Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Bài 3 :TIỆM CẬN HÀM SỐ
3.1TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang:
• Đường thẳng y = y 0 được gọi là đường tiệm cận ngang ( gọi tắt là tiệm cận
( )
( )
( )
ngang) của đồ thị hàm số y = f x nếu lim f x = y 0 hoặc lim f x = y 0 .
•
x →+∞
x →−∞
Đường thẳng x = x 0 được gọi là đường tiệm cận đứng ( gọi tắt là tiệm cận
( )
( )
lim f ( x ) = −∞ hoặc lim f ( x ) = −∞ .
đứng) của đồ thị hàm số y = f x nếu lim− f x = +∞ hoặc
x →x 0
( )
lim f x = +∞ hoặc
x →x 0 +
x →x 0 −
x →x 0 +
2. Đường tiệm cận xiên:
Đường thẳng y = ax + b a ≠ 0 được gọi là đường tiệm cận xiên ( gọi tắt là
(
)
( )
tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f x nếu
lim f x = f x − ax + b = 0 hoặc lim f x = f x − ax + b = 0
x →−∞
( )
( ) (
f (x )
Trong đó a = lim
x →+∞
x →+∞
a = lim
( )
f x
x →−∞
x
x
)
( )
( ) (
)
, b = lim f x − ax hoặc
x →+∞
( )
, b = lim f x − ax .
x →−∞
( )
Chú ý : Nếu a = 0 thì tiệm cận xiên trở thành tiệm cận đứng.
3.2 DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Ví dụ 1 : Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số :
2x − 1
1. y =
3. y =
x +2
2. y =
x2 − x + 1
x −1
x2 + 1
x
4. y = 1 + 1 − x 2
Giải :
2x − 1
x +2
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên D = » \ 2 .
1. y =
{}
86
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
2x − 1
* Ta có: lim y = lim
= lim
x →−∞
x →−∞ x + 2
x →−∞
2x − 1
lim y = lim
= lim
x →+∞
x →+∞ x + 2
x →+∞
1
x = 2 và
2
1+
x
2−
1
x = 2 ⇒ y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị khi
2
1+
x
2−
x → −∞ và x → +∞ .
2x − 1
lim y = lim
= −∞ và
−
− x +2
x → −2
x → −2
( )
( )
lim y =
( )+
x → −2
( )
x → −2
x→
−
2x − 1
= +∞ ⇒ x = −2 là tiệm cận đứng của đồ thị khi
+ x +2
−2
lim
( )
( )
+
và x → −2 ;
y
2x − 1
= lim
= 0 ⇒ hàm số f không
x →−∞ x
x →−∞ x x + 2
lim
(
)
có tiệm cận xiên khi x → −∞ .
1
y
2x − 1
x = 0 ⇒ hàm số y không có tiệm cận
lim
= lim
= lim
x →+∞ x
x →+∞ x x + 2
x →+∞ x + 2
2−
(
)
xiên khi x → +∞ .
x2 − x + 1
x −1
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên D = » \ 1
2. y =
{}
1
x −1
1
⇒ lim y = lim x +
= +∞ và
x −1
x →1+
x →1+
1
lim y = lim x +
= −∞ ⇒ x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
−
−
x
−
1
x →1
x →1
* Ta có: y = x +
khi x → 1+ và x → 1− ;
1
lim y = lim x +
= +∞ và
x →+∞
x →+∞
x −1
1
lim y = lim x +
= −∞ ⇒ hàm số không có tiệm cận ngang
x →−∞
x →−∞
x −1
87
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
1
1
= 0 và lim (y − x ) = lim
=0
x →+∞
x →+∞ x − 1
x →−∞
x →−∞ x − 1
⇒ y = x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi x → +∞ và x → −∞ .
lim (y − x ) = lim
x2 + 1
3. y =
x
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên D = » \ 0 .
{}
1
x 2 = − lim 1 + 1 = −1, ⇒ y = −1 là tiệm cận ngang
lim y = lim
x →−∞
x →−∞
x →−∞
x
x2
của đồ thị hàm số khi x → −∞ .
−x 1 +
1
x 2 = lim 1 + 1 = 1, ⇒ y = 1 là tiệm cận ngang của đồ
lim y = lim
x →+∞
x →+∞
x →+∞
x
x2
thị hàm số khi x → +∞ .
x 1+
x2 + 1
x2 + 1
= −∞ , lim+ y = lim+
= +∞ ⇒ x = 0
x →0
x →0
x →0
x →0
x
x
đứng của đồ thị hàm số khi x → 0− và x → 0+
lim− y = lim−
y
x2 + 1
lim = lim
= lim
x →−∞ x
x →−∞
x →−∞
x2
xiên khi x → −∞
2
y
x +1
= lim
= lim
x →+∞ x
x →+∞
x →+∞
x2
khi x → +∞
−x 1 +
x2
x 1+
lim
x2
là tiệm cận
1
x 2 = 0 ⇒ hàm số y không có tiệm cận
1
x 2 = 0 ⇒ hàm số y không có tiệm cận xiên
4. y = 1 + 1 − x 2
−1 ≤ x ≤ 1
2
y = 1 + 1 − x ⇔ y ≥ 1
2
x + y − 1
(
2
)
=1
( )
Do đó đồ thị hàm số là nửa đường tròn tâm I 0;1 , bán kính R = 1 .
Vậy đồ thị hàm số không có tiêm cận.
Chú ý :
88
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Cho hàm phân thức f (x ) =
u(x )
.
v(x )
v(x ) = 0
a) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là số nghiệm của hệ
.
u
(
x
)
≠
0
b) Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang ⇔ deg u(x ) ≤ deg v(x ) , trong đó deg là
bậc của đa thức.
c) Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên ⇔ deg u(x ) = deg v(x ) + 1 .Khi đó để tìm
tiệm cận xiên ta chia u(x ) cho v(x ) , ta được: y = ax + b +
u1 (x )
v(x )
, trong đó
deg u1 (x ) < deg v(x )
⇒ lim
u1 (x )
u1 (x )
= 0 ⇒ y = ax + b là TCX của đồ thị hàm số.
v(x ) x → −∞ v(x )
* Nếu đồ thị hàm số có tiệm cận ngang thì không có tiệm cận xiên và ngược lại.
Bài tập tự luyện:
Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số :
3x − 2
3. y = x + x 2 + 4x + 5
1. y =
3x + 4
x 2 + 5x + 1
2x 2 + 3x − 4
2. y =
2. y =
x +2
5x − 2
x → +∞
= lim
Ví dụ 2: Tìm tiệm cận của các đồ thị hàm số sau:
1. y = x 2 − 2x + 2
2. y = x + x 2 − 1
Giải :
1. y = x 2 − 2x + 2
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên » .
y
x 2 − 2x + 2
2 2
* Ta có: a = lim
= lim
= lim 1 − +
=1
x →+∞ x
x →+∞
x →+∞
x
x x2
b = lim (y − ax ) = lim x 2 − 2x + 2 − x
x →+∞
x →+∞
2
−2 +
−2x + 2
x
= lim
= lim
= −1
x →+∞
x →+∞
2
2
2
x − 2x + 2 + x
1− +
+1
x x2
⇒ y = x − 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi x → +∞ .
89
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
y
x 2 − 2x + 2
2 2
= lim
= − lim 1 − +
= −1
x →−∞ x
x →−∞
x →−∞
x
x x2
b = lim (y − ax ) = lim x 2 − 2x + 2 + x
x →−∞
x →−∞
2
−2 +
−2x + 2
x
= lim
= lim
=1
x →−∞
x →−∞
2
2
2
x − 2x + 2 − x
− 1− +
−1
x x2
⇒ y = −x + 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi x → −∞ .
a = lim
2. y = x + x 2 − 1
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên D = −∞; −1 ∪ 1; +∞ .
(
)
y
x + x2 − 1
1
=2
= lim
= lim 1 + 1 −
2
x →+∞ x
x →+∞
x →+∞
x
x
−1
b = lim y − ax = lim x 2 − 1 − x = lim
=0
x →+∞
x →+∞
x →+∞ x 2 − 1 + x
a = lim
(
)
⇒ y = 2x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi x → +∞ .
y
x + x2 − 1
1
=0
a = lim
= lim
= lim 1 − 1 −
2
x →−∞ x
x →+∞
x →+∞
x
x
−1
b = lim y = lim x 2 − 1 + x = lim
=0
x →−∞
x →−∞
x →−∞ x 2 − 1 − x
⇒ y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi x → −∞ .
Nhận xét:
1) Xét hàm số y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) .
* Nếu a < 0 ⇒ đồ thị hàm số không có tiệm cận.
* Nếu a > 0 đồ thị hàm số có tiệm cận xiên y = a (x +
b
) khi x → +∞ và
2a
b
y = − a x +
khi x → −∞ .
2a
2) Đồ thị hàm số y = mx + n + p ax 2 + bx + c (a > 0) có tiệm cận là đường
thẳng : y = mx + n + p a | x +
b
|.
2a
90
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Bài tập tự luyện:
Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số :
1. y =
x −2
−x
x +4
3. y = x − x 2 + 2x + 3
Ví dụ 3: Tùy theo giá trị của tham số m . Hãy tìm tiệm cận của đồ thị hàm số
x −1
sau: y =
.
mx 3 − 1
Giải :
* m = 0 ⇒ y = −x + 1 ⇒ đồ thị hàm số không có tiệm cận.
x −1
⇒ lim f (x ) = lim f (x ) = 0 ⇒ y = 0 là tiệm cận
x → +∞
x → −∞
x3 − 1
ngang của đồ thị hàm số khi x → +∞ và x → −∞ .
1
Vì lim f (x ) = lim = ⇒ đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng
3
x →1+
x →1−
* m = 1 ⇒ f (x ) =
m ≠ 0
1
*
⇒ hàm số xác định trên D = » \
3
m ≠ 1
m
Đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Đường thẳng x =
1
3
là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
m
Bài tập tự luyện:
Tùy theo giá trị của tham số m . Hãy tìm tiệm cận của đồ thị hàm số sau:
( m − 1) x
y=
2
+m +2
mx 4 + 4
.
1
có cực trị và khoảng cách từ điểm
x
2
cực tiểu của hàm số đã cho đến đường tiệm cận xiên của nó bằng
.
17
Giải :
Ví dụ 4: Tìm m để hàm số y = mx +
(
) (
)
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên −∞; 0 ∪ 0; +∞ .
* Ta có : y ' = m −
1
x2
,x ≠ 0 .
91
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Để hàm số đã cho có cực trị thì phương trình y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt
khác 0 .
1
1
1
Với m > 0 thì y ' = 0 ⇔ m −
= 0 ⇔ x1 = −
< x2 =
và điểm cực
x2
m
m
1
tiểu của hàm số là A
;2 m .
m
1
1
= lim
= 0 nên d : y = mx là đường cận xiên.
Vì lim
x →−∞ x
x →+∞ x
1
m
−2 m
m
2
2
2
m
Theo bài toán d
=
⇔
=
⇔
=
(A,(d )) 17
17
17
m2 + 1
m2 + 1
m = 4
2
2
.
17.m = 2 m + 1 ⇔ 4m − 17m + 4 = 0 ⇔
m = 1
4
Bài toán tương tự :
()
mx 2 − mx + m − 1
có cực trị và khoảng cách từ điểm
x −1
1
cực tiểu của hàm số đã cho đến đường tiệm cận xiên của nó bằng
.
2
Tìm m để hàm số y =
Ví dụ 5 : Cho hàm số y =
)
(
mx 2 + m 2 + m + 2 x + m 2 + 3
. Tìm m để
x +1
khoảng cách từ gốc O đến tiệm cận xiên hoặc ngang là nhỏ nhất .
Giải :
(
) (
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên −∞; −1 ∪ −1; +∞
)
(
mx 2 + m 2 + m + 2 x + m 2 + 3
y=
x +1
= mx + m 2 + 2 +
)
1
, x ≠ −1
x +1
1
1
= lim
= 0 nên d : y = mx + m 2 + 2
x →−∞ x + 1
x →+∞ x + 1
()
Vì lim
()
⇔ d : mx − y + m 2 + 2 = 0 là đường cận xiên hoặc ngang của hàm số.
(
)
m2 + 2
Ta có : d O; d =
m2 + 1
= m2 + 1 +
1
≥2
m2 + 1
92
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
(
)
m2 + 1 =
Vậy d O; d nhỏ nhất bằng 2 khi
1
⇔ m = 0.
m2 + 1
Khi đó hàm số có tiệm cận ngang là y = 2 .
Bài toán tương tự :
Cho hàm số y =
(
)
x 2 + m + 2 x + m 2 − 4m + 3
mx + 1
O đến tiệm cận xiên hoặc ngang là nhỏ nhất .
. Tìm m để khoảng cách từ gốc
mx 2 + (3m 2 − 2)x − 2
C m ,với m ∈ » .
x + 3m
( )
1. Tìm m để góc giữa hai tiệm cận của đồ thị (C m ) bằng 450 .
2. Tìm m để đồ thị (C m ) có tiệm cận xiên tạo cắt hai trục tọa độ tại A, B sao
Ví dụ 6: Cho hàm số y =
cho tam giác ∆AOB có diện tích bằng 4 .
Giải :
Ta có: y = mx − 2 +
6m − 2
x + 3m
1
.
3
Phương trình hai đường tiệm cận là: ∆1 : x = −3m ⇔ x + 3m = 0
Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ⇔ 6m − 2 ≠ 0 ⇔ m ≠
Và ∆2 : y = mx − 2 ⇔ mx − y − 2 = 0 .
Véc tơ pháp tuyến của ∆1 và ∆2 lần lượt là : n1 = (1; 0), n2 = (m; −1)
1. Góc giữa ∆1 và ∆2 bằng 450 khi và chỉ khi
0
cos 45 = cos
n1.n2
n1 . n2
=
m
m2 + 1
=
2
⇔ 2m 2 = m 2 + 1 ⇔ m = ±1
2
Vậy m = ±1 là những giá trị cần tìm.
m ≠ 0
2
2. Hàm số có tiệm cận xiên ⇔
1 . Khi đó: A(0; −2), B ; 0
m
m ≠
3
1
1
2
Ta có: S ∆ABC = OAOB
.
= 4 ⇔ . | −2 | .
= 4 ⇔ m = ±2
2
2
m
Vậy m = ±2 là những giá trị cần tìm.
Bài toán tương tự :
93
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
( m − 1) x
Cho hàm số y =
2
+ (m + 1)x − 2m + 3
(Cm ) ,với m ∈ » .
1. Tìm m để góc giữa hai tiệm cận của đồ thị (C m ) bằng 450 .
2. Tìm m để đồ thị (C m ) có tiệm cận xiên tạo cắt hai trục tọa độ tại A, B sao
x − 2m
cho tam giác ∆AOB có diện tích bằng 4 .
x2 + x + 1
có đồ thị là C . Chứng minh rằng:
x −1
1. Tích khoảng cách từ một điểm bất kì trên C đến hai tiệm cận không đổi
( )
Ví dụ 7: Cho hàm số y =
( )
( )
2. Không có tiếp tuyến nào của C đi qua giao điểm của hai tiệm cận.
Giải :
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên D = » \ 1 .
{}
1. Ta có: y = x + 2 +
3
⇒ hai tiệm cận của đồ thị hàm số là ∆1 : x − 1 = 0
x −1
và ∆2 : x − y + 2 = 0
3
Gọi M ∈ (C ) ⇒ M x 0 ; x 0 + 2 +
⇒ d1 = d M , ∆1 = x 0 − 1
x
−
1
0
(
x0 − x0 − 2 −
(
)
d2 = d M , ∆ 2 =
⇒ d1.d2 = x 0 − 1
3
+2
x0 − 1
=
2
3
=
2 x0 − 1
)
3
2 x0 − 1
3 2
đpcm.
2
2. Gọi I = ∆1 ∩ ∆2 ⇒ I (1; 3)
Giả sử ∆ là tiếp tuyến bất kì của đồ thị (C) ⇒ phương trình của ∆ có dạng
3
3
(x − x ) + x + 2 +
∆ : y = y '(x 0 )(x − x 0 ) + y 0 = 1 −
0
0
2
x0 − 1
(x 0 − 1)
3
3
(1 − x ) + x + 2 +
⇒ I ∈ ∆ ⇔ 1 −
=3
0
0
2
x0 − 1
(
x
−
1)
0
94
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
3
3
6
+ x0 + 2 +
−3 =0 ⇔
= 0 ta thấy phương trình
x0 − 1
x0 − 1
x0 − 1
này vô nghiệm. Vậy không có tiếp tuyến nào của đồ thị (C) đi qua I .
⇔ 1 − x0 +
95
... x →−∞ x − − x ⇒ y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số x → −∞ Nhận xét: 1) Xét hàm số y = ax + bx + c (a ≠ 0) * Nếu a < ⇒ đồ thị hàm số tiệm cận * Nếu a > đồ thị hàm số có tiệm cận xiên y = a (x +... số m Hãy tìm tiệm cận đồ thị hàm số x −1 sau: y = mx − Giải : * m = ⇒ y = −x + ⇒ đồ thị hàm số tiệm cận x −1 ⇒ lim f (x ) = lim f (x ) = ⇒ y = tiệm cận x → +∞ x → −∞ x3 − ngang đồ thị hàm số. .. (x ) = ⇒ y = ax + b TCX đồ thị hàm số v(x ) x → −∞ v(x ) * Nếu đồ thị hàm số có tiệm cận ngang tiệm cận xiên ngược lại Bài tập tự luyện: Tìm tiệm cận đồ thị hàm số : 3x − y = x + x + 4x + y =