chuyên đề: TIẾP TUYẾN ( Bản 2.0 )

Chuyờn KHO ST HM S Luy n thi i hc 2012 Giỏo viờn: Lấ B B O T Toỏn THPT Phong in Trang 1 Ch 4: TIP TUYN CA TH HM S I - Lí THUY T : Cho h m s ( )y f x= , cú th (C). 1. Ti p tuy n c a th (C) t i i m ( ) 0 0 0 ; ( )M x y Cẻ : / 0 0 0 ( )( ) - = -y y f x x x (*) Lu ý: + i m ( ) 0 0 0 ; ( )M x y Cẻ c gi l tip im . + ng thng bt k i qua ( ) 0 0 0 ;M x y c ú h s gúc k , c ú ph ng trỡnh: 0 0 ( ) - = -y y k x x + Nh v y , h s gúc ca tip tuyn c a (C) t i ( ) 0 0 0 ; ( )M x y Cẻ cú h s gúc ( ) / 0 k f x= . Hay honh tip im l nghim ca phng trỡnh: ( ) / k f x= Rừ rng, ti p tuy n c a (C) hon ton xỏc nh n u bi t h s gúc c a ti p tuy n hoc honh tip im . 2. i u kin tip xỳc : Cho hai hm s ( ), (C) y f x= v ( ), (C') y g x= . (C) v (C) ti p xỳc nhau khi ch khi h ph ng trỡnh sau cú nghi m : / / ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x = ỡ ớ = ợ c bit: ng th ng y kx m = + l ti p tuy n v i ( ), (C) y f x= khi ch khi h sau c ú nghi m : / ( ) ( ) f x kx m f x k = + ỡ ớ = ợ II - LUY N TP : Dng 1: Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C): ( )y f x= ti tip im. Phng phỏp: Bc 1: Xỏc nh tip im ( ) 0 0 0 ; ( )M x y Cẻ . Tớnh h s gúc ( ) / 0 k f x= . B c 2: p dng: / 0 0 0 ( )( ) - = -y y f x x x Bi t p 1: Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C): - = + 1 2 x y x ti giao im ca (C) v trc tung. Bi gi i : TX: { } \ 2 D R= - . V y phng trỡnh tip tuyn l: Gii phng trỡnh: - = = + 1 0 1. 2 x x x Vậy giao điểm của (C) và Oy là: M(1;0) Ta cú: ( ) / / 2 1 3 2 2 x y x x - ổ ử = = ỗ ữ + ố ứ + Lỳc ú, h s gúc ca tip tuyn l / 1 (1) 3 k y= = x y O (C) M O Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luy ện thi Đại học 2012 Giáo viên: LÊ BÁ B ẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 2 ( ) 1 1 1 : 1 3 3 3 y x y xD = - Û = - Bài t ập 1: Viết phương trình tiếp tuyến với 4 2 ( ) : 6 C y x x= - - + , bi ết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 : 1 6 y xD = - . Bài giải: TXĐ: D R = . Ta có: / 3 4 2y x x= - - . Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 : 1 6 y xD = - nên ti ếp tuyến có hệ số góc bằng 6. - Do đó, hoành đ ộ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: 3 3 2 2 4 2 6 2 3 0 1 ( 1)(2 2 3) 0 2 2 3 0 1 v« nghiÖm x x x x x x x x x x x - - = - Û + - = = é Û - + + = Û ê + + = ë Þ = Suy ra ti ếp điểm (1;4) . Vậy phương trình tiếp tuyến: 6( 1) 4 6 10 hay y x y x= - - + = - + . Bài tập 1: Cho hàm số 2 2 1 x y x + = - (C). a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng : 4 1 d y x= - + . b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân. c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận một tam giác cho chu vi nhỏ nhất. d) Ch ứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua tâm đối xứng. Bài gi ải: TXĐ: { } \ 1 D R= . Ta có: ( ) / 2 4 1 y x - = - Tiệm cận đứng: 1 x = . Ti ệm cận ngang: 2y = . Suy ra tâm đối xứng (1;2)I . Gọi ( ) 0 0 ; o M x y là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C): ( ) ( ) 0 0 2 0 0 2 2 4 : 1 1 x y x x x x + - D = - + - - a) Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng : 4 1d y x= - + nên hệ số góc tiếp tuyến bằng 4. - Xét phương tr ình: ( ) 0 0 2 0 0 0 0 2 4 4 2 6 1 x y x y x = Þ = é - = - Û ê = Þ = - ë * V ới ( ) 0;2M : Tiếp tuyến có phương trình : 4 2y xD = - + Chuyờn KHO ST HM S Luy n thi i hc 2012 Giỏo viờn: Lấ B B O T Toỏn THPT Phong in Trang 3 * Vi ( ) 2;6M : Tip tuyn cú phng trỡnh : 4 14y xD = - + b) Cỏch 1: Vỡ tip tuyn to vi hai trc to mt tam giỏc vuụng cõn nờn h s gúc ca tip tuyn bng 1 hoc 1. - ( Do tip tuyn vuụng gúc vi 2 ng thng y x= ). Xột phng trỡnh: ( ) 2 0 4 1 1x - = - vụ nghim. ( ) 0 0 2 0 0 0 1 0 4 1 3 4 1 x y x y x = - ị = ộ - = - ờ = ị = - ở * V i ( ) 1;0M - : Tip tuyn cú phng trỡnh : 1y xD = - - * Vi ( ) 3;4M : Tip tuyn cú phng trỡnh : 7y xD = - + Cỏch 2: Gi ( ) 0 0 ; o M x y l ti p im, suy ra phng trỡnh tip tuyn ca (C): ( ) ( ) 0 0 2 0 0 2 2 4 : 1 1 x y x x x x + - D = - + - - Bc 1: Xỏc nh ta giao im ca D v Ox, Oy ln lt ti A, B ( Ta ph thuc 0 x ) B c 2: ý OAB D vuụng t i O nờn iu kin cn tỡm l: . 0OA OB = . Nhn xột: Cỏch 1 hi u qu v sỏng to hn. Cỏch 2 di dũng nhng li rừ rng v d hiu. c) Tip tuyn ct tim cn ng ti A: ( ) ( ) 0 0 0 2 0 0 0 1 2 6 2 2 4 : 1; 1 1 1 x x x A A y x x x x x = ỡ ổ ử + ù + - ị ớ ỗ ữ = - + - ố ứ ù - - ợ Tip tuyn ct tim cn ngang ti B: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 2 0 0 2 2 2 4 : 2 1;2 1 1 y x B B x y x x x x = ỡ ù + - ị - ớ = - + ù - - ợ Suy ra: 0 0 8 ; 2 1 . 16 1 IA IB x IA IB x = = - ị = - . Ta cú, chu vi tam giỏc IAB: 2 2 IAB C IA IB AB IA IB IA IB D = + + = + + + M 2 2 2 . 8, 2 . 32IA IB IA IB IA IB IA IB+ = + = nờn 2 2 8 32 8 4 2. IAB C IA IB IA IB D = + + + + = + ng thc xóy ra ( ) 2 0 0 0 0 0 0 0 1 0 8 2 1 1 4 3 4 1 x y IA IB x x x y x = - ị = ộ = = - - = ờ = ị = - ở * Vi ( ) 1;0M - : Tip tuyn cú phng trỡnh : 1y xD = - - * Vi ( ) 3;4M : Tip tuyn cú phng trỡnh : 7y xD = - + d) Tõm i xng (1;2)I . Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luy ện thi Đại học 2012 Giáo viên: LÊ BÁ B ẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 4 Gọi ( ) 0 0 ; o M x y là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C): ( ) ( ) 0 0 2 0 0 2 2 4 : 1 1 x y x x x x + - D = - + - - Giả sử I ÎD Û ( ) ( ) 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 2 1 4 2 2 1 1 3 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x + + - = - + Û = + Û + = - - - - - phương trình vô nghiệm. V ậy không tồn tại tiếp tuyến nào đi qua I. Bài tập 2:Chứng minh rằng trên (C): 3 2 4 6 4 1y x x x= - + - không t ồn tại hai tiếp tuyến vuông góc v ới nhau. Bài giải: TXĐ: D R= Ta có: / 2 12 12 4y x x= - + Gọi 0 x là hoành độ tiếp điểm bất kì thì hệ số góc của tiếp tuyến tại đó: ( ) / 2 0 0 0 0 12 12 4 0 0 ) ( Do k k y x x x x= = - + > " D < Suy ra, không tồn tại các tiếp điểm với hoành độ 1 2 , x x sao cho: ( ) ( ) / / 1 2 1 2 . . 1 0k k y x y x= = - < Ngh ĩa là, trên (C) không tồn tại hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Bài tập 2: ( Khối D - 2005 ) Gọi ( ) m C là đồ thị của hàm số: 3 2 1 1 3 2 3 m y x x = - + . G ọi điểm M thuộc đồ thị ( ) m C có hoành độ bằng 1- . Tìm m để tiếp tuyến của ( ) m C tại M song song với đường thẳng : 5 0x yD - = . Bài giải: TXĐ: D R = Ta có: / 2 y x mx= - Điểm thuộc ( ) m C có hoành độ 1 - là 1; 2 m M æ ö - - ç ÷ è ø Tiếp tuyến của ( ) m C tại M có phương trình: / 2 : ( 1)( 1) ( 1) 2 2 m m d y y x y m x + + = - + Û = + + Đ ể d song song với : 5 0 x yD - = (Hay : 5y xD = ) khi và ch ỉ khi: 1 5 4 2 0 m m m + = ì Û = í + ¹ î Vậy 4 m = . Bài tập 2: Cho hàm số 3 2 3 9 5= + - +y x x x (C). Trong tất cả các tiếp tuyến củ a đ ồ thị (C), hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. Bài giải: TXĐ: D R= . Ta có: / 2 3 6 9= + -y x x . Gọi 0 0 ( ; ) ( )ÎM x y C 3 2 0 0 0 0 3 9 5Û = + - +y x x x . Chuyờn KHO ST HM S Luy n thi i hc 2012 Giỏo viờn: Lấ B B O T Toỏn THPT Phong in Trang 5 Tip tuyn t i i m M cú h s gúc: / 2 2 0 0 0 0 ( ) 3 6 9 3( 1) 12 12= = + - = + - -k y x x x x ( ) min 12 ị = -k , t c khi: 0 0 1 16= - ị =x y . Vy trong tt c cỏc tip tuyn c a th hm s, tip tuyn ti M ( 1;16 - ) ( i m un) cú h s gúc nh nh t. Phng t rỡ nh tip tuyn: 12 4 = - +y x . Bi t p 1: Cho hm s 2 2 2 2 1 1 x mx m y x + + - = - cú th (C). Tỡm m th hm s ct trc honh ti hai im phõn bit v cỏc tip tuyn vi (C) ti hai im ny vuụng gúc vi nhau. Bi gi i: TX: { } \ 1 D R= Xột phng tr ỡnh honh giao im ca (C) v Ox: ( ) 2 2 2 2 2 2 1 0 ( ) 2 2 1 0 1 1 x mx m g x x mx m x x + + - = = + + - = ạ - (1) (C) ct Ox ti 2 im phõn bit ( ) 0g x = cú 2 nghim phõn bit 1ạ / 2 0 1 1 1 0 (2) 0 2 ( 1) 0 (1) 0 g m m m m m g ỡ D > - < < ỡ - > ỡ ù ớ ớ ớ ạ + ạ ạ ù ợ ợ ợ Gi 1 2 , x x l 2 nghim ca phng trỡnh (1). p dng nh lớ Vi -et: 1 2 2 1 2 2 (*) . 2 1 x x m x x m + = - ỡ ớ = - ợ Vit o hm ca hm s di dng: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 / 2 2 2 1 2 2 1 1 x m x x mx m y x + - - + + - = - Vỡ A, B thuc (C) nờn h s gúc ca tip tuyn ti A v B l: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 / 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 x m x x mx m x m f x x x + - - + + - + = = - - Tng t: ( ) / 2 2 2 2 2 1 x m f x x + = - Tip tuyn ti A v B vuụng gúc nhau nờn ta cú: ( ) ( ) ( ) ( ) / / 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 . 1 1 1 1 4 4 4 1 (**) x m x m f x f x x x x x m x x m x x x x ổ ửổ ử + + = - = - ỗ ữỗ ữ - - ố ứố ứ + + + = - + + - Thay (*) vo (**) ta c: 2 2 2 2 2 1 8 4 8 4 2 1 2 1 6 2 4 0 2 3 m m m m m m m m m = - ộ ờ - - + = - + - - + - = ờ = ở ( loại ) ( nhận ) Kt lun: Vy 2 3 m = l yờu c u bi toỏn. Bi tp 1: ( Khi A -2011 ) Cho hm s - + = - 1 2 1 x y x . Chng minh rng vi mi giỏ tr ca m thỡ Chuyờn KHO ST HM S Luy n thi i hc 2012 Giỏo viờn: Lấ B B O T Toỏn THPT Phong in Trang 6 ng thng :d y x m= + luụn ct (C) ti hai im phõn bit A v B. Gi 1 2 , k k ln lt l h s gúc ca cỏc tip tuyn ti A v B. Tỡm m tng 1 2 k k + t giỏ tr ln nht. Bi gii: TX: 1 \ 2 D R ỡ ỹ = ớ ý ợ ỵ Xột phng tr ỡnh honh giao im ca (C) v d : 2 1 1 ( ) 2 2 1 0 (*) 2 1 2 x x m g x x mx m x x - + ổ ử = + = + - - = ạ ỗ ữ - ố ứ d ct (C) ti 2 im phõn bit ( ) 0 g x = cú 2 nghim phõn bit 1 2 ạ / 2 0 1 0 1 1 1 0 0 2 2 g m m m m m m g ỡ D > ỡ + + > " ù ù ớ ớ ổ ử + - - ạ " ạ ù ù ỗ ữ ợ ố ứ ợ Suy ra d luụn c t (C) ti 2 im A, B phõn bit. Gi 1 2 , x x l 2 nghi m ca phng trỡnh (*). p dng nh lớ Vi -et: 1 2 1 2 (*) 1 . 2 x x m m x x + = - ỡ ù ớ - - = ù ợ H s gúc ca tip tuyn vi (C) ti 1 x l: ( ) ( ) / 1 1 2 1 1 1 k f x x = = - - H s gúc ca tip tuyn vi (C) ti 2 x l: ( ) ( ) / 2 2 2 2 1 1 k f x x = = - - Cỏch 1: CHUN_ N GIN_ D HIU Ta cú: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 4 8 4 2 1 1 2 1 2 1 4 2 1 x x x x x x k k x x x x x x + - - + + + = - - = - - - ộ - + + ự ở ỷ (**) Thay (*) v o (**) ta c: ( ) 2 2 1 2 4 8 6 4 1 2 2k k m m m+ = - - - = - + - Ê - . Suy ra 1 2 k k+ ln nht bng 2 - , t c khi ch khi 1.m = - Cỏch 2: C SC Ta cú: ( ) ( ) 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 k k x x + = - - - - (1) p dng Bt ng thc Cauchy, ta cú: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1. 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 x x x x x x + = - - - - - - nờn (1) tr thnh: Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luy ện thi Đại học 2012 Giáo viên: LÊ BÁ B ẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1. 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 4 2 1 4 2( ) 1 2 k k x x x x x x m x x x x m é ù + = - + £ - = - ê ú - - - - - - ê ú ë û = - = - = - - - é - + + ù é ù ë û - - + ê ú ë û Suy ra 1 2 k k+ lớn nhất bằng 2 - , đ ạt được khi chỉ khi ( ) ( ) 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 x x x x x x x x m x x - = - ¹ é = Û ê - = - + Û + = Û = - - - ë ( lo¹i do ) Cách 3: C ẦN CÙ VÀ CHÍNH XÁ C Theo trên, d luôn cắt (C) tại 2 điểm A, B phân biệt. Lúc đó: 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 2 2 2 m m m x x mx m m m m x é - + + + = ê ê + - - = Û ê - - + + ê = ë Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 k k x x m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m + = - - = - - - - - + + + - - - + + - = - - é ù é ù + + - + + + + + ë û ë û é ù é ù + + - + + + + + + ë û ë û = - é ù é ù + + - + + + + + ë û ë û + + + = - ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 8 6 4 1 2 2 2 2 1 m m m m m m m + + = - - - = - + - £ - é ù + + - + ê ú ë û Suy ra 1 2 k k + lớn nhất bằng 2- , đạt được khi chỉ khi 1. m = - DẠNG TOÁN: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN ĐI QUA ĐIỂM BẤT KÌ Phương pháp: Bư ớc 1 : Đư ờng thẳng bất kỳ qua 0 M có hệ số góc k : 0 0 ( ) y y k x x- = - Bước 2 : Áp dụng điều kiện tiế p xúc: Đường thẳng y kx m = + là ti ếp tuyến với ( ), (C) y f x= khi ch ỉ khi hệ sau có nghiệm: / ( ) ( ) f x kx m f x k = + ì í = î Bài tập 1: Cho đường cong 3 ( ) : 3 4C y x x= - . Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp Chuyờn KHO ST HM S Luy n thi i hc 2012 Giỏo viờn: Lấ B B O T Toỏn THPT Phong in Trang 8 t uy n i qua (1;3) A . Bi gii: TX: .D R= G i ng thng d bt kỡ cú h s gúc k qua (1;3) A : 3 ( 1) ( 1) 3d: y k x y k x- = - = - + Khi ú, d l tip tuyn ca (C) H phng trỡnh sau cú nghim : 3 2 3 4 ( 1) 3 3 12 (1) (2) x x k x x k ỡ - = - + ù ớ - = ù ợ Thay (2) vo (1), ta cú phng trỡnh : 3 2 0 8 12 0 3 2 x x x x = ộ ờ - = ờ = ở * Nu 0 3x k= ị = . Ta cú tip tuyn : : 3 1 T y x= * Nu 0 24x k= ị = - . Ta cú tip tuyn : : 24 27 2 T y x= - + LU í: DNG TON S LNG V TNH CHT TIP TUYN Bi tp 1: Cho ng cong 3 ( ) : 3 2C y x x= - + + . Tỡm nh ng im trờn trc honh sao cho t ú k c ba tip tuyn n (C), trong ú cú hai tip tuyn vuụng gúc vi nhau. Bi gii: TX: .D R= Xột im ( ) ;0M m Oxẻ . G i ng thng d bt kỡ cú h s gúc k qua M : ( ) d: y k x m= - Khi ú, d l tip tuyn ca (C) H phng trỡnh sau cú nghim : 3 2 3 2 ( ) 3 3 (1) (2) x x k x m x k ỡ - + + = - ù ớ - + = ù ợ Thay (2) vo (1), ta cú phng trỡnh : ( ) ( ) ( ) 2 3 3 1 3 2 0 x x m x x- - - - - = ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 3 2 3 2 0 ( ) 2 3 2 3 2 0 x x x m x m g x x m x m = - ộ ộ ự + - + + + = ờ ở ỷ = - + + + = ở t M cú th k n (C) 3 tip tuyn ( ) 0g x = cú hai nghim phõn bit 1 ạ - . ( ) ( ) ( ) { } 0 3 2 3 6 0 2 ; 2; \ 1 3 ( 1) 0 3 3 0 g m m m g m D > ỡ + - > ỡ ù ổ ử ị ẻ -Ơ - ẩ +Ơ - ớ ớ ỗ ữ - ạ + ạ ố ứ ù ợ ợ Gi 1 2 , x x l nghim ca ( ) 0g x = , lỳc ú: ( ) ( ) ( ) / 2 / 2 / 1 1 1 2 2 2 3 3 3, 3 3, 1 0 k y x x k y x x k y= = - + = = - + = - = 2 trong 3 tip tip tuyn ny vuụng gúc ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 . 1 3 3 3 3 1k k x x = - - + - + = - ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 9 9 18 10 0 (*)x x x x x x - + + + = Chuyờn KHO ST HM S Luy n thi i hc 2012 Giỏo viờn: Lấ B B O T Toỏn THPT Phong in Trang 9 p dng nh lớ Vi - et i vi ( ) 0g x = : 1 2 1 2 3 2 2 (**) 3 2 . 2 m x x m x x + ỡ + = ù ù ớ + ù = ù ợ Thay (**) vo (*), ta c phng trỡnh: ( ) 28 9 3 2 10 0 27 m m + + = = - . Kt lun: Vy im 28 ;0 27 M ổ ử - ỗ ữ ố ứ l im cn tỡm. DNG TON: GểC CA HAI TIP TUYN Phng phỏp : Bc 1: Gi k 1 , k 2 theo th t l h s gúc ca cỏc tip tuyn (d 1 ) v (d 2 ). Bc 2: Gi a l gúc gi a (d 1 ) v (d 2 ) thỡ a tan . 1 21 21 = + - k k kk . Nhn xột rng : (d 1 ) ^ (d 2 ) 1 2 . 1k k = - * Bi toỏn: Cho hm s y=f(x) (C). Tỡm iu kin t M 0 (x 0 ,y 0 ) cú th k Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luy ện thi Đại học 2012 Giáo viên: LÊ BÁ B ẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 10 đến (C) hai tiếp tuyến và hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau . Kĩ thuật để giải quyết loại bài toán “ khó chịu “ này được thể hiện thông qua cách giải cụ thể một số ví dụ sau. Ví d ụ 1:( Đề 44) Cho hàm số: 1 1 1 + - ++= x m xy (C). Tìm điều kiện cần và đủ đối với m , để trên mặt phẳng toạ độ tồn tại ít nhất một điểm sao cho t ừ đó ta có thể kẻ được hai tiếp tuyến tới đồ thị và hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau. Gi ải : Gọi M(a,b) là điểm trên mặt phẳng toạ độ sao cho từ đó ta có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến đ ồ thị và hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau .Ta có : Đường thẳng (d) qua A với hệ số góc k, có dạng: y-b= k(x-a ) Û ( d): y= k(x-a)+b. Đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị hàm số khi hệ sau có nghiệm: ï ï î ï ï í ì = + - +-= + - +- k x ba xk x m x 2 ) 1 ( 1 1 )( 1 1 1 Û ï ï î ï ï í ì = + - + += + - +- k x b ka kxk x m x 2 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 1 1 Û ï ï î ï ï í ì = + - ++- + -+= + - +- k x b k a x x x m x 2 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 1 1 Û ï ï î ï ï í ì = +++- - +++- = + k m b k a m b k a x 2 ) 2 ) 1 ( ( 1 2 ) 1 ( 1 1 Phương trình ( * ) Û f(k)=Ak 2 +2Bk+C (1) Trong đó A= (a+1) 2 ; B=2m-ab-2a-b-4; C=(b+2) 2 -4m+4. Đ ể từ M có thể kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau tới (C) Û (1) có hai nghiệm phân biệt k 1 , k 2 khác 1 2 + + a b thoả mãn k 1 . k 2 = -1. Û ï ï ï î ï ï ï í ì ¹ + + -= + +-+ ¹+ 0 ) 1 2 ( 1 ) 1 ( 44 ) 2 ( 01 2 2 a b f a m b a Þ ( a+1) 2 +(b+2) 2 =4m-4 Þ 4m-4>0 Û m>1. Kết luận : Vậy m>1 thoả mãn điều kiện bài toán. Ví d ụ 2(Đại Học Kinh Tế - 98): Cho hàm s ố 1 12 2 + ++ = x xx y .Tìm những điểm trên Oy sao cho từ đó kẻ được hai tiếp tuyến tới đồ thị hàm số và hai tiếp đó vuông góc với nhau. Gi ải: ( * ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 k k x x m m m m m m m m m m m. cắt (C) tại 2 điểm A, B phân biệt. Lúc đó: 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 2 2 2 m m m x x mx m m m m x é - + + + = ê ê + - - = Û ê - - + + ê = ë Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1. ( ) 0 0 ; o M x y là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C): ( ) ( ) 0 0 2 0 0 2 2 4 : 1 1 x y x x x x + - D = - + - - Giả sử I ÎD Û ( ) ( ) 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 2 1 4 2 2