Trong những năm gần đây, bài thi THPT môn Toán đã chuyển từ tự luận chuyển sang trắc nghiệm. Với việc thay đổi hình thức thi đòi hỏi học sinh phải nắm chắc kiến thức cơ bản. Bên cạnh đó, khi đứng trước một bài toán, người học cũng cần có những cách giải nhanh nhất có thể. Đó là điều băn khoăn không chỉ của người học mà còn cả người dạy. Nó đòi hỏi người dạy luôn trau dồi, tìm tòi và khai thác các cách giải nhanh nhất nhằm định hướng cho học sinh cách làm tối ưu nhất có thể. Với mong muốn ấy, tôi không ngừng học hỏi, tìm tòi các phương án giải khác nhau để có thể tìm được cách giải tốt nhất khi đứng trước một bài toán. Cực trị của hàm số là bài toán thường gặp trong các kì thi THPT. Chuyên đề được viết với mong muốn có thể cung cấp cho các em một số bài toán cực trị thường gặp. Tôi hi vọng chuyên đề này sẽ đem đến cho các em nhiều điều bổ ích, trang bị cho các em kiến thức để chuẩn bị cho kỳ thi THPT được tốt hơn, hiệu quả hơn. Chuyên đề được viết theo cấu trúc: + Phân loại theo chủ đề + Các ví dụ minh họa có lời giải + Các bài tập tương tự để học sinh luyện tập. Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong khi biên soạn, nhưng thiếu sót là điều không thể tránh khỏi. Do đó tôi chân thành đón nhận sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp, các em học sinh để chuyên đề được tốt hơn, hoàn thiện hơn.
Chuyên đề: Một số toán cực trị hàm số BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Chuyên đề: Một số tốn cực trị hàm số LỜI NĨI ĐẦU Trong năm gần đây, thi THPT môn Toán chuyển từ tự luận chuyển sang trắc nghiệm Với việc thay đổi hình thức thi địi hỏi học sinh phải nắm kiến thức Bên cạnh đó, đứng trước tốn, người học cần có cách giải nhanh Đó điều băn khoăn không người học mà cịn người dạy Nó địi hỏi người dạy ln trau dồi, tìm tịi khai thác cách giải nhanh nhằm định hướng cho học sinh cách làm tối ưu Với mong muốn ấy, tơi khơng ngừng học hỏi, tìm tịi phương án giải khác để tìm cách giải tốt đứng trước toán Cực trị hàm số tốn thường gặp kì thi THPT Chuyên đề viết với mong muốn cung cấp cho em số toán cực trị thường gặp Tôi hi vọng chuyên đề đem đến cho em nhiều điều bổ ích, trang bị cho em kiến thức để chuẩn bị cho kỳ thi THPT tốt hơn, hiệu Chuyên đề viết theo cấu trúc: + Phân loại theo chủ đề + Các ví dụ minh họa có lời giải + Các tập tương tự để học sinh luyện tập Mặc dù có nhiều cố gắng biên soạn, thiếu sót điều khơng thể tránh khỏi Do tơi chân thành đón nhận đóng góp ý kiến bạn đồng nghiệp, em học sinh để chuyên đề tốt hơn, hoàn thiện Trân trọng! Trang Chuyên đề: Một số toán cực trị hàm số PHỤ LỤC PHẦN I: TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa y = f ( x) (a; b) a +∞ −∞ b Cho hàm số xác định liên tục khoảng (có thể ; ) x0 ∈ (a; b) điểm • Nếu tồn số h>0 f ( x ) < f ( x0 ) cho x ∈ ( x0 − h; x0 + h) với x ≠ x0 ta x0 y = f ( x) nói hàm số • đạt cực đại f ( x ) > f ( x0 ) x ∈ ( x0 − h; x0 + h) x ≠ x0 h>0 Nếu tồn số cho với ta x0 y = f ( x) nói hàm số đạt cực tiểu * Chú ý x0 y = f ( x) • Nếu hàm số đạt cực đại (cực tiểu) x0 gọi điểm cực đại (điểm f ( x0 ) cực tiểu) hàm số; gọi giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) hàm số, kí Trang Chun đề: Một số tốn cực trị hàm số fCÑ ( f CT ) hiệu • M ( x0 ; f ( x0 )) , điểm gọi điểm cực đại (điểm cực tiểu) đồ thị hàm số Các điểm cực đại cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) gọi cực đại (cực tiểu) gọi chung cực trị hàm số Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị x0 y = f ( x) * Định lí 1: Giả sử hàm số đạt cực trị điểm Khi hàm số x0 y = f ( x) f ′( x0 ) = có đạo hàm Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị K = ( x0 − h; x0 + h) y = f ( x) * Định lí 2: Giả sử hàm số liên tục có đạo hàm K K \{x0 } h>0 , với f '( x) > ( x0 − h; x0 ) ( x0 ; x0 + h) x0 f '( x) < +) Nếu khoảng y = f ( x) điểm cực đại hàm số ′ f ( x) < ( x0 − h; x0 ) ( x0 ; x0 + h) x0 f ′( x ) > +) Nếu khoảng y = f ( x) điểm cực tiểu hàm số Minh họa bảng biến thiến * Chú ý Trang Chuyên đề: Một số toán cực trị hàm số f ( x0 ) y = f ( x) Giá trị cực đại (cực tiểu) hàm số nói chung khơng phải giá trị lớn y = f ( x) (nhỏ nhất) hàm số tập xác định Hàm số đạt cực trị điểm mà đạo hàm hàm số hàm số khơng có đạo hàm Ngược lại, đạo hàm 0 x0 điểm hàm số x0 không đạt cực trị điểm K = ( x0 − h; x0 + h) y = f ( x) Định lí 3: Giả sử hàm số h>0 Nếu có đạo hàm cấp hai khoảng Khi đó: f ′ ( x0 ) = 0, f ′′ ( x0 ) > f ′ ( x0 ) = 0, f ′′ ( x0 ) < Nếu với x0 điểm cực tiểu x0 điểm cực đại QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ a) Quy tắc Bước Tìm tập xác định hàm số f ′( x) Bước Tính f ′( x) Tìm điểm f ′( x) khơng xác định Bước Lập bảng biến thiên Bước Từ bảng biến thiên suy điểm cực trị b) Quy tắc Bước Tìm tập xác định hàm số f ′( x) = f ′( x) Bước Tính Giải phương trình xi ( i = 1, 2,3, ) ký hiệu nghiệm f ′′ ( x ) Bước Tính f ′′ ( xi ) f ′′ ( xi ) Bước Dựa vào dấu xi suy tính chất cực trị điểm Trang Chuyên đề: Một số toán cực trị hàm số PHẦN II: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ y = f ( x) DẠNG TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ THEO QUY TẮC Phương pháp Sử dụng quy tắc tìm cực trị hàm số Ví dụ Hàm số y = x − x + có điểm cực trị? A B C D Lời giải x = y′ = ⇔ y′ = x − x = x x − x = ±1 Bảng biến thiên: ( ) Từ bảng biến thiên suy hàm số cho có điểm cực trị Ví dụ Nhận xét: Hàm số y = x − x + hàm trùng phương có a.b < nên có điểm cực trị x0 y = x - x +1 Tìm điểm cực đại hàm số x =2 x =1 x =- x =3 A B C D Lời giải éx = y ¢= 3x - = Û ê ê y ¢= 3x - ëx =- , Bảng biến thiên Suy ra, hàm số đạt cực đại Ví dụ Hàm số x0 = - − 2x − x + có cực trị? A B y= C Lời giải Tập xác định: D = ¡ \ { 2} Trang D Chuyên đề: Một số toán cực trị hàm số y′ = −3 ⇔ ⇔ x − x + < −1 ⇔ x < ⇔ 2 x − < 0 < x < x < x < f '( x − x + 1) < 0 < x < 2 −1 < x − x + < Do ta có bảng biến thiên: Trang 76 Chuyên đề: Một số toán cực trị hàm số Từ bảng biến thiên ta suy hàm số Ví dụ Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm y = f ( x − x + 1) + 2019 f ′( x) ¡ có cực trị Đồ thị hàm số y = f ( x) hình vẽ Đồ thị hàm số A C 2 y = ( f ( x) ) điểm cực đại, điểm cực đại, 2 có điểm cực đại, cực tiểu? điểm cực tiểu B điểm cực tiểu D điểm cực tiểu, điểm cực đại, 3 điểm cực đại điểm cực tiểu Lời giải Từ đồ thị ta có: Và f '( x) = Ta có: f ( x) = có nghiệm đơn có nghiệm đơn ; bội x =1 nghiệm kép x = x1 ∈ (0;1) x = x2 ∈ (1;3) y = ( f ( x) ) ⇒ y ' = f '( x) f ( x) x = 0; x = có nghiệm đơn Ta có bảng xét dấu sau: Trang 77 x =1 x =1 x = 0; x = 3; x1 ; x2 nghiệm Chuyên đề: Một số toán cực trị hàm số Vậy đồ thị hàm số có Ví dụ Cho hàm số y = f ( x) điểm cực đại, có đạo hàm Số điểm cực tiểu hàm số A ¡ điểm cực tiểu Đồ thị hàm số hình vẽ bên g ( x ) = f ( x + ) + ( x + 1) ( x + 3) B C D Lời giải Ta có g′ ( x ) = f ′ ( x + 2) + 2x + g ′ ( x ) = ⇔ f ′ ( x + 2) = − ( x + 2) Đặt ( 1) t = x+2 ta f ′ ( t ) = −t ( 1) phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị (hình vẽ) Trang 78 f ′( t ) đường thẳng d : y = −t Chuyên đề: Một số toán cực trị hàm số Dựa vào đồ thị ta có f ′ ( t ) = −t f ′( t ) đường thẳng t = −1 t = ⇔ t = t = hay Bảng biến thiên hàm số x = −3 x = −2 x = −1 x = g ( x) y = −t ta có Vậy đồ thị hàm số có điểm cực tiểu Bài tập trắc nghiệm Câu Cho hàm số y = f ( x) liên tục Biết hàm số ¡ Số điểm cực tiểu hàm số A Câu B Cho hàm số y = f ( x) y = f '( x) y = g ( x ) = f ( − x2 ) C liên tục ¡ Biết hàm số Trang 79 có bảng xét dấu sau y = f '( x) D có bảng xét dấu sau Chuyên đề: Một số toán cực trị hàm số Số điểm cực trị hàm số A Câu Cho hàm số B y = f ( x) Hàm số C xác định liên tục y = g ( x) = f ( x − x − ) A B Câu Cho hàm số ( y = g ( x) = f x + x +1 y = f ( x) ) D có bảng xét dấu đạo hàm sau: ¡ có điểm cực tiểu? C có đạo hàm liên tục ¡ D có bảng biến thiên đạo hàm hình vẽ Đặt Tìm số điểm cực trị hàm số x +1 g ( x) = f ÷ x A Câu Cho hàm số y = f ( x) B C có đạo hàm liên tục ¡ y = g ( x) D có bảng biến thiên đạo hàm hình vẽ Trang 80 Chuyên đề: Một số toán cực trị hàm số Đặt x + 2x g ( x) = f ÷ x +1 Tìm số điểm cực trị hàm số A Câu Cho hàm số B y = f ( x) x có bảng xét dấu −∞ C 10 f '( x) − Câu Cho hàm số y = f ( x) + + Hàm số B 15 ¡ A B Câu Cho hàm số có bảng biến thiên sau: y = f ( x) Số cực trị hàm số để g ( x ) = f ( x2 − x − m ) D 21 bảng xét dấu đạo hàm y = f ( − x + x − 6) + x − 3x − 12 x [ −10;10] − C 20 có đạo hàm liên tục +∞ Có giá trị nguyên tham số m thuộc có điểm cực trị? A 10 D sau −1 f '( x) y = g ( x) g ( x) = f (2 x + x) có tất điểm cực tiểu? C D C D A B y = f ( x) Câu Cho hàm số có bảng biến thiên sau Trang 81 Chuyên đề: Một số toán cực trị hàm số Số điểm cực tiểu hàm số A Câu 10 Cho hàm số B y = f ( x) y = f ′( x) g ( x) = f (x + 3x ) C có đạo hàm thỏa ¡ f ( ) = f ( −2 ) = y −1 O Số điểm cực trị hàm số Câu 11 Cho hàm số y = f ( x) Hỏi hàm số A Câu 12 Cho hàm số D đồ thị hàm số có dạng hình vẽ bên −2 A B x 2018 C D có bảng biến thiên y = f ( − x ) y = f ( x) y = ( f ( x − 1) ) B có đạo hàm Biết hàm số Hỏi hàm số y = f ( x) y= f (x có điểm cực trị? ¡ C có bảng xét dấu f ′( x) D sau hàm đa thức có đồ thị cắt trục hoành điểm − 2x) có nhiều điểm cực tiểu? Trang 82 Chuyên đề: Một số toán cực trị hàm số A Câu 13 Cho hàm y = f ( x) B C xác định liên tục ¡ thỏa mãn D f (1) f (2) < bảng xét dấu f '( x ) Hỏi hàm số A Câu 14 Cho y = f ( x) g ( x) = f ( x − 2019) B C hàm số xác định có đạo hàm y = f ′( − 2x ) Hỏi hàm số Câu 15 A Cho có cực trị? sau: y = f ( x) y = f ( x) ¡ D Biết bảng xác dấu có điểm cực đại B xác định có đạo hàm ¡ C D Biết bảng xét dấu y= f′ ( ) x sau Tìm số điểm cực trị hàm số Câu 16 A Cho hàm số y = f ( x) B liên tục g ( x ) = f ( x ) + x3 − 3x − x + A y = f ( x) C ¡ có D Hỏi hàm số f ' ( x ) = ( x + 1) ( x − x − ) có điểm cực trị? B C Câu 17 (THPTQG – Mã 118 năm 2019) Cho hàm số biến thiên đạo hàm hình vẽ x −∞ −1 y = f ( x) Trang 83 có đạo hàm liên tục +∞ D ¡ có bảng Chuyên đề: Một số toán cực trị hàm số f '( x) +∞ +∞ −1 −3 Số điểm cực trị hàm số A y = f ( x2 + 2x ) B C D PHẦN III KẾT LUẬN Muốn học có hiệu địi hỏi người giáo viên phải đổi phương pháp dạy học tức kiểu dạy học “Lấy học sinh làm trung tâm” hướng tập trung vào học sinh, sở hoạt động em Muốn em học trước hết giáo viên phải nắm nội dung lựa chọn, vận dụng phương pháp cho phù hợp Hiển nhiên, người giáo viên muốn dạy tốt phải trải qua q trình tự rèn luyện, phấn đấu khơng ngừng có Tuy nhiên, việc đúc kết kinh nghiệm thân người qua tiết dạy giúp cho có kinh nghiệm vững vàng Do thời gian có hạn tơi viết tập chung vào vấn đề nhỏ chương trình tốn lớp 12 đồng thời đưa số tập để học sinh tự vận dụng Chuyên đề triển khai trình dạy học lớp 12A1 trường THPT Tam Dương Sau thực chuyên đề, thấy em hào hứng tự tin trước toán cực trị hàm số Trong trình viết chun đề, tơi khơng tránh khỏi sai sót hạn chế định Với mục đích khắc sâu kiến thức cho học sinh nâng cao chất lượng dạy học nhà trường, mong báo, góp ý đồng nghiệp em học sinh để chuyên đề hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Trang 84 Chuyên đề: Một số toán cực trị hàm số ĐÁP ÁN PHẦN TRẮC NGHIỆM DẠNG 1 10 11 B 12 D 13 C 14 B 15 B 16 A 17 A 18 C 19 C 20 C 21 D 22 B D B A D D DẠNG B C C A C 12 C C C 10 A 11 C 12 C 13 B 14 A 15 C 16 B A C C A A A A DẠNG A C C D C 10 A A 11 B C 13 A D 14 D B 15 B DẠNG A D A C C 10 B 11 B 12 B 13 A 14 A C D B DẠNG D A A A DẠNG C C 10 B 11 A D C A A D D A A A D A C C 10 11 12 13 14 15 16 17 18 B A C A A B C D D 19 A 20 A 21 D 22 B 23 D DẠNG 24 D 25 C 26 D 27 A Trang 85 13 B Chuyên đề: Một số toán cực trị hàm số 10 11 12 B 13 A 14 D 15 B 16 A 17 A 18 A 19 D 20 C 21 B 22 D 23 D 24 B 25 D D 26 B C 27 B D 28 B D 29 B B 30 C C 31 B B 32 C C 33 D A 34 C D C DẠNG 8 10 11 D 12 D 13 D 14 A 15 B 16 D 17 D 18 D 19 A 20 D 21 C B C C B B C DẠNG A D A D D 10 D 11 B 12 C 13 D 14 A 15 D 16 C 17 B A C D C C D D B MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT CHUYÊN ĐỀ Chủ đề Cực trị hàm số NB TH ĐỀ BÀI y = f ( x) Câu 1: Cho hàm số Mệnh đề sau sai có đồ thị hình vẽ bên A Hàm số đạt cực đại x =1 x=3 B Hàm số đạt cực tiểu C Hàm số có giá trị cực đại D Hàm số có giá trị cực tiểu y = f ( x) Câu 2: Cho hàm số liên tục khoảng K y = f ′( x) Hàm số hình vẽ bên Hỏi khoảng trị? A C K có đồ thị khoảng K hàm số y = f ( x) có điểm cực B D Trang 86 VD VDC Chuyên đề: Một số toán cực trị hàm số f ' ( x ) = x ( x − 1) ( x − 1) f ( x) Câu 3: Cho hàm số A có B C y = f ( x) Câu 4: Hàm số tiểu? A C Số điểm cực tiểu hàm số cho D với đồ thị hình vẽ có điểm cực B D x3 y= − x + mx − 3 Câu 5: Tìm m để hàm số đạt cực trị x = A m = B m = C m = -4 D m < 4 y = − x + (2m − 6) x + Câu 6: Tìm số số tự nhiên m để hàm số có điểm cực trị A.1 B.2 C.3 D.4 Bài Cho hàm số y = f(x) liên tục R hàm g ( x) = f ( x) − số f’(x) có đồ thị hình vẽ đặt Hàm số g(x) đạt cực đại điểm A x = B x = C x = a D x = x2 y = x − x3 − 12 x + m − Câu 8: Tìm số số nguyên m để hàm số A.5 B.26 C.31 y = mx3 − x + mx + Câu 9: Gọi S tập số tự nhiên m để hàm số tử S A.4 B.5 có điểm cực trị D.4 có cực trị Tính số phần C.9 D.Vô số y = x − 3x Câu 10: Số điểm cực trị hàm số A B Đáp án 1C 2D 3B 4C C 5D 6D D 7B 8D 9B KẾT QUẢ KHẢO SÁT CHUYÊN ĐỀ Điểm Số lượng 21 Trang 87 12 10 10D ... chất cực trị điểm Trang Chuyên đề: Một số toán cực trị hàm số PHẦN II: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ y = f ( x) DẠNG TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ THEO QUY TẮC Phương pháp Sử dụng quy tắc tìm cực. .. Mệnh đề A Hàm số cho có hai điểm cực trị B Hàm số cho khơng có giá trị cực đại C Hàm số cho có điểm cực trị D Hàm số cho khơng có giá trị cực tiểu Trang Chuyên đề: Một số toán cực trị hàm số y =... Cho hàm số Mệnh đề sau sai? A B ∀m ≠ ∀m < ∀m > hàm số có cực đại cực tiểu; hàm số có hai điểm cực trị; C hàm số có cực trị; D Hàm số ln có cực đại cực tiểu y = x3 − mx + Câu Hàm số A có cực trị