SKKN một số dạng toán về số chính phương

Để có thể phát triển khả năng tư duy và sáng tạo trong việc học toán và giải toán thì bên cạnh việc cung cấp cho học sinh kiến thức, người giáo viên cần phải hình thành và cung cấp cho h

PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO BÌNH XUYÊN

TRƯỜNG THCS PHÚ XUÂN

Mã sáng kiến: ………

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Tên sáng kiến: Một số dạng toán về số chính phương

Tác giả sáng kiến: Phạm Đức Bình

Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THCS Phú Xuân, Xã Phú Xuân,

Huyện Bình Xuyên, Tỉnh Vĩnh Phúc

Số điện thoại: 01646229599

E_mail: phamducbinh2020@gmail.com

Vĩnh Phúc, năm 2016

Mã sáng kiến: ………

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Tên sáng kiến: Một số dạng toán về số chính phương

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu:

Dạy toán là dạy hoạt động toán học cho học sinh trong đó giải toán là hình thức chủ yếu Chính vì vậy việc dạy học sinh giải bài tập là điều vô cùng quan trọng và trong đó đặc biệt chú trọng đến thực hành Thực hành giải toán không chỉ là thực hiện các bài tập thực hành mà quan trọng là luyện tập rèn kỹ năng vận dụng vào thực tế, qua đó hình thành và phát triển cho học sinh tư duy lô-gíc và phương pháp luận khoa học

Để có thể phát triển khả năng tư duy và sáng tạo trong việc học toán và giải toán thì bên cạnh việc cung cấp cho học sinh kiến thức, người giáo viên cần phải hình thành và cung cấp cho học sinh tri thức phương pháp để giúp học sinh

có khả năng thích ứng với những thay đổi nội dung hay nói một cách đúng hơn

là tạo dựng cho học sinh phương pháp học và khả năng tư duy, từ đó tạo cho các

em năng lực nghiên cứu và hứng thú tìm tòi trong việc học toán

Qua quá trình giảng dạy tôi thấy hầu hết học sinh khá giỏi còn hạn chế trong việc khai thác, phát triển khả năng tư duy, khi đứng trước một bài toán học sinh thường lúng túng trong việc tìm lời giải, chưa có kinh nghiệm đúc kết các phương pháp và thường bị bó hẹp mang tính khuân mẫu, năng lực phát triển mở rộng khai thác kiến thức thường rất hạn chế do đó khi gặp các bài toán đòi hỏi tính sáng tạo, lời giải nhanh gọn thì chưa có khả năng đáp ứng được nhất là với các bài toán có liên quan đến số chính phương

Làm thế nào để có thể giúp HS hiểu rõ bản chất của loại toán trên, vận dụng kiến thức nào để giải, phương hướng chung để giải loại toán này như thế nào? Giải quyết được vấn đề này không phải dễ dàng khi mà tài liệu đề cập đến loại toán này không nhiều, trong chương trình giảng dạy toán THCS không có một tiết nào dành cho GV dạy một cách hệ thống cho học sinh những bài toán dạng này mà chúng thường xuất hiện một cách đơn lẻ trong SBT, SGK, sách tham khảo

2 Tên sáng kiến: Một số dạng toán về số chính phương

3 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:

Phạm Đức Bình- Giáo viên Trường THCS Phú Xuân – Bình Xuyên –

Vĩnh Phúc

4 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:

Trong chương trình Toán 6, các em đã được học về các bài toán lien quan tới phép chia hết của số tự nhiên và đặc biệt là được giới thiệu về số chính

phương, đó là số bằng bình phương của số một số tự nhiên (VD: 0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 100; 144;…) Người viết đề tài mong muốn kết hợp với các kiến thức cơ bản đó và bổ sung them 1 số kiến thức khác để các em có thể giải quyết bài toán

về số chính phương hay vận dụng các kiến thức khác để các em có thể giải quyết bài toán về số chính phương vào hoạt động giải toán Đây cũng là một cách giúp các em củng cố, khắc sâu và mở rộng thêm hiểu biết về số chính phương Những bài toán đã được phân dạng về số chính phương sẽ làm tăng thêm lòng say mê yêu thích môn toán cho các em

Là một giáo viên dạy toán tôi nhận thấy những bài toán liên quan đến số chính phương rất hay và quan trọng đối với các em học sinh, với các GV dạy bồi dưỡng học sinh giỏi toán, trong các bài toán số học thi HSG toán thường xuất hiện dạng toán liên quan đến số chính phương Đặc biệt hơn với các em HS khá giỏi lớp 6 khi mới được làm quen với dạng toán suy luận khi giải toán số học cho nên phương pháp giải còn nhiều hạn chế, các em có thể tìm thấy trong nội dung đề tài này nhiều điều bổ ích, cần thiết và thú vị Các em HS lớp 7, 8, 9 cũng được ôn tập lại, hệ thống kiến thức số học đã học và bổ sung thêm nhiều kiến thức thú vị khác, tích lũy thêm kinh nghiệm giải toán số học

Sáng kiến được áp dụng cho các đối tượng HS có học lực khá giỏi về toán THCS, có ý thức tìm tòi say mê yêu thích số học, có thể dùng để bồi dưỡng HSG toán Các em HS khá giỏi lớp 6 cũng có thể tìm thấy nhiều kiến thức hay, cần thiết trong đề tài này

5 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:

Ngày 31/8/2015

6 Mô tả bản chất của sáng kiến:

- Về nội dung của sáng kiến:

I Một số lưu ý:

- Nắm vững định nghĩa số chính phương là số bằng bình phương của một số nguyên

- Nắm vững kiến thức về phép chia hết và phép chia có dư trong N

- Nắm vững các kiến thức về đồng dư của nhiều số, có kĩ năng tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa, biểu thức số bằng cách áp dụng đồng dư và các tính chất của đồng dư

- Có kĩ năng thêm, bớt, tách số một cách phù hợp trong giải bài tập toán số học

- Quan sát biểu thức số linh hoạt để vận dụng kiến thức liên quan một cách hợp lí nhất

- Phát hiện và vận dụng được các tính chất, bổ đề hay, cần thiết có liên quan đến việc giải bài toán về số chính phương hay kết hợp với kiến thức về số chính phương để tìm hướng giải quyết cho 1 bài toán số học

II Một số dạng toán về số chính phương:

Dạng 1: Chứng minh một số không phải là số chính phương.

Cách 1: Xét chữ số tận cùng

- Kiến thức: Dựa vào định nghĩa số chính phương là số bằng bình phương của

một số nguyên nên số chính phương phải có chữ số tận cùng là một trong các chữ số 0; 1; 4; 5; 6; 9

- Các bài toán minh họa:

Bài 1: Chứng minh rằng số:

A = 12321425235623666353435355464534223

không phải là số chính phương

Giải:

Khi xét đồng dư mod 10 ta nhận thấy số chính phương phải có chữ số tận cùng

là một trong các chữ số 0; 1; 4; 5; 6; 9 mà A có chữ số tận cùng là 3 nên A không thể là số chính phương

Bài 2: Chứng minh rằng số:

M = 2011 2  2012 3  2013 4  2014 5  99999

không phải là số chính phương

Giải:

Theo đồng dư mod 10 ta có các số 2011 2 , 2012 3 , 2013 4 , 2014 5 , 99999 có chữ số tận cùng lần lượt là: 1, 8, 1, 4, 9 nên M có chữ số tận cùng là 3 ( theo mod 10) khác 0; 1; 4; 5; 6; 9 Do đó M không thể là số chính phương

Nhận xét: Có rất nhiều số có chữ số tận cùng là 0; 1; 4; 5; 6; 9 nhưng lại không

là số chính phương Như vậy để suy luận giải thích, chứng minh các số này không phải là số chính phương ta phải làm như thế nào? Chúng ta còn có cách khác để chứng minh một số không phải là số chính phương:

Cách 2: Vận dụng tính chất của phép chia hết:

- Kiến thức:

Nếu một số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì nó phải chia hết cho p2

Ngoài ra nếu ta để ý một chút thì khi ta phân tích 1 số chính phương ra thừa số nguyên tố thì ta có số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ Chính vì thế, nếu khai thác nhận xét trên ta có phát biểu tổng quát sau:

Nếu một số chính phương chia hết cho p n ( với p là số nguyên tố và n là số

tự nhiên lẻ) thì nó phải chia hết cho p n 1

- Các bài toán minh họa:

Bài 3: Chứng minh rằng số N = 35345643643630 không phải là số chính

phương

Giải:

Ta có N chia hết cho 5 (vì chữ số tận cùng là 0) nhưng N không chia hết cho 25

vì 2 chữ số tận cùng của N là 30 không chia hết cho 25 Do vậy N không thể là

số chính phương (đpcm)

Nhận xét: - Ta hoàn toàn có thể suy luận khi giải bài toán trên theo cách khác

như sau:

Do N chia hết cho 2 (vì N có chữ số tận cùng là 0) mà N lại không chia hết cho

4 do 2 chữ số tận cùng của N là 30 không chia hết cho 4 nên N không phải là số chính phương

- Theo cách suy luận trên ta có khẳng định sau: Một số chính phương có chữ số tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục phải là 2

Bài 4: Chứng minh rằng số có tổng các chữ số là 2013 thì số đó không phải là số

chính phương

Giải:

Ta nhận thấy tổng các chữ số của số 2013 là 6 nên số 2013 chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 nên số có tổng các chữ số là 2013 cũng chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9, do đó số này không phải là số chính phương

Sau đây là một bài toán khó mà lời giải của nó áp dụng phát biếu tổng quát trong phần kiến thức ở trên:

Bài 5: Chứng minh rằng số: P = 55 2011  33 2012  2222 2013  99 2014 không phải là số chính phương

Phân tích:

Nếu xét chữ số tận cùng của P thì P tận cùng là 9 nên hướng làm này không thực hiện được Nhưng ta để ý một chút thì ta sẽ chứng minh được P chia hết cho 11 2011 và P không chia hết cho 11 2012

Từ đó ta kết luận được P không phải là số chính phương (dựa vào phát biểu tổng quát)

HS tự trình bày lời giải

Nhận xét:

Ta đặt vấn đề ở bài toán 4 tổng các chữ số không chia hết cho 3 (chẳng hạn

là 2015) thì ta phải làm thế nào? Khi đó chúng ta phải nghĩ tới điều gì? Vì bài toán cho tổng các chữ số nên chắc chắn chúng ta phải nghĩ tới phép chia cho 3 hoặc cho 9 Vậy ta nghĩ tới việc xét số dư khi chia số đó cho 3 Vậy thì số chính phương chia cho 3 có thể dư bao nhiêu? Chúng ta có thêm cách nữa để giải loại toán này:

Cách 3: Xét số dư của số chính phương khi chia cho 1 số:

+ Kiến thức:

- Số chính phương khi chia cho 3 chỉ có số dư là 0 hoặc 1

- Số chính phương khi chia cho 4 chỉ có số dư là 0; 1

- Số chính phương khi chia cho 6 chỉ có số dư là 0; 1; 3; 4

- Số chính phương khi chia cho 8 chỉ có số dư là 0; 1; 4

+ Các bài toán minh họa:

Bài 6: Chứng minh rằng 1 số có tổng các chữ số là 2015 không phải là số chính

phương

Giải:

Vì số chính phương khi chia cho 3 chỉ có số dư là 0 hoặc 1 (ta dễ dàng chứng minh được) Do tổng các chữ số của số đó là 2015 chia 3 dư 2 nên số có

tổng các chữ số là 2015 chia 3 cũng dư 2 Chứng tỏ số đã cho không phải là số chính phương

Các bài tập sau có cách giải tương tự:

Bài 7: Chứng minh rằng tổng các số tự nhiên lien tiếp từ 2 đến 2007 không phải

là số chính phương

Phân tích: Tính trực tiếp ta có tổng trên bằng 2015027 chia 3 dư 2.

HS tự trình bày bài làm

Bài 8: Chứng minh rằng số: D = 2012 2012  2012 2014  2012 2016  89

không phải là số chính phương

Phân tích: Các số 2012 2012 , 2012 2014 , 2012 2016 , 89 khi chia cho 3 có số dư lần lượt là

1, 1, 1, 2 Do đó D chia 3 dư 2

Nhận xét: Nếu số đang xét chia cho 3 dư 1 thì hướng giải quyết như thế nào?

Ta có bài toán sau:

Bài 9: Chứng minh rằng số: C = 4 2012  44 2013  444 2014  4444 2015  15

không phải là số chính phương

Nhận xét: Ở bài toán này ta không thể làm tương tự như các bài toán ở trên

được Vậy ta có thể xét số dư của C khi chia cho 4, số dư đó là 3 Một số chính phương khi chia cho 4 sẽ có số dư như thế nào? Chúng ta có thể chứng minh được ngay là dư 0 hoặc dư 1 Như vậy việc giải bài toán này không có gì là khó

Giải:

C = 4 2012  44 2013  444 2014  4444 2015  15

C = 4 2012  44 2013  444 2014  4444 2015  12  3

Ta có các số: 4 2012 , 44 2013 , 444 2014 , 4444 2015 , 12 đều chia hết cho 4 nên C chia 4 dư 3

mà số chính phương khi chia cho 4 chỉ dư 0 hoặc 1 Vậy C không thể là số chính phương (đpcm)

Cách 4: Sử dụng phương pháp kẹp:

- Kiến thức: Để chứng minh một số không phải là số chính phương ta còn có thể

chứng minh số đó nằm giữa hai số chính phương liên tiếp Tức là:

Với n và x là 2 số tự nhiên mà n2 x ( n 1 ) 2 thì x không phải là số chính

phương

- Các bài toán minh họa:

Bài 10: Chứng minh rằng số H = 4025025 không phải là số chính phương.

Nhận xét: Số H có 2 chữ số tận cùng là 25, chia hết cho 3, cho 9 và chia 4 dư 1 nên ta không thể làm tương tự các bài trên được Vậy phải tìm hướng làm khác

Giải:

Ta có: 2007 2  4028049 ; 2006 2  4024036

Cho nên: 2006 2 H  2007 2 Vậy H không thể là số chính phương

Nhận xét: Ngoài cách đó ra còn cách khác khi đã học về căn bậc 2 của 1 số Ta

Bài 11: Chứng minh rằng tích của hai số tự nhiên liên tiếp không thể là số chính

phương

Giải:

Gọi 2 số tự nhiên liên tiếp là n và n + 1 (n khác 0)

Ta có: n2 n(n 1 )  (n 1 ) 2 => n(n + 1) không phải là số chính phương

Ngoài các cách làm trên ta còn có cách khác là vận dụng các bổ đề quan trọng

có liên quan đến số chính phương:

Cách 5: Sử dụng một số bổ đề quan trọng trong số học:

- Kiến thức:

Bổ đề 1 (định lí nhỏ Phéc–ma): Nếu (a, p) = 1 với a là số nguyên dương và p là

số nguyên tố thì a p 1  1 (modp).

Hướng dẫn chứng minh:

a, 2a, 3a, 4a, …, (p – 1)a không số nào chia hết cho p Do vậy:







 1 ) 1 2 3 4 ( 1 ) (mod ) (

4

.

3

.

2

Bổ đề 2: Nếu a2 b2 p; p 4k 3 và p là số nguyên tố thì a ,b p.

Hướng dẫn chứng minh:

- Nếu a hoặc b chia hết cho p thì ta có ngay đpcm

- Nếu (a, p) = (b, p) = 1 thì theo định lí Phéc – ma nhỏ ta có:

) (mod 2

2

4

2

a k  k 

mà a4k 2 b4k 2 a2 b2 p.

(mâu thuẫn) => đpcm

Bổ đề 3: Số có dạng 4k + 3 thì tồn tại ước số nguyên tố cũng có dạng 4k + 3.

- Bài toán minh họa:

Bài 12: Cho 2 số tự nhiên a > b và a + b chia hết cho 2 Chứng minh rằng:

2

2 a b

a   không thể là số chính phương

Giải:

Giả sử a2  a b2 n2  ( 2a 1  2b)( 2a 1  2b)  4n2  1

Vì 2a – 1 + 2b chia 4 dư 3 nên chứa ước nguyên tố p = 4k + 3

Suy ra: 4 2 1



n chia hết cho p => 1 chia hết cho p (mâu thuẫn) => đpcm

Dạng 2: Chứng minh một số là số chính phương:

2.1) Chứng minh điều kiện cần để 1 số là số chính phương bằng cách xét chữ

số tận cùng:

Bài 1: Chứng minh rằng một số chính phương có chữ số tận cùng là 5 thì chữ số

hàng chục là 2

Giải:

Gọi A là số chính phương có tận cùng là 5 => A có dạng 2

5

Ta có: A = a52  ( 10a 5 ) 2  100a2  100a 25

Vì chữ số hang chục của 100a 1002 , a là 0 nên chữ số hàng chục của A là 2

Bài 2: Chứng minh rằng một số chính phương có chữ số tận cùng là 6 thì chữ số

hang chục là một số lẻ

Giải:

Đặt M = a2 Vì M có chữ số tận cùng là 6 nên a có chữ số tận cùng là 4 hoặc 6

- Nếu a có chữ số tận cùng là 4 thì a có dạng b4

Ta có: M = b42  ( 10b 4 ) 2  100b2  80b 16

Vì chữ số hàng chục của 100b 802 , b đều là số chẵn nên chữ số hàng chục của M

là 1 số lẻ

- Nếu a có chữ số tận cùng là 6 thì a có dạng b6

Ta có: M = b62  ( 10b 6 ) 2  100b2  120b 36

Vì chữ số hàng chục của 100b 1202 , b đều là số chẵn nên chữ số hàng chục của M

là 1 số lẻ

2.2) Chứng minh 1 số là số chính phương bằng cách dựa vào định nghĩa:

Bài 3: Chứng minh rằng số:

K = 11 155 56

/ ) 1 (







s c n

s

c  là số chính phương

Giải:

3

2 10 1 9

1 10 4 9

1

/ ) 1 (

2 2















































s c n

n n

n

Vậy K là số chính phương

Bài 4: Chứng minh rằng: G = n(n +1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương với

mọi số tự nhiên n

Giải:

Biến đổi ta có: G = n(n +1)(n + 2)(n + 3) + 1 =  2 2

1

3 

n

Vậy G là số chính phương

Dạng 3: Tìm số để 1 biểu thức có giá trị là số chính phương, giải PT nghiệm nguyên.

Ở dạng toán này ta sẽ dung tính chất của số chính phương để giải loại bài toán tìm số nguyên, và do đó cũng cần tới cả các kiến thức, phương pháp để giải

PT nghiệm nguyên

Các bài toán minh họa:

Bài 1: Tìm số tự nhiên n để số Z = 9 + 2n là số chính phương

Hướng dẫn:

Đặt 9 + 2n = a2<=> 2n= (a + 3)(a – 3) Do đó: a + 3 = 2x; a – 3 = 2y; x > y; x +

y = n

Suy ra: 2y( 2xy  1 )  6  x 3 ;y  1 Thử lại thấy đúng

Vậy n = x + y = 4

Bài 2: Tìm số tự nhiên n để A = n4  2n3  2n2 n 7 là số chính phương

Hướng dẫn:

Ta có:

































2 2

2 2

2 2

2 2

) 2 (

) 1 (

) 3 (

) (

n n A

n n A n

n A n n

Thay A vào biểu thức trong đầu bài ta tìm được n = 2

Trước khi kết thúc nội dung đề tài ”Một số dạng toán về số chính phương” tôi xin đưa ra 1 số bài toán tự luyện:

Bài 1: Chứng minh rằng các số sau không phải là số chính phương: