Chuyên đề tiếp tuyến với trục tọa độ các tiệm cận

CHUYÊN ĐỀ TIẾP TUYẾN VỚI TIỆM CẬN - VỚI TRỤC TỌA ĐỘBÀI TOÁN : Cho hàm số : y=fx;m, tìm m để hàm số có Cực đại , cực tiểu cùng với một điểm I tạo thành một tam giác đặc biệt cân, đều , v

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ TIẾP TUYẾN VỚI TIỆM CẬN - VỚI TRỤC TỌA ĐỘ

BÀI TOÁN :

Cho hàm số : y=f(x;m), tìm m để hàm số có Cực đại , cực tiểu cùng với một điểm I tạo thành một tam giác đặc biệt ( cân, đều , vuông )

Ví dụ 1 Cho hàm số y= − +x3 3x2 + 3(m2 − 1)x− 3m2 − 1 ( )1

a Khảo sát và vẽ đồ thị (1) với m=1

b Tìm m để hàm số (1) có cực đại , cực tiểu , đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác vuông tại O

GIẢI

a Học sinh tự vẽ đồ thị

b Ta có : y' = − 3x2 + 6x+ 3(m2 − 1)

- Để hàm số có cực đại , cực tiểu thì : y' = − 3x2 + 6x+ 3(m2 − 1)=0 có hai nghiệm phân biệt

1 2

3 3

1 3

3 3

1 3

m

− −



- Với điều kiện (*) hàm số có cực đại , cực tiểu Gọi A x y( 1 ; 1) (;B x y2 ; 2) là hai điểm cực đại ,cực tiểu của hàm số Nếu A,B cùng với O tạo thành tam giác vuông tại O thì OA vuông góc với OB : OA OBuuuruuur = 0

- Ta có : OA x yuuur( 1 ; 1);OB x yuuur( 2 ; 2) ⇒OA OB x xuuuruuur = 1 2 +y y1 2 = 0 1( )

- Bằng phép chia phương trình hàm số cho đạo hàm của nó , ta có :

3 3

x

- Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị : y= 2m x2 − 2(m2 + 1)

- Do đó :

1 2 1 2 1 ; 2 2 2 2 1 1 2 4 1 2 4 1 1 2 4 1

- Áp dụng Vi-ét cho (1) 1 2 2

1 2

2

+ =



 , thay vào :

2

4 2

1 1

1 0

m m

m

= ±



= ±



=

Kết luận : Với m thỏa mãn (*) thì hai điểm cực đại , cực tiểu của hàm số cùng với O tạo

Trang 2

Ví dụ 2.Cho hàm số y x= − 3 3x2 + 4 ( )C

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(-1;0) với hệ số góc là k ( k thuộc R) Tìm k để đường thẳng d cắt (C)tại ba điểm phân biệt và hai giao điểm B,C ( B,C khác A ) cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1

GIẢI

a Học sinh tự vẽ đồ thị (C)

b Đường thẳng d đi qua A(-1;0) với hệ số góc là k , có phương trình là : y=k(x+1)=kx+k

- Nếu d cắt (C) thì : ( )

( )

3 2

2

y kx k





= +

 , có ba nghiêm phân biệt

2

1

x

= −



k

∆ = >



Với điều kiện : (*) thì d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A,B,C Với A(-1;0) , do đó B,C có hoành độ là hai nghiệm của phương trình :

- Gọi B x y( 1 ; 1) (;C x y2 ; 2)với x x1 ; 2là hai nghiệm của phương trình : x2 − 4x+ − = 4 k 0 Còn

1 1 ; 2 2

y =kx +k y =kx +k

- Ta có : ( ( ) ) ( )2( 2) ( 2)

uuur

- Khoảng cách từ O đến đường thẳng d : 2

1

k h

k

= +

- Vậy theo giả thiết :

3 2

k

+

Đáp số : 31

4

k= , thì thỏa mãn yêu cầu của bài toán

Ví dụ 3.Cho hàm số 2 ( )m

m x

x

−

= +

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) với m=1

b Tìm m để đường thẳng d : 2x+2y-1=0 cắt ( )H m tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3/8

GIẢI

a Học sinh tự vẽ đồ thị (H)

b Đường thẳng d viết lại : 1

2

y= −x Nếu d cắt ( )H m tại hai điểm A,B thì tọa độ A,B là nghiệm của hệ :

Trang 3

( ) ( )

2

16

2 2

m x

m

−



uuur

- Khoảng cách từ O đến d là h , thì : 2 1 2 1

2 2

+

- Theo giả thiết : 2 1

m

a

Hay :

17

m m

m

 <





, thỏa mãn điều kiện (*)

- Đáp số : m=1/2

Ví dụ 4.Cho hàm số y 2x 23 ( )C

x

+

= +

b Tìm những điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A,B sao cho vòng tròn ngoại tiếp tam giác IABcó bán kính nhỏ nhất Với I là giao hai tiệm cận

GIẢI

b.Tiếp tuyến của (C) tại M(0 ;y0) là

( )2 ( 0)

0 0

2 2

x x

+ +

- d cắt tiệm cận đứng : x=-2 tại A ( )2 ( 0)

0

2

A

x

+

- d cắt tiệm cận đứng : y=2 tại B ( )2 ( 0) 0

0 0

2

x

+ +

0

1

2

x

Do :

2

2 0

1

2

x

+

Dấu bằng xáy ra khi :

Trang 4

( )

0

1

2

 = − − ⇒ = +





-Kết luận : Có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 5 Cho hàm số y 2m x ( ) ( )C m ;A 0;1

x m

−

= +

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) với m=1

b Gọi I là giao hai tiệm cận Tìm m để trên đồ thị tồn tại điểm B sao cho tam giác IAB vuông cân tại A

GIẢI

b Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng : x=-m; tiệm cận ngang : y=-1, do đó I(-m;-1)

-Nếu B thuộc đồ thị hàm số thì : 0

0

3

B x

− +

- Nếu tam giác IAB vuông cân tại A thì :

0 0

0

2

3

2

mx

IA AB

mx



uur uuur

0

2 0

0

2

4 3

2 2

x

m

m m

= ±





 +





- Vậy với x=-2 , thì y=

( )

( ) ( )





 → = − ⇒ −



 → = ⇒ −



; Với x=2 , thì y=

( ) ( ) ( ) ( )





→ = ⇒



 → = − ⇒



 → = ⇒



Ví dụ 6 Cho hàm số y 2x 11( )C

x

+

= +

b.Tìm tham số m để đường thẳng d : y=-2x+m cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt A,B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 3

GIẢI

Trang 5

b Nếu d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B thì :

2

1

2

x

+



2 8 0

- Gọi : A x( 1 ; 2 − x1 +m B x) (; 2 ; 2 − x2 +m) Với : x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình (1)

uuur

- Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên d , thì khoảng cách từ O đến d là h :

h

+

- Theo giả thiết : 1 1 2 1 1 1 2

Vậy : m2 + = 8 4 3 2 ⇔m2 + = 8 4 3 2 ⇒m2 = 40 ⇔ m = 2 10 (*)

Với m thỏa mãn điều kiện (*) thì d cắt (C) tại A,B thỏa mãn yêu cầu bài toán

b Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu , đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4

GIẢI

b Để hàm số có cực đại , cực tiểu thì : y' 3( = x2 − 2x+ − 1 m) 0 > ⇒ ∆ = > ; m 0 *( )

- Với điều kiện (*), hàm số có CĐ,CT Gọi A x y( 1 ; 1) (;B x y2 ; 2) là hai điểm cực trị Với

1 , 2

x x là hai nghiệm của phương trình (x2 − 2x+ − 1 m)=0 (1)

- Bằng phép chia phương trình hàm số cho đạo hàm của nó , ta được :

1

3 3

x

  Suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực

trị là d : y= -2mx+2m+2 ⇒ = −y1 2mx1 + 2m+ 2;y2 = − 2mx2 + 2m+ 2.

uuur

- Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên (AB), h là khoảng cách từ O đến AB thì :

2

∆

Kết luận : với m=1 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Trang 6

Ví dụ 8 Cho hàm số y 3x 11 ( )C

x

+

=

−

b Tìm tham số m để đường thẳng d : y=(m+1)x+m-2 cắt (C) tại hai điểm A,B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3/2

GIẢI

b Nếu đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B thì A,B có hoành độ là 2 nghiệm

1

x

−

Điều kiện : ( ) ( ) 2

1 0

m

g m

+ ≠







- Với điều kiện (*) thì d cắt (C) tại hai điểm A,B Gọi A x y( 1 ; 1) (;B x y2 ; 2) là tọa độ hai giao điểm , với x x1 , 2 là hai nghiệm của phương trình (1)

uuur

- Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên AB , h là khoảng cách từ O đến AB , theo giả

2

2 1

2

Ví dụ 9 Cho hàm số 2 1 2 3 ( )

x

+

b Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết tiếp tuyến này cắt hai trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 8

GIẢI

b Gọi ( 0 0) 0

0

3

1

x

− Tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình là :

( )2 ( 0)

0 0

1 1

x x

−

- d cắt Ox tại điểm B ( ) ( ) ( 2 )

2

0 0

x

−

- d cắt trục Oy tại điểm A : ( ) ( ) ( )

2

0 0 0

0

1

A

x

−

- Diện tích tam giác OAB là S :

Trang 7

( ) ( )

( )

2 2

2

0 0

0 0 2

( )

2 2

2





0

ô n

1

2

v

x





⇔  = − − ± +



a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) với m=2

b Tìm m để đường thẳng d : y=x+4 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A,B,C sao cho tam giác MBC có diện tích bằng 4 ( Điểm B,C có hoành độ khác không; M(1;3) )

GIẢI

b Đồ thị (1) cắt d tại ba điểm A,B,C có hoành độ là nghiệm của phương trình :

( )

2

0

x

=





2

Với m thỏa mãn (*) thì d cắt (1) tại ba điểm A(0; 4) , còn hai điểm B,C có hoành độ là hai nghiệm của phương trình :

2

2 0

m

- Ta có :

1 ; 1 4 ; 2 ; 2 4 2 1 ; 2 1 2 1 2 1 2 1 2

-Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên d h là khoảng cách từ M đến d thì :

2

Kết luận : với m thỏa mãn : m= − ∨ = ⇒ = 2 m 3 m 3( chọn ) Đáp số : m=3

Ví dụ 11 ( DB-2004 ) Cho hàm số y x= 4 − 2m x2 2 + 1 ( )C m (1)

b Tìm m dể hàm số (1)có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân

GIẢI

b Ta có : 3 2 ( 2 2)

2 2

0

=



- Với điều kiện (*) thì hàm số (1) có ba điểm cực trị Gọi ba điểm cực trị là :

Trang 8

( )0;1 ; ( ;1 4) (; ;1 4)

A B −m −m C m −m Do đó nếu ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông

cân , thì đỉnh sẽ là A

- Do tính chất của hàm số trùng phương , tam giác ABC đã là tam giác cân rồi , cho nên để thỏa mãn điều kiện tam giác là vuông , thì AB vuông góc với AC

( ; 4); ( ; 4); (2 ;0)

Tam giác ABC vuông khi : BC2 = AB2 +AC2 ⇔ 4m2 =m2 +m8 +(m2 +m8)

Vậy với m=-1 và m=1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán

* Ta còn có cách khác

- Tam giác ABC là tam giác vuông khi trung điểm I của BC : AI=IB , với I =(0; −m4)

⇔uur= ⇒ = uur= ⇒ = ⇔ = ⇒ = Hay : m4 = ⇔ = ± 1 m 1

Ví dụ 12 (KD-2007) Cho hàm số y 2x1 ( )C

x

= +

b Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) , biết tiếp tuyến tại M cắt hai trục Ox,Oy tại hai điểm A,B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1/4

GIẢI

b Gọi ( ) ( ) 0

0

2

;

1

x

+

- Tiếp tuyến tại M là d : ( ) ( ) ( )

0

2

0 0

2 2

1 1

x

x x

+ +

2

0 0

2 2

1

x

x x

+ +

- d cắt Oy tại điểm B :

0

2

1

x

+

- Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên d ,h là khoảng cách từ O đến d thì :

( ) ( )

4

0

x

uuur

Vậy :

( )

4

0

x

2



 = − → = −

- Do đó có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán : 1( ) 2

1

2

Trang 9

Ví dụ 13.(DB-2007) Cho hàm số 1 1 ( )

x

b Lập phương trình tiếp tuyến d của (C) sao cho d và hai tiệm cận cắt nhau tạo thành một tam giác cân

GIẢI

b.Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại điểm M x y( 0 ; 0) , thì d :

( )2( 0) 0 0

0 0

1

1 1

x x

+

- Nếu d cắt tiệm cận đứng : x=-1 tại điểm B :

0

1

B

x

- Khi d cắt tiệm cận ngang : y=1 tại điểm A , thì :

0

1

x

+

- Goi giao hai tiệm cận là I(-1;1) Tam giác IAB là tam giác cân khi : IA=IB

0

0 0

1

x

x x

−



 −

Với x=0 và y=0 , ta có tiếp tuyến : y=x

Với x=-2 và y=2/3 , ta có tiếp tuyến : y=x+8/3

Ví dụ 14.(DB-2008) Cho hàm số 3 1 3 2 ( )

x

+

b Tính diện tích tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm M(-2;5)

GIẢI

b Ta có : ( )2

2

1

x

+

- Tiếp tuyến d cắt trục Ox tại điểm A (-9/2;0) Tiếp tuyến d cắt trục Oy tại điểm B(0;9)

- Do đó : 1 . 1 9.9 81( )

x

Trang 10

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

b Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành , trục tung lần lượt tai hai điểm phân biệt A,B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O

GIẢI

b.Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại ( )

0

1

x

+

- d cắt trục Oy tại B : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

0 0

0

1

B

x

+

- d cắt trục Ox tại A : ( ) ( )

2

0

1 0

x

+

- Tam giác OAB cân

2

;

OA OB

0

2

0

x

+ ≠





Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán : 1 2( )

2

3

Ví dụ 16.(ĐH-KB-2010 ) Cho hàm số 2 1 2 1 ( )

x

+

b.Tìm m để đường thẳng d : y=-2x+m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3 ( Với O là gốc tọa độ )

GIẢI

b Nếu d cắt (C) tại hai điểm A,B thì A,B có hoành độ là hai nghiệm của phương trình :

2

1

x

+

( )2 ( )

2





- Với điều kiện (*) thì d cắt (C) tại hai điểm :

uuur

- Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên d , h là khoảng cách từ O đến d :

Trang 11

2 1 2 1

2

a m

+

-Do đó , với m = 2 10, thì thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 17.( Dự trữ -KB-2007) Cho hàm số 1 (1) ( )

m

x

= − + +

−

b Tìm m để đồ thị (1) có cực đại tại điểm A, sao cho tiếp tuyến với (1) tại A cắt trục Oy tại B mà tam giác OAB vuông cân

GIẢI

a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) với m=1

b Ta có : ( ) ( )

2

1,2

8

CD

m

∆ = − >



<





- Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị : y=3-2x

- Tiếp tuyến tại điểm cực đại A song song với trục Ox :

- Đường thẳng d cắt trục Oy tại B : B(0;y CD) ⇔B(0;7 2 8 + −m)

-Do tung độ của A và B bằng nhau , cho nên tam giác OAB cân chỉ xảy ra khi tam giác cân tại B BO=BA

- Với : BAuuur=(x CD;0)⇒BA= x CD = − − 2 8 −m = + 2 8 −m.

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	447 KB