo nên rèn học sinh xem xét toán theo “ý tƣởng hàm” để đƣa toán toán đơn giản Trong đó, việc sử dụng hàm để giải tốn tìm max – biểu thức đại số thƣờng mang lại hiệu cao Vì vậy, tơi chọn chun đề “Một số phương pháp sử dụng hàm giải tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số” 1.2 Mục tiêu chuyên đề Chuyên đề đƣợc đƣa nhằm giúp học sinh có đƣợc phƣơng pháp sử dụng hàm để giải lớp toán – max biểu thức đại số Sử dụng hàm không giới hạn việc sử dụng đạo hàm làm công cụ giải toán Yếu tố đƣợc mở rộng ngƣời học dùng nhận biết tƣơng ứng hàm (ánh xạ, tồn ánh ) vào việc tìm lời giải cho toán Cụ thể nhƣ sau: a) Về kiến thức: - Định nghĩa GTLN, GTNN hàm số Phƣơng pháp tìm GTLN, GTNN hàm số liên tục đoạn - Tri thức phƣơng pháp giảm biến biểu thức đại số để sử dụng hàm (đặc biệt đạo hàm) tìm GTLN, GTNN - Tri thức phƣơng pháp miền giá trị tìm GTLN, GTNN hàm số, biểu thức đại số b) Về kĩ năng: - Kĩ giảm biến biểu thức đại số dựa sơ phát tƣơng ứng để thiết lập hàm số nhằm tìm max – cho biểu thức đại số cho - Kĩ giải toán tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số dựa vào phƣơng pháp giảm biến biểu thức đại số - Kĩ giải tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số dựa vào phƣơng pháp miền giá trị c) Về tƣ duy, thái độ: - Phát triển tƣ logic, tƣ sáng tạo, đặc biệt tư hàm - Tính cẩn thận, xác tính thẩm mĩ 1.3 Đối tượng sử dụng chuyên đề Nội dung chuyên đề tập trung chủ yếu cho học sinh khá, giỏi lớp 12 THPT Tuy nhiên, số tốn giải đƣợc sử dụng kiến thức Toán lớp 10, lớp 11 nên tài liệu tham khảo cho em PHẦN II Một số phương pháp sử dụng hàm giải tốn tìm GTLN, GTNN cuả biểu thức đại số 2.1 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 2.1.1 Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Số M gọi giá trị lớn hàm số y = f(x) miền D    f ( x )  M x  D x0  D : f ( x0 )  M Số m gọi giá trị nhỏ hàm số y = f(x) miền D    f ( x )  m x  D x0  D : f ( x0 )  m 2.1.2 Tìm GTLN, GTNN hàm số liên tục đoạn *) Tìm GTNN, GTLN hàm số y=f(x) liên tục đoạn [a;b] - Tính đạo hàm f’(x) - Tìm điểm x1 , x2 , …, xn khoảng (a;b), f’(x) f’(x) không xác định - Tính f ( a ) , f ( b ) , f ( x1 ) , …, f ( xn ) Chọn số M lớn n+2 số  M  max f ( x ) x[a;b ] Chọn số m nhỏ n+2 số  m  f ( x ) x[a;b ] Nếu thay đoạn [a;b] khoảng (a;b), (a;b], [a;b) bƣớc thứ ba thay việc lập bảng biến thiên hàm số y=f(x); sau kết luận tốn *) Các ví dụ: x3 Ví dụ Tìm GTLN, GTNN f ( x )  -  x đoạn [-2,3] Lời giải  x  1  2,3 Ta có f '( x )  -x  , f '( x )     x  1  2,3 Ta đƣợc f ( )  f ( 2 )  , f ( 1 )   , f ( )  6 , f(x) liên tục đoạn [-2,3] Vậy max f ( x )  f ( 2 )  f ( )  , f ( x )  f ( )  6  2 ;3 2 ;3 Ví dụ Tìm GTLN, GTNN hàm số y  x   x Lời giải Tập xác định D   2; 2 ; Ta có y   x  x , y   x   x    x    2; 2  x2 x   x Ta đƣợc y( 2 )  2 , y( )  2 , y( )  mà y liên tục D   2; 2  max y  2 x   min y  2 x  2  x2  8x  Ví dụ Tìm GTNN, GTLN hàm số y  x2  Lời giải TXĐ:  x  12 x  y'  ; y'   x  ; x   Ta có bảng biến thiên: 2 ( x 1) t - y’  + - y + + -1 Vậy y  1 x  ; max y  x   xR xR Ví dụ Tìm GTNN hàm số y  x( x  )( x  )( x  )  với x  4 Lời giải Ta có y  ( x2  x )( x  6x  )  Đặt t  g( x )  x2  x với x  4 Khi đó: g'( x )  x  ; g'( x )   x  3 x - -4 + -3 g’(x) - + + -8 g(x) -9 Suy t [  9;  ) Hàm số cho có dạng: y  f ( t )  t  8t  Ta có f '( t )  2t  ; f '( t )   t  4 Bảng biến thiên t - -9 y’ + -4 - + + 14 y -11 Vậy y  f ( )  11 x2  x  4  x  3  4 ;  Ví dụ Tìm GTNN, GTLN S  x    x  ( x  )(  x )  Lời giải Điều kiện 4  x  Đặt t  g( x )  x    x , ta có: g'( x )  1 ; g'( x )   x =  x4 4 x Với g( 4 )  2 ; g( )  4; g( )  2 , g(x) liên tục đoạn [-4;4]  2  t  Khi S  t  4( t2  )   2t  t  21 S'  4t  1 t  2 ; 4  S hàm nghịch biến đoạn [2 ; 4] Vậy minS  S( )  7 x = ; maxS  S( 2 )   2 x = x = -4 Ví dụ Tìm GTNN , GTLN S  sin8 x  cos x , xR Lời giải Do sin2 x   cos x 1  cos x )  cos x = (  cos x )4  cos x nên ta có S= 2( Đặt t = cos2x , 1  t  Bài tốn trở thành tìm GTNN, GTLN hàm số: S  g( t )  (  t )4  t với 1  t  1, g(t) liên tục đoạn [-1;1] Ta có g'( t )   (  t )3  4t ; g’(t) =  (  t )3  8t  1-t =2t  t    1;1 , ta có: 27  1 maxS = x   k ,k   ; minS = x  ar cos chẳng hạn 27 Với g(1) =1 ; g(-1) = ; g( ) = Bài tập tự luyện: Bài Tìm GTNN, GTLN hàm số sau: a) f ( x )  3x3  12 x  12 x  16 , x  [0; ] b) f ( x )   x4  x2  với x [  1; 2] d) y  c) y  x  x  HD: c) Miny  2x  x2  1 x   2 d) ý tính giới hạn vô cực hàm số Bài Tìm GTNN, GTLN hàm số f ( x )  x6  4(  x )3 với x [  1;1] HD: Đặt ẩn phụ t  x2 ,  t  Bài Tìm GTNN hàm số: y  ( x2  3x  )( x2  x  12 )  15 với x  4 HD: Đặt ẩn phụ t  x2  5x khảo sát biến thiên t x  4 Bài Tìm GTNN, GTLN S  x    x  ( x  )(  x )  HD: Đặt ẩn phụ t  x    x cos x  sin x Bài Tìm GTLN, GTNN hàm số: y  sin4 x  cos x HD: Sử dụng công thức hạ bậc để biến đổi hàm số đặt ẩn phụ t  cos x Bài Tìm GTNN, GTLN y  sin6 x  cos6 x  cos x  sin x  , x R HD: Đặt ẩn phụ t  sin x Bài Tìm GTNN, GTLN hàm số y =  sin x   cos x HD: Đặt t = sinx + cosx Sử dụng biến đổi : y  2+ sinx+cosx+ 1+ sinx+cosx+ sinxcosx Ta khảo sát y theo biến t, từ có đƣợc max y   2 ; y  xR xR 2.2 Phương pháp quy biến tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số 2.2.1 Phương pháp Đây phƣơng pháp đơn giản việc quy biểu thức đại số theo biến Tuy nhiên, cách chọn biến để thay tìm tập xác định cho biến mới, hay cách xử lý hàm thu đƣợc có mức độ khó dần nhƣ ví dụ sau đây: Ví dụ Cho x  y  1,x, y  Tìm GTLN, GTNN A  x y  y 1 x 1 Phát tương ứng: Nhận thấy giá trị x tƣơng ứng giá trị y cặp giá trị (x, y) cho tƣơng ứng với giá trị A nên thực chất giá trị x cho tƣơng ứng giá trị A, ta thấy A hàm x Ngồi tƣơng ứng thể chỗ y  biến đổi x biến đổi theo nhƣng nằm đoạn [0,1] Lời giải Từ giả thiết đƣợc y   x Do x, y  nên  x  Khi A f(x) x y x 1 x    y 1 x 1  x x 1 Khảo sát hàm số f(x) liên tục đoạn [0,1], ta có: f '( x )  2 6( x  )   2 (  x ) ( x  ) (  x )2 ( x  )2 f '( x )   x  Vậy: A  1 Ta có : f ( )  , f ( )  1, f ( )  2 x  y  max A  x = 0, y = chẳng hạn Ví dụ Cho x ,y > thỏa mãn K x + y = Tìm GTNN biểu thức x y  1 x 1 y Phát tương ứng: Ta giải tốn tƣơng tự ví dụ 1, nhiên cấp độ hàm thu đƣợc khó khảo sát Lời giải Từ giả thiết ta có y =1-x, 0