MỘT SỐ BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Tương giao của hai đồ thị hàm số là một trong các bài toán cơ bản của chương trình Giải tích 12. Bài toán này thường xuyên xuất hiện trong các đề thi TN, ĐH, CĐ THPT Quốc Gia trong những năm gần đây. Lớp bài toán tương giao rất rộng nhưng theo xu hướng ra đề của một số năm gần đây tôi chỉ nghiên cứu một mảng nhỏ. Trước hết giúp bản thân hệ thống được các dạng cơ bản của bài toán tương giao, qua đó phục vụ tốt hơn cho tác giảng dạy, nâng cao trình độ chuyên môn. Vì vậy tôi viết chuyên đề: “MỘT SỐ BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ” với mục đích trao đổi, học tập kinh nghiệm để công tác bồi dưỡng học sinh ôn thi THPT quốc gia ngày càng đạt hiệu quả hơn, đáp ứng yêu cầu đổi mới giáo dục.

SỞ GD&ĐT

TRƯỜNG THPT

==========

CHUYÊN ĐỀ CHUYÊN MÔN

MỘT SỐ BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO

CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Người thực hiện:

Tổ chuyên môn:

Phần 1: MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.

Tương giao của hai đồ thị hàm số là một trong các bài toán cơ bản của chươngtrình Giải tích 12 Bài toán này thường xuyên xuất hiện trong các đề thi TN, ĐH, CĐTHPT Quốc Gia trong những năm gần đây Lớp bài toán tương giao rất rộng nhưngtheo xu hướng ra đề của một số năm gần đây tôi chỉ nghiên cứu một mảng nhỏ Trướchết giúp bản thân hệ thống được các dạng cơ bản của bài toán tương giao, qua đóphục vụ tốt hơn cho tác giảng dạy, nâng cao trình độ chuyên môn Vì vậy tôi viết

chuyên đề: “MỘT SỐ BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ” với

mục đích trao đổi, học tập kinh nghiệm để công tác bồi dưỡng học sinh ôn thi THPTquốc gia ngày càng đạt hiệu quả hơn, đáp ứng yêu cầu đổi mới giáo dục

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Tôi viết chuyên đề này với mục đích bản thân có một cuốn tài liệu phục vụcông tác giảng dạy và mong muốn cung cấp cho các thầy, cô giáo có thêm một tàiliệu tham khảo Các em học sinh THPT một tài liệu học tập, tra cứu thông dụng và cóhiệu quả khi giải bài toán tương giao hai đồ thị

3 ĐỐI TƯỢNG ÁP DỤNG.

Chuyên đề áp dụng cho học sinh khối 12 ôn thi THPT Quốc Gia

4 PHẠM VI NGHIÊN CỨU.

Chương I của chương trình Giải Tích 12

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.

5.1 Nghiên cứu lí luận.

Phân tích nội dung chương I phần Giải Tích 12 Nghiên cứu kỹ các dạng bài

toán tương giao trong các tài liệu lý luận, sách tham khảo và trong các đề thi trong

những năm gần đây

5.2 Thực hành và rút kinh nghiệm.

Thông qua các buổi dạy, trao đổi kinh nghiệm giảng dạy với các đồng nghiệp

và khảo sát học sinh qua các bài kiểm tra để rút kinh nghiệm

6 CẤU TRÚC CHUYÊN ĐỀ.

Nội dung của chuyên đề được chia làm hai phần:

- Cơ sở lý thuyết

- Các dạng bài tập

7 THỜI LƯỢNG DỰ KIẾN

Số tiết dự kiến dạy chuyên đề: 8 tiết

Phần 2 NỘI DUNG

I CƠ SỞ LÝ THUYẾT.

1 – Phương trình bậc hai.

Cho phương trình bậc hai ax2 bx c 0 (a �0)

a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi ∆ > 0 (hoặc ∆’ > 0)

b) Phương trình có hai nghiệm thoả mãn x 1 < x 2 < 0 khi

000

P S

P S

2 - Định lí Vi-et cho phương trình bậc hai.

Nếu phương trình : ax2bx c 0 (a � có hai nghiệm x0) 1 ; x 2 thì

a) Cho cấp số nhân (un) với công bội q Khi đó ta có u n k .u n k  u k2

b) Cho cấp số nhân x 1 ; x 2 ; x 3 Khi đó ta có x 1 x 3 = x 2 2

5 - Tương giao của hai đồ thị.

Cho hàm số y  f x  có đồ thị (C), hàm số y g x   có đồ thị (C’) Để xét sự

tương giao của hai đồ thị

+ Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’): f x  g x     (1) + Dựa vào số nghiệm của phương trình (1)  số giao điểm của (C) và (C’)+ Nghiệm của phương trình (1) chính là hoành độ của giao điểm của hai đồ thị hàm số

6- Cách vẽ đồ thị có chứa dấu trị tuyệt đối.

6.1 - Từ đồ thị ( ) :C y f x( )�( ) :C1 y f x( )

B1 Ta có : 1

( ) khi f(x) 0 (1)( ) : ( )

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox ( do (1) )

+ Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox ( do (2) )

+ Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox ta sẽ được (C1)

6.2- Từ đồ thị ( ) :C y f x( )�( ) :C2 y  f x( ) (đây là hàm số chẵn)

B1 Ta có : 2

( ) khi x 0 (1)( ) : ( )

B2 Từ đồ thị (C) đã vẽ ta có thể suy ra đồ thị (C2) như sau:

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục Oy ( do (1) )

+ Lấy đối xứng qua Oy phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục Oy

đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox

Bước 3: Dựa vào số giao điểm của (C) và (dm) suy ra số nghiệm của phương trình

b) Số nghiệm của phương trình trên

bằng số giao điểm của đồ thị hàm số

� � phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Nếu -1< m <1 phương trình có 3 nghiệm phân biệt

Ví dụ 2: Cho hàm số

4 2

1 2

4

x

a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: x4 8x2 4m0

Dựa vào đồ thị ta có

Nếu m + 1 > 5 hay m > 4 phương trình vô nghiệm

Nếu m +1 = 5 hay m = 4 phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Nếu 1< m + 1< 5 hay 0 < m < 4 phương trình có 4 nghiệm phân biệt

Nếu m +1 = 1 hay m = 0 phương trình có 3 nghiệm phân biệt

Nếu m + 1 < 1 hay m < 0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt

y x  x  tại 4 điểm phân biệt

Khi đó điều kiện là 1  m 1 5�2 m 6

Ví dụ 4: Cho hàm số y   x3 3x2  1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Tìm m để phương trình x3 3x2  m3 3m2 có ba nghiệm phân biệt.

y

x O

x O

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :

m

x x

Do đó số nghiệm của phương trình bằng số

giao điểm của yx2 2x2 x1 , ( ')C và

+ Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng x1.

+ Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng x  qua trục Ox.1

Dựa vào đồ thị ta có:

vô nghiệm 2 nghiệm kép 4 nghiệm phân biệt 2 nghiệm phân biệt

Ví dụ 6: Cho hàm số y x 4 5x2  có đồ thị (C).4

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Tìm m để phương trình x4 5x2  4 log12m có 6 nghiệm.

Giải:

y

1

1+ 3 1- 3

y = m

x O

+ Bỏ phần đồ thị của (C) phía dưới trục Ox.

Khi đó, dựa vào đồ thị ta có PT có 6 nghiệm

9

4 4

12

9log 12 144 12

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

Gọi (C1): y8t4 9t2  với [ 1;1]1 t� và (d): y   Phương trình (3) là phương1 m

trình hoành độ giao điểm của (C1) và (d)

Chú ý rằng (C1) giống như đồ thị (C) trong miền 1 � � x 1

Dựa vào đồ thị ta có kết luận sau:

x y x







9 4

y = log 12 m

2 1 -1

-2

y

x O

y = 1 - m

1

1 -1

y

x O

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

1.1

x

m x

x

m x

 

 bằng số giao điểm của đồ thị (C):

11

x y x

x y x

x y x

+ Lấy đối xứng qua Oy phần đồ thị (C) nằm

phía bên phải trục Oy

+ Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía bên trái trục

vô nghiệm

1.3 Bài tập tương tự

Bài 1: Cho hàm số

4

2 33

2 2

x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x4 6x2   3 m 0

Bài 2: Cho hàm số

4

2

2 14

x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Tìm m để phương trình : x4 8x2    có 4 nghiệm phân biệt.4 m 0

Bài 3: Cho hàm số y  x4 2x2  2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Tìm tham số m để phương trình: x4 2x2  2 3m có đúng 3 nghiệm 0phân biệt

y

x O

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x33x   3 m 0





 có đồ thị là (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 2 nghiệm trên đoạn

20;

sin xcos x m (sin xcos )x

Bài 9:(ĐH Khối B -2009) Cho hàm số y2x4 4x2

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Tìm m để PT

2 2 2

x x  m có 6 nghiệm thực phân biệt.

Dạng 2: Bài toán tương giao dựa vào số nghiệm phương trình hoành độ giao điểm.

Bài toán tương giao của hai đồ thị hàm số rất đa dạng nhưng trong khuôn khổ của dạng toán 2 tôi chỉ nghiên cứu một số bài toán mà quy được về phương trình bậc hai và định lý Vi – et Đó cũng là lớp bài phù hợp với xu hướng ra đề của một số năm gần đây.

2 1 Sự tương giao của đồ thị hàm số y ax3bx2 cx d

với đường thẳng 2.1.1.Bài toán tổng quát: Cho đồ thị hàm số y ax 3bx2   ( với a, b, c, d cx d phụ thuộc vào tham số) Tìm giá trị của tham số để đồ thị cắt đường thẳng y   x

(hoặc trục Ox) tại 3 điểm phân biệt thoả mãn điều kiện cho trước.

Để đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại ba điểm phân biệt thì PT g(x) = 0 có hai nghiệm

phân biệt khác x0.

Điều kiện là: 0

0( ) 0

Bước 2: Từ điều kiện cho trước ta biến đổi theo tổng và tích và từ đó dẫn đến một

phương trình hoặc bất phương trình theo tham số Giải và tìm tham số, đối chiếu với điều kiện và kết luận

Theo Định Lý Vi-et với PT (*) ta có

Kết hợp với điều kiện trên ta được giá trị cần tìm là

1

14

0

m m

90

d y mx cắt (C) tại 3 điểm O(0; 0), A, B phân biệt Chứng tỏ rằng khi m thay đổi,

trung điểm I của đoạn AB luôn nằm trên một đường thẳng song song với trục tung.

Xét PT (1) ta có: 9m2 2m    (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt9 0, m x x1, 2.

Do đó để (1) có 2 nghiệm phân biệt sao cho 1 x1 x2 �0   x1 1 x2 1(*)

Với x A 2  y A 4 PT đường thẳng d đi qua A(2; 4) có dạng: y k x (   2) 4

PT hoành độ giao điểm của (C) và d:

Tìm các giá trị của m để đường thẳng : d y   cắt đồ thị (C) tại 3 điểm x 1

A(0; 1), B, C phân biệt sao cho B, C đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất.

m m

Cho đường thẳng (d): y x   và điểm K(1; 3) Tìm các giá trị của m để (d) cắt (C4 m)

tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 8 2

Vậy

1 1372

Ta có: E(1; 0) PT đường thẳng  qua E có dạng y k x (  1)

PT hoành độ giao điểm của (C) và : (x1)(x2 2x  2 k) 0

Để  cắt (C) tại 3 điểm phân biệt thì x2 2x   có 2 nghiệm phân biệt khác 2 k 01

Ví dụ 10: Cho hàm số y x 3 3x2 mx có đồ thị là (C1 m)

Tìm m để đường thẳng : d y cắt đồ thị hàm số (C1 m) tại ba điểm phân biệt

A(0; 1), B, C sao cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (Cm) tại B và C vuông góc với

nhau

Giải:

PT hoành độ giao điểm của (Cm) và dx33x2mx 1 1� x x( 2 3x m ) 0

Để d cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C thì

Hệ số góc của tiếp tuyến tại B, C là k13x B2 6x B  , m 2

điểm phân biệt A, M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và N vuông góc với nhau.

3 2 23

k k



�

�Khi đó toạ độ các giao điểm : ( 1;0)A  ,B3 k k; 4  k  C3 k k; 4  k 

Do đó tọa độ trọng tâm OBC:

2823

G

G

x

k y

k  (thoả mãn điều kiện)

Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

Bài 2:(ĐH Khối D-2013) Cho hàm số y2x3 3mx2 m1x1

Tìm m để đường thẳng y   cắt đồ thị hàm số trên tại ba điểm phân biệt.x 1

Bài 3: Cho hàm số y 2x3 3x2  có đồ thị là (C).1

Gọi d là đườngthẳng đi qua điểm M(0;-1) và có hệ số góc bằng k Tìm k để đường

thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt

Bài 4: Cho hàm số y x 3 3x có đồ thị là (C) Gọi d là đườngthẳng đi qua 2

điểm A(3; 20) và có hệ số góc bằng m Tìm m để đường thẳng (d) cắt (C) tại ba điểm

phân biệt

Bài 5 : Tìm m để đồ thị hàm số yx1  x2 mx m  cắt trục hoành tại 3 điểm có

hoành độ dương

Bài 6: Tìm m để đồ thị hàm số y x 32m1 x2 9x cắt trục hoành tại 3 điểm

phân biệt và có hoành độ lập thành cấp số cộng

Bài 7: Cho hàm số y x 3 3x có đồ thị là (C) và đường thẳng d: 1 y mx m  3

.Tìm m để d cắt (C) tại M(–1; 3), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông

Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng d: y m x (   luôn cắt đồ thị (C)1) 2

tại một điểm M cố định và xác định các giá trị của m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt

M, N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau.

2.2 Sự tương giao của đồ thị hàm số y ax4 bx2 c

với đường thẳng y d

2.2.1 Bài toán tổng quát: Cho đồ thị hàm số y  f x( )ax4bx2 ( với a, b,c, d c

phụ thuộc vào tham số) Tìm giá trị của tham số để đồ thị cắt đường thẳng

t x t � Khi đó ta được phương trình at2   bt c d 0 (2)

Để hai đồ thị cắttại 4 điểm phân biệt khi PT (1) có 4 nghiệm phân biệt Khi đó PT(2)

có hai nghiệm dương phân biệt thoả mãn 0 t 1 t2

Điều kiện là

000

P S

Từ đó có giá trị của tham số thuộc miền D nào đó

Bước 2: Từ điều kiện cho trước ta biến đổi theo tổng và tích và từ đó dẫn đến một

phương trình hoặc bất phương trình theo tham số Giải và tìm tham số, đối chiếu với điều kiện và kết luận

Nhận xét: Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt dương (0 t 1 t2)

Ứng với mỗi giá trị dương của t ta sẽ được hai giá trị đối nhau của x tức là x � tKhi đó PT (1) có 4 nghiệm phân biệt và các nghiệm này được sắp xếp theo thứ tự

1

2

m m

m m

44;

9

m ���  ��

�

Ví dụ 4: Cho hàm số y x 4 2(m1)x2 2m có đồ thị là (C1 m)

Tìm các giá trị của m để (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt A, B, C, D có hoành

độ lần lượt là x x x x1, , ,2 3 4 (x1   x2 x3 x4) sao cho tam giác ACK có diện tích S  , 4biết (3; 2)K 

Giải:

PT hoành độ giao điểm của (Cm) với trục Ox: x4 2(m1)x2 2m  (1) 1 0

m m

ACK

(3), với ( ,d K AC) y K  2Khi đó: (3)  t1  t2   4 t1 t2 2 t t1 2  16

d phụ thuộc vào tham số thực) và đường thẳng d: y = αx + β (với α ≠ 0, α, β cũng có

thể phụ thuộc vào tham số thực) Tìm giá trị của tham số để đường thẳng d cắt đồ thị

(C) tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn một điều kiện cho trước

2.3.2 Phương pháp

Bước 1: Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d là

ĐK là

00

0

c

d g

Bước 2: Từ điều kiện cho trước ta biến đổi theo tổng và tích các nghiệm rồi thay tổng

và tích vào từ đó dẫn tới một phương trình hoặc một bất phương trình theo tham số Giải phương trình này ta được tham số sau đó đối chiếu với điều kiện và kết luận

Nhận xét: Với hai giao điểm A, B ở trên ta có thể đưa ra rất nhiều dạng bài tập có

liên quan đến yếu tố hình học giúp học sinh rèn tư duy như sau:

góc có số đo cho trước.

(Với C là 1 điểm có toạ độ cho trước)

Tất cả các cách hỏi trên đều được biến đổi và sử dụng ĐLVi-et đối với phương trình bậc hai

Để d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt khác 2

Điều kiện là

2 2

x y x

2

x x

h m

x y x





 có đồ thị là (C)Viết phương trình đường thẳng d qua điểm ( 1;1)I  và cắt đồ thị (C) tại hai điểm M, N

sao cho I là trung điểm của đoạn MN.

x x

Kết luận: Phương trình đường thẳng cần tìm là y kx k   với 01 k 

Ví dụ 4: Cho hàm số

1

x y x

x m





 có đồ thị là (C)

Tìm các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng d: y x  cắt đồ thị hàm số (C)2

tại hai điểm A và B sao cho AB2 2 .

Giải:

PT hoành độ giao điểm: 2





 có đồ thị (C)

Tìm các giá trị của tham số k sao cho đường thẳng (d): y kx 2k  cắt đồ thị (C)1

tại hai điểm phân biệt A và B sao cho các khoảng cách từ A và B đến trục hoành là

k k

x y

12

2

x x

Để OAB vuông tại O thì OA OBuuuruuur 0� x x A B x A m x  B m 0





 có đồ thị là (C)

Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng d: y x m  cắt (C) tại 2 điểm phân biệt

M, N sao cho diện tích tam giác IMN bằng 4 (I là tâm đối xứng của (C)).

Giải:

Tâm đối xứng của (C) là I(1; 2)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (C):

m m



�

�  

� (*)Gọi x x1, 2 là các nghiệm của (1) Khi đó A x( ; 31  x1m B x), ( ; 32  x2 m)

Gọi I là trung điểm của AB

m 

Ví dụ 11: Cho hàm số

32

x y x

1

x x



 có đồ thị là (C) Đường thẳng y x cắt (C) tại hai

điểm phân biệt A, B Tìm m để đường thẳng : d y x m   cắt (C) tại hai điểm C, D sao cho ABCD là hình bình hành.

x x

x

x x

Ví dụ 13: Cho hàm số

21

x y x

( 1)

x x

k  (thoả mãn).

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là

2( 1)3

y x

2.3.4 Bài tập tương tự

Bài 1: Cho hàm số

32

x y x





 có đồ thị là (C)

Tìm

m để đường thẳng : d y2x3m cắt (C) tại hai điểm phân biệt

Bài 2 : Tìm k để đường thăng  d :y kx  cắt đồ thị hàm số1  : 3 22

x m y

d y x m tại hai điểm phân biệt A, B thuộc một đường (H) cố định Đường

thẳng d cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm M, N Tìm m để SOAB 3SOMN.

 



 có đồ thị là (C)

Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y x m  luôn cắt đồ thi (C) tại hai điểm

phân biệt A, B Gọi k k1, 2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A, B Tìm

m để k1k2 đạt giá trị lớn nhất