Một số bài toán về khoảng cách trong không gian

Trong chương trình toán THPT bài toán về khoảng cách trong không gian giữ một vai trò quan trọng, nó xuất hiện ở hầu hết các đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng; đề thi học sinh giỏi, các đề thi tốt nghiệp, đề thi THPTQG trong những năm gần đây. Đây là phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có tư duy sâu sắc, có trí tưởng tượng hình không gian phong phú nên đối với học sinh đại trà, đây là mảng kiến thức khó và thường để mất điểm trong các kì thi nói trên. Với mong muốn cung cấp cho các em học sinh phương pháp giải một số bài toán về tính khoảng cách trong hình học không gian nên tôi đã lựa chọn đề tài: “Một số bài toán về khoảng cách trong không gian”. Hi vọng đề tài sẽ cung cấp cho học sinh những kiến thức bổ ích và cũng là tài liệu tham khảo tốt cho bạn bè, đồng nghiệp.

PHẦN MỞ ĐẦU Trong chương trình tốn THPT tốn khoảng cách khơng gian giữ vai trị quan trọng, xuất hầu hết đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng; đề thi học sinh giỏi, đề thi tốt nghiệp, đề thi THPTQG năm gần Đây phần kiến thức địi hỏi học sinh phải có tư sâu sắc, có trí tưởng tượng hình khơng gian phong phú nên học sinh đại trà, mảng kiến thức khó thường để điểm kì thi nói Với mong muốn cung cấp cho em học sinh phương pháp giải số tốn tính khoảng cách hình học khơng gian nên lựa chọn đề tài: “Một số tốn khoảng cách khơng gian” Hi vọng đề tài cung cấp cho học sinh kiến thức bổ ích tài liệu tham khảo tốt cho bạn bè, đồng nghiệp PHẦN NỘI DUNG A CƠ SỞ LÍ THUYẾT Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho điểm M đường thẳng ∆ Gọi H hình chiếu M ∆ Khi độ dài đoạn thẳng MH gọi khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ Kí hiệu d(M , D) H ∆ A M d ( M , D ) = MH ³ MA với điểm A Ỵ D * Nhận xét: Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ ta Việc dựng hình chiếu điểm đường thẳng khơng gian, ta làm theo cách sau: + Dựng mặt phẳng qua điểm đường thẳng cho Rồi mặt phẳng qua điểm cho dựng đoạn vng góc từ điểm tới đường thẳng + Dựng mặt phẳng qua điểm cho vng góc với đường thẳng, lúc giao điểm đường thẳng với mặt phẳng vừa dựng hình chiếu điểm đường thẳng Tính tốn: Sau xác định khoảng cách cần tính, ta dùng hệ thức lượng tam giác, đa giác, đường trịn, … để tính toán Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cho điểm M mặt phẳng (α) Gọi H hình chiếu M (α) Khi độ dài đoạn thẳng MH gọi khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) Kí hiệu d(M ,(a)) 2 M N H α ( ) d M ,( a ) = MH ³ MN với điểm N Ỵ D * Nhận xét: Để tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) ta sử dụng cách sau: Cách Tính trực tiếp Xác định hình chiếu H M (α) tính MH * Phương pháp chung - Dựng mặt phẳng (P) chứa M vng góc với (α) - Tìm giao tuyến ∆ (P) (α) Kẻ MH ⊥ ∆ ( H Ỵ D ) Khi d(M ,(a )) = MH (β) M H (α) * Đặc biệt: + Trong hình chóp đều, chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm đáy + Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy chân đường vng góc hạ từ đỉnh thuộc giao tuyến mặt bên với đáy + Hình chóp có mặt vng góc với đáy đường cao giao tuyến hai mặt + Hình chóp có cạnh bên (hoặc tạo với đáy góc nhau) chân đường cao tâm đường trịn ngoại tiếp đáy + Hình chóp có mặt bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm đường trịn nội tiếp đáy Cách Sử dụng công thức thể tích 3V V = S.h Û h = S Theo cách này, để tính Thể tích khối chóp khoảng cách từ đỉnh hình chóp đến mặt đáy, ta tính V S Cách Sử dụng phép trượt đỉnh 3 Ý tưởng phương pháp là: cách trượt đỉnh M đường thẳng đến vị trí thuận lợi M ' , ta quy việc tính d(M ,(a)) việc tính d(M ',(a)) Ta thường sử dụng kết sau: Kết Nếu đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (α) M, N ∈ ∆ d(M ,(a )) = d(N ,(a)) M N M' N' (α) Kết Nếu đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (α) điểm I M, N ∈ ∆ (M, N d(M ,(a)) MI = d ( N ,( a )) NI khơng trùng với I) M N I () * Đặc biệt, I trung điểm MN d(M ,(a )) = d(N ,(a)) Chú ý: - Nếu hình chóp S.ABC có SA ^ (ABC ) ta xác định khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC) sau: AK ^ BC , AH ^ SK + Dựng (hình vẽ) BC ^ SA, BC ^ AK + Khi Þ BC ^ ( SAK ) Þ BC ^ AH AH ^ ( SBC ) mà AH ^ SK nên Do ( ) d A,( SBC ) = AH 4 - Nếu tốn u cầu tính khoảng cách từ điểm M điểm A (chân đường cao từ S) thi ta sử dụng Kết để quy tính khoảng cách từ điểm A Cách Sử dụng tính chất tứ diện vng Cơ sở phương pháp tính chất sau: Giả sử OABC tứ diện vuông O (OA ^ OB,OB ^ OC ,OC ^ OA ) H hình chiếu O mặt phẳng (ABC) Khi đường cao OH tính cơng thức 1 1 = + + OH OA2 OB OC _O _A _C _H _B Cách Sử dụng phương pháp tọa độ Cơ sở phương pháp ta cần chọn hệ tọa độ thích hợp sau sử dụng cơng thức sau: d(M ,(a)) = Ax0 + By0 +Cz0 + D A + B +C với M (x0;y0;z0) , (a) : Ax + By +Cz + D = uuur r é ù êMA, uú d(M , D) = ë r û r u với ∆ đường thẳng qua A có vectơ phương u r ur uuur é ù u ê , u 'ú.AA ' d(D, D ') = ë r ûur é ù êu, u 'ú ë û với D, D ' đường thẳng qua A, A ' có vtcp r ur u, u ' Khoảng đường thẳng mặt phẳng song song 5 Cho đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (α) Khoảng cách đường thẳng ∆ mặt phẳng (α) khoảng cách từ điểm ∆ đến mặt phẳng (α) Kí hiệu d(D,(a )) M H α ( d(D,(a )) = d M ,( a ) ) với M Ỵ D * Nhận xét: Việc tính khoảng cách từ đường thẳng ∆ đến mặt phẳng (α) quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách hai mặt phẳng song song Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Kí hiệu d((a ),(b)) M N α β H K * Nhận xét: Việc tính khoảng cách hai mặt phẳng song song quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo a b Đường thẳng ∆ cắt a b đồng thời vng góc với a b gọi đường vng góc chung a b Đường vng góc chung ∆ cắt a H cắt b K độ dài đoạn thẳng HK gọi khoảng cách hai đường thẳng chéo a b Kí hiệu d(a,b) 6 H a b K Đoạn HK xác định gọi đoạn thẳng vng góc chung hai đường thẳng chéo a b * Nhận xét: Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo a b ta làm sau: + Tìm H K từ suy d(a,b) = HK + Tìm mặt phẳng (P) chứa a song song với b Khi d(a,b) = d(b,(P )) + Tìm cặp mặt phẳng song song (P), (Q) chứa a b Khi d(a,b) = d((P ),(Q)) + Sử dụng phương pháp tọa độ * Đặc biệt: - Nếu a ^ b ta tìm mặt phẳng (P) chứa a vng góc với b, ta tìm giao điểm I (P) với b Trong mp(P), hạ đường cao IH Khi d(a,b) = IH Nếu tứ diện ABCD có AC = BD, AD = BC đoạn thẳng nối hai trung điểm AB CD đoạn vng góc chung AB CD * Cách dựng đường vng góc chung hai đường thẳng chéo nhau: + Cách 1: Giả sử a, b hai đường thẳng chéo a ^ b - b a B A α ( a ) chứa a vng góc với b B - Dựng mặt phẳng - Dựng BA ^ a A 7 Đoạn AB đoạn vng góc chung a b + Cách 2: Cho a b chéo M B b a α - Dựng ( a) b' A M' chứa a song song với b MM ' ^ ( a ) - Chọn điểm M b dựng M’ - Từ M’ dựng b’ // b cắt a A - Từ A dựng AB // MM’ cắt b B - Đoạn AB đoạn vng góc chung a b + Cách 3: Cho a b chéo b a A B b' O α - Dựng mặt phẳng ( a) ^ a O, ( a ) H I cắt b I - Dựng hình chiếu vng góc b’ b ( a) ( a ) đường OH ^ b' - Dựng mặt phẳng - Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b điểm B - Từ B dựng đường thẳng song song với OH, cắt a A Đoạn AB đoạn vng góc chung a b 8 B CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ I Phương pháp tính trực tiếp Ví dụ Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác tâm O, cạnh a, hình chiếu C’ mp(ABC) trùng với tâm đáy Cạnh bên CC’ hợp với mp(ABC) góc 60 Gọi I trung điểm AB Tính khoảng cách: a) Từ điểm O đến đường thẳng CC’ b) Khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng IC’ Hướng dẫn: Theo giả thiết, suy ra: C 'O ^ ( ABC ) , suy ra: OC hình chiếu CC ' lên (ABC ) · Þ CC ',( ABC ) = C· 'CO Þ C· 'CO = 60o ( ) Trong mp(C’CO) dựng OH ^ CC' H ta được: d ( O,CC ') = OH Xét D COH Þ OH = OC sin30o = a a d ( O,CC ') = Suy ra: b) Trong mp(C’IC) dựng CK ^ IC' K ta được: Xét Mà D CIC ' Þ OC '.CI = CK IC ' Þ CK = d ( C , IC ') = CK OC '.CI IC ' a a2 13a2 2 2 OC ' = OC tan60 = a;CI = ;IC ' = IO +OC ' = +a = 12 12 o d (C , IC ') = CK = 3a 13 13 Nên Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) SA = a Gọi E trung điểm cạnh CD Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE Hướng dẫn: 9 Vì SA ^ ABCD, mặt phẳng (ABCD) dựng AH ^ BE H SH ^ BE (định lí đường vng góc) Tức khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE đoạn SH Ta có: a2 SD ABE = AB.EF = = AH BE 2 Mà BE = BC +CE = a2 + a2 a = a2 2a AH = = , BE Nên mà VSAH vuông A, nên: SH = SA + AH = a2 + 4a2 3a 3a = d ( S, BE ) = 5 Vậy Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, tâm O, SA ^ (ABCD), SA = a Gọi I trung điểm SC M trung điểm AB Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng CM Hướng dẫn: Do IO ⊥ (ABCD) nên dựng OK ⊥ CM (K ∈CM) IK ⊥ CM Tức là: d (I, CM) = IK a2 IK = OI + OK = +OK Mà 2 SD OMC = OK MC Do ổ a2 a2 a2 ữ ỗ ữ 2ỗ ữ ỗ ữ ỗ 2SD OMC a è ø Þ OK = = = MC a2 a + d ( I ,CM ) = IK = a2 a2 a 30 + = 20 10 Vậy Ví dụ Hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A, BC = 2a, · ABC = 60o Gọi M trung điểm cạnh BC SA = SC = SM = a Tính khoảng cách từ S đến cạnh AB? Hướng dẫn: 10 10 Cho hình chóp S.ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S lên (ABC) H nằm AB cho AH = 2HB Góc SC (ABC) 60 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng SA BC theo a Hướng dẫn: · Ta có SCH góc SC (ABC), suy · SCH = 60o Gọi D trung điểm cạnh AB Ta có: a a a HD = , CD = , HC = HD +CD = a 21 SH = HC tan60o = a3 VS.ABC = SH SD ABC = 12 Kẻ Ax // BC Gọi N K hình chiếu H Ax SN Ta có BC // 3 BA = HA Þ d ( SA, BC ) = d B,( SAN ) = d H ,( SAN ) 2 (SAN) ( Mặt khác Do Vậy ( ) Ax ^ ( SHN ) Þ Ax ^ HK ( ) HK ^ ( SAN ) Þ d H ,( SAN ) = HK AH = ) Ta có: 2a a SH HN a 42 , HN = AH sin60o = , HK = = 3 12 SH + HN d ( SA, BC ) = a 42 28 28 BA = HA Nhận xét: Do xác định hình chiếu H d B,( SAN ) mp(SAN) (Ta thường chọn chân đường cao) nên ta tính qua d H ,( SAN ) ( ( ) ) Ví dụ 24 (Đề thi ĐH khối B - 2011) Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD hình chữ nhật AB = a, AD = a Hình chiếu vng góc điểm A1 mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC BD, góc hai mặt phẳng (ADD1A1) (ABCD) 600 Tính thể tích khối lăng trụ cho khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a Phân tích Do B1C // (A1BD) nên ta trượt đỉnh B1 vị trí thuận lợi C quy d B1;( A1BD ) B1 C1 việc tính thành tính d C ;( A1BD ) ( ) ( ) Hướng dẫn: * Gọi O giao điểm AC BD Þ AO ^ ( ABCD ) A1 Gọi E trung điểm AD Þ OE ^ AD & A1E ^ AD D1 B C K · EO = 600 Þ A O H A · EO = a AO = OE tan A 1 ; D E SABCD = a2 Vlt = AO SABCD = 3a3 ( ): * Tính d B1;( A1BD ) Cách 1: Do B1C // (A1BD) Hạ ( ) ( Þ d B1;( A1BD ) = d C ;( A1BD ) CH ^ BD Þ CH ^ ( A1BD ) ( ) Þ d C ;( A1BD ) = CH = ) CB CD CB +CD = a 29 29 Cách 2: ( ) ( ) ( ) d B1;( A1BD ) = d C ;( A1BD ) = d A;( A1BD ) = 3VA ABD SA BD 1 a3 1 a a2 VA ABD = Vlt = SD A BD = AO BD = × × a = 4; 2 2 Trong ú: a3 3ì =a ị d B1;( A1BD ) = a2 Ví dụ 25 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O có cạnh a, SA = a vng góc với mặt phẳng (ABCD) ( ) a) Tính khoảng cách từ O đến (SBC) b) Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến (SAC) ( ) d O,( SBC ) OA Ç ( SBC ) = C Phân tích: Do , nên thay việc tính ta tính d A,( SBC ) d G,( SAC ) , tương tự ta quy việc tính thơng qua d E ,( SAC ) d B,( SAC ) việc tính hay Hướng dẫn: ( ) ( ( a) Ta có: ) ( OA Ç ( SBC ) = C ) ) nên: ( ) = OC = AC d ( A,( SBC ) ) Û d (O,( SBC ) ) = d ( A,( SBC ) ) d O,( SBC ) S Gọi H hình chiếu A SB ta có: ìï AH ^ SB ï Þ AH ^ ( SBC ) í ïï AH ^ BC ỵ Trong tam giác vng SAB có: G H A D F E B O C 1 a Þ d O,( SBC ) = d A,( SBC ) = AH = 2 ( ) ( ) 30 30 b) Gọi E trung điểm AB, G trọng tâm tam giác SAB EG Ç ( SAB ) = S Do nên d G,( SAC ) GS 2 = = Û d G ,( SAC ) = d E ,( SAC ) ES 3 d E ,( SAC ) ( ( ) ) ( ) ( ) ìï BO ^ AC ï Þ BO ^ ( SAC ) ;BE Ç ( SAC ) = A í ïï BO ^ SA Ta có: ỵ 1 a Þ d E ,( SAC ) = d B,( SAC ) = BO = 2 a a Þ d G,( SAC ) = × = IV Phương pháp sử dụng tính chất tứ diện vng Định nghĩa Tứ diện vng tứ diện có A đỉnh mà ba góc phẳng đỉnh góc vng Tính chất Giả sử OABC tứ diện vuông O (OA ^ OB,OB ^ OC ,OC ^ OA ) H hình chiếu O mặt phẳng (ABC) O Khi đường cao OH tính cơng thức ( ) ( ) ( ) H C D B 1 1 = + + OH OA OB OC Chứng minh: Giả sử AH Ç BC = D , OH ^ (ABC ) Þ OH ^ BC (1) OA ^ OB,OA ^ OC Þ OA ^ BC (2) Từ (1) (2) suy BC ^ OD Trong tam giác vng OAD OBC ta có 1 1 1 = + , = + OH OA2 OD OD OB OC 1 1 = + + OA OB OC Vì OH Mục tiêu phương pháp sử dụng phép trượt để quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng việc tính khoảng cách từ đỉnh tam diện vng đến mặt huyền áp dụng tính chất 31 31 Ví dụ 26 Cho lăng trụ ABC A 'B 'C ' có tất cạnh a Gọi M, N trung điểm AA ' BB ' Tính khoảng cách B 'M CN Phân tích: Để tính khoảng cách B ' M CN ta tìm mặt phẳng chứa CN song song với B 'M , ta dùng phép trượt để quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng A' C' việc tính khoảng cách tứ diện vng Hướng dẫn: B' Gọi O, D trung điểm BC CN M OACD tứ diện vng O AMB 'N hình bình hành Þ NA / / B 'M Mặt phẳng (ACN) chứa N D CN song song với B 'M nên C A d(B 'M ,CN ) = d(B 'M ,(ACN )) = d(B ',(ACN )) O = d(B,(ACN )) = 2d(O,(ACD)) = 2h Áp dụng tính chất tứ diện vuông ta B 1 1 64 a a = + + = Û h= d(B 'M ,CN ) = 2 2 Vậy h OA OC OD 3a Ví dụ 27 Cho hình lập phương ABCD.A 'B 'C 'D ' có cạnh a Gọi M trung điểm DD ' Tính khoảng cách hai đường thẳng CM A 'D Hướng dẫn: Gọi N trung điểm BB ' A 'NCM hình bình hành nên A 'N / / CM Mặt phẳng ( A 'ND ) chứa A 'D song song với CM nên 32 32 D' A' C' B' M O G N D C A B E d(CM , A 'D ) = d(CM ,(A 'ND )) = d(M ,(A 'ND )) = d(M ,(A 'DE )) với E = AB Ç A 'N Gọi O = AD 'Ç A 'D, G = AD 'Ç AM G trọng tâm tam giác ADD ' Do d(M ,(A 'DE )) GM = = GA d(A,(A 'DE )) Tứ diện AA 'DE vng A nên 1 1 2a = + + = Þ d ( A ,( A ' DE )) = d2(A,(A 'DE )) AA '2 AD AE 4a2 a d(CM , A 'D ) = d(M ,(A 'DE )) = d(A,(A 'DE )) = Vậy V Sử dụng phương pháp tọa độ * Phương pháp: Bước 1: Chon hệ toạ độ Oxyz gắn với hình xét Bước 2: Chuyển tốn từ ngơn ngữ hình học sang ngơn ngữ toạ độ - véc tơ Bước 3: Giải toán phương pháp toạ độ, chuyển sang ngôn ngữ hình học Ví dụ 28 (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho tứ diện O.ABC có OA,OB,OC đơi vng góc với nhau,OA = a OB = OC = 2a Gọi M trung điểm BC Khoảng cách hai đường thẳng OM AB A 6a 5a C B a 2a D Hướng dẫn: 33 33 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ, A ( 0;0;a) O ( 0;0;0) B ( 2a;0;0) C ( 0;2a;0) , , , Þ M ( a;a;0) M trung điểm BC uuur uuu r uuur OM = ( a;a;0) OB = ( 0;2a;0) AB = ( 2a;0;- a) Ta có ; ; uuur uuur uuu r é ù OM , AB OB ê ú ë û Þ d AB , OM = ( ) uuur uuur uuur uuur é ù é ù OM , AB ú Þ ê OM , AB ú= - a2;a2;- 2a2 ê ë û ë û 2a3 a = = a4 + a4 + 4a4 ( ) Ví dụ 29 Cho hình chop S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a góc Aˆ = 600 đường cao SO = a Tính khoảng cách hai đường thẳng AD SB Hướng dẫn: Chọn hệ toạ độ hình vẽ 34 34 Ta có: ỉa ỉ ổ ổ a a ữ ữ ỗ ỗ a ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ Aỗ ; C ;0;0 ÷ ÷ ÷ B 0; ;0 D 0;- ;0ữ ỗ- ;0;0ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ữ ỗ ữ ữ ỗ ữ ỗ ỗ ø ø è ø è ø è è O(0;0;0), ; ; ; S(0;0;a) uuur uur uuur é ù êAD, SB úAB û d = ë uuur uu r é ù êAD,SB ú ë û Gọi d khoảng cách hai đường thẳng AD SB ta có ö uur æ uuur æ uuur æ ö a a a a ữ ữ ỗ ỗ a ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ AD = ỗ ;- ;0÷ AB = ; ;0 ÷ ÷ SB = ; ; a ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ỗ 2 ø 2 ÷ ÷ ÷ ÷ è è ø è ø Trong đó: ; ; ỉa a aữ ỗ ỗ a ổ uuur uur - ÷ ÷ a2 a2 a2 3ư ữ ữ ỗ ộ ự ỗ ỗ ữ 2 ữ ; ; =ỗ ; ; ; ữ ờAD, SB ỳ= ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ a ỷ ỗ 2 a ữ ỗ ữ ố ứ -a -a ữ ỗ ữ ç è ø 2 uuur uur é ù a 19 Þ êAD, SB ú= ë û a3 a2 19 2a 57 d= : = 19 Vậy Ví dụ 30 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh Gọi M, N, P trung điểm cạnh B’B, CD A’D’ Tính khoảng cách cặp đường thẳng A’B, B’D cặp đường thẳng PI, AC’ (I tâm đáy ABCD) Hướng dẫn: Chọn hệ tọa độ Oxyz cho gốc tọa độ A, tia Ox chứa AB, tia Oy chứa AD tia Oz chứa AA’ Khi đó: z A ( 0;0;0) , B ( 1;0;0) ,C ( 1;1;0) , D ( 0;1;0) P A' A '( 0;0;1) , B '( 1;0;1) ,C '( 1;1;1) , D '( 0;1;1) C' B' Suy uuuu r uuuur A 'B = ( 1;0;- 1) , B 'D = ( - 1;1;- 1) uuuu r uuuur é ù Þ êA 'B, B 'D ú= ( 1;2;1) ë û M D' D A I B x 35 y N C 35 uuuuu r A ' B ' = ( 1;0;0) Lại có nên uuuu r uuuur uuuuu r é ù A ' B , B ' D A ' B ' ê ú ë û d ( A ' B, B ' D ) = = uuuu r uuuur é ù êA 'B, B 'D ú ë û uur ỉ uuuur uuur ỉ ỉ1 ÷ ỉ 1 ÷ ÷ ç ç ç ÷ P ç0; ;1÷ , I ç ; ;0ữ ị IP = ỗ- ;0;1ữ , AC '( 1;1;1) , AP ỗ ỗ0; ;1ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ø è2 ø è è ø è ø Ta lại có: uur uuuur uuur é ù IP ê , AC 'ú.AP 14 û d ( PI , AC ') = ë uur uuu = ur é ù 28 êIP , AC 'ú ë û Suy Ví dụ 31 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh Một mặt phẳng ( a ) qua đường chéo B’D Tính khoảng cách hai mặt phẳng (ACD’) (A’BC’) Phân tích: Với hình lập phương ta ln chọn hệ toạ độ thích hợp, tạo độ đỉnh biết nên A N B việc tính khoảng cách hai mặt phẳng z (ACD’) (A’BC’) trở nên dễ dàng Với phần b, ta quy việc tính diện tích thiết C diện việc tính khoảng cách từ M đến D H đường thẳng DB’ y Hướng dẫn: Chọn hệ toạ độ cho gốc toạ độ A' B' O º D '( 0;0;0) x D' A '( 0;1;0) , B '( 1;1;0) ,C '( 1;0;0) , A ( 0;1;1) ,C ( 1;0;1) M ( x;0;0) ; £ x £ đoạn thẳng C’D’, tức a) Dễ dàng chứng minh (ACD’) // (A’BC’) ( ) ( Þ d ( ACD ') ,( A 'BC ') = d A ', ( ACD ') M C' Gọi M điểm ) Mặt phẳng (ACD’) có phương trình: x + y - z = 36 36 ( ) ( ) Þ d ( ACD ') ,( A 'BC ') = d A ',( ACD ') = Ví dụ 32 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA ^ ( ABCD ) , SA = a Gọi M điểm di động cạnh CD Xác định vị trí M để khoảng cách từ điểm S đến BM lớn nhất, nhỏ Hướng dẫn: Chọn hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho O º A ( 0;0;0) , B ( 1;0;0) ,C ( 1;1;0) , D ( 0;1;0) , z S S ( 0;0;1) A O M ( t;1;0) M điểm u diuurđộng CD nên với £ t £ BM = ( t - 1;1;0) uur uuur é ù SB ê , BM ú t2 - 2t + ë û d ( S, BM ) = = uuur t - 2t + +2 BM D B y C x - 2( t - 1) f '( t) = t2 - 2t + 2 f ( t) = t t + t - 2t + [0;1], Xét hàm số ( ) Ta có bảng biến thiên: t f’(t) - ¥ +¥ + + f(t) Từ bảng biến thiên ta có f ( t) = é ù ê0;1û ú ë , đạt t = 37 37 max f ( t) = é ù ê0;1û ú ë Do d ( S, MB ) d ( S, MB ) lớn , đạt t = M º C & d ( S, BM ) = M º D & d ( S, BM ) = nhỏ Ví dụ 33 (Đề thi ĐH khối D - 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ADCB hình thang vng A B BA = BC = a, AD = 2a, SA ^ ( ABCD ) , SA = a Gọi H hình chiếu vng góc A lên SB Tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( SCD ) Hướng dẫn: + Chọn hệ tọa độ hình vẽ ta có ( ) A ( 0;0;0) , B ( 0;a;0) , C ( a;a;0) , D ( 2a;0;0) , S 0;0;a r r r r uuu uuu u1 = CD = ( 1;- 1;0) , u2 = SC = 1;1;- a a rr + Ta thấy u1u2 = Û SC ^ CD hay tam giác SCD vuông C r r rù n=é SCD ) êu1;u2 û ú= 2; 2;2 ( ë + Mặt phẳng có véc tơ pháp tuyến ( ) ( ) Þ ( SCD ) : 2x + 2y + 2z - 2a = 38 38 r uur u = SB = 0;1;a + Ta có ( + Mặt phẳng ( a) ) SB Þ ( a ) : y qua A vng góc với 2z = ổ 2a a 2ử ữ ỗ ữ SB ị H = ( a ) ầ SB ị H ỗ 0; ; ữ ỗ ữ ỗ 3 ÷ è ø Vì H hình chiếu A lên ( SBC ) + Vậy khoảng cách từ H đến mặt phẳng 2.0 + ( ) d H ;( SBC ) = 2a 2a + - 2a 3 2+ 2+ a = C BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông đỉnh B , AB = a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = 2a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) 5a 5a 2a 5a A B C D Bài (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = a , BC = 2a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Khoảng cách hai đường thẳng BD , SC 21a 21a a 30 a 30 A 21 B 21 C 12 D Bài (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Cho lập phương ABCD.A ¢B ¢C ¢ D ¢ có cạnh a Khoảng cách hai đường thẳng BD A ¢C ¢bằng 3a A B 2a C 3a D a Bài (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông đỉnh B , AB = a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a ( SBC ) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng 39 39 a a a A B C D a Bài (Mã đề 101 - BGD - 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy (minh họa hình vẽ bên) Khoảng cách từ A đến mặt ( SBD ) phẳng 21a 21a 2a 21a A 14 B C D 28 Bài (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho hình chóp · S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a , BAD = 60o , SA = a SA vng góc ( SCD ) bằng? với mặt phẳng đáy Khoảng cách tứ B đến 21a 15a 21a 15a A B C D Bài (Mã 102 - BGD - 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy ( minh họa hình vẽ bên) Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) 21a 21a 2a 21a A 14 B C D 28 Bài (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 3a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng A 6a ( SBC ) B 3a C 5a D 3a Bài (Đề thi ĐH khối D – 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt · · o o phẳng đáy, BAD = 120 , M trung điểm cạnh BC SMA = 45 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC) Bài 10 (Đề thi ĐH khối D – 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB = SB = 2a 40 40 · SBC = 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a Bài 11 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD hình thoi cạnh a, tâm O, · góc BAD = 60 Các cạnh bên SA = SC; SB = SD = a a) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC) b) Tính khoảng cách đường thẳng SB AD Bài 12 Cho tứ diên OABC có OA, OB, OC đơi vng góc OA = OB = OC = Gọi M, N theo thứ tự trung điểm cạnh AB,OA Tính khoảng cách hai đường thẳng OM CN Bài 13 (Đề thi ĐH khối A - 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 60o Tính thể tích khối chóp S.BCNM khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a Bài 14 (Đề thi ĐH khối D - 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA' = a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' khoảng cách hai đường thẳng AM, B'C Bài 15 (Đề thi ĐH khối D - 2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A’C’, I giao điểm AM A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ A điểm đến mặt phẳng (IBC) Bài 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh a, góc · BAD = 600 , có SO vng góc mặt phẳng (ABCD) SO = a a) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC) Bài 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA vng góc với mp(ABCD), SA= a Gọi G trọng tâm tam giác SAB Tính khoảng cách từ G đến mp(SAC) Bài 18 Cho hình lăng trụ đứng ABC A1B1C có tất cạnh a M trung điểm đoạn AA1 Chứng minh BM ^ B1C tính khoảng cách hai đường thẳng BM B1C 41 41 Bài 19 (Đề thi thử ĐH-2012-THPT chuyên Hạ Long) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết khoảng cách hai đường thẳng SC AB a Bài 20 (Đề thi thử ĐH - 2012 -THPT Nguyễn Đức Cảnh -Thái Bình) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B với AB=BC=a, AD=2a, mặt phẳng (SAC) (SBD) vuông góc với mặt đáy Biết góc tạo (SAB) (ABCD) 60 Tính thể tích khối chóp khoảng cách hai đường thẳng SB CD theo a Bài 21 (Đề thi thử ĐH-2013-THPT Ngô Gia Tự - Bắc Ninh) Cho hình chóp S.ABCD có SA = a SA vng góc với mặt đáy Biết ABCD thang vuông A B, AB=a, BC=2a SC vng góc với BD Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng AB SM theo a với M trung điểm BC Bài 22 (Đề thi thử ĐH khối D 2014 -Vĩnh phúc) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B, AB = a, BC = a, AD = 2a Đường thẳng SA vng góc mặt phẳng (ABCD), góc o mp(SCD) mp(ABCD) 60 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (SCD) 42 42 ... Việc tính khoảng cách từ đường thẳng ∆ đến mặt phẳng (α) quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách hai mặt phẳng song song Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm... khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) Kí hiệu d(M ,(a)) 2 M N H α ( ) d M ,( a ) = MH ³ MN với điểm N Ỵ D * Nhận xét: Để tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) ta sử dụng cách sau: Cách. .. hiệu d((a ),(b)) M N α β H K * Nhận xét: Việc tính khoảng cách hai mặt phẳng song song quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo