GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH, HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẰNG PHƢƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Trong chƣơng trình toán THPT chủ đề phƣơng trình,bất phƣơng trình, hệ phƣơng trình là một chủ đề hay và rất quan trọng. Dạng toán này luôn xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ, THPT của BGD hàng năm và trong các đề thi HSG các cấp. Đối với nhiều học sinh đây đƣợc coi là các bài toán khó, là câu phân loại học sinh trong đề thi. Qua quá trình dạy học sinh ôn thi ĐH, CĐ, ôn thi THPT và đặc biệt là dạy bồi dƣỡng HSG tôi nhận thấy không ít học sinh còn rất lúng túng khi gặp bài toán phƣơng trình, bất phƣơng trình , hệ phƣơng trình. Có rất nhiều phƣơng pháp giải chúng, mỗi phƣơng pháp đều có những nét độc đáo riêng. Với quá trình tự học, tự nghiên cứu của bản thân và những kinh nghiệm khi giảng dạy tôi nhận thấy phƣơng pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số là một phƣơng pháp mạnh, hay, độc đáo và thƣờng cho ta lời giải tối ƣu. Đặc biệt trong một số bài toán ta không thể giải đƣợc bằng phƣơng pháp thông thƣờng hoặc có thể giải đƣợc nhƣng gặp nhiều khó khăn thì phƣơng pháp hàm số lại rất hiệu quả. Hơn nữa phƣơng pháp này phát huy rất tốt tƣ duy sáng tạo, khả năng phân tích, phán đoán của ngƣời học, đồng thời nó đòi hỏi ở ngƣời học biết vận dụng kĩ năng phân tích, lập luận, tính toán chính xác, khoa học

Chuyên đề bồi dưỡng ôn thi THPT Quốc gia môn Tốn CHUN ĐỀ BỒI DƢỠNG ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN: TỐN TÊN CHUN ĐỀ: GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH, HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẰNG PHƢƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Chức vụ: Tổ trưởng Đơn vị: Trường THPT Tam Dương Đối tượng: Học sinh lớp 12 MỞ ĐẦU Lý chọn chun đề: Trong chƣơng trình tốn THPT chủ đề phƣơng trình,bấ t phƣơng trình, hệ phƣơng trình chủ đề hay quan trọng Dạng tốn ln xuất đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ, THPT BGD hàng năm đề thi HSG cấp Đối với nhiều học sinh đƣợc coi tốn khó, câu phân loại học sinh đề thi Qua trình dạy học sinh ơn thi ĐH, CĐ, ơn thi THPT đặc biệt dạy bồi dƣỡng HSG nhận thấy khơng học sinh lúng túng gặp tốn phƣơng trình, bấ t phƣơng triǹ h , hệ phƣơng trình Có nhiều phƣơng pháp giải chúng, phƣơng pháp có nét độc đáo riêng Với trình tự học, tự nghiên cứu thân kinh nghiệm giảng dạy tơi nhận thấy phƣơng pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số phƣơng pháp mạnh, hay, độc đáo thƣờng cho ta lời giải tố i ƣu Đặc biệt số tốn ta khơng thể giải đƣợc phƣơng pháp thơng thƣờng giải đƣợc nhƣng gặp nhiều khó khăn phƣơng pháp hàm số lại hiệu Hơn phƣơng pháp phát huy tốt tƣ sáng tạo, khả phân tích, phán đốn ngƣời học, đồng thời đòi hỏi ngƣời học biết vận dụng kĩ phân tích, lập luận, tính tốn xác, khoa học GV: Nguyễn Thị Lệ Thanh – THPT Tam Dương Với mong muốn cung cấp cho em học sinh có cách nhìn sâu cách tƣ kinh nghiệm giải số toán phƣơng trình, bất phƣơng trình, hệ phƣơng trình nên tơi lựa chọn chuyên đề: "Giải phƣơng trình, bất phƣơng trình, hệ phƣơng trình phƣơng pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số " Phạm vi, đối tƣợng, mục đích chuyên đề: Phạm vi: Áp dụng rộng rãi toàn quốc Đối tƣợng: Học sinh lớp 12 Mục đích: Giúp em đạt điểm tối đa dạng tốn Phƣơng pháp nghiên cứu -Tìm hiểu khái niệm hàm số đơn điệu, tính chất Tham khảo tài liệu có liên quan đến đề tài, đề thi ĐH, CĐ, THPT số năm trở lại -Tìm hiểu thực trạng học sinh lớp 12 - Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp nội dung đề tài Tổng kết rút kinh nghiệm trình dạy học Thực trạng : a) Thuận lợi: Đa số học sinh lớp tơi giảng dạy học sinh có nhận thức khá, giỏi nên việc áp dụng đề tài thuận lợi b) Khó khăn: Nhiều học sinh lúng túng gặp dạng toán này, em chƣa thật xác định rõ hƣớng phân tích, em lúng túng chƣa linh hoạt giải toán cách giải em phức tạp hoá vấn đề dẫn đến lạc hƣớng hoă ̣c lời giải thiế u chính xác ………………… Chuyên đề bồi dưỡng ôn thi THPT Quốc gia môn Toán MỤC LỤC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƢỠNG ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN: TỐN MỞ ĐẦU 1 Lý chọn chuyên đề: Phạm vi, đối tƣợng, mục đích chuyên đề: Phƣơng pháp nghiên cứu Thực trạng : A CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1, Phƣơng trình dạng: f (x )  g(x ) 2, Phƣơng trình dạng: f (x )  c 3, Phƣơng trình dạng: f (u)  f (v) 4, Bất phƣơng trình dạng: f (x )  c 5, Bất phƣơng trình dạng: f (u)  f (v) MỘT SỐ DẠNG TOÁN I, Phƣơng trình Dạng Phƣơng trình dạng f (x )  c Dạng Phƣơng trình dạng: f (u)  f (v) 10 Dạng Phƣơng trình dạng f (x )  g(x ) 18 Dạng Bất phƣơng trình dạng: f (x )  c; 22 Dạng Bất phƣơng trình dạng: f (x )  f y  24 III, Hệ Phƣơng trình 27 Dạng Cô lập hai biến hai vế hai phƣơng trình đƣa dạng: f (u)  f (v) 27 Dạng Kết hợp hai phƣơng trình để tìm phƣơng trình đặc trƣng 43 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 51 KẾT LUẬN 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 GV: Nguyễn Thị Lệ Thanh – THPT Tam Dương NỘI DUNG A CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1, Phƣơng trình dạng: f (x )  g(x ) a, Nhận dạng: Với f (x ); g(x ) hai hàm số liên tục khoảng (a; b) f (x ); g(x ) hai hàm số biến thiên ngƣợc chiều khoảng (a; b) phƣơng trình f (x )  g(x ) có khơng q nghiệm khoảng (a; b) b, Phƣơng pháp giải: + Tìm tập xác đinh ̣ + Tìm giá trị x : f (x )  g(x ) + Chứng minh phƣơng trình có khơng q nghiệm 2, Phƣơng trình dạng: f (x )  c a, Nhận dạng: y  f (x ) hàm đơn điệu tăng giảm, y  c hàm số khoảng (a; b) phƣơng trình có khơng q nghiệm khoảng (a; b) b, Phƣơng pháp giải: + Tìm tập xác đinh ̣ + Tìm giá trị x : f (x )  c + Chứng minh phƣơng trình có khơng q nghiệm 3, Phƣơng trình dạng: f (u)  f (v) a, Nhận dạng: Hàm số f t  đại diện cho hai hàm số hàm đơn điệu tập hợp hợp hai tập xác định f (u); f (v) ) Khi f (u)  f (v)  u  v b, Phƣơng pháp giải: + Tìm tập xác đinh ̣ + Đƣa phƣơng trình dạng f (u)  f (v) + Chứng minh hàm số f t  đơn điệu tập hợp hợp hai tập xác định hàm f (u); f (v) + Suy f (u)  f (v)  u  v Chuyên đề bồi dưỡng ơn thi THPT Quốc gia mơn Tốn 4, Bất phƣơng trình dạng: f (x )  c a, Nhận dạng: f x  hàm số đơn điệu, tồn x cho f (x )  c b, Phƣơng pháp giải: + Tìm tập xác đinh ̣ + Chứng minh hàm số f (x ) đơn điệu khoảng (a; b) + Tồn x thỏa mãn f (x )  c khoảng (a; b) + Nếu f x  hàm số đồng biến x  x khoảng (a; b) Nếu f x  hàm số nghịch biến x  x khoảng (a; b) 5, Bất phƣơng trình dạng: f (u)  f (v) a, Nhận dạng: Hàm số f t  đại diện cho hai hàm số hàm đơn điệu tập hợp hợp hai tập xác định f (u); f (v) b, Phƣơng pháp giải: + Tìm tập xác định + Đƣa phƣơng trình dạng f (u)  f (v) + Chứng minh hàm số f t  đơn điệu tập hợp hợp hai tập xác định hàm f (u); f (v) + Suy f (u)  f (v)  u  v khoảng (a; b) f t  hàm số đơn điệu tăng, f (u)  f (v)  u  v khoảng (a; b) f t  hàm số đơn điệu giảm Chú ý: Các dạng toán xét khoảng a;  ;a  GV: Nguyễn Thị Lệ Thanh – THPT Tam Dương MỘT SỐ DẠNG TỐN I, Phƣơng trình Dạng Phƣơng trình dạng f (x )  c 1.1.Phƣơng pháp: + Tìm điều kiện xác định tập xác định hàm số + Trƣờng hợp Chứng minh vế phƣơng trình loại hàm số vế hàm số đồng biến nghịch biến khoảng Trƣờng hợp Hai vế phƣơng trình chứa biến nhƣng sau chuyến biến vế ta lại đƣợc dạng + Chỉ tồn giá trị x cho f (x )  c + Kết hợp điều kiện để đƣợc nghiệm phƣơng trình 1.2 Bài tập minh họa: Bài Giải phƣơng trình sau: 3x   x  7x   Hƣớng dẫn giải Nhâ ̣n xét: Với toán giải theo cách bình thường bình phương hay đặt ẩn phụ gặp nhiều khó khăn Tuy nhiên, tinh ý chút bạn thấy VT hàm đồng biến x  nghiệm phương trình nên ta có x  nghiệm Vậy cách giải sau:   57  Tập xác định: D   ;    Xét hàm số: f (x )  3x +1  x  7x +2 , ta có f x  hàm liên tục D 1   57   f '(x )    với x   ;  nên hàm số   3x +1 x + 7x +2   57  f x  đồng biến nửa khoảng  ;    7x +2 Mặt khác ta thấy f 1  Vậy x  nghiệm phƣơng trình Bài Giải phƣơng trình: 5x   2x -1  x  Hƣớng dẫn giải Chuyên đề bồi dưỡng ôn thi THPT Quốc gia môn Toán Nhận xét: Với toán dùng phép biến đổi tương đương hay đặt ẩn phụ gặp khó khăn theo ý ta dễ dàng nhận thấy vế trái phương trình hàm đồng biến phương trình x  thỏa mãn Ta có lời giải sau:   Điều kiện: x   ;  3   f (x )  5x   2x -1  x  f ' x   15x 5x      ;     x     3 2x -1   Vậy vế trái hàm số đồng biến, vế phải hàm số x  thỏa mãn phƣơng trình nên phƣơng trình có nghiệm x  Bài Giải phƣơng trình: x 3 1 2x  2x   Hƣớng dẫn giải 1  Điều kiện: x   ;2 2    Dễ thấy hàm số y  x 3  2x  đồng biến (Hs tự chứng minh) 1 2x Mặt khác x  thỏa mãn phƣơng trình nên x  nghiệm Bài Giải phƣơng trình: x  x   x  7x   x Hƣớng dẫn giải Dễ thấy x  không nghiệm phƣơng trình Với x   x   Phƣơng trình trở thành: 1  x    Đặt t  x  ; t  x x x t   t   Xét hàm số f (t )  t   t   f '(t )  1  t >2 t 1 t  Vế phải hàm số hằng, vế trái hàm số đồng biến nên đồ thị chúng cắt điểm nhất, mặt khác t   x  thỏa mãn phƣơng trình Vậy nghiệm phƣơng trình x  Bài Giải phƣơng trình:  x - 2x + + x - = Hƣớng dẫn giải GV: Nguyễn Thị Lệ Thanh – THPT Tam Dương Điều kiện: x  Dễ thấy hàm số x 1 y  x  2x   x   y '   x  2x  hàm số đồng biến nử khoảng 1;   x 1  x  , suy Mặt khác x  thỏa mãn phƣơng trình nên x  nghệm   Bài Giải phƣơng trình: log x  2x   log x   2x  Hƣớng dẫn giải   x  2x    Điều kiện:   x  2x      Ta có: log x  2x   log x  2x   log6 x  2x   log5 x  2x           Đặt t  log6 x  2x   x  2x   6t Khi phƣơng trình trở thành: t t 5 1 t  log5               *     Dễ thấy vế trái phƣơng trình (*) hàm số nghịch biến, vế phải hàm số nên x  phƣơng trình có nghiệm t    x  2 Vậy tập nghiệm phƣơng trình là: S  2; 4   t t t t  t  Bài Giải phƣơng trình: log2  x  log7 x Hƣớng dẫn giải Điều kiện: x      Ta có: log2  x  log7 x  log2  x  log7 x Đặt t  log7 x  x  7t Khi phƣơng trình trở thành: t  log2  t  t /3 t t 1  1   t /3 t /3 1  7       t /3 1      1 Dễ thấy vế trái phƣơng trình hàm số nghịch biến, vế phải hàm số nên phƣơng  Chuyên đề bồi dưỡng ôn thi THPT Quốc gia môn Toán t   x  73 Vậy tập nghiệm phƣơng trình là: S  343 trình có nghiệm  Bài Giải phƣơng trình: log2 x  log6 x   log x Hƣớng dẫn giải Điều kiện: x  Đặt t  log6 x  x  6t Khi phƣơng trình trở thành: t  3 t  log2             t t  t t t t Dễ thấy vế trái phƣơng trình hàm số đồng biến, vế phải hàm số nên phƣơng trình có nghiệm t  1  x   1  Vậy tập nghiệm phƣơng trình là: S            log2 x Bài Giải phƣơng trình: x  x log2 Hƣớng dẫn giải Điều kiện: x  Đặt t  log2 x  x  2t Khi phƣơng trình trở thành: t t    3              Dễ thấy vế trái phƣơng trình hàm số nghịch biến, vế phải hàm số và t  thỏa mãn phƣơng trình nên phƣơng trình có nghiệm t   x  Vậy tập nghiệm phƣơng trình là: S  4 t t t Bài 10 Giải phƣơng trình: x + 15 - x + = 3x - Hƣớng dẫn giải Điều kiện: x   Từ (2): x  15  x   3x   3x   x   x  15  (*) Xét hàm số f x   3x   x   x  15 + Nếu x  f (x) <  (*) vô nghiệm GV: Nguyễn Thị Lệ Thanh – THPT Tam Dương   1 + Nếu x  f  x    x    x    x  3 x  15     f (x) đồng biến  ,  mà f (1)  nên (*) có nghiệm x  3  Vậy phƣơng trình có nghiệm x  Bài 11 Giải phƣơng trình: x   5x   7x   13x   Hƣớng dẫn giải Điều kiện x  Đặt f x   x   5x   7x   13x  Ta có: 13 f  x       x   x   5x  7  (13x  7)  7x  5   f x  đồng biến  ,    Mà f 3  nên x  nghiệm phƣơng trình Vậy nghiệm phƣơng trình cho x  …………… Dạng Phƣơng trình dạng: f (u)  f (v) 2.1 Phƣơng pháp: + Tìm điều kiện xác định tập xác định hàm số + Giữ cố định hai vế phƣơng trình ( thƣờng vế đơn giản hơn) biến đổi vế theo vế lại + Chứng minh hàm số đặc trƣng đơn điệu, từ suy f (u)  f (v)  u  v + Kết hợp điều kiện suy nghiệm phƣơng trình 2.2 Bài tập minh họa: 3 Bài Giải phƣơng trình sau: x + + x + = 2x + + 2x Hƣớng dẫn giải Đặt: 3 x   u; 2x  v phƣơng trình cho trở thành u3   u  v3   v 10 Chuyên đề bồi dưỡng ôn thi THPT Quốc gia mơn Tốn Phƣơng trình 4  x  1  x  1  x  6 x 3 3   x    x  7 x  6  x  7  x  10    x  10   x  x  30  x  5x  6 x   5    x  x 7   x  6  x   x  10   3 Từ 5 : x    x    y   x ; y   6;7 nghiệm hệ phƣơng trình x 1 x 3 x 7 x 7 Từ 6 :    0 2 x 3 3 x  10  7, phƣơng trình vơ nghiệm do:   1  1  VT 7  x  3      x  7       VP 7  x     x  10   Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm x ; y   6;7   x   x 1  y4   y   Bài 27 Giải hệ phƣơng trình sau:   x  2x y  1  y  6y      (ĐH khối A, A1 năm 2013) 1 2 Hƣớng dẫn giải Điều kiện: x  Từ phƣơng trình 2  4y  x  y  1   y   Từ phƣơng trình 1   x 1   x 1  y4   y Xét hàm số f t   t   t; t   f ' t   2t t 2 3   0t  suy f(t) đồng biến, 3  x   y  x  y    Thay vào (2) ta đƣợc y y  2y  y   y  Xét hàm số g y   y  2y  y   g ' y   7y  3y   y  Mà g(1) = nên y = 0; y = KL: Vậy nghiệm hệ phƣơng trình x ; y   2;1; 1; 0 41 GV: Nguyễn Thị Lệ Thanh – THPT Tam Dương    2y  9y   2   Bài 28 Giải hệ phƣơng trình sau:  x   x   xy y      Hƣớng dẫn giải Điều kiện: 1  x  Nhận thấy x = -1 y = không nghiệm phƣơng trình Từ phƣơng trình (2) tƣơng đƣơng với 2 x 4 x 11 y  y     x  y y2  x 1 y y2    x 1  x 1  y y2    y2  y 1 Xét hàm đặc trƣng: f(t) = f t   t   f ' t     t  hàm số t t đồng biến y 4 Từ suy x     y  Thay vào phƣơng trình (1) ta đƣợc: x y 4  y   x  4 TM   3y  9y     y   x   TM      4    Vậy nghiệm hệ phƣơng trình  ;1 ;  ;2       x + x  2x  5=3y +1+ 9y    Bài 29 Giải hệ phƣơng trình:  2  x -y -3x +3y -2=0    (1) (2) Hƣớng dẫn giải Ta có: x -1+ x  2x  5=3y + 9y   x   Xét hàm số: f t  =t+ t   f ' t    t t 4 f(x), f(3y) đồng biến  f x   f 3y   x  3y 42 x  1   3y + 9y   Hàm số f(t) đồng biến nên Chuyên đề bồi dưỡng ôn thi THPT Quốc gia mơn Tốn y   Thay vào (2) ta đƣợc: 8y  6y     y  1   3 1 Vậy nghiệm hệ là: x ; y   3;1; x ; y    ;   4  ……………… Dạng Kết hợp hai phƣơng trình để tìm phƣơng trình đặc trƣng + Tìm điều kiện xác định tập xác định hệ + Cả hai phƣơng trình hệ lập đƣợc biến, nhiên phƣơng trình khơng thể đƣa dạng quen thuộc, phải có kết hợp hai phƣơng trình để đƣa phƣơng trình dạng quen thuộc f u   f v  (Tiêu biểu dạng hệ phƣơng trình đối xứng loại II.) + Thế vào hai phƣơng trình để tìm nghiệm + Kết hợp điều kiện đƣa kết luận nghiệm hệ 3   x  5x  2y 1 Bài Giải hệ phƣơng trình sau :   y  5y  2x 2    Hƣớng dẫn giải Lấy (1) trừ (2) ta đƣợc: x  y  5x  5y  2y  2x  3x  5x  3y  5y Xét hàm số f (t )  3t  t, t    f ' t   9t   suy f (t ) đồng biến  (1)  f (x )  f (y)  x  y vào phƣơng trình (2) ta đƣợc: x  y  0; x  y  5; x  y     Vậy tập nghiệm hệ S = (0; 0),( 5;  5),( 5; 5)   x  x  2x   3y1    Bài Giải hệ phƣơng trình sau :   y  y  2y   3x 1     Hƣớng dẫn giải   u  u   3v   Đặt u=x-1;v=y-1 hệ có dạng :   v  v   3u    Trừ hai phƣơng trình vế với vế ta có phƣơng trình : u  u   3u  v  v   3v (*) 43 GV: Nguyễn Thị Lệ Thanh – THPT Tam Dương Xét hàm số : f (u )  u  u   3u  f '(u)   u u 1 số đồng biến Để có (*) xảy u  v Thay vào (1)    3u ln  Hàm    u  u   3u  ln u  u   u ln  f (u)  ln u  u   u ln 1  f '(u )  u u2  u  u 1  ln  u 1  ln   u Chứng tỏ hàm số nghịch biến ta lại có f 0  phƣơng trình có nghiệm u  v  Do hệ có nghiệm hệ là: x  y    x  x   3y   Bài Giải hệ phƣơng trình:   y  y   3x    Hƣớng dẫn giải Trừ vế hai phƣơng trình ta đƣợc:   x  x   y  y   3y  3x  x  x   3x  y  y   3y f (x )  f (y) với f (t )  t  t   3t f (t )   t  3t ln  0,    t2   f (t ) đồng biến  Bởi f (x )  f (y)  x  y vào pt thứ ta đƣợc  x   x   g(0)  g(x )   Với g(x )   x   x  g '(x )  ln  x   x     x  x   3x   3x x x 3  2 x     x   x ln    0, x    x    x x   x  x2 1  Suy g(x ) đồng biến  Bởi g(x )  g(0)  x  Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm x  y  Bài Chứng minh hệ phƣơng trình có hai nghiệm dƣơng: 44   1   x2 1 x Chuyên đề bồi dưỡng ơn thi THPT Quốc gia mơn Tốn   y  e x  2007     y2    x y  e  2007     x2    Hƣớng dẫn giải x        x  (; 1)  (1; ) Do x  nên x  ĐK:       y  y    y  (; 1)  (1; ) y 1         Trừ vế hai phƣơng trình ta đƣợc : x y x y ex  ey    ex   ey  x2 1 y2  x2 1 y2  t Hay f (x )  f (y) với f (t )  et  f '(t )  e t    t2 1 t2 1 t2 1 , t  (1; )  0, t  (1; )  f (t ) đồng biến (1; ) Bởi f (x )  f (y)  x  y vào phƣơng trình thứ ta đƣợc e x  2007  x  ex  x  2007   g(x )  x2 1 x2 1 x Với g(x )  e x   2007, x  (1; ) Ta có x2 1 3x (x  1) x x g '(x )  e  ; g ''(x )  e   0, x  (1; ) (x  1) x  (x  1)3 x  Suy g '(x ) đồng biến (1; ) g '(x ) liên tục (1; ) có lim g '(x )  , lim g '(x )   nên g '(x )  có nghiệm x  (1; ) x 1 x  g '(x )   g '(x )  g '(x )  x  x g '(x )    x  x Từ BBT g(x ) ta suy pt g(x )  có nghiệm x  (1; ) Vậy hệ phƣơng trình cho có nghiệm dƣơng   2x  2y  (y  x )(xy  2)  Bài Giải hệ phƣơng trình:   x  y2     Hƣớng dẫn giải 45 GV: Nguyễn Thị Lệ Thanh – THPT Tam Dương Nhận xét: Nếu thay  x  y vào phƣơng trình thứ ta đƣợc đẳng thức Thay  x  y vào phƣơng trình thứ ta đƣợc 2x  2y  (y  x )(xy  x  y )  2x  2y  y  x  2x  x  2y  y (1) Xét hàm số f (t )  2t  t 3, t   có f '(t )  2t ln  3t  0, t   suy f (t ) đồng biến  (1)  f (x )  f (y)  x  y vào pt thứ hai ta đƣợc x  y  1   Vậy tập nghiệm hệ S = (1;1); (1; 1)   ln(1  x )  ln(1  y )  x  y Bài Giải hệ phƣơng trình:   x  12xy  20y     (1) (2) Hƣớng dẫn giải ĐK: x  1, y  1 (1)  ln(1  x )  x  ln(1  y)  y  f (x )  f (y) với f (t )  ln(1  t )  t, t  (1; ) t 1    t   (1; )  f (t ) ĐB (1; 0) NB 1t 1t (0; ) TH x, y  (1; 0) x, y  (0; ) f (x )  f (y)  x  y Thế vào pt (2) ta đƣợc x  y  (không thỏa mãn) f '(t )  TH x  (1; 0), y  (0; ) ngƣợc lại xy   x  12xy  20y  TH xy  hệ có nghiệm x  y  Vậy hệ có nghiệm x  y    2  3x  2x   2x x 1  y 1 y 2y 2 Bài Giải hệ phƣơng trình:    x  2y  2x  4y     Hƣớng dẫn giải Để ý hai phƣơng trình lập đƣợc biến, nhiên phƣơng trình khơng đƣa đƣợc dạng f u   f v  nên nghĩ đến cách kết hợp hai phƣơng trình 46 Chuyên đề bồi dưỡng ơn thi THPT Quốc gia mơn Tốn   2  3x  2x   2x x 1  y 1 y 2y 2 =0 (1) Ta có hệ tƣơng đƣơng:    x  2y  2x  4y   (2)    Suy ra: 3x  2x   2x x 1  y 1  y 2y 2  x  2y  2x  4y    x  x x   y  1  y  1 y  1 1 Xét hàm số: f t   t  t t   f ' t   2t  t   t2 t 1 Suy hàm số f t  đồng biến nên hàm số f x ; f y  1 đồng biến  t Từ đó: f x   f y  1  x  y  2 5 Thay vào (2) ta đƣợc: x ; y   1; 2;  ;   3    log2 x   log3 3y 1 Bài Giải hệ phƣơng trình sau :    log y   log3 3x 2    Hƣớng dẫn giải Điều kiện: x  0; y  Ta có:  log x  3  1  log y    log2 x   log3 3y 1         log y   log 3x 2   log2 y  3  1  log x      lo g2 x  3  log3 x  lo g2 y  3  log y Xét hàm số: f t   lo g2 t  3  log3 t  f ' t    0 t  3 ln t ln Hàm số đồng biến nên f x   f y   x  y Thay vào phƣơng trình (1) ta đƣợc: log2 x  3  1  log3 x   x   4.2 log2 x log 1log  log  x   4.x  x  3.x  1log3  log  3.x   g ' x   x >0 Suy hàm số Xét hàm số: g x   x nghịch biến x  thỏa mãn phƣơng trình , phƣơng trình có nghiệm x  Vậy nghiệm hệ là: x ; y   1;1 …………… 47 GV: Nguyễn Thị Lệ Thanh – THPT Tam Dương Dạng Hệ phƣơng trình chứa phƣơng trình dạng: f x   f x ; y  + Tìm điều kiện xác định tập xác định hệ + Đƣa hai phƣơng trình hệ dạng f x   f x ; y  Với dạng phƣơng trình khơng lập đƣợc biến nhƣng để ý chút hoàn tồn đƣa phƣơng trình dạng f x   f x ; y  + Thế vào phƣơng trình lại + Kết hợp điều kiện suy nghiệm hệ   x  xy  y  y   Bài Giải hệ phƣơng trình:   3x   9y     (1) 2 Hƣớng dẫn giải  x  2 Điều kiện:    y0   TH1 : Xét y  thay vào hệ thấy không thỏa mãn TH2 : Xét y  , chia vế (1) cho y ta đƣợc ( x y )5  x y  y  y (3) Xét hàm số f (t )  t  t  f '(t )  5t   nên hàm số đồng biến Từ (3)  f ( x y )  f( y)  Thay vào (2) ta có PT x y  y x y 3x   9x  (3) Xét hàm số g x   3x   9x  f ' x     x  3x  9x Vế trái (3) hàm số đồng biến, vế phải (3) hàm số 3.1   9.1  (3) nên phƣơng trình có nghiệm x  Vậy hệ có nghiệm (x; y)  (1;1) Bài Giải hệ phƣơng trình:    x  x y  1  y  y  y  3y  3y  y 1    xy  2y +y3 =5      2 Hƣớng dẫn giải Dễ thấy y  1 không nghiệm phƣơng trình (1)   x  x y  1  y  y  y  3y  3y  y  x  x y  1  y y  1  y y  1 48 3 Chuyên đề bồi dưỡng ôn thi THPT Quốc gia mơn Tốn Chia hai vế phƣơng trình (1) cho y  1  x3 y  1  x  y3  y y 1 Hàm số : f (t )  t  t; f '(t )  3t    t  R Chứng tỏ f(t) đồng biến Cho nên để f ( x x )  f y    y  x  y2  y y 1 y 1 Thay vào phƣơng trình (2) ta đƣợc : xy  2y +y3 =5  2y  3y    y  Vậy hệ có nghiệm : x ; y   2;1   x  xy  y 10  y  Bài Giải hệ phƣơng trình:    x   y2      (1) 2 Hƣớng dẫn giải TH1 : Xét y  thay vào hệ thấy không thỏa mãn x x TH2 : Xét y  , chia vế (1) cho y ta đƣợc ( )5   y  y (3) y y Xét hàm số f (t )  t  t  f '(t )  5t   nên hàm số đồng biến x x Từ (3)  f ( )  f (y)   y  x  y y y Thay vào (2) ta có PT : x2   x2   Xét hàm số g x   x   x   f ' x   x x2  Vế trái (3) hàm số đồng biến, vế phải (3) hàm số và  x x2   x>0 12   12   nên phƣơng trình có nghiệm x  Vậy hệ có nghiệm (x; y)  (1;1) Bài Giải hệ phƣơng trình:    x  x y  1  y  y    x  y  3+ 4y =4       y  3y  3y  y 1 2 49 GV: Nguyễn Thị Lệ Thanh – THPT Tam Dương Hƣớng dẫn giải  y  Điều kiện:    x y      1  x  x y  1  y y   y  3y  3y  y  x  x y  1  y y  1  y y  1 x3  y  1  x 3 y 1  y  y Hàm số : f (t )  t  t; f '(t )  3t   t  R Chứng tỏ f(t) đồng biến Cho nên để x x f( )f y   y  x  y2  y y 1 y 1 Thay vào phƣơng trình (2) ta đƣợc :   y  y  y  3+ 4y =4  y   4y   y  ( Chứng minh vế trái hàm đồng biến, vế phải hàm số hằng) Vậy hệ có nghiệm : x ; y     2;1   8x  2xy  y  y 1   Bài Giải hệ phƣơng trình:   x  3+ y  5+ x =6    2 Hƣớng dẫn giải Điều kiện: x  Dễ thấy y  không nghiệm phƣơng trình (1) Chia hai vế phƣơng trình (1) cho y   2x  2x 8x  2xy  y  y      y3  y  y  y Hàm số : f (t )  t  t; f '(t )  3t   t  R Chứng tỏ f t  đồng biến Cho nên để f ( 2x )  f y   y  2x y Thay vào phƣơng trình (2) ta đƣợc: y  5+ x  3+ x =6  4x   x  3+ x =6 (3) Xét hàm số: 50 Chuyên đề bồi dưỡng ơn thi THPT Quốc gia mơn Tốn g x   4x   x   x  f ' x   x x 5  4x x 3  x  x>0 Vế trái (3) hàm số đồng biến, vế phải hàm số nên phƣơng trình (3) có khơng q nghiêm Mặt khác x  thỏa mãn phƣơng trình (3) Vậy hệ có nghiệm : x ; y   1;2 …………… BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giải phƣơng trình sau: Bài 32x  2x  2x  1 4x   Bài 2x    2x  4x   Bài 3x+2  x   7x+5  Bài x  2x    2x  x  2016x    Bài log2  2x   log7 2x  Bài log3 ( 4x  2x  )  4x  6x +2 8x  8x +5 Bài 4x  1 16x  8x   6x 36x   Bài 16x  4x   Bài 4x  4x   2x   Bài 10 4x 3  15  x Bài 11 34x 3  6x  10 32x 2   2x     Bài 12 x  4x   x  4x  x  |  x  2x   Bài 13 x  15x  78x  141  2x  Bài 14 x  3x  4x   3x  2 3x  51 GV: Nguyễn Thị Lệ Thanh – THPT Tam Dương Giải bất phƣơng trình sau: 2x    x  Bài Bài 2x   2x    2x Bài 8x  12x  12x   8x  12x Bài 4x  1 16x  8x   6x 36x     Bài 4x  4x  2x   8x  24x  30x  14 x   x  4x    x  x Bài Bài log3 4x  2x  12  2x   4x  2x  12  2x Bài 53-5x 10  x  10x  48  2x  Bài 48-5x  x  10x  38  2x  Bài 10 2x   2x    2x Giải hệ phƣơng trình sau:     x  3x  y  3y 8x  6x  y  3y    Bài 1.a,  b,  1   x  y6  x  y         2y  3 x   x  x Bài    4y  2x  2xy  5x   4y       8x  6x  y  9y   Bài    2x   y      2x+ 4x  4x  5=3y+1+ 9y    Bài  2  4x -y -6x+3y-2=0      2x  4x  2y  4y  =2   Bài   864x  x  16y      52   Chuyên đề bồi dưỡng ơn thi THPT Quốc gia mơn Tốn   8x  6x  2y(4y  3)   Bài   2y(4y  1)  2x  4y  2x         32x  2xy  y  y   Bài   6x   y       3   x  xy  y  y  y y    1  Bài     4x  y  4+ y  1  3=4      x  2x  y   x y  1   Bài   y  4x   ln y  2x     Bài 10 Tìm giá trị thực m để hệ phƣơng trình có nghiệm thực   x  9x  29x  33  y  2y     y    y   x  x  m          53 GV: Nguyễn Thị Lệ Thanh – THPT Tam Dương KẾT LUẬN Trên phần trình bày nội dung chun đề tơi, chun đề dùng cho học sinh lớp 12 ôn thi đại học Chuyên đề tập chung vào chủ yếu tốn PT, HPT thƣờng xun có mặt đề thi ĐH,CĐ HSG hàng năm.Từ cho học sinh thấy đƣợc ứng dụng đa dạng tuyệt vời tính đơn điệu hàm số mà vấn đề SGK chƣa đƣợc đề cập đến Hàm số có nhiều ứng dụng quan trọng nhƣng khuôn khổ đề tài nêu ứng dụng sử dụng tính đơn điệu hàm số việc giải phƣơng trình, bất phƣơng trình, hệ phƣơng trình Đề tài nêu đƣợc phƣơng pháp chung cho dạng nhƣ minh họa toán cụ thể, đồng thời đƣa cho dạng số tập với mức độ khác Chuyên đề đƣợc áp dụng giảng dạy lớp 12A1, 12A2 trƣờng THPT Tam Dƣơng khoảng năm gần đậy Sau áp du ̣ng phƣơng pháp sƣ̉ du ̣ng tin ́ h đơn điê ̣u của hàm số vào giải phƣơng trình , bấ t phƣơng trình , ̣ phƣơng trình nhâ ̣n thấ y học sinh miǹ h khơng lúng túng giải qú t bài toán nhiều em đạt điểm thi tối đa cho nội dung Tuy nhiên thời gian có hạn, nên chun để tơi hạn chế khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận đƣợc đóng góp rút kinh nghiệm thầy để đề tài thực tài liệu có ích cho em học sinh q trình học tốn nhƣ ôn thi vào trƣờng Đại học Tôi xin chân thành cảm ơn! 54 Chuyên đề bồi dưỡng ôn thi THPT Quốc gia môn Toán TÀI LIỆU THAM KHẢO SGK ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH LỚP 12 CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ CỦA TRẦN PHƢƠNG ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC CỦA BỘ GD&ĐT CÁC DẠNG TỐN ĐIỂN HÌNH GIẢI TÍCH 55 ... nghiệm giải số tốn phƣơng trình, bất phƣơng trình, hệ phƣơng trình nên tơi lựa chọn chuyên đề: "Giải phƣơng trình, bất phƣơng trình, hệ phƣơng trình phƣơng pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số " ...  Hƣớng dẫn giải Nhận xét: Ta giải hệ phương pháp đưa dạng tích Tuy nhiên ta muốn giải hệ phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số Hàm số f (t )  t  3t khơng đơn điệu tồn trục số, nhờ có (2)... Tam Dương II, Bất phƣơng trình Dạng Bất phƣơng trình dạng: f (x )  c; 1.1 Phƣơng pháp giải: + Tìm điều kiện xác định tập xác định bất phƣơng trình + Nhận thấy vế phƣơng trình hàm số đồng biến