CÁC bài TOÁN về GIÁ TRỊ lớn NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

CHUYÊN ĐỀ: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT LIÊN QUAN ĐẾN MŨ-LOGARIT Tác giả: Hồng Xn Bính Nhóm giáo viên Tốn tiếp sức Chinh phục kì thi THPT năm 2020 Trong đề thi thử đề thi minh họa BGD&ĐT, em học sinh gặp nhiều toán giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức mà liên quan đến khái niệm hàm số mũ logarit Bài viết giúp em hiểu rõ cách làm dạng tập có hướng giải gặp đề thi Dạng : Đặt ẩn phụ để biến đổi loga - Hướng : Với tốn mà biểu thức có dạng f logb a, loga b  ta đặt ẩn phụ t  loga b  b  a t để biến đổi biểu thức cho biểu thức hàm biến theo t - Hướng : Với toán dạng : a u  b v  ab  đặt t  loga b p  1  u  p 1  t , v  p 1   từ biến đổi biểu thức cho biểu thức hàm biến theo t  t  - Hướng : Với tốn có dạng: a u  b v  c p  abc  ta đặt a u  b v  c p  abc   t  u  loga t q q , v  logb t , p  logc t , q  logabc t rút : 1 1    logt abc  a b c q Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho a , b số thực dương thỏa mãn b  a  thức P  log a a  log b    b  b A B a  b  a Tìm giá trị nhỏ biểu C D Đề khảo sát chất lượng – L2 – Chuyên Vĩnh Phúc – 2018-2019 Lời giải Chọn C Đặt t  loga b  b  a t Khi đó: P  loga1t a  logat a 1t  Vì b  a  b  a nên 1  t  1  t  t 1  t  t   1  12 5 1t t 1t t 1t t  t  Khi đó: P  Vậy Pmin  t  1  t   1t t Ví dụ 2: Xét số thực a, b, x, y thỏa mãn a  1,b  a x 2y  b x 2y  ab Giá trị nhỏ biểu thức P  3x  4y  A B 3 D Đề khảo sát chất lượng-L2-Sở giáo dục Phú Thọ-2019-2020 Lời giải C Chọn A  x  2y  log ab  a x 2y x 2 y b  ab   Giả thiế: a   x  2y  logb ab     1 1 1 Đặt loga b  t x   t   y    t  6 t  12  t   1 1  Suy ra: P   t      t     2 t   t Vậy giá trị nhỏ biểu thức P Ví dụ 3: Cho x , y, z  0; a, b, c  P  5 5 t    t  6 t  t a x  b y  c z  abc Giá trị lớn biểu thức 1   z  z thuộc khoảng đây? x y A 0;2 1  loga b  1  logb a  B 3; C 1; 3 D 2; 4 Đề thi thử TN THPT Chuyên Lê Khiết-Quảng Ngãi-2019-2020 Lời giải Chọn C Đặt a x  b y  c z  abc  t logabc t   ( Đk: t  ) Suy x  loga t, y  logb t, z  logc t 1 1 1    logt a  logt b  logt c  logt abc  nên    x y z x y z Khi đó: P    z  z z Xét hàm số f (z )    z  z , với z  z 2z  z  Ta có: f (z )  z2  f (z )   z  Bảng biến thiên Từ bảng BBT, ta có max f (z )  f (1)  0; Dạng : Sử dụng bất đẳng thức cổ điển a b  ab tích a.b khơng đổi - Bất đẳng thức Cauchy: a  0, b  :    -Bất đẳng thức đẳng thức Cauchy Schwarz: a  b  c x  y  z  ax  by  cz  ax  by  cz có giá trị khơng đổi - Trong dạng này, từ giả thiết toán ta thường thấy xuất dạng biểu thức dạng hàm đặc trưng : u  + loga    v  u  u  loga u  v  loga v  u  v  v  (hoặc loga u  u  v  loga v  u  v u  v  ) + au  u  av  v  u  v Các ví dụ minh họa: Ví dụ 4: Cho số thực dương x, y thỏa mãn log x  1y  1   Giá trị nhỏ biểu thức P  x  4y A Pmin  B Pmin  y 1   x  1y  1 C Pmin  19 Lời giải D Pmin  Chọn D Theo giả thiết: log x  1y  1   y 1   x  1y  1  y  1  log x  1  log y  1  x  1y  1     y  1 log x  1  log y  1  x  1     log x  1  x    log y  1 y 1  log x  1  x   9  log * y 1 y 1 Xét hàm số đặc trưng f t   log t  t với t  Khi đó: f  t     với t  t ln Suy ra: hàm số f t  đồng biến liên tục 0;    9 y   x   Từ (*) suy 1  f x  1  f  x  1   y  1 y 1 y 1 y 1 Vì x  nên y  0;  Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Khi đó: P  x  4y  y 9  4y  4y    y  1    y  1   y 1 y 1 y 1 y 1 Vậy Pmin  y  1  y y 1 Cách 2: Sử dụng khảo sát hàm số Xét hàm số g y   4y   9 với y  0; 8 Có g  y    y 1 y  1  y   0 y   l    Bảng biến thiên hàm số: Vậy Pmin  y  Nhận xét: + Với toán mà hàm số thiết lập trên, ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy để xác định biểu thức P cách biến đổi để xuất tích khơng đổi hai biểu thức chứa biến dương là: y  1 y 1 + Đối với em học sinh mà việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy chưa thành thạo em sử dụng phương pháp quen thuộc khảo sát hàm số nhanh chóng thiết lập đáp số tốn + Ngồi ra, em sử dụng chức bảng giá trị: TABLE Nhập hàm g x   4x   start x  end x  step x  0,1 Khi từ bảng giá trị hàm số x 1 thu ta có Pmin  Ví dụ 5: Cho số thực a,b thỏa mãn ea 2b    eab a  ab  b   e 1ab b  Gọi m, M Khi m  M  2ab 10 C D 3 Lời giải giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức P  A 19 B Chọn D Ta có: ea 2b  ea 2b ab  ea 2b ab    eab a  ab  b   e 1ab b   a  ab  b   e 1b   a  ab  2b  e 1b   b 1 Xét hàm số đặc trưng: f t   e t  t với t   Có f  t   e t   0, t   Do hàm số f t  đồng biến  Pt : 1  f a  2b  ab   f 1  b   a  2b  ab   b  a  ab  b  Khi đó:  a  b   ab  ab  a  b   3ab  3ab   ab   Suy ra: 1 1 3P    nên M  3, m   1  2ab  2.1 3  2.    Vậy m  M  10 Ví dụ 6: Cho số thực dương x, y thỏa mãn log2 biểu thức: P  A 2x  xy  2y 2xy  y B log2 x 2y 1 x  y2   log2 8xy Tìm giá trị nhỏ 3xy  x C D 1 Đề kiểm tra chuyên đề lần 4, trường THPT Liễn Sơn-VP-2019-2020 Lời giải Chọn B Theo ra, ta có: log2 x  y   log2 3xy  x   x  2y   3xy        log2 x  y  x  y  log2 3xy  x  x  log2  3xy     3xy  x  x  3xy 3xy  x  log2  x  3xy 1  log2 x  y  x  y  log2     log2 x  y  x  y    0, t  t ln 2  3xy  x   x   x   x  3xy  x 2     x  y   f              y   y  2  y   Xét hàm số đặc trưng: f t   log2 t  2t , có f  t   1  f x Đặt t   x  t  3t     t  y Ta có: P  2  y2 2 2x  xy  2y 2t  t  t   2t  1    2t  2t  2t  2xy  y 5 2t  1   Suy ra: Pmin  t   2 2t  2 bc a  3  logbca 3 ab  2ac   Ví dụ 7: Cho số thực a  3,b  1, c  thỏa mãn: loga b2c  ab  2ca Giá trị nhỏ T  a  b  c thuộc khoảng đây? A 16;17  B 17;18 C 18;19 D 19;20 Thi thử liên trường Thanh Hóa 2019-2020 Lời giải Chọn B bc(a  3)  logbc (a 3) (ab  2ac)  ab  2ca  loga (b 2c ) bc(a  3)   logbc (a 3)(ab  2ac )  1 Theo ra, ta có: loga (b 2c ) Đặt t  loga (b 2c ) bc(a  3) 1 trở thành: t   2 t Nhận xét: t   VT 2  l  + t  VT 2  t  Do 2  t  t Do đó: a(b  2c)  bc(a  3)  b  2c a  3      bc a c b a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có:     T  a  b  c       a  b  c   a b c  a b c      1 a     a b    c     Dấu “=” xảy   b      a  b  c    c        Vậy minT       17,19 - Nhận xét: Ta giải 2  t   2t  t  1   t   1  nhiên áp dụng bất * Lỗi thường gặp: a  b  c      3 abc 3 a b c  abc đẳng thức Cauchy dấu khơng thể xảy Dạng : Cực trị hình học - Hướng : d : ax  by  c  C  : x  x   y  y   R Khi d ; C  có điểm 2 chung  d I ; d   R + Mở rộng không gian : P  : ax  by  cz  d  điểm chung ( S  có tâm I S  : x  x   y  y   z  z   R2 Khi P ; S  có 2   bán kính R )  d I ; P   R - Hướng : d : ax  by  c  C  : x  x   y  y   R cho d I ; d   R với I 2 tâm đường tròn C  với M  C , N  d MN  d I ; d   R Dấu xảy M  E , N  A - Hướng : A a;b  C  : x  x   y  y   R cho IA  R với I tâm đường 2 trịn C  với M  C  IA  R  AM  IA  R Dấu bẳng xảy M  D M E Các ví dụ minh họa:  x  2y     x x  2  y y  4  Xác Ví dụ 8: Với số thực dương x , y thay đổi cho log2   x  y  định giá trị lớn biểu thức P  A 15  473 31 B x  2y  x y 4 15  349 31 C Lời giải 15  39 31 D 15  14 31 Chọn D  x  2y     x x  2  y y  4  Theo ra, ta có: log2   x  y   2 x  2y  2  x  2y  2  log x    y x  log2 x  2y  2   2x  4y   log2 x  y  x  y  log2 2 2 Xét hàm số đặc trưng: f t   log2 t  t với t  Có f  t   Do hàm số f t  hàm số đồng biến Nên  2x  4y   x  y  x  1  y  2  2 Ta có: P   y 1   0, t  t.ln 1  f 2x  4y  4  f x  y2  x  2y   P  1 x  P  2y  4P   3 x y 4 Coi 2 phương trình đường tròn C  với tâm I 1;2, R  3 phương trình đường thẳng d Để tồn x, y thỏa mãn toán  d, C  có điểm chung  d I ; d   R  P  1  P  22  4P  P  1  P  2  31P  30P      7P  6  2P  6P  5 15  14 15  14 P  31 31 số thực dương thay đổi cho x, y, z  x  2y  2z    x x  4  y y  8  z z    , gọi giá trị lớn giá trị nhỏ log2   x  y  z  Ví dụ 9: Với biểu thức T  bằng: A  x  y  z  4x  7y  11z  thứ tự M m Khi M  m 6x  5y  86 C  D  2 Đề thi thử TN trường THPT Hải Hậu A- Nạm Định – 2019-2020 B Lời giải Chọn D  x  2y  2z    x x  4  y y  8  z z  8  +) Ta có log2   x  y  z     log2 x  2y  2z   log2 x  y  z  x  y  z  4(x  2y  2z )    log2 x  2y  2z   4(x  2y  2z )  log2 x  y  z  x  y  z (1) +) Xét hàm đặc trưng f t   log2 t  t, t  có f  t      t  0, t  t ln +) Ta có (1)  f x  2y  2z   f x  y  z   x  y  z  4x  8y  8z  x  2  y  4  z  4  36 Khi đó, ta T  2 4x  8y  8z   4x  7y  11z  6x  5y  86  y  3z  6x  5y  86 Ta có: T 6x  5y  86  y  3z   6Tx  5T  1 y  3z   86T  6Tx  5T  1 y  3z   86T  01 Khi ta coi 1 phương trình mặt phẳng P  : 6Tx  5T  1y  3z   86T  Do đó, tồn x , y, z để phương trình mặt phẳng P  tiếp xúc cắt mặt cầu S  với tâm   I 2; 4; 4, R   d I ; P   R  6T  5T  1  3.4   86T 6T   5T  1  720T  360T  360   1  T  2 3 6 Ví dụ 10: Cho số thực a, b, c, d thỏa mãn loga b2 2 4a  6b    27c 81d  6c  8d  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  (a  c )2  (b  d )2 A B 49 64 C D 25 25 Đề thi KSCL Chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An-L2-2019-2020 Lời giải Chọn B Ta có: loga b2 2 4a  6b     a  b   4a  6b   a  2  b  3  (C) 2 Khi đó: 27c 81d  6c  8d   3c 4d  6c  8d   33c 4d  2(3c  4d )   Đặt t  3c  4d , ta có phương trình: 3t  2t   Xét hàm số f (t )  3t  2t  có f (t )  3t ln  Khi đó: f (t )   t  log3  t0 ln Bảng biến thiên: Quan sát bbt, ta có f t   có nhiều hai nghiệm mà f 0  f 1  t  Do đó: 1    t  3c  4d   3c  4d   Khi đó: ta coi cặp a;b  tập hợp điểm A a;b   C  có tâm I 2; 3, R  ; cặp c;d  tập hợp điểm B c; d   d d2 : 3x  4y   : 3x  4y  + Nếu B  d1 AB  d I ; d1   R  18 2  5 + Nếu B  d2 AB  d I ;d2   R  17 2  5 So sánh hai trường hợp ABmin  49 Pmin  25 Câu 14: Cho số thực x, y thỏa mãn log biểu thức P  x y  x (x  3)  y(y  3)  xy Tìm giá trị lớn x  y  xy  2 x  2y  x y 6 69  249 94 37  249 43  249 D 94 94  6x  2y     x x  12  y y  4  10 Câu 15: Với số thực dương x , y thay đổi thỏa mãn: log2   x  y   A B 69  249 94 Giá trị nhỏ biểu thức: P  A 0, 5; 0,  C 3x  2y  thuộc khoảng sau đây? 2x  y  B 0, 7; 0, 9 C 0, 9;1,1 D 0, 3; 0, 5 Câu 16: Cho x , y số thực dương thỏa mãn: log2 x  2y   x x  3y  1  y 2y  1  Khi biểu thức P  log2020 x  log2020 y đạt giá trị lớn nhất, tính giá trị 4x  5y A B C D y 1 số thực dương thỏa mãn: x y   3y  5 ln x  1  ln  x    ln y Tìm giá trị nhỏ biểu thức:    xy   x, y Câu 17: Cho  103 25 Câu 18: Cho log2  P  x y  1  A 32 y 2 25 B x, y 217 25 hai số C thực không x  y  15  4x  x  6y  y  2x  3y  2     23 25 Giá D âm trị thoả nhỏ 48 25 mãn đẳng biểu P  x  y  2x  4y  A 26  34 B 28  34 C 26  34 D 28  34 thức thức Hướng dẫn giải tập tự luyện Câu 1:  x  y    x  1y  1   Tìm giá Cho số thực x , y thỏa mãn  x , y  log3  1  xy  trị nhỏ P với P  A 2021 x  1  y  2020 B 2020 C 6055 D 6052 Lời giải Chọn C Điều kiện:  x , y  Khi  x  y    x  1y  1   log  1  xy   log x  y   log 1  xy   x  y  xy    log x  y   x  y   log3 1  xy   1  xy  1 Xét hàm số đặc trưng f (t )  log t  t với t    0, t  nên hàm số f (t ) đồng biến khoảng 0; Suy t ln 1x 1  f x  y   f 1  xy   x  y   xy  y   x Khi đó: f '(t )  Suy P  2 8 1x x  1  y  2020  x  1   2020  x  1    2020  9 1x 1x 6055 x  1  2021   2021   3 1x Đẳng thức xảy x  Vậy PMin   6055 1 , y  (thỏa điều kiện đề bài) Câu 2: Cho xy P số   x  2y  log y  log y 4x  3 A 4y  x, y thực x y thỏa 2y  x  x Tìm mãn giá đồng trị C Lời giải B nhỏ x  0, y  thời biểu thức: D Chọn B x  0, y  x  0, y   Điều kiện:  2y  x     2y  x   0   x Ta có : xy   x  2y  log y  log     2y  x  x  xy  x  2y  log y  log y  log 2y  x  3  log x   1  xy  x  2y  log y  log 2y  x  3  log xy VT 1   + Nếu xy  2y  x   (do log y  ) VP 1   VT 1   + Nếu xy  2y  x   (do log y  ) VP 1   Do đó, từ 1 suy ra: xy  2y  x   x y  1  2y    x y2  3 3 x 3 3 Ta có: P  xy  y   y   y    y    y   y y y y y Vậy Pmin  y   x  Câu 3: 5x 4y  log x Cho số thực x, y thỏa mãn đồng thời x, y  10 biểu thức: P  A 21 40x  y 5 8y 19 Lời giải B 11  4y  Tìm giá trị nhỏ D C Chọn A 5x 4y  log x Gt : 10     4y   4y    5x  4y log x  log       5x  4y  log x  log x  log 4y  2  log     5x  4y  2 log x   log 5x  log 4y  2  1     Vì x   log x  + Nếu 5x  4y  2   5x  4y   VT 1  (loại) + Nếu 5x  4y  2   5x  4y   VT 1  (loại) + Nếu 5x  4y  2   VT 1  t / m  Vậy 1  5x  4y  Khi đó: P   33 Câu 4: 4y  2  y 40x  y y2 1 y2 5  9    9 5   8y y y y 8y 1 y2 21 9  Dấu xảy x  2, y  y y Cho a , b số thực dương thỏa mãn b  a  b  a Tìm giá trị nhỏ biểu a  thức P  log a a  log b    b  b A B C D Đề khảo sát chất lượng – L2 – Chuyên Vĩnh Phúc – 2018-2019 Lời giải Chọn C Đặt t  loga b  b  a t Khi đó: P  loga1t a  logat a 1t  Vì b  a  b  a nên 1  t  1  t  t 1  t  t   1  12 5 1t t 1t t 1t t  t  Khi đó: P  Vậy Pmin  t  1  t   1t t Câu 5: Cho số thực a, b thỏa mãn a  b  Biết biểu thức P  lớn b  a k Khẳng định sau đúng?  1 1   3 A k  0;  B k   ;1 C k  1;        Lời giải a đạt giá trị  loga logab a b 3  D k   ;2   Chọn B Đặt t  loga b  b  a t (đk:  t  ) Khi đó: P  a  loga  loga ab   loga b   t   t logab a b Xét hàm số: f t    t   t với  t  , Có f  t    1t 0t  Bảng biến thiên: Vậy Pmax  Câu 6: 3 t   b  a đó: k  4 Cho số thực a, b, x, y thỏa mãn a  1,b  a x  b y  ab Giá trị nhỏ biểu thức P  x  4y  thuộc tập đây? A 9;10 B 6; 7 C 7; 8 Lời giải Chọn D  x  x  log ab  a x y    Giả thiết: a  b  ab   y  log ab  b  y   Đặt t  loga b (đk: t  ) x  Ta có: P  1  loga b  1  logb a  1 1 1  t  y  1    4  t  1 29 1 29 1 33  t      t   t   t 4 t 4 t Dấu xảy t   x  3 ,y  D 8; 9 Câu 7: Cho số thực a, b, c  số thực dương x, y, z thỏa mãn a x  b y  c z  abc Giá trị lớn biểu thức P  A 34; 36 32  4z  thuộc tập đây? x y B 36; 38 C 38; 40 D 40; 42 Lời giải Chọn B Đặt: a x  b y  c z  abc  t (đk: t  ) Ta có: x  loga t, y  logb t, z  logc t, logabc t  Suy ra: 1    logt a  logt b  logt c  logt abc  x y z Nhận xét: với x , y  , ta có: x  y   4xy  1   Dấu xảy khi: x  y x y x y 1 1  1 32  4z   8.    4z   6    4z   x y   z  x y  1  49  z     z z  Do đo: P  Mà z  1 1   3 z  nên P  49  4.3  37 z z z z Dấu xảy z  , x  y  a Câu 8: b c Cho a, b, c số thực dương khác thỏa mãn: 3a 1  5b 1  151c Giá giá trị nhỏ  1 1 biểu thức: P  a  b  c        25 thuộc khoảng sau đây? a b c  A 0;20 B 20; 0 C 30; 20 Lời giải Chọn D a b c 5  15  t Khi đó: t  Đặt + Nếu t   a  b  c  l  a 1 b 1 + Nếu t  , ta có: 1c 2 D 50; 30 a b c  log t ,  log5 t ,  log15 t a 1 b 1 c 1 a  b2  c2     logt  logt  logt 15  Suy ra: a b c 1  a b c    a b c  1 1 2 Khi đó: P  a  b  c        25  a  b  c   a  b  c   25 a b c  Khi đó:  a  b  c  4  41  41 Suy ra: P  41 Dấu xảy khi: a  b  c   b  c    b   13 , c   13   4 b.c   Vậy P đạt giá trị nhỏ 41 Câu 9: 1    Ta chọn a  a b c  x  4y    2x  4y  Giá trị nhỏ biểu Cho x , y số thực dương thỏa mãn log2   x  y  thức P  A 23 x  3x 2y  4x x  2y   11x bao nhiêu? 4y B C D Lời giải 13 Chọn A Điều kiện: x , y   x  4y   x  4y    2x  4y   log2   Theo giả thiết: log2   x  y    2x  4y  x  y   x  4y   x  4y    2x  4y  log2    log2   2x  2y   2x  2y   x  4y   2x  2y   log2 x  4y   x  4y   log2 2x  2y   2x  2y  1 Xét hàm số đặc trưng f t   log2 t  2t với t  0;  Ta có: f  t     với t  0;  nên hàm số f t  đồng biến t  0;  t ln Nên 1  f x  4y   f 2x  2y   x  4y  2x  2y  x  2y P 2 x  3x 2y  4x x  2y   11x y 11 16y  12y  16y 11.2y      4y 16 4y 4y 64y y 11 23   16 4y Vậy Pmin  23 y  Nhận xét: - Đối với toán số này, sau thực việc biểu diễn x  2y cần rút gọn biểu thức P việc xác định giá trị Pmin tương đối rõ ràng em học sinh Câu 10: Cho hai số thực dương a b thỏa mãn 4ab.2a b  P  ab  2ab A 1  ab  a b Giá trị lớn biểu thức 1 D 17 Đề thi thử chuyên Hùng Vương – Gia Lai – lần năm học 2018-2019 B C Lời giải Chọn B Đk: a  0, b  0,1  ab Theo giả thiết: 4ab.2a b   a  b .2a b 1  ab   a  b .2a b  a b  2  2ab .222ab 1 1  ab  22ab Xét hàm số đặc trưng: f t   t.2t với t  0;  Khi đó: f  t   2t  t 2t ln  0, t  D nên hàm số f t  hàm số đồng biến 0;  1  f a  b   f 2  2ab   a  b   2ab  a 1  2b    b Vì a, b    b   b  Khi đó: P  ab  2ab  ba 1  2b   b 2  b    b  1  Vậy Pmax  a  ,b   4a  2b     a  3b  Tìm giá trị nhỏ Câu 11: Cho a , b hai số thực dương thỏa mãn log5   a  b  biểu thức P  a  b  3a  b  A 15 B 5 D 35 C Lời giải Chọn B  4a  2b     a  3b  Theo ra, ta có: log5   a  b   log5 4a  2b  5  log5 a  b   a  b   4a  2b  5  log5 4a  2b  5  4a  2b  5  log5 a  b   a  b  Xét hàm số đặc trưng: f t   log5 t  t t  0 Khi đó: f ' t    1 1 t ln  Do hàm số f t  đồng biến nên 1  f 4a  2b  5  f a  b   4a  2b   a  b   a   3b P  a  b  3a  b   5  3b   b  5  3b   b   10b  20b   10 b  1   5 Vậy GTNN P  5 Dấu xảy a  2,b  Câu 12: Cho số dương a,b thỏa mãn  log biểu thức: P  a  4b  26ab  2020 A 1120 B 1885 a  2b   ab  a  2b Tìm giá trị nhỏ ab C 2021 Lời giải D 1705 Chọn D Ta có  log a  2b   a  2b    ab  a  2b  ab  a  2b   log  ab ab   a  2b   a  2b     2ab  2a  4b  log    2ab  2a  4b    log   ab ab    a  2b     2ab  a  2b  3  log  ab    log a  2b  3  a  2b  3  log ab   2ab * Xét hàm số đặc trưng y  f t   log t  2t với t  Ta có f  t     0, t  t ln10 Suy hàm số y  f t  đồng biến khoảng 0; Do *  f a  2b  3  f ab   a  2b   ab 1 Khi đó, ta có: P  a  4b  26ab  2020  a  2b   30ab  2020  a  2b   30 a  2b  3  2020  a  2b  15  1705 2 a  2b  15 Vậy Pmin  1705  nên a  3, b  a.b  18  Câu 13: Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn log2 x  x x  y   log2 6  y   6x Giá trị nhỏ biểu thức P  3x  2y  A   x y 59 53 C 19 D 3 Đề kiểm tra học kì I, THPT Minh Khai – Hà Nội, năm học 2019-2020 Lời giải B Chọn C x  Điều kiện:  0  y   Giả thiết, ta có: log2 x  x x  y   log2 6  y   6x  log2 x  x  log2 6  y   x 6  y   log2 x  x  log x 6  y   x 6  y   log2 x  x  log2 x 6  y   x 6  y 1   0, t  t.ln Suy hàm số y  f t  đồng biến khoảng 0; Xét hàm số f t   log2 t  t với t  , ta có: f  t     Do đó: 1  f x   f x 6  y   x  x 6  y   x   y Với x   y thay vào P ta được: P  6  y   2y   8 8 y     18  y          6  y    y y  y y  y    y y 2 6  y    P  19 y y  y   y  16 y  4 y   Dấu xảy     y   x 2    6  y  6  y     6  y      y 2 x  Vậy giá trị nhỏ biểu thức P 19  y   Câu 14: Cho số thực x, y thỏa mãn log biểu thức P  A Giả thiết: log x y  x (x  3)  y(y  3)  xy Tìm giá trị lớn x  y  xy  2 x  2y  x y 6 69  249 94 Chọn B Đk: x  y  B 69  249 37  249 43  249 C D 94 94 94 Đề thi thử TN THPT Lê Hồn-Thanh Hóa-2019-2020 Lời giải x y  x (x  3)  y(y  3)  xy x  y  xy  2  log3 (x  y )  log (x  y  xy  2)  x  3x  y  3y  xy  log3 (x  y )   (3x  3y )  log3 (x  y  xy  2)  x  y  xy   log (3x  3y )  (3x  3y )  log (x  y  xy  2)  (x  y  xy  2) 1 Xét hàm số đặc trưng: f (t )  log3 t  t(t  0) ta có: f '(t )  Suy ra: hàm số f t  đồng biến 0;  1  f (3x  3y )  f (x 2   t  t.ln  y  xy  2)  3x  3y  x  y  xy    x2  x  3x 3x  y  xy    y       0    4  2  3x      x 3 x x x 3        y        y          2  4 2   2     x 3x 3    12 Đặt: a  y  ,b  a    b    2    x y      2a  x  2y  Pb   a P  2   6P   3 Khi đó: P   x y 6 b x x y   6 a  6 2  3   , R  3 đường thẳng Ta coi 2 phương trình đường trịn C  với I  ;  2  d : P  2 x  P y  6P    P P  2   6P   2  Để tồn a, b d, C  có điểm chung  d I ; d   R   P  2  13 P 2 1 188 69  249 69  249 69  249 P  92P  32   Vậy Pmax  P  94 94 94  6x  2y     x x  12  y y  4  10 Câu 15: Với số thực dương x , y thay đổi thỏa mãn: log2   x  y   Giá trị nhỏ biểu thức: P  A 0, 5; 0,  3x  2y  thuộc khoảng sau đây? 2x  y  B 0, 7; 0, 9 C 0, 9;1,1 Lời giải D 0, 3; 0, 5 Chọn D  6x  2y     x x  12  y y  4  10 Theo ra, ta có: log2   x  y      log2 6x  2y  5  12x  4y  10  log2 x  y   x  y      log2 2 6x  2y  5  6x  2y  5  log2 x  y   x  y  1   Xét hàm số đặc trưng cho phương trình: f t   log2 t  t với t  Ta có: f  t     0, t  nên hàm số f t  đồng biến khoảng 0; t.ln   Do đó: 1  f 6x  2y  5  f x  y  1  6x  2y  5  x  y   x  6  y  2  49 2 Khi đó: P  x y 6  2P  1 x  P  1 y  8P   3 2x  y  Khi đó, ta coi 2 phương trình đường trịn C  : I 6;2, R  3 phương trình đường thẳng d Để tồn x , y  thỏa mãn tốn  d, C  có điểm chung  d I ; d   R  22P  14 2P  1  P  1 2 2    22P  14  49 2P  1  P  1     239P  322P  98   Vậy Pmin  161  51  0, 46 239 161  51 161  51 P  239 239 Câu 16: Cho x , y số thực dương thỏa mãn: log2 x  2y   x x  3y  1  y 2y  1  Khi biểu thức P  log2020 x  log2020 y đạt giá trị lớn nhất, tính giá trị 4x  5y A B Đề thi thử TN THPT Chuyên Hà Tĩnh-2019-2020 C D Lời giải Chọn C Với x , y  Ta có: log2 x  2y   x x  3y  1  y 2y  1   log2 x  2y   x  y x  2y  1  1 + Nếu x  2y  VT 1  ( loại) + Nếu x  2y  VT 1  ( loại) + Nếu x  2y  VT 1  (t/m) Suy 1  x  2y   x   2y (đk:  y  ) Khi đó: P  log2020 x  log2020 y  log2020 x y  Mà: x y  1  2y y  1  2y .y.y Áp dụng bđt Cauchy cho ba số dương, ta có: y  y  1  2y  1  y.y.1  2y   P  log2020 27 27  Vậy Pmax  log2020  y.y 1  2y  1 y  , x   4x  5y  27 3 số thực dương thỏa mãn: y 1 x y   3y  5 ln x  1  ln  x    ln y Tìm giá trị nhỏ biểu thức:    xy   Câu 17: Cho  x, y  P  x y  1  A 103 25 32 y 2 25 B 217 25 C Lời giải 23 25 D Chọn A  x     ln y Theo ta, ta có: x y   3y  5 ln x  1  ln     xy           xy  3y  x  5 ln x  1  ln x  5  ln xy  3y 1   48 25 Nhận xét: x   ln x  1  + Nếu: xy  3y  x  VT 1  0,VP 1  ( loại) + Nếu: xy  3y  x  VT 1  0,VP 1  ( loại) + Nếu xy  3y  x  VT 1  VP 1  ( thỏa mãn) Do đó: 1  xy  3y  x  1  x y  1   3y  x  Khi đó: P  x y  1  2 32  3y 32 32 57 y 2   y 2  y  1  25 y 1 25 y  25 25 32 57 103  y  1  25 y  25 25 103 32  y  1  y   25 y  25 Vậy Pmin  x, y Câu 18: Cho log2 5  3y (đk:  y  ) y 1 hai số thực không x  y  15  4x  x  6y  y  2x  3y      âm Giá trị thoả nhỏ mãn đẳng biểu thức thức P  x  y  2x  4y  là? A 26  34 B 28  34 C 26  34 Lời giải D 28  34 Chọn B Ta có log2  x  y  15  4x  x  6y  y  2x  3y    15  x      log2 x  y  15  x  y  15  log2 2x  3y  3  4x  6y    log x  y 2  y  15  log 4x  6y  6  4x  6y  (1) Xét hàm số đặc trưng: y  f t   t  log2 t với t  Khi đó: f  t    khoảng 0; 1  f x  0, t   y  f t  đồng biến t ln   y  15  f 4x  6y  6  x  y  15  4x  6y   x  2  y  3  (2) 2 Ta coi cặp x ; y  thỏa mãn 2 điểm M x ; y  thuộc hình trịn C  : I 2; 3, R  ( kể phần nằm bên đường trịn đó) Gt: P  x  y  2x  4y   x  1  y  2  10  AM  10 với IA  34  R  2 A 1; 2 Khi đó: P   nên điểm  A nằm ngồi đường trịn C   AM  IA  R  34   10  28  34  Pmin  28  34 M  D 34  ... log2020 x  log2020 y đạt giá trị lớn nhất, tính giá trị 4x  5y A B C D y 1 số thực dương thỏa mãn: x y   3y  5 ln x  1  ln  x    ln y Tìm giá trị nhỏ biểu thức:   ...   eab a  ab  b   e 1ab b  Gọi m, M Khi m  M  2ab 10 C D 3 Lời giải giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức P  A 19 B Chọn D Ta có: ea 2b  ea 2b ab  ea 2b ab    eab... abc Giá trị lớn biểu thức P  32  4z  thuộc tập đây? x y A 34; 36 B 36; 38 C 38; 40 a Câu 8: b c Cho a, b, c số thực dương khác thỏa mãn: 3a 1  5b 1  151c Giá giá trị nhỏ 