MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

Biện luận số nghiệm của HPT theo m.

CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

I.Hệ phương trình đối xứng loại 1:

2 2

2 2

3

78 97







xy xy x y y x

II.Hệ phương trình đối xứng loại 2:

2

2

  



III.Hệ phương trình đẳng cấp:

IV.Hệ phương trình vô tỉ:

2 2

128



3 3

2(1)

( bp (1) )

2 2

3 4

6 3



1

1 1

2

x y





x y y x

x y xy

2 2

2

xy x y x y

V Giải HPT bằng pp đánh giá:

2 2 2

2

2

2

1

12

  

 



2 2 2

VI Một số HPT khác:

3

2

xy



2 2

18

2 2 2 2 2 2

1

y

3 3

2 2

2

y

 



3 4

2 4

2

4 4 4





1 1

y xy



2 2 2

27 /



/ 9 / 2

6



5 5

6 3 18 ( 1)( 1) 6

30 32





2 2

26 5

x y y x

2 2 2

( 1)(3 2) 2 3

xy xy x y y x

x tan a z tan k







2 2

2

2 2

2

2 2

xy y x y

x xy y

z x y xy





Khảo sát (2) ta thấy: nếu x > 1 thì y > 1 nên (1) VN

HPT có nghdn x = y = 1

Từ ĐK của HPT

Vậy HPT có 2 nghiệm là ( 1; 0 ) và ( -2; 3 )

62/ Tìm GT của m để HPT sau có nghiệm thực:









2 2

3

2



2 2 2 2 2

3 3

75/

Từ (2) a x: 1 2cosa y; 1 2sina Thay vào (1) ta được:

(1cosasina)(3 2cosasinacosasina(cosasina) 2 37 4) 223(1,5cosasina)

Đặt t = cosa – sina thì PT trên trở thành:

(1t)(1,5  t (1 t ) 2t 2 37 4) 223(1,5 t) 2t 39t41  0 t 1(t  2)

        HPT có 2 nghiệm:(3/2; -1/2) và (1/2; -3/2 )

VII Biện luận hệ phương trình:

1/ Tìm gt của m để hpt sau có nghiệm:







Giải: Đặt S = x + y; P = xy   S P m&S22P m S22S3m   0 ' 1 3m   0 m 1/ 3 Để (1) có nghiệm thì S24PS22P2P m 2P m 2(m S )  m 2S    m 2 2 3m 1 0 Để (1)

có nghiệm ta chỉ cần đk:   m 2 3m  1 0 3m     1 m 2 0 m 8 ( do m0 từ pt thứ hai của hệ

2/ Giải và bl hpt:

2

2

2 2







Giải: Trừ các vế của 2 pt ta được: (xy x)(   y 1 m)0

a/ x y 3x2m x(    1) 0 x 0;(m1) / 3

b/ y   m 1 x x2(m1)x    m 1 0 (m1)(m5)

Kết luận: +/ 1 < m < 5: hpt có nghiệm x y 0;x y (m1) / 3

+/ m  1 m 5: hpt có nghiệm: x y 0;x y (m1) / 3; 1 1

m   m  

3/ Tìm m để hpt sau có nghiệm:

1(1)







Giải: Đặt x ty (1) :y t2( 2  t 1) 1(3) Vì t2  t 1 0 với mọi t nên (3) luôn có nghiệm Từ hpt ta suy ra:

(t  3t 2) /(t    t 1) m (m1)t  (3 m t)   m 2 0(4)

+/ m = 1: t = 1/2  hpt có nghiệm

+/ m1: (4) có   3(m4)(m6)

Từ đó ta suy ra hpt có nghiệm khi   4 m 6

4/ Tìm m để hpt sau có nghiệm: 1 1 3





Giải: hpt đã cho tđ với:

/ 3

 hpt có nghiệm khi 0 m 27 / 4

5/ Xác định a để hpt sau có nghiệm duy nhất:

4 4







Giải: a/ đk cần: gs hpt có nghiệm: ( ;x y0 0) thì nó cũng có nghiệm (y x0; 0) do đó để hpt có nghiệm duy nhất thì

3 2

0 0 0 5 0 0 0

x  y x  x ax  Vậy nếu hpt có nghiệm dn thì  25 4 a  0 a 25/ 4

b/ đk đủ: hpt tđ với

4





Do pt x2xy y23(xy)  a 0

x  y xy  y a có  x (y3)24(y23ya) 3y26y 9 4a 0 y vì

'

    do a > 25/4

Với x = y thì hpt trở thành x x( 25xa)0 Do a25/ 4  25 4 a0 nên pt chỉ có nghiệm x = 0 do

đó hpt có nghiệm duy nhất x = y = 0 Vậy với m < 25/4 thì hpt đã cho có nghiệm duy nhất

6/ Giải và biện luận hpt: x y xy a





 



Giải: trừ các vế của hai pt ta đƣợc: 2y xy    0 y 0 x 4 (y y0)

a/ a < 0: hpt có hai nghiệm ( a; 0) và ( 4a/3; a/3)

b/ a0: hpt có nghiệm duy nhất ( a; 0)

MỘT SỐ BÀI TẬP:

1/ Chứng minh hpt sau luôn có nghiệm:

2

4







2/ Tìm các GT của m để hpt sau có nghiệm: 4 1 4

3

m



 



3/ Tìm m để hpt sau có nghiệm duy nhất:

7 7





 có nghiệm duy nhất ( m > 16 )

4/Cminh với mọi m, hpt sau luôn có nghiệm, tìm m để hpt có nghiệm duy nhất:

2

m







5/ Tìm m để hpt sau có nghiệm:

m





( ) & ( )

x my m d x y x C Biện luận số nghiệm của HPT theo m Khi HPT có hai nghiệm

1 1 2 2

( ;x y) & ( ;x y )hãy tìm GT của m để GTBT 2 2

S  x x  y y đạt GTLN ( m = 1/2 ) - // -