Tiệm cận hàm số (Đỗ văn Thọ)

Chuyên đề hàm số GV. Đỗ Văn Thọ 1 TIỆM CẬN HÀM SỐ 1. Tiệm cận ngang: Định nghĩa: Đường thẳng 0 y y  được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số   y f x  nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:   0 0 lim x f x y   hoặc   0 0 lim x f x y   * Nhận xét: - Xét hàm số       f x y f x g x   (khi hàm số không có mẫu ta xem như   1 g x  ). Nếu bậc của   g x lớn hơn hoặc bằng bậc của   f x thì hàm số có tiệm cận ngang. Nếu bậc của   g x lớn hơn bậc của   f x thì ta có tiệm cận ngang là đường thẳng 0 y  - Đồ thị hàm số   2 , 0 y p ax bx c mx n a       có tiệm cận ngang (tính giới hạn này ta có thể sử dụng bằng cách nhân, chia cho lượng liên hợp…) 2. Tiệm cận đứng: Định nghĩa: Đường thẳng 0 x x  được gọi là tiệm cận đứng của hàm số   y f x  nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:     0 0 lim ;lim x x x x f x f x             0 0 lim ;lim x x x x f x f x         * Nhận xét: Thông thường tại những điểm 0 x x  làm cho hàm số   y f x  không xác định thì tiệm cận đứng là đường thẳng 0 x x  . Tuy nhiên vẫn có một số trường hợp thì tại 0 x x  hàm số không xác định nhưng vẫn không có tiệm cận đứng. Ví dụ:   2 4 3 1 x x y f x x      hàm số không xác định tại 1 x  nhưng đường thẳng 1 x  không phải là tiệm cận đứng. Vì:            2 1 1 1 2 1 1 1 1 3 4 3 lim lim lim 2 1 1 1 3 4 3 lim lim lim 2 1 1 x x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x                                 Chuyên đề hàm số GV. Đỗ Văn Thọ 2 3. Tiệm cận xiên: Đường thẳng y ax b   được gọi là tiệm cận xiên của hàm số   y f x  nếu thỏa mãn các điều kiện sau:   lim x f x a x   với 0 a    lim 0 x b f x ax         * Nhận xét: - Nếu hàm số   y f x  được cho ở dạng       h x y f x ax b g x     trong đó     lim 0 x h x g x   thì đường thẳng y ax b   là đường tiệm cận xiên - Nếu   lim 0 x f x a x    thì hàm số không có tiệm cận xiên - Hàm số   2 , 0 y ax bx c a      Nếu 0 a   đồ thị hàm số không có tiệm cận  Nếu 0 a  đồ thị hàm số có tiệm cận xiên 2 b y a x a         khi x   và 2 b y a x a          khi x   - Đồ thị hàm số     p x y q x  . Nếu bậc của   p x lớn hơn bậc của   q x một bậc thì ta chia đa thức   p x cho   q x khi đó ta sẽ chuyển hàm số         p x r x y mx n q x q x     trong đó bậc của   r x nhỏ hơn bậc của   q x và     lim 0 x r x q x   thì đường thẳng y mx n   là đường tiệm cận xiên - Nếu đồ thị hàm số     p x y q x  có bậc của   q x lớn hơn hoặc bằng bậc của   p x thì hàm số không có tiệm cận xiên Chuyên đề hàm số GV. Đỗ Văn Thọ 3 BÀI TẬP Bài 1: Tìm các đường tiệm cận của các hàm số sau 1. 3 2 2 x y x    2. 2 5 3 1 x y x     3. 1 1 5 y x x     4. 2 2 6 1 3 1 x x y x     5. 2 2 3 4 x y x    6. 2 4 8 x y x   Bài 2: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số sau 1. 3 2 4 2 3 1 x y x x      2. 3 2 2 2 x y x x    3. 3 2 2 4 4 x x y x     4. 2 2 2 2 3 x x y x x      Bài 3: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số sau 1. 2 2 3 x y x   2. 2 4 3 2 y x x x      3. 2 3 4 y x x    Bài 4: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số 1. 2 1 2 x y x    2. 2 1 1 x x y x     3. 2 1 x y x   4. 2 1 1 y x    5. 3 2 3 4 x y x    6. 2 4 5 y x x x     7. 2 2 3 4 5 2 x x y x     8. 2 5 1 2 x x y x     9. 2 2 2 y x x    10. 2 1 y x x    11. 2 4 x y x x     Bài 5: Tùy theo giá trị của tham số m. Hãy tìm tiệm cận của đồ thị hàm số sau: 1. 3 1 1 x y mx    2.   2 4 1 2 4 m x m y mx      Bài 6: Tìm m để hàm số 1 y mx x   có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của hàm số đã cho đến đường tiệm cận xiên của nó bằng 2 17 Chuyên đề hàm số GV. Đỗ Văn Thọ 4 Bài 7: Tìm m để hàm số 2 1 1 mx mx m y x      có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của hàm số đã cho đến đường tiệm cận xiên của nó bằn 1 2 Bài 8: Cho hàm số. Tìm m để khoảng cách từ gốc O đến TCX hoặc TCN là nhỏ nhất 1.   2 2 2 2 3 1 mx m m x m y x        2.   2 2 2 4 3 1 x m x m m y mx        KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Các bước thực hiện: 1. Tìm tập xác định 2. Chiều biến thiên - Tìm các giới hạn lim x y  . Hoặc các đường tiệm cận (nếu có) - Tính ' y . Xét dấu ' y . Suy ra chiều biến thiên và các điểm cực trị - Lập BBT 3. Vẽ đồ thị - Tính '' y tìm điểm uốn (nếu có) - Điểm đặc biệt: Tìm giao điểm của đồ thị với 2 trục ; Ox Oy - Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) - Vẽ đồ thị và nhận xét BÀI TẬP Bài 1: Khảo sát các hàm số sau 1) 3 2 3 y x x   2)     2 1 2 y x x   3) 3 1 y x   4) 3 6 y x x    5)   2 3 y x x   6) 3 2 4 4 y x x x    7) 3 3 y x x    8) 3 2 4 4 y x x x     9) 3 6 y x x   10) 3 1 y x x    11) 3 2 3 3 1 y x x x      12) 3 1 y x    Bài 2: Khảo sát các hàm số sau: 1) 4 2 2 y x x   2) 2 4 2 y x x   3) 4 1 y x   4) 4 2 2 1 y x x     5) 4 2 y x x   6)     2 2 2 2 y x x   Chuyên đề hàm số GV. Đỗ Văn Thọ 5 7) 4 2 4 1 y x x     8) 4 2 3 1 2 x y x     9) 4 2 2 y x x    10) 4 2 2 2 y x x    11) 4 1 y x   12) 4 2 2 y x x     Bài 3: Khảo sát các hàm số sau: 1) 2 2 x y x    2) 2 1 x y x    3) 4 4 y x   4) 2 y x   5) 2 2 1 x y x    6) 3 1 1 y x    Bài 4: Khảo sát các hàm số sau: 1) 2 1 x y x   2) 1 3 1 y x x      3) 2 2 1 x x y x     4) 1 1 2 y x x     5)   2 2 1 x y x    6) 2 1 x y x   7) 2 1 x y x    8) 2 5 6 1 x x y x     9) 2 2 15 3 x x y x     10) 2 3 1 2 x x y x     11) 2 3 1 2 x x y x      12) 2 2 15 3 x x y x     MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ * Vấn đề 1: Giao điểm giữa hai đồ thị Cho hai đường cong     : C y f x  và     ' : C y g x  . Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’) có dạng     f x g x  (1). Số nghiệm của phương trình (1) tương ứng với số giao điểm của (C) và (C’) Bài tập Bài 1: Cho hàm số   3 2 1 1 y x m x     (C) a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với 2 m  b. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt Bài 2: Cho hàm số   2 y x m x m    (C). Chứng minh rằng đường thẳng (d): 1 y kx k    luôn cắt đồ thị hàm số tại một điểm cố định Chuyên đề hàm số GV. Đỗ Văn Thọ 6 ĐS:   1;1 M  Bài 3: Cho hàm số 3 4 1 x y x    . Xác định a để đường thẳng   : 3 d y ax   không cắt đồ thị hàm số ĐS: 28 0 a    Bài 4: Cho hàm số 2 4 3 2 x x y x     . Tìm k để đồ thị hàm số cắt đường thẳng   : 1 d y kx   tại hai điểm phân biệt ĐS: 1 k  Bài 5: Cho hàm số 3 2 3 1 y x x    a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b. Đường thẳng đi qua điểm   3;1 A  và có hệ số góc bằng k. Xác định k để đường thẳng đó cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt ĐS: 0 9 k   Bài 6: Cho hàm số 3 2 3 y x x   a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b. Gọi (d) là đường thẳng qua O và có hệ số góc k. Tìm k để đường thẳng (d) cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt   0;0 O , A và B Bài 7: Cho hàm số     2 4 1 y x x    (C) a. Khảo sat sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b. Gọi   A C Oy   , (d) là đường thẳng qua A và có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, B và C Bài 8: Cho hàm số     3 2 2 2 5 2 2 1 y m x m x x m        a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với 3 2 m   b. Xác định m để đồ thị hàm số   C cắt trụ hoành tại đúng một điểm ĐS: 2 m   Bài 9: Cho hàm số   4 2 1 2 1 y m x mx m      a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với 2 m  b. Tìm m để đồ thị hàm số cắt Ox tại 4 điểm phân biệt c. Tìm m để hàm số có đúng một cực trị Chuyên đề hàm số GV. Đỗ Văn Thọ 7 ĐS: b) 1 2 ;1 \ 2 3 m              c)     ,0 1;m     * Vấn đề 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số   y f x  tại điểm   0 0 ; M x y - Tính   ' ' y f x  rồi tính   0 ' f x - Viết PTTTT:     0 0 0 ' y y f x x x    Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k cho trước - Tính   ' f x - Hệ số góc của tiếp tuyến   0 0 ' k f x x   và 0 y trong đó   0 0 ; M x y là tọa độ tiếp điểm - PTTT có dạng   0 0 y k x x y    Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm   ; A A A x y cho trước * Cách 1: - Giả sử hoành độ tiếp điểm là 0 x x  , khi đó PTTT có dạng:         0 0 0 : ' d y f x x x f x    - Điểm           0 0 0 ; ' A A A A x y d y f x x x f x      0 0 x y    PTTT * Cách 2: - Phương trình đường thẳng (d) đi qua   ; A A A x y có dạng:     : A A d y k x x y    - Đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị hàm số khi hệ sau có nghiệm         ' A A f x k x x f x k f x k           tiếp tuyến Dạng 4: Tìm điểm để từ đó kẻ được m tiếp tuyến đến đồ thị - Giả sử   0 0 ; A x y là điểm cần tìm. Phương trình đường thẳng đi qua   0 0 ; A x y với hệ số góc k có dạng:     : A A d y k x x y    - Đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị (C) khi hệ sau có nghiệm: Chuyên đề hàm số GV. Đỗ Văn Thọ 8       ' A A f x k x x y f x k          Khi đó PTTT có dạng       ' A A f x f x x x y    (1) - Khi đó số nghiệm phân biệt của (1) là số tiếp tuyến kẻ được từ A đến đồ thị (C) Ví dụ: Viết PTTT đi qua   2;0 A đến (C) 3 6 y x x    Hướng dẫn: - Gọi (d) là PTTT đi qua   2;0 A và có hệ số góc k có dạng:   0 2 2 y k x y kx k       - Phương trình hoành độ giao điểm chung của (C) và (d) là:   3 2 6 2 3 1 x x k x x k            - Giải hệ trên tìm được 2 11 k k    - Vậy có hai tiếp tuyến với (C) đi qua A(2;0)     1 2 : 2 4 : 11 22 d y x d y x     BÀI TẬP Bài 1: Viết PTTT của đồ thị hàm số 3 2 2 3 1 3 x y x x     . Biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng 3 y x  Bài 2: Cho hàm số   4 2 1 5 2 1 4 4 y m x m x m             . Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ 1 x   vuông góc với đường thẳng 2 3 y x   Bài 3: Cho (C)   3 2 3 2 y f x x x     . Viết PTTT với (C), biết tiếp tuyến vuông góc với 5 3 4 0 y x    Bài 4: Cho (C)   3 2 2 3 12 5 y f x x x x      a. Viết PTTT với (C). Biết tiếp tuyến song song với 6 4 y x   b. Viết PTTT với (C). Biết tiếp tuyến này vuông góc với 1 2 3 y x    Chuyên đề hàm số GV. Đỗ Văn Thọ 9 Bài 5: Viết PTTT đi qua 2 ; 1 3 A        đến 3 3 1 y x x    Bài 6: Có bao nhiêu tiếp tuyến qua   1; 4 A  đến đồ thị (C): 3 2 2 3 5 y x x    Bài 7: Cho hàm số   4 2 2 3 y f x x x     (C). Tìm trên (C) những điểm mà tiếp tuyến với (C) tại điểm đó song song tiếp tuyến với (C) tại điểm A(1;2) ĐS: M(0;3) Bài 8: Cho hàm số     4 2 2 3 * y f x x x    . Tìm trên đường thẳng 2 y  những điểm mà qua đó ta kẻ được 4 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) của hàm số (*) ĐS: Không tồn tại điểm Bài 9: Cho hàm số 3 2 3 3 y x x    . Tìm trên đường thẳng những điểm mà qua đó kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) của hàm số HD: Gọi   ; 1 M a  ; 1 5 2 3 a a         Bài 10: Cho hàm số   3 2 3 3 y x x C    . Tìm trên đồ thị (C) những điểm mà qua đó kẻ đúng một tiếp tuyến với đồ thị (C) ĐS: M(1;1) Bài 11: Viết PTTT với đồ thị hàm số 3 2 3 2 y x x    , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): 9 7 y x   ĐS: 9 25 y x   Bài 12: Cho       2 1 6 : m m x m C y f x x m       . Định m để tiếp tuyến với (C) tại điểm trên (C) có hoành độ bằng 2 song song với đường thẳng (d): 3 y x    ĐS: Không tồn tại Bài 13: Cho hàm số   2 3 1 m x m m y x m      (C). Định m để tại giao điểm của đồ thị (C) với trục Ox, tiếp tuyến đó song song với đường thẳng (d): 1 y x   ĐS: 2 1 ;0 ; 3 1 5 m m A m m           Chuyên đề hàm số GV. Đỗ Văn Thọ 10 Bài 14: Cho hàm số   3 2 3 2 y f x x x     (C). Tìm trên đường thẳng 2 y  những điểm mà qua đó kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) vuông góc với nhau ĐS: 1 ;2 9 M        Bài 15: Cho hàm số 2 2 3 1 x x y x     (C). Tìm trên đường thẳng 2 y  những điểm mà qua đó kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) vuông góc với nhau ĐS: M(-1;2) Bài 16: Cho hàm số 2 2 3 1 x x y x     (C). Tìm tập hợp những điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy mà qua M kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) vuông góc với nhau ĐS: Tập hợp các điểm M là đường tròn   2 2 1 8 x y    với 1; x x y   Bài 17: Cho hàm số   1 1 1 m y f x x x       (C). Tìm điều kiện cần và đủ của m để trên mặt phẳng tọa độ tồn tại ít nhất một điểm sao cho từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) và 2 tiếp tuyến này vuông góc với nhau ĐS: 1 m  Bài 18: (ĐHAN - 1997) Cho 3 2 2 x y x    (C). Viết PTTT của (C) có hệ số góc bằng 4. Tìm tọa độ tiếp điểm ĐS: 4 3 y x   và 4 19 y x   Bài 19: (Khối D - 2010): Cho (C) 4 2 6 y x x     . Viết PTTT của (C), biết tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng 1 1 6 y x   ĐS: 6 10 y x    Bài 20: (ĐHNTHCM) Cho (C): 3 2 3 9 5 y x x x     . Viết PTTT của (C) sao cho nó có hệ số góc nhỏ nhất ĐS: 12 4 y x    Bài 21: (Khối D - 2007) [...]... 2 Viết PTTT của (C) sao cho nó có hệ số góc lớn nhất ĐS: y  3 x  3 11 Chuyên đề hàm số GV Đỗ Văn Thọ HƯỚNG DẪN * MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ Bài 1: b) Phương trình hoành độ giao điểm: x 3  2m  x  1  1  0   x  1  x 2  x  1  2m  x  1  0   x  1  x 2  x  1  2m   0  x  1  2  x  x  1  2m  0  g  x   0 Hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt... biệt  t1  t2  0 14 Chuyên đề hàm số GV Đỗ Văn Thọ 1  m  0  2 a  0  m  4 1  m  2m  1  0   0    1  2   m 0  m   ;1 \    2  3 S  0 1  m P  0  2m  1  0   1 m c) Tìm m để hàm số có đúng 1 cực trị y '  4 1  m  x 3  2mx  2 x  2 1  m  x 2  m    x  0 Cho y '  0   2 1  m  x 2  m  0  g  x   0  Để hàm số có đúng 1 cực trị  g  x... 0   k  0  Bài 7: Theo đề A   C   Oy  A  0; 4  Đường thẳng (d) đi qua A có hệ số góc k có dạng: y  kx  4 (d) Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): 2  4  x  x  1  kx  4   4  x   x 2  2 x  1  kx  4   x 3  2 x 2  x  4 x 2  8 x  4  kx  4 13 Chuyên đề hàm số GV Đỗ Văn Thọ  x3  6 x2   9  k  x  0 x  0  x  x  6x  9  k   0   2  x  6x  9... 1  0 vô lý  m  1 (nhận) (1) * Trường hợp 2: 1  m  0  m  1 m g  x   0  x2  2 1  m  Hàm số có 1 cực trị m  0 m  0  m    m   ;0  1;   (2) 0 m   ;0   1;     2 1  m   Từ (1) và (2) ta suy ra m   ;0  1;   * Vấn đề 2: Phương trình tiếp tuyến của hàm số Bài 1: Gọi M  x0 ; y0  là tọa độ tiếp điểm Tiếp tuyến song song với đường thẳng y  3 x  k... 7  0 vô lý  a  0 (thỏa mãn) (1) * Trường hợp: a  0 thì  * vô nghiệm    0  a 2  28a  0  28  a  0 (2) Từ (1) và (2), 28  a  0 thì (C) và (d) không cắt nhau Bài 4: 12 Chuyên đề hàm số GV Đỗ Văn Thọ Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): x2  4x  3  kx  1  x 2  4 x  3  kx 2  x  2kx  2 x2 1  k  x2   3  2k  x  1  0 * (C) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân...Chuyên đề hàm số GV Đỗ Văn Thọ 2x Tìm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt Ox, Oy tại x 1 1 A, B sao cho SOAB  4  1  ĐS: M 1 1;1 ; M 2   ; 2   2  Bài 22: (Khối A - 2009) x2 Cho (C) y  Viết PTTT... thẳng y  3 x  k  f '  x0   3  x0  0  y0  1 2 f '  x   x 2  4 x  3  f '  x0   x0  4 x0  3  3    x0  4  y0  7  3  Với M  0;1   d  : y  3x  1 là PTTT 15 Chuyên đề hàm số GV Đỗ Văn Thọ 7 29 29  7 Với M  4;    d '  : y  3  x  4    3x   y  3x  là PTTT 3 3 3  3 Bài 2: Gọi M  x0 ; y0  là tọa độ tiếp điểm Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y  2 x  3... là tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến đi qua A  ; 1 có dạng 3  2  y  k  x    1 (d), trong đó k  f '  x0  3  2 y '  f '  x   3 x 2  3  k  f '  x0   3x0  3 16 Chuyên đề hàm số GV Đỗ Văn Thọ M   d   Vì   Tọa độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: M  C    2 2   3 2 f  x02 x   f '  x0   x0    1  x0  3x0  1   3x0  3  x0    1 3 3   3 3 2...  1  0   x0  8  7  33  x0   8  Bài 7: * Tiếp tuyến tại điểm A 1; 2  f '  x   4 x3  4 x  f ' 1  0 PTTT có dạng y  2 * Tiếp tuyến song song với đường thẳng y  2 17 Chuyên đề hàm số GV Đỗ Văn Thọ Gọi M  x0 ; y0  là tọa độ tiếp điểm  x0  0  y0  3 3 2 f  f '  x0   0  4 x0  4 x0  0  4 x0  x0  1  0   x0  1  y0  2   x0  1  y0  2  Nhận xét: Ta thấy M 1; 2...  4m  0  m  1  g 1  0      3  3  m   ;   ;   \ 1    2   2     Vậy giá trị m thỏa điều kiện trên thì từ M  m; 2  sẽ có 4 tiếp tuyến đến đồ thị 18 Chuyên đề hàm số GV Đỗ Văn Thọ Bài 9: Gọi M  x0 ; y0  là tọa độ tiếp điểm 2 y '  f '  x   3x 2  6 x  k  f '  x0   3 x0  6 x0 Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A  a; 1 có dạng: y  k  x  a   1 Tọa . x a x    thì hàm số không có tiệm cận xiên - Hàm số   2 , 0 y ax bx c a      Nếu 0 a   đồ thị hàm số không có tiệm cận  Nếu 0 a  đồ thị hàm số có tiệm cận xiên 2 b y a. Chuyên đề hàm số GV. Đỗ Văn Thọ 1 TIỆM CẬN HÀM SỐ 1. Tiệm cận ngang: Định nghĩa: Đường thẳng 0 y y  được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số   y f x  nếu ít. là đường tiệm cận xiên - Nếu đồ thị hàm số     p x y q x  có bậc của   q x lớn hơn hoặc bằng bậc của   p x thì hàm số không có tiệm cận xiên Chuyên đề hàm số GV. Đỗ Văn Thọ