Kết hợp bài toán tương giao và tiếp tuyến

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ Lê quang Dũng- THPT số 2 Phù Cát, Bình Định Bài 1 : Tìm m để đường thẳng y=x+m , cắt đồ thi (C) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho các tiếp tuyến tại A,B song song với nhau . Giải : Xét phương trình hoành độ   (C) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt  (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1    x 1 ,x 2 là các hoành độ tiếp điểm A,B => tiếp tuyến tại A,B song song với nhau y’(x 1 )=y’(x 2 )  x 1 -1=1-x 2  x 1 +x 2 =2 Mà x 1 +x 2 =-m+3 nên – m+3=2  m=1  Giá trị m cần tìm là 1 Bài 2 : Tìm m để đồ thị (C) y=x 3 -3x 2 cắt đường thẳng y=mx-2m-4 tại ba điểm phân biệt , sao cho các tiếp tuyến với đồ thị (C) tại các giao điểm có hoành độ khác 2 vuông góc với nhau Giải : D=R , y’=3x 2 -6x Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) y=mx-2m-4là : x 3 -3x 2 =mx-2m-4 (1)  x 3 -3x 2 -mx+2m+4 =0  (x-2)(x 2 -x-2-m)=0  x= 2 , x 2 -x-2-m =0 (2) (C) cắt đường thẳng (d) tại 3 điểm phân biệt  (1) có hai nghiệm phân biệt  (2) có hai nghiệm phân biệt có hoành độ khác 2   Các hoành độ giao điểm x 1 ,x 2 khác 2 là nghiệm của phương trình (2) , Các tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x 1 ,x 2 vuông góc  y’(x 1 ).y’(x 2 )=-1  9x 1 x 2 (x 1 x 2 -2(x 1 +x 2 )+4)=0 Ta có x 2 +x 1 =1, x 1 x 2 =-2-m nên 9(-2-m)(-2-m-2+4)=-1  9m 2 +18m+1=0  m= (thoã mãn) Vậy giá trị m cấn tìm là m= Bài 3 : Tìm m để đường thẳng (d) y=x+m cắt đồ thị (C ) : tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tổng các hệ số góc của các tiếp tuyến tại A,B có giá trị lớn nhất . Giải : Xét phương trình hoành độ giao điểm :   (C) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt  (1) có hai nghiệm phân biệt khác   x 1 ,x 2 là các hoành độ giao điểm A,B , ta có x 1 +x 2 =-m , x 1 x 2 = => Tổng các hệ số của tiếp tuyến tại A,B là , lớn nhất  m=-1 Giá trị m =-1 là cần tìm Bài 4 : Tìm m để đường thẳng (d) y=-x+2 cắt đồ thị (C m ) tại 3 điểm phân biệt , trong đó các giao điểm có hoành độ khác 0 , cùng với điểm M(3,1) tạo thành một tam giác có diện tích bằng Giải : Phương trình hoành độ giao điểm của (C m) và (d) :  (*) (C m ) cắt (d) tại 3 điểm phân biệt  (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0  Gọi A,B là các giao điểm có hoành độ khác 0 => x A ,x B là nghiệm của (*) , x A +x B =- 2m,x A x B =3m-2 S MAB = AB.d(M,AB)= Ta có , d(M,AB)= Khi đó  m=0,m=3 . Bài 5 Tìm điểm M thuộc (C) y= x 3 -3x 2 , sao cho tiếp tiếp tuyến tại M cắt (C) tại N, sao cho MN=6 Giải : M thuộc (C) có hoành độ x 0 ,tiếp tuyến với (C) tại M có phương trình : (d) y=(3x 0 2 - 6x 0 )x-2x 0 3 +3x 0 2 Phương trình hoành độ của (C) ,(d) : x 3 -3x 2 =(3x 0 2 -6x 0 )x-2x 0 3 +3x 0 2  x 3 -3x 2 -(3x 0 2 - 6x 0 )x+2x 0 3 -3x 0 2 =0 (x-x 0 ) 2 (x+2x 0 -3)=0=> x N =3-2x 0 (x 0 khác 1) Ta có y N = y(3-2x 0 )=(3-2x 0 ) 3 -3(3-2x 0 ) 2 MN 2 =(3-3x 0 ) 2 +[(3-2x 0 ) 3 -3(3-2x 0 ) 2 - x 0 3 +3x 0 2 ] 2 =(3x 0 -3) 2 +(9x 0 3 -27x 0 2 +18x 0 ) 2 MN=3  (3x 0 -3) 2 +(9x 0 3 -27x 0 2 +18x 0 ) 2 =(6  (x 0 -1) 2 +9(x 0 -1) 2 [ (x 0 -1) 2 -1]=382  … (x 0 -1) 2 =4 x 0 =-1, x 0 =3 Có hai điểm M : (-1,-4), (3,0) Bài 6 Tìm M thuộc (C) y=sao cho tiếp tuyến (C) tại M , cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B khác M sao cho MA=3MB Giải : M thuộc (C) có hoành độ x 0 ,tiếp tuyến với (C) tại M có phương trình : (d) y=(2x 0 3 - 6x 0 )x Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) : (2x 0 3 -6x 0 )x  x 4 -6x 2 -(4x 0 3 -12x 0 )x+3x 0 4 -6x 0 2 =0  (x-x 0 ) 2 (x 2 +2x 0 x+3x 0 2 -6)=0  x=x 0 , x 2 +2x 0 x+3x 0 2 -6=0 (*) (d) cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,B khác M  (*) có hai nghiệm phân biệt khác x 0  … x 0 khác 1 , Khi đó : các hoành độ của A,B là nghiệm của (*) : x A +x B =-2x 0 , x A x B =+3x 0 2 -6 i) 3MA MB = uuur uuur => x A -x 0 =3(x B -x 0 )  x A -3x B =-2x 0 Khi đó : x B =0, x A =-2x 0 => 3x 0 2 -6=0  x 0 = (™) ii) 3MA MB = − uuur uuur => x A -x 0 =-3(x B -x 0 )  x A +3x B =4x 0 Khi đó : x B =3x 0 , x A =-5x 0 => -15x 0 2 =3x 0 2 -6 => x 0 ( ™) Tọa độ điểm M : , Bài 7 : Tìm các điểm A,B trên đồ thị (C) : 1 2 x y x − − = + sao cho tiếp tuyến với (C) tại A,B song song với nhau và AB= Giải : A,B thuộc đồ thị (C) của hàm số : A(a, ), B(b, ) ( a khác b) Ta có AB 2 == Các tiếp tuyến với (C) tai A,B song song với nhau => y’(a)=y’(b) => a+b=-4 Nên ta có : 16-4ab+=8  4-ab+ =2  4-ab + ab=3 Khi đó : a=-3,b=-1 , hoặc a=-3,b=-1 Kết quả : A(-3,-2) , B(-1,0) hoặc A(-1,0), B(-3,-2) . d(M,AB)= Khi đó  m=0,m=3 . Bài 5 Tìm điểm M thuộc (C) y= x 3 -3x 2 , sao cho tiếp tiếp tuyến tại M cắt (C) tại N, sao cho MN=6 Giải : M thuộc (C) có hoành độ x 0 ,tiếp tuyến với (C) tại M có phương. phân biệt , sao cho các tiếp tuyến với đồ thị (C) tại các giao điểm có hoành độ khác 2 vuông góc với nhau Giải : D=R , y’=3x 2 -6x Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) y=mx-2m-4là :. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ Lê quang Dũng- THPT số 2 Phù Cát, Bình Định Bài 1 : Tìm m để đường thẳng y=x+m , cắt đồ thi (C) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho các tiếp tuyến