MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN DẠNG TOÁN XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Trong các đề thi THPTQG mấy năm gần đây (kể từ khi môn Toán thi trắc nghiệm) đã xuất hiện khá nhiều các bài toán về hàm ẩn. Lớp bài toán hàm ẩn khá rộng nhưng trong chuyên đề này tôi chỉ nghiên cứu một phần nhỏ về sự biến thiên của hàm ẩn. Trước hết giúp bản thân hệ thống được các dạng cơ bản của bài toán xét tính đồng biến nghịch biến, qua đó phục vụ tốt hơn cho tác giảng dạy, nâng cao trình độ chuyên môn. Vì vậy tôi viết chuyên đề: “MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN DẠNG TOÁN XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ” với mục đích trao đổi, học tập kinh nghiệm để công tác bồi dưỡng học sinh ôn thi THPT quốc gia ngày càng đạt hiệu quả hơn, đáp ứng yêu cầu đổi mới giáo dục.
================================================================= Phần 1: MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong đề thi THPTQG năm gần (kể từ mơn Tốn thi trắc nghiệm) xuất nhiều toán hàm ẩn Lớp toán hàm ẩn rộng chuyên đề nghiên cứu phần nhỏ biến thiên hàm ẩn Trước hết giúp thân hệ thống dạng toán xét tính đồng biến nghịch biến, qua phục vụ tốt cho tác giảng dạy, nâng cao trình độ chun mơn Vì tơi viết chun đề: “MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN DẠNG TOÁN XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ” với mục đích trao đổi, học tập kinh nghiệm để công tác bồi dưỡng học sinh ôn thi THPT quốc gia ngày đạt hiệu hơn, đáp ứng yêu cầu đổi giáo dục MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tơi viết chun đề với mục đích thân có tài liệu phục vụ công tác giảng dạy mong muốn cung cấp cho thầy, giáo có thêm tài liệu tham khảo Các em học sinh THPT tài liệu học tập, tra cứu thông dụng có hiệu giải tốn tính đồng biến nghịch biến hàm ẩn ĐỐI TƯỢNG ÁP DỤNG Chuyên đề áp dụng cho học sinh khối 12 ôn thi THPT Quốc Gia PHẠM VI NGHIÊN CỨU Chương I chương trình Giải Tích 12 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 5.1 Nghiên cứu lí luận Phân tích nội dung chương I phần Giải Tích 12 Nghiên cứu kỹ dạng toán đồng biến, nghịch biến tài liệu lý luận, sách tham khảo đề thi năm gần 5.2 Thực hành rút kinh nghiệm Thông qua buổi dạy, trao đổi kinh nghiệm giảng dạy với đồng nghiệp khảo sát học sinh qua kiểm tra để rút kinh nghiệm CẤU TRÚC CHUYÊN ĐỀ Nội dung chuyên đề chia làm hai phần: - Cơ sở lý thuyết - Các dạng tập THỜI LƯỢNG DỰ KIẾN Số tiết dự kiến dạy chuyên đề: tiết PHẦN II NỘI DUNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ================================================================= 1.1.Tính đơn điệu hàm số 1.1.1 Định nghĩa: Gọi K khoảng hàm số f x Hàm số Hàm số a;b � � a;b� a;b , a;b� đoạn � �hoặc nửa khoảng � � xác định K y f x y f x x1,x2 �K : x1 x2 � f x1 f x2 đồng biến (tăng) K x ,x �K : x1 x2 � f x1 f x2 nghịch biến(giảm) K : Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi hàm số đơn điệu K 1.1.2 Các định lí: Định lí 1: Cho hàm số y f x có đạo hàm a;b Nếu f� x 0,x� a;b hàm số f x đồng biến a;b Nếu f� x 0,x� a;b hàm số f x nghịch biến a;b Định lí 2: (Điều kiện cần đủ để hàm số đơn điệu K ) Cho hàm số y f x Hàm số f x f� x có đạo hàm Hàm số f x a;b � f � x �0,x� a;b đồng biến có hữu hạn nghiệm thuộc phương trình a;b nghịch biến f� x a;b a;b ۣ ۣ �f � x 0, x a;b phương trình có hữu hạn nghiệm thuộc (Chú ý: Dấu xảy điểm “rời nhau”) a;b Định lí 3: (Điều kiện cần đủ để hàm số đơn điệu K ) Nếu hàm f x đồng biến(hoặc nghịch biến) khoảng a;b f x liên tục � a;b f x nửa đoạn � đồng biến(hoặc nghịch biến) nửa đoạn � a;b � Nếu hàm f x nửa đoạn đồng biến(hoặc nghịch biến) khoảng a;b� � f x a;b f x liên tục đồng biến(hoặc nghịch biến) nửa đoạn a;b� � ================================================================= Nếu hàm f x đồng biến(hoặc nghịch biến) khoảng đoạn � �thì 1.2 Đạo hàm hàm hợp � a;b� f x a;b f x liên tục � a;b� đồng biến(hoặc nghịch biến) đoạn � � 1.2.1 Hàm số hợp Cho hàm số y f ( x) có tập xác định X , tập giá trị T hàm số y g (u ) có tập xác định Y chứa tập T Khi với giá trị x �X ta có giá trị xác định y cho g Khi y g (u ) g ( f ( x)) ta nói y hàm số h theo biến số x với h( x ) g ( f ( x)) Hàm số h( x ) gọi hàm số hợp hàm số f g theo thứ tự 1.2.2 Đạo hàm hàm số hợp u f ( x) � � Cho hàm số y g ( f ( x)) Đặt �y f (u ) yx ' y 'u u 'x CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng Xác định khoảng đơn điệu hàm số y f ( x) dựa vào bảng biến thiên đồ thị hàm f '( x) Dạng Xác định khoảng đơn điệu hàm y f (u ( x)) dựa vào đồ thị hàm f '( x ) bảng xét dấu hàm f '( x) Dạng Xác định khoảng đơn điệu hàm y f ( x) g ( x) dựa vào đồ thị hàm y f '( x) bảng xét dấu hàm f '( x) 2.1 XÁC ĐỊNH ĐƯỢC KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ y f ( x) DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN HOẶC ĐỒ THỊ CỦA HÀM f '( x) Phương pháp giải Cho đồ thị f '( x) , hỏi tính đơn điệu hàm y f ( x) Tìm nghiệm f '( x ) (hoành độ giao điểm với trục hoành); Xét dấu f '( x) (phần Ox mang dấu dương; phần Ox mang dấu âm); Lập bảng biến thiên hàm số y f ( x) , suy kết tương ứng Bài 2.1.1 Cho hàm số y f� x f x có đạo hàm liên tục � có đồ thị hàm hình vẽ Mệnh đề sai? ================================================================= A Hàm số f x nghịch biến B Hàm số f x đồng biến C Hàm số f x nghịch biến D Hàm số f x đồng biến 1;0 1; � �; 2; � Lời giải Từ đồ thị y f� x ta thấy f� x �0, x � �; 2 (Phần đồ thị ứng với f� x 0, x � 2; � x � �; 2 (Phần đồ thị ứng với nằm phía Ox ) x � 2; � nằm phía Ox ) Từ suy mệnh đề A, C, D B sai Cách khác: Để thuận lợi cho số tập phía sau xin đưa môt cách giải khác x 1 � f� x � � x (Trong x 1 nghiệm kép) � Dựa vào đồ thị có Chọn f '( x ) x 1 x 2 Bảng biến thiên x � f '( x ) - -1 - � + f ( x) f (2) Từ bảng biến thiên ta chọn đáp án B Bình luận: Khi quan sát đồ thị hàm số làm hấp tấp em học sinh nhầm tính đồng biến-nghịch biến hàm số y f ( x) với tính đồng biến nghịch biến hàm số y f '( x) giáo viên nên lập bảng biến thiên để học sinh TRÁNH NHẦM LẪN Với toán cho đồ thị hàm y f '( x) Phần đồ thị nằm phía trục y f x hoành ứng với f '( x) hàm đồng biến; phần đồ thị phía trục y f x hồnh ứng với f '( x) hàm số nghịch biến ================================================================= Bài 2.1.2 Cho hàm số có đạo hàm liên tục � có đồ thị hàm số đường cong hình bên Mệnh đề đúng? f x A Hàm số f x nghịch biến khoảng B Hàm số f x đồng biến khoảng 1; C Hàm số f x đồng biến khoảng 2;1 D Hàm số f x nghịch biến khoảng f� x 1;1 0; Lời giải f '( x) � x � �; 2 � 0; Từ đồ thị hàm y f '( x ) ta có f '( x) � x � 2; � 2; � Ta có bảng biến thiên x � f '( x) - -2 + 0 - � + f ( x) Từ bảng biến thiên ta chọn đáp án D Bài 2.1.3 Cho hàm số y f ( x) có bảng xét dấu đạo hàm sau � x f '( x) + -2 - -1 + - � + Hàm số y 2 f ( x) 2019 nghịch biến khoảng khoảng đây? A (1; 2) B ( 2; 1) C (2; 4) D (4; 2) Lời giải Tính đạo hàm y ' 2 f '( x) Hàm số y 2 f ( x) 2019 nghịch biến 2 f '( x) � f '( x) Căn vào bảng biến thiên ta thấy f '( x ) � x � �; 2 � 1; � 4; � Vậy ta chọn đáp án A 2.2 XÁC ĐỊNH ĐƯỢC KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ y f (u ( x)) DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM f '( x) Phương pháp giải Cho đồ thị hàm số y f '( x) hỏi tính đơn điệu hàm hợp y f (u ) ================================================================= Đọc đồ thị hàm số y f '( x ) đề cho xác định f '( x) � x � f '( x) � x � Suy f '(u ) � u � f '(u ) � u � Tính đạo hàm y '( x) u '( x) f '(u ) ; Giải bất phương trình f '(u ).u '( x) � (Quan sát đồ thị suy miền nghiệm); Lập bảng biến thiên y f (u ) , suy kết tương ứng (Có thể thay bước giải phương trình f '(u ).u '( x) dựa vào bảng biến thiên đồ thị hàm f '( x) cho để xét dấu trực tiếp biểu thức y ' ) Bài 2.2.1 (THPTQG-2019, Mã đề 101) Cho hàm số f ( x) có bảng xét dấu f '( x) hình bên x � -3 -1 f '( x) + Hàm số y f (3 x) nghịch biến khoảng A (4; �) - B (2;1) � + C (2; 4) D (1; 2) Lời giải 3 x � f '( x) � � x 1 � Bước Từ bảng biến thiên cho ta x 3 � f '( x) � � 1 x � Bước Tính đạo hàm hàm y ' (2) f '(3 x) Bước Giải bất phương trình y ' � ( 2) f '(3 x) � f '(3 x) x 3 x3 � � �� �� 1 x x 1 � � Bước Lập bảng biến thiên x y' � - + - � + y Kết luận từ bảng biến thiên suy đáp án B (2;1) Cách khác: Bạn đọc xem thêm cách giải khác thú vị sau ================================================================= Bước Dựa vào bảng biến thiên có x 3 � � f� x � �x 1 � x 1 � (các nghiệm phương trình nghiệm bội lẻ f '( x ) đổi dấu liên tiếp qua môc x 1, x 2, x ) Chọn f� x x 3 x 1 x 1 Bước Tính đạo hàm hàm y ' (2) f '(3 x) � g� x 2 x 3 x 1 x 1 2(6 x)(4 x)(2 x) x3 � � � g� x � �x � x 1 � Bảng xét dấu g� x � x � g '( x ) - + g ( x) Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y f (3 x) nghịch biến khoảng (2;1) Bình luận: Ví dụ cho bảng biên thiên hay cho đồ thị hàm f '( x ) có cách giải Từ bảng biến thiên từ đồ thị suy miền âm hay dương hàm f '( x) để từ suy miền âm hay dương f '(u ) ( x ) � đồ thị hàm số Bài 2.2.2 Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm f � y' f � ( x) hình vẽ Hàm số g x f ( x x 1) đồng biến khoảng đây? A �;1 B 1; � C 0; D 1;0 Lời giải Bước Từ đồ thị hàm số f '( x) ta thấy f '( x) �0 x f '( x) � x ================================================================= Bước Ta có: Bước g ' x (2 x 2) f '( x x 1) x Tìm f '( x x 1) �0 � x x �2 � x x �0 cho � 1 �x �3 Bước Lập bảng biến thiên � x -1 2x + f '( x x 1) � - 0 + + - + - + + g '( x ) g ( x) Dựa vào bảng biến thiên ta chọn đáp án D 1;0 Cách x 1 � f� x � � x (Trong x 1 nghiệm kép) � Bước Dựa vào đồ thị có Chọn f '( x ) x 1 x 2 Bước Tinh đạo hàm g ' x (2 x 2) f '( x x 1) (2 x 2) x x 1 x x2 x Cho x 1 � � x0 � g '( x) � � x2 � x 1 � � x3 � x 2 x 2x 2 x 3 (Trong có x 0; x nghiệm kép) Bước Lập bảng biến thiên x g '( x) � - -1 + 0 + g ( x) Dựa vào bảng biến thiên ta chọn đáp án D 1;0 - - � + ================================================================= Bình luận: Căn vào đồ thị hàm số y f '( x) có dạng đồ thị hàm đa thức bậc cắt trục hoành điểm x tiếp xúc điểm x 1 nên ta chọn hàm f '( x) x 1 x Khi hàm số y g '( x ) f '( x x 1) hàm đa thức ta xét dấu dựa vào quy tắc xét dấu hàm dạng tích thương đa thức Bài 2.2.3 Cho hàm số Hàm số A g( x) = f ( - �;- 1- ( y = f ( x) ) x2 + 2x + ) 2 Đồ thị hàm số y= f � ( x) hình bên nghịch biến khoảng khoảng sau ? B ( - �;1) C ( 1;2 ) 2- D (2 ) - 1;+� Lời giải NX: x x 0, x � x =- � � f� x =1 ( x) = � � � x=3 � Bước Dựa vào đồ thị, suy Bước Tính đạo hàm g� ( x) = x +1 x + 2x + ( ) f � x2 + 2x + ; Bước Giải phương trình � x +1= � g� �����++=�=-0 � ( x) == f � x2 + 2x + = � � ( ) theo thi f '( x) � x = - ( nghiem boi ba) � � x 2 � � � x = - 1+ 2 � � x +1= � � �x 2x � �x2 + 2x + = � Lập bảng biến thiên x x 1 f '( x x 2) g '( x ) � + - 1 1 2 � 1 2 0 - - + + + - + ================================================================= g ( x) ta chọn A ( - �;- 1- ) 2 Bình luận: g( x) = f ( ) x2 + 2x + Với có chứa nên ta chọn cách giải thứ cách giải thứ giải nhiều bất phương trình chứa phức tạp Hàm f '( x x 2) khơng phải hàm dạng tích thương đa thức làm để xét dấu biểu thức khoảng cụ thể? Cách xét dấu - 1;- 1+ 2) sau: Ví dụ xét khoảng ( dựa vào đồ thị f� ( x) ta thấy x = �( 1;3) ta chọn x = ( ) Khi f � < g� ( 0) = g� ( x) ( ) f � x - Đặt t = 1- x , bất phương trình trở thành f� ( t) >- t Kẻ đường thẳng y=- x cắt đồ thị hàm số f '( x) ba điểm x = - 3; x =- 1; x = Quan sát đồ thị ta thấy � � � t - t � � � � � 1< t < � 1< 1- x < � - 2< x < � Đối chiếu đáp án ta chọn B 23 bất phương trình ================================================================= KẾT LUẬN Đề tài này, tơi trình bày số vấn đề sau: Phân loại cách giải số tốn xét tính đồng biến nghịch biến hàm ẩn Các ví dụ minh họa phương pháp giải dạng toán đặc biệt kĩ thuật q trình tính toán, xét dấu biểu thức đạo hàm dựa vào bảng biến thiên Đưa hệ thống tập tham khảo tính đồng biến nghịch biến hàm ẩn dựa vào đồ thị đạo hàm Đề tài nhằm cung cấp cho giáo viên em học sinh tài liệu tham khảo chủ đề tính đồng biến nghịch biến hàm ẩn Đề tài giúp học sinh có nhìn sâu sắc chủ đề này, giúp cho việc học chủ đề hình học giải tích mặt phẳng, vốn chủ đề khó trở nên dễ dàng Đối với trường trung học phổ thông Tam Đảo 2, đề tài đã, góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy mơn Tốn, nâng cao chất lượng thi học sinh giỏi chất lượng thi tuyển sinh đại học, cao đẳng KIẾN NGHỊ Đối với giáo viên: Không ngừng đầu tư vào chuyên môn, nghiệp vụ sư phạm Không ngừng nghiên cứu đổi nâng cao chất lượng giảng dạy Cần có quan tâm ý đến khả nhận thức đối tượng học sinh để đưa phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng Giúp học sinh có hứng thú học tập mơn Tốn nói riêng mơn học nhà trường nói chung Đối với nhà trường tổ chuyên môn: Trong buổi họp tổ nên tổ chức giao lưu chuyên đề giáo viên tổ, giúp giải tốn khó, vấn đề nảy sinh trình giảng dạy Xa nữa, tổ chức buổi giao lưu chuyên đề với số trường có chất lượng giảng dạy tốt tỉnh tỉnh bạn giúp cho giáo viên tổ có hội học hỏi kinh nghiệm đồng nghiệp, giúp nâng cao chất lượng dạy học trường trung học phổ thông Tam Đảo Trên số kinh nghiệm thân đúc kết q trình giảng dạy, chắn vần cịn mang tính chủ quan thân khơng thể tránh khỏi sai sót Các vấn đề tơi đưa mong góp ý nhiệt tình quý thầy cô, đặc biệt em học sinh để đề tài tơi ngày hồn thiện áp dụng thiết thực vào trình dạy học 24 ... g ( f ( x)) ta nói y hàm số h theo biến số x với h( x ) g ( f ( x)) Hàm số h( x ) gọi hàm số hợp hàm số f g theo thứ tự 1.2.2 Đạo hàm hàm số hợp u f ( x) � � Cho hàm số y g ( f ( x)) Đặt... x ) bảng xét dấu hàm f '( x) Dạng Xác định khoảng đơn điệu hàm y f ( x) g ( x) dựa vào đồ thị hàm y f '( x) bảng xét dấu hàm f '( x) 2.1 XÁC ĐỊNH ĐƯỢC KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ y f... 'x CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng Xác định khoảng đơn điệu hàm số y f ( x) dựa vào bảng biến thiên đồ thị hàm f '( x) Dạng Xác định khoảng đơn điệu hàm y f (u ( x)) dựa vào đồ thị hàm f '(