SÁNG KIẾN KINH NGHIỆMĐỀ TÀI: “DẠY HỌC SINH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ”... Phần thứ nhấtTHÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN 1.Tên sáng kiến: DẠY HỌC SINH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 2.. MỞ ĐẦUI
Trang 1SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
“DẠY HỌC SINH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ”
Trang 2Phần thứ nhất
THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1.Tên sáng kiến: DẠY HỌC SINH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Chương trình toán THPT
3 Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 5/9/2013 đến 24/5/2014
4 Tác giả:
Nơi thường trú : 70 Nguyễn Đức Thuận- Phường Thống Nhất
Thành phố Nam Định Trình độ chuyên môn : Đại học sư phạm Toán
Chức vụ công tác : Giáo viên
Nơi làm việc : Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong
Thành phố Nam Định
Địa chỉ liên hệ : 70 Nguyễn Đức Thuận- Nam Định
5 Đơn vị áp dụng sáng kiến:
Tên đơn vị : Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong
Trang 3MỞ ĐẦU
I.Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến:
- Bản thân yêu thích giải hệ phương trình
- Hệ phương trình thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi, thi đại học
- Thông thường để giải được hệ thì người giải phải biết qui hệ phương trình đó
về hệ phương trình quen thuộc
- Người thầy biết đúc kết hệ thống dạng, phân tích đầu bài và truyền cho học sinh kinh nghiệm đó thì học sinh sẽ áp dụng giải quyết tốt những bài toán mới được đặt ra
II.Thực trạng trước khi tạo ra sáng kiến:
- Hệ phương trình học sinh được học từ lớp 9, lớp 10 và đây là nội dung quan trọng thường xuyên gặp trong các đề thi học sinh giỏi các cấp, thi đại học
- Sách giáo khoa đưa ra lượng bài tập ít, quá đơn giản so với yêu cầu phải giải được các bài toán đòi hỏi tư duy sáng tạo trong các đề thi học sinh giỏi cũng như thi đại học
- Phần đông học sinh phổ thông gặp khó khăn khi giải quyết bài toán giải hệ phương trình Để giải được hệ phương trình học sinh phải nắm được một số dạng
hệ phương trình quen thuộc đã học và đặc biệt biết quan sát chuyển hệ phương trình
đó về hệ phương trình biết cách giải
Trong bài viết này tôi muốn trình bày dạy học sinh một số phương pháp giải hệ phương trình và dạy học sinh cách nhìn nhận quan sát để chuyển hệ phương trình
về hệ phương trình quen thuộc biết cách giải
III.Các giải pháp trọng tâm:
Nội dung bài viết nêu bốn phương pháp giải hệ:
1) Phương pháp đặt ẩn phụ
2) Phương pháp dùng phương trình bậc hai
3) Phương pháp hàm số
4) Phương pháp hình học
Trang 4Phần thứ hai
NỘI DUNG SÁNG KIẾN
1.Phương pháp đặt ẩn phụ:
a) Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn
Ví dụ 1:
3 8
9 9 2 12
1 4
3 4
y y
x
y x
y x
3 ) 4 ( 2 ) 3 4
(
3
1 ) 4 ( ) 3 4
(
y y
x x
y y
x x
(ĐK x 0 và y 0) Đặt
y y
v
x x
u
4 3 4
hệ phương trình thành hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
0 1 3 2
3
1
v u v
u
v
u
Giải được (x, y) = (1, 0) b) Đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng loại I:
Ví dụ 2:
10 3
3
21 ) 3 )(
2 (
x
y x x
x
10 ) 3 ( ) 2 (
21 ) 3 )(
2 (
2 2
y x x x
y x x x
Đặt:
y x v
x x
u
3 2
2
hệ phương trình trở thành:
3 7 10
21
v u v u v
u
uv
Với:
7 3
v u
3
10
; 3 ( );
2
; 1 ( ) ,
3 7
v
u
3
2 2 4
; 2 1 ( );
3
2 2 4
; 2 2 1 ( ) , (x y
Ví dụ 3:
2 2
3 3
3
6 4
18 27 8
y x y x
y y
x
+) Với y = 0 không thỏa mãn
+) với y 0 hệ phương trình biến đổi được:
3 3 2 3 2
18 3
) 2 (
3 3
y x y x
y x
Đặt
y v
x u
3 hệ thành:
3 ) (
18
3 3
v u uv v u
Đây là hệ đối xứng loại I, giải được: ;
2 5 3 2 5 3
v
u
2 5 3
2 5 3
v u
2 5 3 9 , 4 5 3
; 2 5 3 9 , 4 5 3
c) Đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng loại II:
Ví dụ 4:
2 )
2 (
3
2 6
) 2 ( 3
2 2
2 2
2
x y
x
x y
y
x
2 )
2 ( 3
2 ) 2 ( ) 2 ( 3
2 2
2 2
x y
x
y y
x
Đặt t = y -2 thì hệ thành hệ đối xứng loại II theo x và t
) 2 ( 2 3
) 1 ( 2 3
2 2 2 2
x xt
t t x
Lấy (1) trừ đi (2) theo vế được:
2 2
) (
3xt x t t x (x t)( 3xtxt) 0 (*)
Trang 5Nếu x,t thỏa mãn hệ (1),(2) thì x 0 và t 0
0
Do đó (*) x t
Từ đó giải được: x = t = 1 và hệ đã cho có nghiệm (x; y) = (1; 3) d) Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình “đẳng cấp”:
Ví dụ 5:
7 12 4 )
3 (
4
1 3 )
3 (
2
2 2 2
y xy y x
y xy x
7 )
3 ( 4 ) 3 (
4
1 ) 3 ( ) 3 (
2
2 2
2
y y x x
y x x
Đặt t = x+3 thì hệ thành “đẳng cấp” bậc 2
7 4
4
1 2
2
2
ty ty t
) 2 (
7 4
4
) 1 (
7 7 14
2 2
2
y ty t
ty t
Lấy (1) trừ đi (2) được:
0 11
10 2 2
ty y t
0 ) 10 )(
y t
y t
10
+) Giải được: t y 1
Suy ra (x, y) =(-2; 1); (x, y) = (-4; -1) +) 10t = y giải trường hợp này đưa đến hệ vô nghiệm
e) Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình khác:
Ví dụ 6:
) 2 (
69 ) 1 3
( 6 ) 3 6 2
(
) 1 (
8 2 2 3
x y y y
x
x
y x y
x
ĐKXĐ: x 2y
Quan sát pt(1) để nghĩ ra cách biến đổi(2) về:
69 ) 2 ( 3 ) 3 (
2 2
y x y x
Đặt: u x 3y
v x 2y
) 0 ,
(u v thì hệ thành:
69 3
2
8 2
2 2
v u v u
Dùng phương pháp thế, chọn u, v thích hợp được:
1 6
v
u
và giải được hai nghiệm:
) 1
; 3 ( )
,
5
7
; 5
9 )
; (x y
Ví dụ 7:
) 2 (
38 3
) 1 (
3 2 3
2
x
y x xy
Nhân 2 vế của pt(1) với (2) rồi cộng pt(2) theo vế được
) 3 (
0 44 ) ( 7 ) ( 2
y x y
x
Đặt u = x + y , pt(3) thành
4
11 0
44 7
2
u
u u
u
+) u =11 giải được (x; y) = (5; 6)
2 5 3 3
; 2 5 3 5 )
; (x y
Trang 6Ví dụ 8:
2 2
9 1 3
y xy
y
x
y x
xy
+) Xét y = 0 không thỏa mãn
+) Xét y 0 hệ phương trình thành
7 1
9
3 1
2
y x y
x
y x y
x
Đặt
y x v
y x
hệ thành:
7 9 3
u v u
hệ này giải được bằng phương pháp thế hoặc cộng trừ đại số được:
2 3
v u
được (x, y) = (2; 1), (1; 21 )
9 37 3 10
v
u
đưa đến hệ vô nghiệm
Ví dụ 9:
) 2 (
2 ) 3 2 4 ( 1 2 ) 1 4
2
(
) 1 (
3 8
5 2
2
y x y x y x y
x
y y
x
Pt(2) 2 (x 2y) 1 2x y 1 2 ( 2x y 1 ) 1 x 2y
Đặt a = x +2y ( a 0 )
b = 2x – y - 1 ( b 0 )
Pt(2) thành: ( 2a 1 ) b ( 2b 1 ) a
( a b)( 2 ab 1 ) 0
ab x 2y 2x y 1
x 3 y 1 thế vào (1) được:
2 1
1 0
1 2
2
1 2
y
y y
y
4
2
1 2
1 2
2 x
Vậy: (x, y) = (4; 1)
Bài tập tương tự áp dụng giải hệ bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
1)
3 8 9 2 12
1 4 3 4
2 2 2 2
y x y x
y x y x
2)
2 2
3 2 2
2
2
x
y x
y x
3)
2 17 1 1 5 1 1
2 2 2 2
y x y x
y x y x
4)
18 72 ) 1 )(
1 (
2
x
y x
xy
5)
2 2
7 1
y xy
y x
y x
xy
6)
1 1
2 3
2 2 3
4
xy x
y x
y x y x x
7)
x y y y y x
2 3 3 3 2
2 3 3
2 Phương pháp “dùng Phương trình bậc hai”.
Khi giải phương trình, hệ phương trình bậc cao thường nghĩ đến việc có đưa được về phương trình tích không; Việc đưa về tích thường khó khăn Có một cách giải quyết khó khăn đó là đưa về phương trình bậc 2 đối với x( hoặc phương trình bậc 2 đối
Trang 7với y) Giải phương trình tìm x theo y ( hoặc tìm y theo x) Hoặc tìm điều kiện ràng buộc của x, y
Ví dụ 10:
) 2 (
0 4
) 1 (
0 2 5
2
2 2
2 2
y x y x
y x y xy x
Pt(1): 2 ( 1 ) 2 2 5 2 0 ( 1 ' )
x y x x y
Coi pt(1’) là phương trình bậc 2 ẩn y tham số x
2 2
2
) 3 3 ( ) 2 5 2 ( 4 ) 1 (
Khi đó : yx x y 2 x
2
) 3 3 ( 1
2
) 3 3 ( 1
y
Với y = 2-x kết hợp (2) được (x, y) = (1; 1)
5
13
; 5
4 )
; ( );
1
; 1 ( ) ,
5
13
; 5
4 )
; ( );
1
; 1 ( )
;
Ví dụ 11:
) 2 (
2
) 1 (
0 3 4
2 5
2 3
2 2
x y
xy y y
x
(1) 2 4 5 2 2 3 0 ( 1 ' )
x xy y y
Coi pt(1) là phương trình bậc 2 ẩn x, tham số y
3 2 )
3 2 5 ( 4
y y y y y
Pt(1’) có nghiệm ' 0 3 y 1
1
3
y
1
2 3
y x do đó pt(2) vô nghiệm
Hệ phương trình vô nghiệm
Ví dụ 12: ( kết hợp cả đặt ẩn phụ và phương pháp dùng phương trình bậc 2)
) 2 (
1 2 5
1 3
) 1 (
) 1 )(
2 ( 19 1 2
2 25 15 6
y x
x y
x y
y x
ĐKXĐ
2 1
y x
Pt(1) 6 (x 1 ) 15 (y 2 ) 1 2 y 2 x 1 19 (y 2 )(x 1 ) ( 1 ' )
Đặt a x 1, b y 2 (a,b 0 ) pt(1’) thành:
ab a
b b
) '' 1 (
0 1 2 15 ) 1 19 (
a b a b b coi pt(1’’) là phương trình bậc 2 ẩn a, tham
số b
) 1 2 15 (
6 4 ) 1 19
= ( b 5 ) 2
2
1
3
a
3
1
5
a
Với cách đặt trên pt(2) thành: 3a – 5b = 1 (2’)
Với 3 b2 1
a kết hợp (2’) được:
) ( 3 ) ( 3 1 2
Tm y Tm x b a
Trang 8Với 5 b3 1
a kết hợp (2’) Hệ vô nghiệm
Bài tập tương tự giải hệ bằng phương pháp phương trình bậc hai:
1)
14 3
2
3 4 2
2 2
2 2
y x
y x y
x
2)
1 ) 2
(
0 )
1 ( 2
2 4
2 2
3 4
y y x x
y xy x y x
x
3)
1 8
0 2 2
2 3
2 2
x y
x y
xy x
4)
0 2
2 2
2 3
y y xy x
y x
3 Phương pháp hàm số.
Nhận xét 1: Hàm số f(t) đồng biến ( nghịch biến) trên (a, b) , t1,t2 (a,b) thì:
2 1 2
1 ) ( )
(t f t t t
Nhận xét 2: Nếu f(x) mxD f,x0 D f
m
x
f( 0)
g
D y
m
y
g( )
m
y
g( 0 )
0 0
) (
)
(
y y x x m y g
x
f
Dựa vào các nhận xét trên ta áp dụng giải hệ phương trình:
Ví dụ 13:
) 2 (
1
) 1 (
3 ) 2 4 ( 3 ) 2 4 ( 2 2
2
2 3
3
y x
x x
x x
ĐKXĐ:
R y
x
2 1
Pt(1) 2 3 3 2 2 4 23 3 ( 4 2 )
Xét hàm số f(t) 2t3 3t2 )
2
1 ( t
' ( ) 6 2 6 0
t t t
f t 21
hàm số f(t) đồng biến t 21
Do đó: f(x) f 4x 2 x 4x 2
2
2
x ( thỏa mãn)
Kết hợp với (2) ta giải được hệ có 2 nghiệm: 2 2 , 5 4 2 ; 2 2 ; 4 2 5
Ví dụ 14:
) 2 (
0 1 2
3 1
) 1 (
0 2 3 3
2 2
2
2 3 3
y y x
x
x y y x
ĐKXĐ:
2 0
1 1
y x
Pt(1) (x 1 ) 3 3 (x 1 ) 2 y3 3y2
Xét hàm số f(t) t3 3t2 , t0 ; 2
, 0 6 3 ) (
' 2
f t t t t0 ; 2
)
(t
f
nghịch biến trên 0 ; 2
Do đó f(x 1 ) f(y) yx 1
Thế y = x + 1 vào (2) thu gọn được:
0 1
2
1 2 0
1 2 2
x x
Trang 9
x ( thỏa mãn)
Suy ra hệ có 2 nghiệm (x, y) = (1; 2); (x, y) = (-1; 0)
Ví dụ 15:
) 2 (
2 4
) 1 (
3 4 4
2
2 2
2 2
y x
y y
x x
ĐKXĐ:
R y
2 Chứng minh: ( ) 2 2 2
x
( ) 4 2 4 3 ( 2 1 ) 2 2 2
y y y y
2 1 0
1 2 2 2
) ( )
y x y
x x
y g x
f
2 1
y
x
thỏa mãn pt(2)
2
1
; 1 ) , (x y
Ví dụ 16:
) 2 (
10
) 1 (
) 1 ( 3 2 6
2
3 2
2 2
y x
y x
x x
x
ĐKXĐ:
R y
x
2 3
Nhân 2 vế của pt(1) với pt(2) rồi đưa về:
2 2 3 2 ( 1 ) )
3
(x x x y
) 3 ( )
x
0 ) 1 ( 2 )
y
y
0 1
0 3 2 0 3 )
( )
y x x
y g x f
Với
1 3
y x
thỏa mãn pt(2) Vậy hệ có nghiệm (x, y) = (3; 1)
Ví dụ 17:
) 2 (
5
) 1 (
15 5
4 1 3
2
2
y x
x y
x x
ĐKXĐ: 1 x 5 y R
Lấy (1) trừ đi (2) theo vế và thu gọn được phương trình:
10 5
4 1
3 x x
Đặt f(x) 3 x 1 4 5 x
Tìm được giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên 1 ; 5 là maxf(x) = 10
) ( 25
61 10
)
Thế x2561 vào (2) được y 625596
625
596
; 25
61 )
'
( y x
Bài tập tương tự giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số:
1)
x y
y x
y
1 ) 2 (
27 1 2
4
3
2)
4 3
0 ln
4 8
2 2
y y
x x
e y x
3)
2
8 3
15
3 2
2 2
3 2
y x
x x x y x
4)
Trang 104 Phương pháp hình học
Có những hệ phương trình nếu giải theo phương pháp đại số gặp khó khăn nhưng nhờ phương pháp hình học thì việc giải quyết bài toán sẽ gọn nhẹ hơn
Ví dụ 17:
) 2 (
13 10 2 6 5 4 2
) 1
(
5
2
3
2 2 2
2 y x y x y x y
x
y
x
Pt(2) (x 1 ) 2 (y 2 ) 2 + ( 3 ) 2 ( 1 ) 2 13
x
Đặt A(x; y), B(1; 2), C(3; -1), BC = 13
Lúc đó AB + AC = BC A, B, C thẳng hàng
Phương trình BC : 3x+2y-7=0
Từ đó đưa đến hệ phương trình đã cho
2 2 7
2 3
5 2 3
y x y
x y x
2
1
; 2 )
; (x y
Ví dụ 18:
) 2 (
6
) 1 (
) 6 2 )(
1 ( 4
2 3
2
2
y
x
x y
x x
y
ĐKXĐ:
R y
3 2
Đặt a ( y; 1 ), b 3x 2 ; 4 x
x x
y
b
a 3 2 4
6 2 )(
1 (
a
(1) a.ba b cos(a,b) 1 a,b cùng hướng
+) Xét y = 0 không thỏa mãn hệ
+) Xét y 0 thì a, b cùng hướng ( 0 )
1 4 2 3
y x
) 4 ( 2
3x y2 x
Từ (2) y2 6 x thế vào (1’) được: 3x +2 + (6 – x)(4 – x)
) (
11
) (
2 0
22 13
2
kgthman x
thman x
x x
) 0 (
2
) (
2 2
kgthmany y
thman y
x
Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (2; 2)
Ví dụ 19:
10
0 2 4 2 2
2 2 2
z y
x
z y x z y x
) 2 (
0 10
) 1 (
4 ) 2 ( ) 1 ( ) 1
z y x
z y
x
Coi pt(2) là phương trình mặt phẳng ( ).Và pt(1) là phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1;1;2),bán kính R = 2
2 3
4 3
2 1 1 )) (
,
(I
d
mặt phẳng ( ) và mặt cầu (S) không có điểm chung
Hệ phương trình vô nghiệm
Bài tập tương tự áp dụng giải hệ bằng phương pháp hình học:
1)
10 15 10 20 5 2 4 26 4
3
2 2 2
2 y x y x y x y
x
y
x
Trang 112)
12
) 4 3 )(
4 ( 1 2 3 2
2
y x
x y
x x
y
3)
1 3 2
0 25 8 6 2
2 2 2
z y x
z y x z y x
4)
0 16 4 8
0 4 2 4
2 2 2 2
y x y x
y x y x
IV Hiệu quả do sáng kiến đem lại:
Bản báo cáo sáng kiến kinh nghiệm này được đúc kết qua các năm dạy học Sáng kiến này phục vụ cho việc giảng dạy của thày giáo khi dạy lớp 10 phần hệ phương trình và dạy ôn thi đại học cho lớp 12 chuyên đề hệ phương trình đại số ( có trong cấu trúc mới của đề thi đại học) Sáng kiến kinh nghiệm này đã phục vụ cho học sinh lớp 10 và lớp 12 mà tôi trực tiếp giảng dạy Nhờ kinh nghiệm này mà kết quả học tập của học sinh tốt hơn Cụ thể qua các bài kiểm tra trong các kì thi kiểm tra 8 tuần, thi học kì, thi đại học, thi học sinh giỏi phổ thông nếu trong đề có hệ phương trình thì học sinh của tôi đều giải tốt bài đó, góp phần nâng điểm trung bình bộ môn toán của các kì thi đại học của lớp tôi trực tiếp giảng dạy trong những năm gần đây khá cao
V Đề xuất kiến nghị:
Để hoàn thành sáng kiến này tôi đã nhận được sự giúp đỡ của đồng nghiệp trong
tổ toán Tôi đã dựa vào các đề thi đại học, dựa vào ngân hàng đề thi toán của tổ để chọn làm một số ví dụ minh họa trong sáng kiến
Bản sáng kiến được chuẩn bị nghiêm túc song không tránh khỏi những sai sót Tác giả xin chân thành cảm ơn ý kiến đóng góp bổ sung của đồng nghiệp để bản báo cáo này được hoàn thiện tốt hơn
Đánh giá, xếp loại của cơ quan Tác giả sáng kiến
Hồ Xuân Phúc