Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán hệ phương trình bằng phương pháp hàm số

MỤC LỤC A ĐẶT VẤN ĐỀ .Trang I Lời mở đầu .Trang II Thực trạng vấn đề nghiên cứu .Trang B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Trang I Các giải pháp thực Trang II Biện pháp tổ chức thực Trang Kiến thức chuẩn bị Trang Một số toán thường gặp phương pháp giải .Trang 3 Bài tập vận dụng………………………………………… …Trang18 C KẾT QUẢ Trang 22 HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Giáo viên: Nguyễn Văn Hà Trường THPT Hoàng Lệ Kha A ĐẶT VẤN ĐỀ I Lời mở đầu Căn vào đường lối, chủ trương sách Đảng Pháp luật Nhà nước Căn vào phương hướng, nhiệm vụ kế hoạch chuyên môn trường THPT Hoàng Lệ Kha năm học 2016 – 2017 Trong trình giảng dạy môn Toán, nhà trường giao cho dạy lớp có đối tượng học sinh chủ yếu học sinh trung bình, trung bình số học sinh Chính nhiệm vụ trọng tâm giúp em học sinh nắm kiến thức vấn đề theo định hướng Bộ GD&ĐT, Sở GD&ĐT Thanh Hóa Mục tiêu đặt giảng dạy học sinh thi Tốt nghiệp THPT môn Toán hầu hết phải đạt từ đến điểm trở lên vấn đề khó khăn với đối tượng học sinh Trong nội dung thi Đại học – Cao đẳng gần thi tốt nghiệp THPT Quốc gia phần Hệ phương trình đóng vai trò quan trọng việc phân loại học sinh mức độ vận dụng cao Hầu hết học sinh lớp giảng dạy thường né tránh câu này, chí làm thi nhiều em học sinh chấp nhận bỏ qua từ đầu gặp toán giải hệ phương trình nghĩ vấn đề khó Từ thực tế nhiều năm đề thi Bộ GD&ĐT né tránh học sinh gặp toán giải hệ phương trình, tìm tòi, nghiên cứu mạnh dạn dẫn dắt học sinh tiếp cận với toàn giải hệ phương trình để đạt kết tốt Từ thực tiễn giảng dạy bồi dưỡng học sinh ôn thi, với kinh nghiệm trình giảng dạy Tôi tổng hợp, khai thác thành chuyên đề: ‘‘Hướng dẫn học sinh giải số toán Hệ phương trình phương pháp hàm số’’ Trong chuyên đề xây dựng toán giải hệ phương trình cách phân tích, sử dụng điều kiện toán kết hợp với tính chất phép toán để xuất phương trình dạng f(u(x)) = f(v(x)) từ xét tính đơn điệu hàm số f(t) Qua nội dung đề tài mong muốn cung cấp cho học sinh số phương pháp kỹ để học sinh tự tin tiếp cận với toán giải hệ phương trình Từ giải số toán hệ phương trình Hy vọng đề tài giúp bạn đồng nghiệp em học sinh có nhìn linh hoạt chủ động gặp số toán hệ phương trình II Thực trạng vấn đề nghiên cứu Thực trạng vấn đề Giáo viên: Nguyễn Văn Hà Trường THPT Hoàng Lệ Kha Hiện gặp số toán giải hệ phương trình đề thi Đại học-Cao đẳng thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia, số học sinh đặc biệt học sinh mức độ trung bình, trung bình chưa tìm cách giải có tìm cách giải giải phần Hầu hết học sinh chưa giải xong toán Hệ thực trạng Khi gặp toán vấn đề trên, học sinh nhiều thời gian để biến đổi toán, không giải Một số học sinh lực tư hạn chế chưa biết cách chọn phương pháp cho phù hợp Chính người dạy phải hướng dẫn học sinh tìm cách giải đơn giản, để thuận lợi kết thúc toán B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Các giải pháp thực Khi tiếp cận toán, giáo viên phải giúp học sinh biết phải sử dụng kiến thức phù hợp Sau giúp học sinh xây dựng phương pháp giải phù hợp II Biện pháp tổ chức thực Để giúp học sinh có cách giải phù hợp với toán giải hệ phương trình phương pháp hàm số, trước hết giáo viên cần yêu cầu học sinh ôn tập kiến thức tính đơn điệu hàm số số tính chất, phép toán giải phương trình, hệ phương trình Sau giáo viên chọn số toán điển hình để học sinh vận dụng Trong đề tài này, xin đưa số toán tương đối đầy đủ toán giải hệ phương trình phương pháp hàm số Kiến thức toán có liên quan - Định nghĩa tính chất hàm số - Tính đơn điệu hàm số - Các phép biến đổi tương đương phương trình, hệ phương trình - Các biểu thức liên hợp Một số toán thường gặp phương pháp giải Ví dụ 1: Giải hệ phương trình  xy ( x + + 1) = y + + y  (3 x − 1) x y + xy − − x + x y − x = (1) ( x, y ∈ ¡ ) [6] (2) Phân tích toán Nhận thấy phương trình thứ làm xuất hai biến x, y hai vế khác cách chia hai vế cho y2 (với đk y ≠ 0) để hai vế hai ẩn tách biệt Từ ta xét hàm số Giáo viên: Nguyễn Văn Hà Trường THPT Hoàng Lệ Kha Lời giải Điều kiện: x y + xy − ≥ Ta có: y + + y > y + y ≥ ⇒ vp (1) > ⇒ y ≠ 0, x > (do y x( x + + 1) ≥ ) y y Phương trình (1) ⇔ x( x + + 1) = ( ( ) + + 1) (*) Xét hàm số f ( t ) = t ( t + + ) (0; +∞) Ta có f ' (t ) = t2 t +1 + t2 +1 +1 > ∀t > ⇒ f (t ) hàm số đồng biến (0; +∞) 3 Phương trình (*) ⇔ f ( x) = f ( y ) ⇔ x = y ⇔ y = x (**) Thế vào (2) ta được: (3 x −1) x − − x + x − x = ⇔ (3 x −1)( x − − x) = x −12 x + x x −1 ⇔ ( x − 3x + 2)( x + ) =0 3x − + x x − x + = ⇔ x −1 x + =0  3x − + x  Phương trình x + 3x − = vô nghiệm (do x ≥ ) 3x − + x  x = 1(t / m) ⇔  Thế vào (**) ta  x = 2(t / m) y =   y = (t / m)    Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x;y) = ( 1; 3) , (2; )    Ví dụ Giải hệ phương trình Giáo viên: Nguyễn Văn Hà Trường THPT Hoàng Lệ Kha log ( x + x + 4) + log ( y + − y ) = 2 ( x, y ∈ ¡ ) [6]   xy − 4( x + y ) + 10 = ( x + 2) x − (1) (2) Phân tích toán: Nhìn vào phương trình (1) chứa biểu thức liên hợp (x+ x + ) ( y + − y ) nên ta khai thác phương trình để đưa phương trình có hai vế hai ẩn tách biệt Sử dụng hàm số để tìm mối liên hệ x y từ vào phương trình (2) để giải Lời giải: Điều kiện: x ≥ , x + x + > Phương trình (1) y + − y > với ∀x, y ∈ ¡ ⇔ log ( x + x + 4)( y + − y ) = ⇔ ( x + x + 4)( y + − y ) = 4 ⇔ ( x + x + 4) y +4+ y =4 (*) ⇔ x + x2 + = y + y + Xét hàm số f (t ) = t + t + ¡ Ta có f , (t ) = + t t2 + = t2 + + t t2 + > t +t t2 + ≥0 ⇒ f (t ) đồng biến ¡ Phương trình (*) ⇔ f ( x) = f ( y ) ⇔ x = y Ta được: (**) vào phương trình (2) x − x + 10 = ( x + 2) x − ⇔ ( x + 2) − ( x + 2) x − − 6(2 x − 1) = ⇔ ( x + − x − 1)( x + + 2 x − 1) =  x + = 2x −1 ⇔  x + + 2 x − = Phương trình x + + 2 x − = vô nghiệm x ≥ x = ⇔ ( x + 2) = 9(2 x − 1) ⇔  (t/m) vào (**) ta  x = 13 Giáo viên: Nguyễn Văn Hà y =1  y = 13 (t/m)  Trường THPT Hoàng Lệ Kha Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y)= { ( 1;1) , ( 13;13) }  9 x + ( − y ) y − + x = Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:  x + x + = y +  ( x, y ∈ ¡ ) (1) (2) [7] Phân tích toán: Phương trình (2) rút y theo x ( thu phương trình bậc bốn đới với x) vào phương trình (1) đưa phương trình phức tạp phương trình (1) nhận thấy bậc ba ẩn x, đồng thời chứa thức với y đặt t = y − phương trình phương trình chứa đa thức bậc ba với ẩn t Vì ta biến đổi phương trình (1) phương trình có hai biến tách biệt Lời giải Điều kiện: y ≥ Phương trình (1) ⇔ x3 + x = ( y − ) y − ⇔ x(9 x + 1) = y − 6(3 y − 5) ⇔ x(9 x + 1) = y − 6(3 y − + 1) (*) Xét hàm số f (t ) = t (t + 1) ¡ ⇒ f , (t ) = 3t + > với ∀t ∈ ¡ ⇒ hàm số f(t) đồng biến ¡ x ≥ Phương trình (*) ⇔ f (3x) = f ( y − 6) ⇔ x = y − ⇔   y = 3x + (**) Thế vào phương trình (2): x + x + = 3x + ⇔ x + x + + x + x + x = 3x + ⇔ x + x + x + x = ⇔ x( x3 + x + x + 4) = x = ⇔  x + 2x + 2x + = Phương trình x3 + x + x + = vô nghiệm x ≥ ⇔ x=0 (t/m) vào (**) ta y = Vậy phương trình có nghiệm (x;y)=(0;2) (1) Giáo viên: Nguyễn Văn Hà Trường THPT Hoàng Lệ Kha  x − y + = Ví dụ Giải hệ phương trình:  (3 − x) − x − y y − = ( x, y ∈ ¡ ) [8](2) Phân tích toán: Phương trình (1) dễ dàng rút y theo x để vào phương trình (2) dẫn đến phương trình chứa thức đa thức bậc ba phức tạp Vì ta dễ thấy phương trình (2) biến đổi phương trình tách biệt với hai biến x, y Ta thêm bớt 2y=2y-1+1 phương trình (2) xuất dạng phương trình f ( − x ) = f ( y − 1) Lời giải Điều kiện: y ≥ ; x ≤ Phương trình (2) ⇔ (2 − x) − x + − x = (2 y − 1) y − + y − (*) Xét hàm số f (t ) = t + t (0; +∞) ⇒ f , (t ) = 3t + > với ∀t ≥ Phương trình (*) ⇔ f ( − x ) = f ( y − 1) ⇔ − x = y − ⇔ − x = y − (**) Thế vào phương trình (1) x − (2 y − 1) = ⇔ x + x − =  x −1 = ⇔ ( x − 1)( x + x + 2) = ⇔  x + x + = Do phương trình x + x + = vô nghiệm ⇔ x =1 (t/m) vào (**) ta y = Vậy phương trình có nghiệm (x;y)=(1;1)  2(2 x + 1)3 + x + = (2 y − 3) y − Ví dụ : Giải hệ phương trình:   x + + y + = (1) [6] (2) ( x; y ∈ ¡ ) Phân tích toán Phương trình thứ dễ dàng đưa dạng f (2 x + 1) = f ( y − 2) ta xét hàm số f (t ) = 2t + t để x + = y − sau vào phương trình thứ hai Lời giải Điều kiện: x ≥ − , y ≥ Giáo viên: Nguyễn Văn Hà Trường THPT Hoàng Lệ Kha (1) ⇔ 2(2 x + 1)3 + (2 x + 1) = 2( y − 2) y − + y − Xét hàm số: f (t ) = 2t + t t ∈¡ f , (t ) = 6t + > Ta có: Phương trình (*) với ∀t ∈ / R ⇒ f (t ) đồng biến ¡ ⇔ f (2 x + 1) = f ( y − 2) ⇔ x + =  y = 4x2 + 4x +  ⇔ x ≥ −  Ta được: (*) (**) y−2 vào phương trình (2) x + + x + x + 10 = ⇔ ( x + − 2) + ( x + x + 10 − 4) = 4x − 8x2 + 8x − + =0 4x + + x + x + 10 + ⇔ ⇔   2x −1 (2 x − 1)(2 x + 3) 2x + + = ⇔ (2 x − 1)  + =0 2 4x + + x + x + 10 + x + x + 10 +   4x + + 2 x − = ⇔ 2x +  + =0  x + + x + x + 10 + Phương trình 2x + > ) ⇔x= 2x + + = vô nghiệm ( x ≥ − nên 4x + + 2 x + x + 10 + (t/m) vào (**) ta y = 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) = ( ;6)  x (4 y + 1) + 2( x + 1) x = Ví dụ Giải hệ phương trình:  2  x y (2 + y + 1) = x + x + (1) ( x, y ∈ ¡ ) [6] (2) Phân tích toán: Nhận thấy phương trình hai có khả liên hợp giống dạng hàm số thường gặp Với x ≠ đưa phương trình hai dạng y (1 + (2 y ) + 1) = y = (1 + ( ) + 1) x x sau xét hàm số f (t ) = t (1 + t + ) từ x Giáo viên: Nguyễn Văn Hà Trường THPT Hoàng Lệ Kha Lời giải Điều kiện: x ≥ Nếu x = thay vào phương trình (2) 1=0 vô lý, Loại Nếu x ≠ , chia hai vế phương trình (2) cho x ta được: y (2 + y + 1) = 1 1 (1 + + 1) ⇔ y (1 + (2 y ) + 1) = (1 + + 1) x x x x (*) Xét hàm số f (t ) = t (1 + t + 1) (0; +∞) , Ta có: f (t ) = + t + + Phương trình (*) t2 t2 +1 > nên hàm số f(t) đồng biến (0; +∞) 1 ⇔ f (2 y ) = f ( ) ⇔ y = > ⇔ y = x x x Thế vào phương trình (1) ta được: x3 ( + 1) + 2( x + 1) x = x ⇔ x ( x + 1) + 2( x + 1) x = (**) Nếu < x < ⇒ VT (**) < 1(12 + 1) + 2(12 + 1) = (Không t/m) Nếu x = ⇒ VT (**) = ⇒ x = (t/m) Nếu x > ⇒ VT (**) > ⇒ (Không t/m) Vậy phương trình (**) có nghiệm x = ta y = 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = (1; ) Ví dụ Giải hệ phương trình:  y + y − y + + x = x + x + + ( x, y ∈ ¡ ) [6]  2 3 y − x − y + x = −1 (1) (2) Phân tích toán: Nếu xét phương trình hệ chưa có dấu hiệu dùng hàm số Tuy nhiên từ phương trình (1) có dấu hiệu hai biểu thức chứa hai vế phương trình nên ta làm xuất hàm số f(t) cách lấy vế cộng với vế phương trình (1) phương trình (2) để đưa dạng: (3 y − y + + x ) + y − y + + x = (7 x + 7) + x + Lời giải D=¡ Giáo viên: Nguyễn Văn Hà Trường THPT Hoàng Lệ Kha  y + y − y + + x = x + x + + ⇔ Hệ phương trình  2 3 y − y + + x = −3 x + x + Cộng hai vế hai phương trình ta được: (3 y − y + + x ) + y − y + + x = (7 x + 7) + x + (t ≥ 0) Xét hàm số: f (t ) = t + t f , (t ) = + (*) t (*) hàm số đồng biến [ 0; +∞ ) ⇔ f (3 y − y + + x ) = f (7 x + 7) ⇔ y − y + + 3x = x2 + ⇔ y − x − y − = kết hợp với phương trình (2) ta 2  y = 3x + 3 y − x − y + x + = ⇔  2 3 y − x − y − = 3 y − x − y − =  x = −1 ⇔  y = −1   x = − 23   y = 25  23  Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = (−1; −1), (−  25  ; ) 23 23  Ví dụ Giải hệ phương trình: 3 y + x + + x = 10 y − 3xy + 12  3 5 y − x − = y + xy − x ( x, y ∈ ¡ ) (1) [7] (2) Phân tích toán : Mới nhìn hệ phương trình ta thấy hai phương trình phức tạp, việc phân tích đưa phương trình tích phương trình khó khăn Tuy nhiên phương trình (2) với y ≠ ta đưa phương trình hai ẩn x, y nằm hai vế riêng biệt cách chia hai vế cho y Lời giải Điều kiện: x ∈ [ −2; 2] Xét y=0 phương trình (2) trở thành -8=0 vô lí ⇒ loại Xét y ≠ phương trình (2) ⇔ − x − y = y + x − x Giáo viên: Nguyễn Văn Hà Trường THPT Hoàng Lệ Kha 10 2 ⇔ ( − x )3 + − x = ( )3 + 3( ) y y (*) Xét hàm số f (t ) = t + 3t ¡ ⇒ f , (t ) = 3t + > ¡ biến ¡ 2 ⇒ hàm số f(t) đồng (*) ⇔ f ( − x ) = f ( y ) ⇔ − x = y ⇔ y = vào phương trình (1) 2− x (1) ⇔ 3.2 2+ x 2 + + x = 10 − 3.x + 12 2− x 2− x 2− x ⇔ + x + − x + x = 10 − x + − x (**) ⇔ + x − − x + 4 − x + x − 10 = Đặt t = ( + x − 2 − x ) ⇒ t = 10 − 3x − 4 − x t = t = Phương trình (**) ⇔ 3t − t = ⇔   x = Với t = ⇒ + x − 2 − x = ⇔  y =  Với t = ⇒ + x − 2 − x = phương trình vô nghiệm vế trái ≤ Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( ; 5) 3 2  x − y + 3( x + y ) + 4( x − y ) + = (1) Ví dụ : Giải hệ phương trình:  2 [7] (2)  x + y − 2( x + y ) = 18 Với điều kiện ( x, y ∈ ¡ ) Phân tích toán: Từ hai phương trình hệ ta đưa phương trình tách biệt hai ẩn x, y nhiên từ phương trình (1) dễ thấy làm xuất hàm số f (t ) = t + t hàm số đồng biến ¡ Vì ta nên biến đổi phương trình (1) Lời giải D= ¡ Phương trình (1) ⇔ x3 + 3x + x + = y − y + y ⇔ ( x + 1)3 + ( x + 1) = ( y − 1)3 + ( y − 1) Giáo viên: Nguyễn Văn Hà (*) Trường THPT Hoàng Lệ Kha 11 Xét hàm số f (t ) = t + t ¡ Ta có f , (t ) = 3t + > với ∀t ∈ ¡ => hàm số f(t) đồng biến ¡ Phương trình (*) ⇔ f ( x + 1) = f ( y − 1) ⇔ x + = y − ⇔ y = x + (**) Thế vào phương trình (2) ta được: x + ( x + 2) − 2(2 x + 2) = 18  x = −3  y = −1 ⇔ vào (**) ta  x = y = Vậy phương trình có hai nghiệm (x;y) = { (−3;−1), (3;5)} Ví dụ 10 Giải hệ phương trình:  x + x + x + = y + y  2  x (3 y − 7) = − (1 + x )(1 + x ) (1) ( x, y ∈ ¡ ) [6] (2) Phân tích toán Từ phương trình (1) dễ dàng biến đổi thành ( x + 1) + 3( x + 1) = y + y từ xuất hàm số f (t ) = t + 3t hàm số đồng biến ¡ Lời giải D= ¡ Phương trình (1) ⇔ ( x + 1)3 + 3( x + 1) = y + y (*) Xét hàm số f (t ) = t + 3t ¡ Ta có f , (t ) = 3t + > với ∀t ∈ ¡ ⇒ hàm số f(t) đồng biến ¡ Phương trình (*) ⇔ f ( x + 1) = f ( y ) ⇔ y = x + vào phương trình (2) Ta có: x (3 x − 4) = − (1 + x )3 ⇔ x (3 x − 4) = − ( + x )3 ⇔ x (3 x − 4) = (1 − + x )(1 + + x + + x ) ⇔ x (3x − 4) = − x (2 + x + + x ) + + x2  + x2 + + x2  ⇔ x 3 x − x + =0 + + x   Giáo viên: Nguyễn Văn Hà Trường THPT Hoàng Lệ Kha 12 x =  ⇔ 2 + x2 + + x2 3 x − x + + + x =  (3) Với x = thỏa mãn 2 + x2 + + x2 ⇔ 3( x − ) − + =0 Với phương trình (3) 3 + + x2 ( + x − 1)2 + x + ⇔ 3( x − ) + = vô nghiệm 6(1 + + x ) Với x = ta y = Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y)=(0;1) Ví dụ 11 Giải hệ phương trình: (2 x + 2) x − = y + y   y − xy + = x − y (1) ( x, y ∈ ¡ ) [7] (2) Phân tích toán Từ phương trình (1) tách số ta (2 x + 2) = (2 x − + 3) phá ngoặc ta phương trình: ( x − 1)3 + x − = y + y từ xét hàm số f (t ) = t + 3t với t ∈ ¡ hàm số đồng biến Lời giải Điều kiện: x − ≥ ⇔ x ≥ Phương trình (1) ⇔ ( x − 1)3 + x − = y + y (*) Xét hàm số f (t ) = t + 3t ¡ Ta có f , (t ) = 3t + > 0(∀t ∈ ¡ ) ⇒ hàm số f (t ) đồng biến ¡ Phương trình (*) ⇔ f ( x − = f ( y ) ⇔ x − = y (**)  y = −5  y = x −1 Phương trình (2) ⇔ ( y + 5)( y − x + 1) = ⇔  Với y = −5 vào (**) ⇔ x − = −5 (vô nghiệm) Với y = x − vào (**) ⇔ x − = x − Giáo viên: Nguyễn Văn Hà Trường THPT Hoàng Lệ Kha 13  x ≥ ⇔ 2 x − = x − x + ⇔ x = + Với x = + ta y = + Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = (2 + 2;1 + 2) Ví dụ 12 Giải hệ phương trình:  y + 12 y + 25 y + 18 = (2 x + 9) x +  2  x + + x − 14 x − = − y − y ( x, y ∈ ¡ ) (1) [6] (2) Phân tích toán Nhận thấy phương trình (1) có dấu hiệu hai vế chứa hai ẩn x, y riêng biệt Ta cần biến đổi phương trình xuất hàm số f(t) tính đơn điệu để đưa điều kiện ràng buộc hai biến x, y Lời giải ĐK: 1   x ≥ − x ≥ − ⇔  6 − y − y ≥  −2 − 10 ≤ y ≤ −2 + 10   Phương trình (1) ⇔ 2( y + 2)2 + ( y + 2) = 2( x + 4) x + + x + (*) Xét hàm số f (t ) = 2t + t ¡ Ta có f , (t ) = 6t + > với ∀t ∈ ¡ ⇒ hàm số đồng biến ¡ y ≥ Phương trình (*) ⇔ f ( y + 2) = f ( x + 4) ⇔ y + = x + ⇔  x = y + y Với x = y + y vào phương trình (2) ta 3x + + 3x − 14 x − = − x ⇔ x + − − x + x − 14 x − = ⇔ ( 3x + − 4) − ( − x − 1) + x − 14 x − = ⇔ 3( x − 5) x −5 + + ( x − 5)(3 x + 1) = 3x + + − x +1   ⇔ ( x − 5)  + + x + 1 = − x +1  3x + +  Giáo viên: Nguyễn Văn Hà Trường THPT Hoàng Lệ Kha 14 x = ⇔  + + 3x + =  x + + − x +1 Nhận thấy phương trình dương với ∀x ≥ − + + x + = vô nghiệm vế trái 3x + + − x +1  y ≥ −2 Với x = ⇒  y + 4y = ⇔ y =1 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y)=(5;1)  x − x + = y + y Ví dụ 13: Giải hệ phương trình:  3 x − = y + y (1) ( x, y ∈ ¡ ) [7] (2) Phân tích toán: Nhận thấy phương trình (1) có hai vế hai ẩn x, y riêng biệt với điều kiện xác định y ≥ y + y = y y + = ( y + 3) y + − y + ta phân tích phương trình (1) xuất hàm số f (t ) = t − 3t Lời giải:  y3 + y ≥  x ≥ ĐK:  y + y ≥ ⇔  y ≥ x − ≥  Phương trình (1) ⇔ x3 − 3x + 3x − − 3x − = y y + ⇔ ( x − 1)3 − 3( x − 1) = ( y + 3) y + − y + (*) Xét hàm số f (t ) = t − 3t với t ≥ Ta có f , (t ) = 3(t − 1) ≥ với ∀t ≥ ⇒ hàm số f (t ) đồng biến [ 1; +∞ ) Phương trình (*) ⇔ f ( x − 1) = f ( y + 3) ⇔ x − = y + ⇔ x − = y + − (**) Từ (2) ⇔ 9( x − 2) = y + y kết hợp với (**) ta 9( y + − 1) = y + y ⇔ y + = y + y + với ( y ≥ 0) ⇔ y + 16 y + 72 y + 63 y − 162 = Giáo viên: Nguyễn Văn Hà Trường THPT Hoàng Lệ Kha 15 y =1 ⇔ ( y − 1)( y + 17 y + 99 y + 162) = ⇔   y + 17 y + 99 y + 162 = Phương trình y + 17 y + 99 y + 162 = vô nghiệm Với y = ta x = Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y)=(3;1)  x + x = y y − Ví dụ 14: Giải hệ phương trình:   x + x3 − x + = x( y − 1)3 + (1) ( x, y ∈ ¡ ) [7] (2) Phân tích toán: Từ phương trình (1) dễ dàng phân tích thành ( x ) + x = ( y − 1)3 + y − dẫn đến xuất hàm số f (t ) = t + t hàm số đồng biến ¡ 3 Lời giải: y ≥1 ĐK:  x − x +1 ≥ Từ phương trình (1) ⇔ ( x ) + x = ( y − ) + y − 3 (*) Xét hàm số f ( t ) = t + t ¡ , Ta có f ( t ) = 3t + > với ∀t ∈ ¡ ⇒ hàm số f ( t ) đồng biến ¡ Phương trình (*) ⇔ f ( x ) = f ( y − ) ⇔ y − = x ⇒ x ≥ Thế vào phương trình (2) ta x + x3 − x + = x3 + ⇔ x ( x − 1) = − x3 − x + ⇔ x3 ( x − 1) = x − x3 + x3 − x +   x2 ⇔ ( x − 1)  x + =0 + x3 − x +     ⇔ x ( x − 1)  x + =0  1+ x − x +1  Giáo viên: Nguyễn Văn Hà Trường THPT Hoàng Lệ Kha 16 x =   ⇔ x =  x + =0  + x − x + Với x = ta phương trình vô nghiệm x ≥ y =1 x = ta y = (t/m điều kiện) Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( x; y ) = { ( 0;1) , ( 1; ) } Ví dụ 15: Giải hệ phương trình:  x + x − = y + x + y +  2 6 x + xy + 2( x − 1)( x + 1) = 3( x − y − 4) x + xy + x + ( x, y ∈ ¡ (1) ) [7](2) Phân tích toán: Nhận thấy phương trình (1) phức tạp cho việc biến đổi ta xem xét phương trình (1) có dấu hiệu đưa xét hàm số thường gặp cách biến đổi: x + 3x = ( x + y + 3) + x + y + Lời giải: x ≥ x + y + ≥ Đk:  Phương trình (1) ⇔ x + 3x = ( x + y + 3) + x + y + (*) Xét hàm số f ( t ) = t + 3t với t ≥ , Ta có f ( t ) = 2t + > với ∀t ≥ ⇒ hàm số f ( t ) đồng biến [ 0; +∞ ) Phương trình (*) ⇔ f ( x ) = f ( x + y + ) ⇔ x = x + y + ⇔ y = x − x − vào phương trình (2) ta có: x + x ( x − x − 3) + ( x − 1) = ( x − x + x + − ) x + x ( x − x − ) + x + ⇔ x + x − x − = ( x − 1) x3 + x + ⇔ ( x − 1)  x + x + − 3 x + x +  =   Giáo viên: Nguyễn Văn Hà Trường THPT Hoàng Lệ Kha 17 x = ⇔ 3  x + x + − x + x + = Với x = ta y = −3 (3) ( t/m điều kiện) Phương trình (3) ⇔ x + x + = 3 x + x + ⇔ x3 + 3x + 3x + + 3x + = x + x + + 3 x + x + ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) = ( x + x + ) + 3 x3 + x + (**) , Xét hàm số f ( u ) = u + 3u ¡ ⇒ f ( u ) = 3u + > với ∀u ∈ ¡ ⇒ hàm số f ( u ) đồng biến ¡ Phương trình (**) ⇔ f ( x + 1) = f ( ) x3 + x + ⇔ x + = x3 + x +  −3 + 11 x =  ⇔ x2 + 3x −1 = ⇔    x = −3 − 11  Với x = (Thỏa mãn) (Loại) −3 + 11 −8 − 11 ⇒y=   −3 + 11 −8 − 11   ; ÷ ÷     Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( x; y ) = ( 1; −3) ,   Bài tập vận dụng ) ( ( x + + x ) y + y + =  ( x, y ∈ ¡ ) Bài Giải hệ phương trình:  ( y + ) − − y = x + + 10 x    Đáp số: Hệ phương trình có nghiệm là: ( x; y ) =  0; − ÷    x + y − 3x − y + = Bài 2: Giải hệ phương trình:  2 2  x + y + x + y + x − y + = x + y + x + Đáp số: ( x; y ) = { ( 1;0 ) , ( 1;1) } ( ) ( x + x + x + + 1) y + y + =  Bài Giải hệ phương trình:   y − xy + + 2015 = y + y + + 2016 x  Giáo viên: Nguyễn Văn Hà ( x; y ∈ ¡ ) Trường THPT Hoàng Lệ Kha 18 Đáp số: Hệ phương trình có nghiệm nhất: ( x; y ) = ( 1; −2 ) Bài 4: Đề thi tuyển sinh đại học năm 2010 - khối A ( x + 1) x + ( y − 3) − y = Giải hệ phương trình:  2  x + y + − x = ( x, y ∈ ¡ )   Đáp số: Hệ phương trình có nghiệm: ( x; y ) =  ; ÷ 2 (  )( )  x + + x2 y + + y =  Bài : Giải hệ phương trình:   x x − xy + = xy + x +  ( x, y ∈ ¡ )  − 11 −3 + 11   ; ÷ ÷     Đáp số: Hệ phương trình có nghiệm: ( x; y ) = ( 1; −1) ,    x − y + y − x − = Bài Giải hệ phương trình:  2  x + − x − y − y + = ( x, y ∈ ¡ ) Đáp số: Hệ phương trình có nghiệm: ( x; y ) = ( 0;1)  y  x x +1 + 2.log   2.4 + = ÷ ÷ Bài : Giải hệ phương trình:   y    x + x = ( y + 1) ( xy + 1) + x ( x, y ∈ ¡ ) Đáp số: Hệ phương trình có nghiệm nhất: ( x; y ) = ( 2;1)  y + y + x − x = − x Bài Giải hệ phương trình:  2  − y = x + y − ( x, y ∈ ¡ ) { Đáp số: Hệ phương trình có hai nghiệm: ( x; y ) = ( − 2; ) , ( − 2; − )  x − y + x − y = x + Bài : Giải hệ phương trình:   x + y + 19 = x + + y + 14 } ( x, y ∈ ¡ ) Đáp số: Hệ phương trình có hai nghiệm: ( x; y ) = { ( 0;1) , ( −1; −2 ) }  x − x − ( x − x ) − y = ( y − 3) x −  Bài 10 : Giải hệ phương trình:  x + x3 + x +  − 3− 2y = 2x +1  ( x, y ∈ ¡ ) Đáp số: Hệ phương trình vô nghiệm Giáo viên: Nguyễn Văn Hà Trường THPT Hoàng Lệ Kha 19 C KẾT QUẢ I Kết nghiên cứu Thông qua hệ thống toán giải hệ phương trình, ta thấy gặp vấn đề trở nên đơn giản nhiều, dễ vận dụng, không phức tạp với học sinh Trong trình giảng dạy, nhận thấy rằng: sau đưa hệ thống tập trên, học sinh biết vận dụng cách linh hoạt, vào toán khác nhau, từ đơn giản đến phức tạp Học sinh không tâm lý e ngại gặp toán Mặt khác, hiệu áp dụng tương đối cao, giải trở nên sáng sủa, ngắn gọn II Kiến nghị Thứ nhất: Hằng năm, sáng kiến kinh nghiệm có ứng dụng thực tiễn, thiết thực phục vụ cho nhiệm vụ nâng cao chất lượng giáo dục đào tạo, sáng kiến đổi phương pháp giảng dạy cần tập hợp kỷ yếu khoa học Sở GD& ĐT tạo điều kiện cho giáo viên, học sinh phụ huynh tham khảo Thứ hai: Ngoài việc đánh giá xếp giải SKKN phận chuyên môn Sở GD& ĐT cần bổ xung thêm hạn chế đơn vị để giáo viên rút kinh nghiệm cho việc nghiên cứu lần sau XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Nguyễn Văn Hà Giáo viên: Nguyễn Văn Hà Trường THPT Hoàng Lệ Kha 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sách giáo khoa Đại số 10 Nâng cao [2] Sách giáo khoa Giải tích 12 Nâng cao [3] Sách tập Đại số 10 Nâng cao [4] Sách tập Giải tích 12 Nâng cao [5] Hàm số Tác giả: Lê Hồng Đức [6] Các đề thi đại học môn toán từ 1996 - 2015 [7] Các đề thi thử trường THPT [8] Nguồn khác: Internet Giáo viên: Nguyễn Văn Hà Trường THPT Hoàng Lệ Kha 21 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT HOÀNG LỆ KHA  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Người thực hiện: Nguyễn Văn Hà Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc môn: Toán THANH HÓA, NĂM 2017 Giáo viên: Nguyễn Văn Hà Trường THPT Hoàng Lệ Kha 22 ... tính đơn điệu hàm số f(t) Qua nội dung đề tài mong muốn cung cấp cho học sinh số phương pháp kỹ để học sinh tự tin tiếp cận với toán giải hệ phương trình Từ giải số toán hệ phương trình Hy vọng... giúp học sinh xây dựng phương pháp giải phù hợp II Biện pháp tổ chức thực Để giúp học sinh có cách giải phù hợp với toán giải hệ phương trình phương pháp hàm số, trước hết giáo viên cần yêu cầu học. .. đầy đủ toán giải hệ phương trình phương pháp hàm số Kiến thức toán có liên quan - Định nghĩa tính chất hàm số - Tính đơn điệu hàm số - Các phép biến đổi tương đương phương trình, hệ phương trình