Chuyên đề TIẾP TUYẾN (bản 1.0)...

Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Chủ đề 4: I- LÝ THUYẾT: Cho hàm số y = f ( x) , có đồ thị (C) Tiếp tuyến đồ thị (C) điểm M ( x0 ; y0 ) Ỵ (C ) : y - y0 = f / ( x0 )( x - x0 ) Lưu ý: y (*) MO + Điểm M ( x0 ; y0 ) Ỵ (C ) gọi tiếp điểm + Đường thẳng qua M ( x0 ; y0 ) có hệ số góc k , có phương trình: (C) O x y - y0 = k ( x - x0 ) + Như vậy, hệ số góc tiếp tuyến (C) M ( x0 ; y0 ) Ỵ (C ) có hệ số góc k = f / ( x0 ) Hay hoành độ tiếp điểm nghiệm phương trình: k = f / ( x ) Rõ ràng, tiếp tuyến (C) hoàn toàn xác định biết hệ số góc tiếp tuyến hồnh độ tiếp điểm Điều kiện tiếp xúc: Cho hai hàm số y = f ( x), (C) y = g ( x), (C') (C) (C’) tiếp xúc khi hệ phương trình sau có nghiệm: ì f ( x) = g ( x) í / / ỵ f ( x) = g ( x) Đặc biệt: Đường thẳng y = kx + m tiếp tuyến với y = f ( x), (C) khi hệ sau có nghiệm: ì f ( x) = kx + m í / ỵ f ( x) = k II- LUYỆN TẬP: Viết phương trình tiếp tuyến (C): y = f ( x) tiếp điểm Dạng 1: Phương pháp: Bước 1: Xác định tiếp điểm M ( x0 ; y0 ) Ỵ (C ) Tính hệ số góc k = f / ( x0 ) Bước 2: Áp dụng: y - y0 = f / ( x0 )( x - x0 ) Bài tập 1: Viết phương trình tiếp tuyến (C): y = x -1 giao điểm (C) trục tung x+2 Bài giải: TXĐ: D = R \ { -2} x -1 = Û x = x+2 Vậy giao điểm (C) Oy là: M(1;0) Giải phương trình: / ỉ x -1 = Ta cú: y = ỗ ữ ố x + ø ( x + 2) / Lúc đó, hệ số góc tiếp tuyến k = y / (1) = Vậy phương trình tiếp tuyến là: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trang Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ D: y = Luyện thi Đại học 2012 1 ( x - 1) Û y = x 3 Bài tập 1: Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) : y = - x - x + , biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng D : y = x - Bài giải: TXĐ: D = R Ta có: y / = -4 x - x Do tiếp tuyến vng góc với đường thẳng D : y = x - nên tiếp tuyến có hệ số góc -6 Do đó, hồnh độ tiếp điểm nghiệm phương trình: - x - x = -6 Û x3 + x - = éx = Û ( x - 1)(2 x + x + 3) = Û ê ë x + x + = vô nghiệm ị x =1 Suy tiếp điểm (1; 4) Vậy phương trình tiếp tuyến: y = -6( x - 1) + hay y = -6 x + 10 2x + (C) Bài tập 1: Cho hàm số y = x -1 a) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y = -4 x + b) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông cân c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận tam giác cho chu vi nhỏ d) Chứng minh khơng có tiếp tuyến (C) qua tâm đối xứng Bài giải: -4 TXĐ: D = R \ {1} Ta có: y / = ( x - 1) Tiệm cận đứng: x = Tiệm cận ngang: y = Suy tâm đối xứng I (1;2) Gọi Mo ( x0 ; y0 ) tiếp điểm, suy phương trình tiếp tuyến (C): D:y = -4 ( x0 - 1) ( x - x0 ) + x0 + x0 - a) Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y = -4 x + nên hệ số góc tiếp tuyến -4 é x = Þ y0 = -4 = -4 Û ê Xét phương trình: ( x0 - 1) ë x = Þ y0 = * Với M ( 0;2 ) : Tiếp tuyến có phương trình D : y = -4 x + Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trang Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 * Với M ( 2;6 ) : Tiếp tuyến có phương trình D : y = -4 x + 14 b) Cách 1: Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tạo độ tam giác vng cân nên hệ số góc tiếp tuyến -1 ( Do tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = ± x ) -4 = vơ nghiệm Xét phương trình: x0 - 1) ( é x0 = -1 Þ y0 = = -1 Û ê ( x0 - 1) ë x = Þ y0 = * Với M ( -1;0 ) : Tiếp tuyến có phương trình D : y = - x - -4 * Với M ( 3;4 ) : Tiếp tuyến có phương trình D : y = - x + Cách 2: Gọi Mo ( x0 ; y0 ) tiếp điểm, suy phương trình tiếp tuyến (C): 2x + -4 D:y = x - x0 ) + ( x0 - ( x0 - 1) Bước 1: Xác định tọa độ giao điểm D Ox, Oy A, B ( Tọa độ phụ thuộc x0 )     Bước 2: Để ý DOAB vuông O nên điều kiện cần tìm là: OA.OB = Nhận xét: Cách hiệu sáng tạo Cách dài dòng lại rõ ràng dễ hiểu c) Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng A: ìx = ỉ 2x + ï x0 + ị A ỗ 1; -4 A:ớ ÷ y= x - x0 ) + ( è x0 - ø ï x0 - ( x0 - 1) ỵ Tiếp tuyến cắt tiệm cận ngang B: ìy = ï x + Þ B ( x0 - 1;2 ) -4 B:í y= x - x0 ) + ( ï x0 - ( x0 - 1) ỵ Suy ra: IA = ; IB = x0 - Þ IA.IB = 16 x0 - Ta có, chu vi tam giác IAB: CDIAB = IA + IB + AB = IA + IB + IA2 + IB Mà IA + IB ³ IA.IB = 8, IA2 + IB ³ IA.IB = 32 nên CDIAB = IA + IB + IA2 + IB ³ + 32 = + Đẳng thức xãy Û IA = IB Û é x0 = -1 Þ y0 = = x0 - Û ( x0 - 1) = Û ê x0 - ë x = Þ y0 = * Với M ( -1;0 ) : Tiếp tuyến có phương trình D : y = - x - * Với M ( 3;4 ) : Tiếp tuyến có phương trình D : y = - x + d) Tâm đối xứng I (1;2) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trang Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Gọi Mo ( x0 ; y0 ) tiếp điểm, suy phương trình tiếp tuyến (C): D:y = -4 ( x0 - 1) ( x - x0 ) + Giả sử I Ỵ D Û = Luyện thi Đại học 2012 x0 + x0 - -4 ( x0 - 1) (1 - x0 ) + x +1 x0 + 2 Û1= + Û x0 + = x0 - x0 - x0 - x0 - phương trình vô nghiệm Vậy không tồn tiếp tuyến qua I m Bài tập 2: ( Khối D- 2005) Gọi ( Cm ) đồ thị hàm số: y = x3 - x + Gọi điểm M 3 thuộc đồ thị ( Cm ) có hồnh độ -1 Tìm m để tiếp tuyến ( Cm ) M song song với đường thẳng D : x - y = Bài giải: TXĐ: D = R Ta có: y / = x - mx mư ỉ Điểm thuộc (Cm ) có hồnh độ -1 M ç -1; - ÷ 2ø è Tiếp tuyến (Cm ) M có phương trình: m m+2 d : y + = y / (-1)( x + 1) Û y = (m + 1) x + 2 Để d song song với D : x - y = (Hay D : y = x ) khi: ìm + = Û m=4 ợm + Vy m = Bài tập 2: Cho hàm số y = x + x - x + (C) Trong tất tiếp tuyến đồ thị (C), tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ Bài giải: TXĐ: D = R Ta có: y / = x + x - Gọi M ( x0 ; y0 ) Ỵ (C ) Û y0 = x0 + x0 - x0 + Tiếp tuyến điểm M có hệ số góc: k = y / ( x0 ) = x0 + x0 - = 3( x0 + 1) - 12 ³ -12 Þ ( k ) = -12 , đạt khi: x0 = -1 Þ y0 = 16 Vậy tất tiếp tuyến đồ thị hàm số, tiếp tuyến M ( -1;16 ) (điểm uốn) có hệ số góc nhỏ Phương trình tiếp tuyến: y = -12 x + x + 2mx + 2m - Bài tập 1: Cho hàm số y = có đồ thị (C) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục x -1 hoành hai điểm phân biệt tiếp tuyến với (C) hai điểm vng góc với Bài giải: TXĐ: D = R \ {1} Xét phương trình hồnh độ giao điểm (C) Ox: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trang Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 x + 2mx + 2m - = Û g ( x) = x + 2mx + 2m - = ( x ¹ 1) (1) x -1 Để (C) cắt Ox điểm phân biệt Û g ( x) = có nghiệm phân biệt ¹ ì / ì1 - m > ì-1 < m < ïD g > Ûí Ûí Ûí (2) ù ợm ợ2m(m + 1) ỵ g (1) ¹ ì x1 + x2 = -2m (*) Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình (1) Áp dụng định lí Vi-et: í x1.x2 = 2m - ỵ ( x + 2m ) ( x - 1) - x + 2mx + 2m2 - / Viết đạo hàm hàm số dạng: y = ( x - 1) Vì A, B thuộc (C) nên hệ số góc tiếp tuyến A B là: ( x1 + 2m ) ( x1 - 1) - x12 + 2mx1 + 2m2 - x1 + 2m / f ( x1 ) = = x1 - ( x1 - 1) ( ) ) ( x2 + 2m x2 - Tiếp tuyến A B vng góc nên ta có: ỉ x + 2m ưỉ x2 + 2m f / ( x1 ) f / ( x2 ) = -1 ỗ ữỗ ữ = -1 ố x1 - øè x2 - ø Tương tự: f / ( x2 ) = Û x1 x2 + 4m ( x1 + x2 ) + 4m = - x1 x2 + ( x1 + x2 ) - (**) Thay (*) vào (**) ta được: é m = -1 ( lo¹i ) 8m - - 8m + 4m = -2m + - 2m - Û 6m + 2m - = Û ê ê m = ( nhËn ) ë Kết luận: Vậy m = yêu cầu toán 2 2 -x +1 Chứng minh với giá trị m đường 2x -1 thẳng d : y = x + m cắt (C) hai điểm phân biệt A B Gọi k1 , k2 hệ số góc tiếp tuyến A B Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn Bài tập 1: ( Khối A -2011) Cho hàm số y = Bài giải: ì1 ü TXĐ: D = R \ ý ợ2ỵ Xột phng trỡnh honh độ giao điểm (C) d : -x +1 1ư ỉ = x + m Û g ( x) = x + 2mx - m - = (*) ỗ x ữ 2x -1 2ứ è Để d cắt (C) điểm phân biệt Û g ( x) = có nghiệm phân biệt ¹ Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trang Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 ìD /g > ìm + m + > "m ù ù ổ1ử ớ1 gỗ ữ ï ï + m - m - ¹ "m ỵ2 ỵ è2ø Suy d ln cắt (C) điểm A, B phân biệt ì x1 + x2 = - m ï Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình (*) Áp dụng định lí Vi-et: í - m - (*) ï x1.x2 = ỵ Hệ số góc tiếp tuyến với (C) x1 là: k1 = f / ( x1 ) = - ( x1 - 1) Hệ số góc tiếp tuyến với (C) x2 là: k2 = f / ( x2 ) = - ( x2 - 1) Cách 1: Ta có: k1 + k2 = - ( x1 - 1) - ( x2 - 1) ( x1 + x2 ) - x1 x2 - ( x1 + x2 ) + 2 =- é x1 x2 - ( x1 + x2 ) + 1ù ë û 2 Thay (*) vào (**) ta được: k1 + k2 = -4m - 8m - = -4 ( m + 1) - £ -2 Suy k1 + k2 lớn -2 , đạt khi m = -1 Cách 2: ĐẶC SẮC 1 Ta có: k1 + k2 = 2 ( x1 - 1) ( x2 - 1) 2 (**) é ù 1 2 = -ê + £=2 2ú ( x1 - 1) ( x2 - 1) ( x2 - 1) ú x1 - x2 - ê ( x1 - 1) ë û === -2 é x1 x2 - ( x1 + x2 ) + 1ù é -m - ù ë û ê - 2(- m) + 1ú ë û Suy k1 + k2 lớn -2 , đạt khi é x1 - = x2 - ( lo¹i x1 ¹ x2 ) 1 = Ûê 2 ( x1 - 1) ( x2 - 1) ë x1 - = -2 x2 + Û x1 + x2 = Û m = -1 DẠNG TỐN: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN ĐI QUA ĐIỂM BẤT KÌ Phương pháp: Bước 1: Đường thẳng qua M có hệ số góc k : y - y0 = k ( x - x0 ) Bước 2: Áp dụng điều kiện tiếp xúc: Đường thẳng y = kx + m tiếp tuyến với y = f ( x), (C) khi hệ sau có nghiệm: ì f ( x) = kx + m í / ỵ f ( x) = k Bài tập 1: Cho đường cong (C ) : y = x - x Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trang Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ tuyến qua A(1;3) Bài giải: TXĐ: D = R Gọi đường thẳng d có hệ số góc k qua A(1;3) : d: y - = k ( x - 1) Û y = k ( x - 1) + Khi đó, d tiếp tuyến (C) Û Hệ phương trình sau có nghiệm : ì3 x - x = k ( x - 1) + (1) ï í (2) ï3 - 12 x = k ỵ éx = Thay (2) vào (1), ta có phương trình : x - 12 x = Û ê êx = ë * Nếu x = Þ k = Ta có tiếp tuyến : T1 : y = x * Nếu x = Þ k = -24 Ta có tiếp tuyến : T2 : y = -24 x + 27 Luyện thi Đại học 2012 DẠNG TỐN: GĨC CỦA HAI TIẾP TUYẾN Phương pháp : Bước 1: Gọi k1 , k2 theo thứ tự hệ số góc tiếp tuyến (d 1) (d2) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trang Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 Bước 2: Gọi a góc (d1) (d2) k1 -k = tan a + k k Nhận xét : (d1) ^ (d2) Û k1 k2 = -1 * Bài tốn: Cho hàm số y=f(x) (C) Tìm điều kiện để từ M0(x0,y0) kẻ đến (C) hai tiếp tuyến hai tiếp tuyến vng góc Kĩ thuật để giải loại tốn “ khó chịu “ thể thông qua cách giải cụ thể số ví dụ sau m -1 (C) x +1 Tìm điều kiện cần đủ m , để mặt phẳng toạ độ tồn điểm cho từ ta kẻ hai tiếp tuyến tới đồ thị hai tiếp tuyến vng góc Giải : Gọi M(a,b) điểm mặt phẳng toạ độ cho từ ta kẻ hai tiếp tuyến đến đồ thị hai tiếp tuyến vng góc Ta có : Đường thẳng (d) qua A với hệ số góc k, có dạng: y-b= k(x-a ) Û (d): y= k(x-a)+b Đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị hàm số hệ sau có nghiệm: m -1 m -1 ì ì ïx -1 + x + = k (x - a ) + b ï x - + x + = k ( x + 1) - k - ka + b ï ï Û í í ï1 - = k ï1 - = k ï ( x + 1) ï ( x + 1) ỵ ỵ m -1 ì - (a + 1)k + b + ì x -1+ = ( x + 1) - (a + 1)k + b = ï ï x +1 x +1 ï ï m Û í x +1 Ûí ï1 - ( - (a + 1)k + b + ) =( k* ) ï1 - = k ï ï ( x + 1) m ỵ ỵ Phương trình ( * ) Û f(k)=Ak +2Bk+C (1) Trong A=(a+1)2; B=2m-ab-2a-b-4; C=(b+2)2-4m+4 Để từ M kẻ hai tiếp tuyến vng góc với tới (C) Û (1) có hai nghiệm b +2 phân biệt k1, k2 khác thoả mãn k1 k2= -1 a +1 Ví dụ 1:( Đề 44) Cho hàm số: y = x + + Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trang Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 ì ïa + ¹ ï ï (b + 2) - 4m + = -1 Þ (a+1)2+(b+2)2=4m-4 Þ 4m-4>0 Û m>1 Û í (a + 1) ï ï b +2 )ạ0 ùf ( ợ a +1 Kt lun : Vậy m>1 thoả mãn điều kiện tốn Ví dụ 2(Đại Học Kinh Tế-98): 2x + x + Cho hàm số y = Tìm điểm Oy cho từ kẻ hai tiếp x +1 tuyến tới đồ thị hàm số hai tiếp vng góc với Giải: Xét A(0,b)Ỵ Oy Đường thẳng (d) qua A với hệ số góc k có dạng: y = kx+b Đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị hàm số hệ sau có nghiệm: 2 ì ì ï2 x - + x + = kx + b ï2 x - + x + = k ( x + 1) - k + b ï ï Û í í ï2 - 2 = k ï2 - 2 = k ï ( x + 1) ï ( x + 1) î î 2 ì 3+b - k ì 2x -1 + = 2( x + 1) -k +b = ï ï x +1 x +1 ï ï Û í Û í x +1 ï2 - ( + b - k ) = (k * ) ï2 - 2 = k ï ï ( x + 1) ỵ ỵ 2 (1) Phương trình ( * ) Û f(k)=k -2(b-1)k+b +6b-7=0 Để từ A kẻ hai tiếp tuyến vng góc với tới đồ thị khi (1) có nghiệm phân biệt k1 , k2 khác b+3 thoả mãn k1.k2= -1 ìb + 6b - = -1 Û í Û b = -3 ± 15 f (b + 3) ợ Kt lun : Vy tồn hai điểm A (0,-3 - 15 ) A (0,-3 + 15 ) Ví dụ 3:( ĐHQG TPHCM Khối A-98): x2 Cho hàm số y = Tìm tập hợp điểm mặt phẳng toạ độ cho từ kẻ x -1 tiếp tuyến vng góc với tới đồ thị hàm số Giải: Gọi A(a,b) điểm mặt phẳng toạ độ cho từ ta kẻ i tiếp vng góc với tới đồ thị hai tiếp tuyến vng góc với Đường thẳng qua A có dạng (d): y-b=k(x-a) Û (d): y=k(x-a)+b Đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị hàm số khi hệ sau có nghiệm: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trang Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ ì ïx + + x -1 = k (x - a ) + b ï Û í ï1 - = k ï ( x - 1) ỵ Luyện thi Đại học 2012 ì ï x + + x - = k ( x - 1) + k - ka + b ï í ï1 - = k ï ( x - 1) ỵ 1 ì (1 - a )k + b - ì x -1+ = ( x - 1) + (1 - a )k + b = ï ï x -1 x -1 ï ï Û í Û í x -1 ï1 - ( (1 - a )k + b - ) = * ) ï1 - = k (k ï ï ( x - 1) ỵ ỵ (1) Phương trình ( * ) Û f(k)=(a-1)2k2-2(ab-2a-b)k+b2-4b=0 Để từ A kẻ tiếp tuyến vng góc đến đồ thị khi phương trình (1) có b -2 nghiệm phân biệt k1 , k2 khác , thoả k1.k2= -1 a -1 ì ïa - ¹ ìa ¹ ìa ¹ ï b - 4b ï ï ï 2 = -1 Û í(a - 1) + (b - 2) = Û íb ¹ a + Û í ï( a + - b ) ¹ ï(a - 1) + (b - 2) = ï (a - 1) ỵ î ï b -2 )¹0 ïf ( î a -1 Vậy A thuộc đường tròn (S) tâm I(1,2) , bán kính R=2, bỏ bốn giao điểm đường thẳng x=1 y=x+1 với (S) (là giao điểm đường tiệm cận (C) với (S) là: B(1,4),C(1,0), D (1 - ,2 - ) , E (1 + ,2 + ) Ví dụ 4:( Đề 17): Cho hàm số y = 2x - x + (C) x -1 Chứng tỏ đường thẳng y=7 có bốn điểm cho từ điểm kẻ đến đồ thị (C) hai tiếp tuyến lập với góc p Hướng dẫn: Tiến hành kĩ thuật tương tự ví dụ Sử dụng hệ thức: k1 -k p = tg Û ……v v… + k k Ví dụ :( Đề 65): Cho hàm số y=x3+3x2+mx+1 (Cm) Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y=1 điểm phân biệt C(0,1),D,E Tìm m để tiếp tuyến D E vng góc với Giải: Phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng y=1 đồ thị là: éx = x3+3x2+mx+1=1 Û x(x2+3x+m)=0 Û ê ( ë x + 3x + m = * ) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trang 10 Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 Đồ thị (Cm) cắt đường thẳng y=1 điểm phân biệt C(0,1), D, E khi phương trình ( * ) có nghiệm phân biệt khác ìD' g > Û í m