Bài toán tương giao của hai đồ thị

Bài 19. Bài toán giao điểm của hai đồ thị Chúng ta đã dùng giao điểm của hai đồ thị để xét nghiệm của phương trình, nay ta lại làm điều ngược lại, tức là đưa bài toán xét giao điểm của hai đồ thị về bài toán xét nghiệm của phương trình. Thí dụ 1 : Chứng minh rằng với mọi giá trị của k thì đường thẳng y = x + k luôn cắt đồ thị x 2 y x 1 + = + tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm K sao cho AB ngắn nhất. Giải : Hoành độ giao điểm của đường thẳng y = x + K và đồ thị x 2 y x 1 + = + là các nghiệm của phương trình x 2 x K x 1 + = + + (*) Ta có : (*) ⇔ x + 2 = (x + 1)(x + K) (x = −1 không là nghiệm của phương trình này nên hai phương trình tương đương) ⇔ 2 x kx k 2 0+ + − = . Vì 2 2 k 4k 8 (k 2) 4 0∆ = − + = − + > với mọi K nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt tức là đường thẳng y = x + K luôn cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi các nghiệm của (*) là A x , B x . Theo định lý Vi-et ta có A B x x k+ = − ; A B x x k 2= − . Do đó 2 2 A B A B A B A B AB (x x ) (y y ) 2[(x x ) 4x x= − + − = + − = 2 2 2[K 4K 8] 2[(K 2) 4] 2 2− + = − + ≥ . Do đó AB ngắn nhất là 2 2 (đơn vị độ dài) ⇔ k = 2. Chú ý : Có thể chứng minh đường thẳng y = x + K cắt cả hai nhánh của đồ thị, với lưu ý hai nhánh của đồ thị ở hai phía tiệm cận đứng x = −1 và phương trình (*) luôn có hai nghiệm thỏa mãn A B x 1 x< − < . Thí dụ 2 : Tìm m để đường thẳng y = −x + m (d) cắt đồ thị 2 x 2x 2 y x 1 − + = − (H) tại 2 điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng y = x + 3. Hướng dẫn : Lưu ý đường thẳng (d) và đường thẳng (d') : y = x + 3 vuông góc với nhau tại I với I m 3 x 2 − = . Do đó A và B đối xứng nhau qua (d') ⇔ A B I x x 2x+ = . 1 Mặt khác A x , B x là các nghiệm của phương trình : 2 x 2x 2 x m x 1 − + = − + − ⇔ 2 2x (m 3)x m 2 0− + + + = nên A B I x x 2x+ = ⇔ m 3 m 3 2 + = − ⇔ m = 9. Với m = 9 phương trình có 2 nghiệm phân biệt nên m = 9 thỏa mãn. Thí dụ 3 : Tìm k để đồ thị 3 2 y x 3x 6x k= − − + cắt trục hoành tại 3 điểm lần lượt là A, B, C sao cho AB = BC. Giải : Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là các nghiệm của phương trình 3 2 x 3x 6x k 0− − + = (*) Điều kiện cần : Giả sử k thỏa mãn bài toán thì phương trình (*) có 3 nghiệm A B C x x x< < thỏa mãn B A C B x x x x− = − hay A C B x x 2x+ = . Khi đó : 3 2 A B C x 3x 6x k (x x )(x x )(x x )− − + = − − − với mọi x. Khai triển vế phải và đồng nhất hệ số của 2 x ở hai vế ta có A B C x x x 3+ + = ⇒ B 3x 3= ⇒ B x 1= là nghiệm của (*) ⇒ k = 8. Điều kiện đủ : Với k = 8 thì phương trình (*) trở thành 3 2 x 3x 6x 8 0− − + = ⇔ 2 (x 2)(x 5x 4) 0+ − + = có các nghiệm A B C x 2 x 1 x 4= − < = < = nên AB = BC = 3. Vậy k = 8 thỏa mãn. Chú ý : Yêu cầu bài toán tương đương với (*) có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. Bài toán : Tìm k để (*) có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân làm tương tự, khi đó 2 A C B x x x= và đồng nhất số hạng bậc 0 của hai vế và kết quả vẫn là k = 8. Thí dụ 4 : Tìm m để đồ thị : 2 y mx 2(m 2)x m 3= − + + − cắt Ox tại 2 điểm phân biệt A, B. Chứng minh rằng, khi đó A và B luôn liên hợp điều hòa với 2 điểm cố định C và D. Giải : Hoành độ của A và B là các nghiệm của : 2 mx 2(m 2)x m 3 0− + + − = (*) Đồ thị cắt Ox tại 2 điểm phân biệt A và B ⇔ (*) có 2 nghiệm phân biệt A x , B x ⇔ m 0 ' 0 ≠   ∆ >  ⇔ 4 m 0 7 − < ≠ . Lưu ý : A và B luôn liên hợp điều hòa với C và D ⇔ 2 A B C D A B C D (x x )(x x ) 2(x x x x )+ + = + với mọi giá của m vừa tìm được. Theo định lý Vi-ét thì A B 2(m 2) x x 2 4t m + + = = + ; A B m 3 x x 1 3t m − = = − (với 1 t m = ). Hệ thức trên trở thành C D C D (2 4t)(x x ) 2(1 3t x x )+ + = − + ⇔ C D C D C D t[2(x x ) 3] (x x ) x x 1 0+ + + + − − = . Từ đó C D 3 x x 2 + = − ; C D 5 x x 2 = − nên C x , D x là các nghiệm của phương trình 2 3 5 x x 0 2 2 + − = ⇔ x = 1 hoặc 5 x 2 = − . Vậy A và B luôn liên hợp điều hòa với C(1 ; 0) và 5 D ; 0 2   −     . Bài tập : 1. Tìm m để đồ thị : 4 2 y x 10x m= − + cắt Ox tại lần lượt 4 điểm có các hoành độ lập thành một cấp số cộng. 2. Tìm m để đường thẳng y = m(x − 2) cắt đồ thị 2x 4 y x 1 + = + tại 2 điểm thuộc cùng một nhánh. 3. Biện luận số giao điểm của hai đồ thị 3 y x 1= − và y = k(x − 1). 4*. Tìm hệ số góc của đường thẳng d đi qua A(1 ; 1) cắt đồ thị 3 y 4x 3= − tại 3 điểm phân biệt A, C, D. Chứng minh điểm B liên hợp điều hòa của A đối với C và D luôn nằm trên một đường cố định. Xin trao 10 tặng phẩm cho 10 bạn giải tốt bài 4*. 3 . Bài 19. Bài toán giao điểm của hai đồ thị Chúng ta đã dùng giao điểm của hai đồ thị để xét nghiệm của phương trình, nay ta lại. lại, tức là đưa bài toán xét giao điểm của hai đồ thị về bài toán xét nghiệm của phương trình. Thí dụ 1 : Chứng minh rằng với mọi giá trị của k thì đường