Khảo sát một số bài toán biên phi tuyến cho phương trình love

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN TUẤN DUY KHẢO SÁT MỘT SỐ BÀI TỐN BIÊN PHI TUYẾN CHO PHƯƠNG TRÌNH LOVE LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2017 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN TUẤN DUY KHẢO SÁT MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN CHO PHƯƠNG TRÌNH LOVE Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số chuyên ngành: 62 46 01 02 Phản biện 1: PGS.TS Mai Đức Thành Phản biện 2: PGS.TS Lê Xuân Trường Phản biện 3: TS Đào Nguyên Anh Phản biện độc lập 1: PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy Phản biện độc lập 2: TS Nguyễn Minh Quân NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS LÊ THỊ PHƯƠNG NGỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2017 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu khoa học tơi, hồn thành hướng dẫn Giáo sư Nội dung luận án viết dựa báo Các kết số liệu luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Các báo đồng tác giả, đồng tác giả cho phép sử dụng viết luận án Tác giả luận án Nguyễn Tuấn Duy i Lời cảm ơn Lời đầu tiên, bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Lê Thị Phương Ngọc TS Nguyễn Thành Long tận tình hướng dẫn, bảo Q Thầy Cơ tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận án Kính gửi đến TS Trần Minh Thuyết lòng biết ơn chân thành, Quý Thầy đọc luận án cho ý kiến đóng góp xác đáng q báu giúp tơi hiểu sâu Cho phép tơi bày tỏ lịng kính trọng biết ơn đến Nhà Khoa học, Quý Thầy Cô Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Bộ môn, cấp sở Đào tạo, chuyên gia phản biện độc lập thức luận án, đóng góp cho tơi nhật xét bổ ích giúp tơi hồn thiện tốt luận án Tơi vơ biết ơn Q Thầy Cơ ngồi Khoa Toán-Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh, truyền đạt kiến thức kinh nghiệm học thuật cho suốt trình học trường Trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Q Thầy Cơ phịng Quản lý Sau Đại học trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi giúp hồn thành chương trình học Kính gửi đến Ban Giám hiệu, Ban Chấp hành Cơng Đồn Trường, Ban Chủ nhiệm Khoa Khoa học Cơ bản, Phòng Ban trường Đại học Tài chính-Marketing Anh Chị đồng nghiệp trường lời cảm ơn sâu sắc hỗ trợ nhiều mặt để tơi hồn thành chương trình Nghiên cứu sinh Tơi chân thành cảm ơn Anh Chị, Bạn thuộc nhóm Seminar đóng góp ý kiến kinh nghiệm quý báu buổi sinh hoạt học thuật Cuối cùng, xin dành lời thân thương gửi đến thành viên gia đình tơi, người ln bên tơi lúc khó khăn, ln động viên, hỗ trợ tạo điều kiện thuận lợi để học tập Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2017 NGUYỄN TUẤN DUY ii iii Mục lục Mục lục Danh sách ký hiệu Các tính chất nghiệm tốn biên phi tuyến cho phương trình Love 12 1.1 Sự tồn nghiệm 12 1.2 Tính trơn nghiệm 23 1.3 Dáng điệu tiệm cận nghiệm ε ! 0+ 33 Mở đầu Chương Chương Các thuật giải lặp cho toán biên phi tuyến liên kết với phương trình Love 38 2.1 Thuật giải xấp xỉ tuyến tính 38 2.2 Thuật giải lặp cấp N 48 Tính tắt dần mũ nghiệm toán biên phi tuyến cho phương trình Love 65 3.1 Sự tồn nghiệm 65 3.2 Tính tắt dần nghiệm 74 Kết luận 85 Danh mục cơng trình tác giả 87 Tài liệu tham khảo 88 Chương Danh sách ký hiệu Ký hiệu tập hợp N Z R Z+ R+ = [0, ∞) Ω = (0, 1) QT = Ω (0, T ), với T > Tập hợp số tự nhiên Tập hợp số nguyên Tập hợp số thực Tập hợp số nguyên không âm Tập hợp số thực không âm Ký hiệu đa số jαj = α1 + + α N N Bậc đa số α = (α1 , , α N ) Z+ α! = α1 ! α N ! x α = x1α1 x αNN Đơn thức bậc jαj theo N biến, với x = ( x1 , , x N ) Ký hiệu đạo hàm u (t) = u ( x, t) ∂u ( x, t) t u uă (t) utt (t) = u00 (t) = ( x, t) ∂t ∂u u x (t) ru (t) = ( x, t) ∂x ∂2 u u xx (t) ∆u (t) = ( x, t) ∂x k ∂ f Dik f = k ∂xi u˙ (t) ut (t) = u0 (t) = Dα f = ∂jαj f N α1 α N , với α = ( α1 , , α N ) Z+ ∂x1 ∂x N Giới thiệu Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng lĩnh vực quan trọng toán lý thuyết ứng dụng Các toán xuất nhiều vật lý, học, sinh học, , nghiên cứu cách rộng rãi nhiều nhà toán học tài liệu tham khảo [2]-[11], [13]-[19], [21], [23], [24], [28]-[30], [33][76] Quá trình tìm kiếm lời giải cho tốn góp phần lớn vào phát triển nhiều kết lý thuyết giải tích hàm (lý thuyết khơng gian Sobolev, lý thuyết điểm bất động, lý thuyết nửa nhóm, ) giải tích số (phương pháp phần tử hữu hạn, ) Một tốn thuộc lý thuyết phương trình đạo hàm riêng nghiên cứu sâu rộng nhiều nhà toán học toán giá trị biên phi tuyến cho phương trình sóng, nhiều kết khác việc nghiên cứu lớp toán đăng tạp chí khoa học uy tín nhiều tác giả tiếng J L Lions [27],[28], H Brézis [10],[11], F E Browder [13],[14], Số lượng tạp chí có cơng bố kết liên quan đến lĩnh vực chiếm tỷ lệ lớn có tạp chí chun lĩnh vực nhà xuất Elsevier, Springer, Francis Taylor, Ngoài ra, nhiều hội nghị quốc tế lĩnh vực phương trình vi phân đạo hàm riêng nói chung lý thuyết tốn biên nói riêng quan tâm đơng đảo nhà tốn học ngồi nước Hiện có nhiều phương pháp sử dụng để nghiên cứu phương trình vi phân phương trình đạo hàm riêng với điều kiện biên khác phương pháp biến phân, phương pháp điểm bất động, Tuy nhiên chưa có phương pháp tổng quát để tiếp cận toán biên phi tuyến phong phú đa dạng Việc lựa chọn phương pháp thích hợp để nghiên cứu toán yếu tố quan trọng Chính vậy, vấn đề khảo sát toán biên, đặc biệt tốn biên phi tuyến, cần thiết có ý nghĩa thực tiễn Luận án trình bày kết việc nghiên cứu số tốn lý thuyết phương trình vi phân, đạo hàm riêng, mà cụ thể tập trung nghiên cứu số toán biên phi tuyến cho phương trình Love Phương trình Love lần giới thiệu V Radochová [67] năm 1978 có Giới thiệu dạng sau utt E u xx ρ 2µ2 k2 u xxtt = 0, (1) < x < L, < t < T, đó, phương trình mơ tả dao động dọc đàn hồi, thành lập từ phương trình biến phân Euler phiếm hàm lượng Z T Z L 1 Fρ u2t + µ2 k2 u2tx F Eu2x + ρµ2 k2 u x u xtt dx, dt (2) 2 0 đó, tham số (1) có ý nghĩa sau: u độ dịch chuyển, L độ dài thanh, F diện tích mặt cắt ngang, k bán kính mặt cắt ngang, E modulus Young vật liệu ρ mật độ khối lượng, µ số có ý nghĩa vật lý Bằng cách sử dụng phương pháp Fourier, Radochová thu nghiệm cổ điển toán (1) liên kết với điều kiện ban đầu u( x, 0) = u˜ ( x ), ut ( x, 0) = u˜ ( x ), (3) u(0, t) = u( L, t) = 0, (4) điều kiện biên hay ( u(0, t) = 0, εu xtt ( L, t) + c2 u x ( L, t) = 0, (5) c2 = Eρ , ε = 2µ2 k2 Mặt khác, dáng điệu tiệm cận nghiệm toán (1), (3), (4) (1), (3), (5) ε ! 0+ thiết lập Phương trình sóng Love hay phương trình sóng kiểu Love nghiên cứu nhiều tác giả, chẳng hạn tài liệu tham khảo [19], [23], [65], tài liệu tham khảo trích dẫn Trong [70] C E Seyler D L Fenstermacher đưa mơ hình > < u xxt ut = ρ x + uu x , > : ρ + u x = 0, t (6) dùng mơ tả sóng âm sóng điện từ truyền không gian Bằng cách khử ẩn hàm ρ hệ (6) ta lớp phương trình sóng dài (SRLW) có dạng utt u xx u xxtt = ( u2 ) xt , (7) hay utt u xx u xxtt = uu xt u x ut (8) Giới thiệu Phương trình (7) mơ tả tượng sóng nước sóng plasma Lớp phương trình SRLW có nhiều ứng dụng quan trọng lĩnh vực Vật lý tốn Vậy ta thấy lớp tốn liên quan đến phương trình Love hay phương trình sóng kiểu Love đóng vai trị quan trọng lĩnh vực Tốn ứng dụng nói chung Vật lý tốn nói riêng Trong tồn luận án này, chúng tơi khảo sát tốn biên cho phương trình Love phi tuyến thuộc dạng sau utt u xx εu xxtt = f ( x, t, u, u x , ut , u xt , u xxt ), x Ω = (0, 1), < t < T, (9) liên kết với điều kiện đầu điều kiện biên dạng khác Số hạng phi tuyến f = f ( x, t, u, u x , ut , u xt , u xxt ) xuất (9) khảo sát dạng khác cho toán chương - Trong chương luận án, khảo sát tốn biên cho phương trình Love phi tuyến có dạng sau utt u xx εu xxtt = f ( x, t, u, ut ), x Ω = (0, 1), < t < T, (10) εu xtt (0, t) + u x (0, t) = hu(0, t) + g(t), (11) u(1, t) = 0, (12) u( x, 0) = u˜ ( x ), ut ( x, 0) = u˜ ( x ), (13) đó, f = f ( x, t, u, ut ) = λ jut jq ut K juj p u + F ( x, t), đây, p > 1, q > 1, ε > 0, λ > 0, K > 0, h số; u˜ , u˜ , F, g hàm số cho trước thỏa mãn số điều kiện nêu Trong [5] Đặng Đình Áng Alain Phạm Ngọc Định đạt kết tồn nghiệm toàn cục toán (10) – (13) trường hợp ε = K = h = 0, λ = 1, < q < 2, F ( x, t) = Mô hình tốn lúc mơ tả dao động đàn hồi nhớt phi tuyến Liên quan tới số hạng đàn hồi nhớt f (u, ut ) = λ jut jq ut + K juj p u nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu chẳng hạn [4] An Triều khảo sát trường hợp đặc biệt phương trình (10) – (13) liên kết với điều kiện biên: Z t > < u x (0, t) = g(t) + hu(0, t) + k (t > : u(1, t) = 0, s)u(0, s)ds, (14) với u˜ = u˜ = 0, ε = 0, F = 0, p = q = 2, K 0, λ 0, h > số g, k hàm số cho trước Mơ hình tốn (10), (14) (13) mô tả va chạm Giới thiệu đàn hồi tuyến tính lên bề mặt cứng Trong [8], Bergounioux, Long Định nghiên cứu (10) – (13) với điều kiện biên hỗn hợp có dạng sau > < u x (0, t) = g(t) + hu(0, t) Z t k(t s)u(0, s)ds, > : u (1, t) + K u(1, t) + λ u (1, t) = 0, x 1 t (15) ε = 0, F = 0, p = q = 2, với K 0, λ Trong [36], Long, Trường nghiên cứu toán (10) – (13) với điều kiện biên sau > < u(0, t) = 0, > : u x (1, t) = g(t) + K1 (t)u(1, t) + λ1 (t)ut (1, t) Z t (16) k(t s)u(1, s)ds, trường hợp ε = 0, f ( x, t, u, ut ) = F ( x, t) λ jut jq ut K juj p u, p 2, q > 1, K 0, λ Trong chương 1, sử dụng phương pháp xấp xỉ Faedo-Galerkin, kỹ thuật tính compact, tính đơn điệu chúng tơi sử dụng để nghiên cứu tồn nghiệm yếu, tính trơn nghiệm Ngồi tiến hành khảo sát dáng điệu tiệm cận nghiệm yếu ε ! 0+ Kết mà chúng tơi thu chương xem tổng quát hóa [67] công bố [D1], [D4] - Trong chương luận án, sử dụng thuật giải lặp để khảo sát phương trình Love phi tuyến có dạng sau utt u xx εu xxtt = f ( x, t, u, u x , ut , u xt ), < x < 1, < t < T, (17) u(0, t) = u(1, t) = 0, (18) u( x, 0) = u˜ ( x ), ut ( x, 0) = u˜ ( x ) (19) Vế phải phương trình (17) hàm f tương đối tổng quát nên kỹ thuật sử dụng chương trước, [67], [70] không phù hợp Tuy nhiên, trường hợp số hạng bậc vế trái (17) (trường hợp ε = 0), số hạng phi tuyến f = f ( x, t, u, u x , ut , u xt ) trường hợp tổng quát có đầy đủ thành phần chưa giải quyết, chẳng hạn [34], giả Long, Diễm xét đến mức f = f ( x, t, u, u x , ut ) với trường hợp ε = nhờ vào phương pháp xấp xỉ tuyến tính Trong phần thứ chương này, sử dụng phương pháp tuyến tính hóa số hạng phi tuyến kết hợp với phương pháp Feado-Galerkin phương pháp Chương Tính tắt dần mũ nghiệm BT biên phi tuyến cho phương trình Love 79 Bổ đề 3.8 chứng minh hoàn tất Bây ta bắt đầu chứng minh Định lý 3.4 Từ (3.66), (3.73) (3.90), ta có L0 (t) λ 2 ku0 (t)k2 λ1 ku0x (t)k + +δ ku0 (t)k2 + δ ku0x (t)k2 δ (1 δ) ku0 (t)k ( λ2 = δ I (t) δ (1 p, ρ(t) = δ + ε1 λ δ 2ε1 k f (t)k2 (3.95) δ) ku0x (t)k ( λ1 ε1 ) ku x (t)k2 + ρ(t), η với δ, ε1 > 0, < δ < k f (t)k2 δ I (t) ε1 ) ku x (t)k2 + η 2λ k f (t)k2 C e 2γ0 t (3.96) Ta chọn δ, ε1 thỏa mãn λ < δ < minf , λ1 , 2 g, < ε1 < p η (3.97) Sử dụng (3.83), (3.95), (3.96) (3.97) tồn số γ > 0, cho L0 (t) δ) ku0 (t)k ( λ2 δ I (t) δ (1 η γ1 E1 (t) + C e γL(t) + C e γ1 = n λ δ) ku0x (t)k ( λ1 ε1 ) ku x (t)k2 + C e 2γ0 t γ1 β2 L( t ) + C e 2γ0 t 2γ0 t (3.98) 2γ0 t , δ, λ1 < γ < minfγ1 , γ1 β2 , δ, δ (1 2γ0 g η o ε1 ) > 0, (3.99) Kết hợp (3.83) (3.98) ta thu (3.72) Định lý 3.4 chứng minh hồn tất Nhận xét Chương Tính tắt dần mũ nghiệm BT biên phi tuyến cho phương trình Love 80 Trong K = phương trình (3.1)-(3.3) trở thành > utt u xx u xxtt λ1 u xxt + λut + juj p u = f ( x, t), < x < 1, t > 0, > > < u x (0, t) + λ1 u xt (0, t) + u xtt (0, t) = u(1, t) = 0, > > > : u( x, 0) = u˜ ( x ), u ( x, 0) = u˜ ( x ), t (3.100) với λ, λ1 , p số cho trước u˜ , u˜ , f hàm số cho trước Ta có định lý sau tồn nghiệm yếu toàn cục toán Định lý 3.9 Cho T > giả sử p 2, λ > 0, λ1 > ( D2 ) thỏa mãn Với u˜ , u˜ V \ H Khi tốn (3.100) có nghiệm yếu u cho u C1 [0, T ]; V \ H , utt L∞ 0, T; V \ H (3.101) Khi giảm tính trơn điều kiện đầu ta thu định lý sau tồn nghiệm toàn cục Định lý 3.10 Với T > Giả sử λ > 0, λ1 > giả thiết ( D20 ) thỏa mãn Cho u˜ , u˜ V i ) Nếu p 2, tốn (3.100) có nghiệm u C1 ([0, T ]; V ) (3.102) ii ) Nếu < p < 2, toán (3.100) có nghiệm thỏa mãn u L∞ (0, T; V ) , ut L∞ (0, T; V ) (3.103) Chứng minh Định lý 3.9 Định lý 3.10 tương tự Định lý 3.1 Định lý 3.2 Ngồi chúng tơi bổ sung thêm giả thiết p > 2, λ > 0, λ1 > 0, với điều kiện thích hợp hàm f chúng tơi chứng minh tốn (3.100) có nghiệm u(t) với lượng tắt dần mũ t ! +∞, mà không cần kiện đầu (u˜ , u˜ ) đủ nhỏ Định lý 3.11 Giả sử ( D200 ) thỏa mãn Khi tồn số dương C, γ cho p ku0 (t)k2 + ku0x (t)k2 + ku x (t)k2 + ku(t)k L p C exp( γt), với t (3.104) Chứng minh Chúng xây dựng hàm Lyapunov L1 sau L1 (t) = E¯ (t) + δψ(t), (3.105) Chương Tính tắt dần mũ nghiệm BT biên phi tuyến cho phương trình Love 81 δ > chọn sau E¯ (t) = u (t) 2 + u (t) x + ψ(t) = hu0 (t), u(t)i + hu0x (t), u x (t)i + 1 p ku x (t)k2 + ku(t)k L p , p λ λ ku(t)k2 + ku x (t)k2 2 (3.106) (3.107) Để chứng minh Định lý 3.11 cần bổ đề sau Bổ đề 3.12 Phiếm hàm lượng E¯ (t) thỏa mãn đánh giá sau λ u (t) E¯ (t) 2 λ1 u0x (t) + k f (t)k2 2λ (3.108) Chứng minh Bổ đề 3.12 Nhân hai vế (3.100)1 với u0 ( x, t) sau lấy tích phận [0, 1], ta thu E¯ (t) = λ u0 (t) λ1 u0x (t) Ta có λ u (t) h f (t), u0 (t)i + + h f (t), u0 (t)i k f (t)k2 2λ (3.109) (3.110) Kết hợp (3.109), (3.110), dễ dàng thu (3.110) Từ (3.108), ta có E¯ (t) λ u (t) 2 λ1 u0x (t) + k f (t)k2 2λ k f (t)k2 2λ (3.111) Lấy tích phân hai vế (3.111) theo t, ta thu E¯ (t) E¯ (0) + 2λ Z ∞ k f (t)k2 dt = E , với t (3.112) Đặt E¯ (t) = u0 (t) + u0x (t) p + ku x (t)k2 + ku(t)k L p , (3.113) ta có bổ đề sau Bổ đề 3.13 Tồn số dương β¯ , β¯ cho β¯ E¯ (t) với δ số dương đủ nhỏ L1 ( t ) β¯ E¯ (t), 8t 0, (3.114) Chương Tính tắt dần mũ nghiệm BT biên phi tuyến cho phương trình Love 82 Chứng minh Bổ đề 3.13 Dễ thấy L1 ( t ) = p ku0 (t)k2 + 12 ku0x (t)k2 + 12 ku x (t)k2 + 1p ku(t)k L p +δhu0 (t), u(t)i + δhu0x (t), u x (t)i + δλ k u ( t )k + (3.115) δλ1 2 k u x ( t )k Từ bất đẳng thức sau > δhu0 (t), u(t)i δ ku0 (t)k ku x (t)k > > < δhu0x (t), u x (t)i δ ku0x (t)k ku x (t)k > > > : δλ u(t)k2 δλ k k u x ( t )k , 2 δ k u ( t )k + 12 δ ku x (t)k2 , 2 δ k u x ( t )k + 12 δ ku x (t)k2 , (3.116) ta thu L1 ( t ) p ku0 (t)k2 + 12 ku0x (t)k2 + 12 ku x (t)k2 + 1p ku(t)k L p +δhu0 (t), u(t)i + δhu0x (t), u x (t)i = 2 δ k u ( t )k δ = p ku0 (t)k2 + 12 ku0x (t)k2 + 12 ku x (t)k2 + 1p ku(t)k L p 2 δ k u x ( t )k 2 δ k u x ( t )k 2 δ k u x ( t )k (3.117) p ku0 (t)k2 + δ ku0x (t)k2 + 22δ ku x (t)k2 + 1p ku(t)k L p β¯ E¯ (t), với β¯ chọn sau β¯ = minf 2δ , g, p (3.118) với δ đủ nhỏ thỏa mãn < δ < 12 Tương tự ta chứng minh L1 ( t ) p ku0 (t)k2 + 12 ku0x (t)k2 + 12 ku x (t)k2 + 1p ku(t)k L p + 12 δ ku0 (t)k2 + 12 δ ku x (t)k2 + 12 δ ku0x (t)k2 + 12 δ ku x (t)k2 + δλ k u x ( t )k + = 1+ δ δλ1 2 k u x ( t )k ku0 (t)k2 + 1+2 δ ku0x (t)k2 + 1+ δ (2+ λ + λ1 ) ¯ E1 (t) với (3.119) 1+ δ (2+ λ + λ1 ) p ku x (t)k2 + 1p ku(t)k L p = β¯ E¯ (t), + δ (2 + λ + λ1 ) β¯ = Bổ đề 3.13 chứng minh xong (3.120) Chương Tính tắt dần mũ nghiệm BT biên phi tuyến cho phương trình Love 83 Bổ đề 3.14 Phiếm hàm ψ(t) xác định (3.107) thỏa mãn đánh giá sau ψ0 (t) u0 (t) ku x (t)k2 2 + u0x (t) k f (t)k2 p ku(t)k L p + (3.121) Chứng minh Bổ đề 3.14 Nhân hai vế phương trình (3.100)1 với u( x, t) sau lấy tích phân [0, 1], ta thu ψ0 (t) = u0 (t) 2 + u0x (t) Ta có h f (t), u(t)i p ku x (t)k2 ku(t)k L p + h f (t), u(t)i 1 ku x (t)k2 + k f (t)k2 2 k f (t)k ku x (t)k (3.122) (3.123) Kết hợp (3.122), (3.123), dễ dàng thu (3.121) Ta tiếp tục chứng minh Định lý 3.11 Từ (3.105), (3.108) (3.121), ta có L10 (t) λ ku0 (t)k2 +δ ku0 (t)k2 + δ ku0x (t)k2 δ ku0 (t)k λ = δ ku x (t)k2 δ ku x (t)k2 p 2 δ+ (3.124) k f (t)k2 λ ku0x (t)k2 δ λ1 p δku(t)k L p + 2δ k f (t)k2 ku0x (t)k2 δ λ1 k f (t)k2 ku x (t)k2 δ δku(t)k L p + δ ku0 (t)k λ = 2λ λ1 ku0x (t)k + p δku(t)k L p + ρ1 (t), ρ1 ( t ) = δ+ λ k f (t)k2 C1 e 2γ0 t Ta chọn < δ < minf 12 , λ2 , λ1 g, từ (3.124), (3.125) thu L10 (t) = β h ku0 (t)k2 β E¯ (t) + C1 e γL1 (t) + C1 e với β = minf λ2 δ, λ1 + ku0x 2γ0 t (t)k + ku x (t)k p + ku(t)k L p β L (t) + C1 e 2γ0 t β¯ (3.125) i + C1 e 2γ0 t (3.126) 2γ0 t , δ δ , g, β < γ < minf β¯ , 2γ0 g Kết hợp (3.113), (3.114) (3.126), ta có (3.104) Định lý 3.11 chứng minh xong Nhận xét Chương Tính tắt dần mũ nghiệm BT biên phi tuyến cho phương trình Love 84 Trong chương thu kết tồn nghiệm "mạnh" cho toán (3.1)-(3.2) hai trường hợp K = K = Sau giảm bớt giả thiết điều kiện đầu điều kiện hàm f , sử dụng kỹ thuật xấp xỉ trù mật thu tồn nghiệm với tính trơn hơn, kỹ thuật sử dụng chương khác với kỹ thuật chương kết tính trơn nghiệm trường hợp u˜ , u˜ V f L2 ( Q T ) chương ba mạnh chương Kết luận Trong luận án sử dụng phương pháp giải tích hàm phi tuyến để khảo sát số tốn biên cho phương trình Love phi tuyến, lớp phương trình có nhiều ứng dụng vật lý, học số ngành khoa học khác Nội dung luận án tập trung vào việc nghiên cứu tồn nghiệm tính chất nghiệm phương trình Love phi tuyến Những kết trình bày luận án bao gồm: Đối với phương trình Love phi tuyến có dạng utt u xx εu xxtt + λ jut jq ut + K juj p u = F ( x, t), < x < 1, < t < T (P1) với điều kiện biên khác thu kết tồn nghiệm yếu, đồng thời tăng cường giả thiết tính trơn điều kiện đầu tính trơn hàm f , kết tính trơn nghiệm yếu thu được, ngồi dáng điệu tiệm nghiệm toán ε ! 0+ thu Đối với phương trình Love phi tuyến có dạng > utt u xx εu xxtt = f ( x, t, u, u x , ut , u xt ), < x < 1, < t < T, > > > > < u(0, t) = u(1, t) = 0, > > > > > : u( x, 0) = u˜ ( x ), u ( x, 0) = u˜ ( x ), t (P2) cách sử dụng phương pháp xấp xỉ tuyến tính, chúng tơi thu kết tồn nghiệm yếu, đồng thời trường hợp ε = 1, vế trái hàm f có dạng f ( x, t, u, ut ) chứng minh tồn dãy lặp fum g xác định ∂2 u m ∂t2 ∂2 u m ∂x2 ∂4 u m ∂t2 ∂x2 = ∑ i+ j N i+ j ∂um ∂ f i!j! ∂ui ∂u j ( x, t, um , ∂t t )(um um 1) i ( ∂um ∂t ∂um ∂t )j liên kết với điều kiện đầu điều kiện biên, dãy lặp fum g hội tụ cấp N nghiệm yếu toán (P1) 85 Kết luận 86 Với giả thiết thích hợp, cách xây dựng hàm Lyapunov phù hợp, toán > utt u xx u xxtt λ1 u xxt + λut + K juj p u = f ( x, t), x < 1, t > 0, > > > > < u x (0, t) + λ1 u xt (0, t) + u xtt (0, t) = u(1, t) = 0, > > > > > : u( x, 0) = u˜ ( x ), u ( x, 0) = u˜ ( x ), t (P3) có nghiệm yếu tắt dần mũ chứng minh cho hai trường hợp K = K = Ngoài kết đây, trình bày cách chi tiết, luận án cịn giới thiệu tóm tắt vài kết tương tự công bố Trên sở kết có, để kết thúc, chúng tơi nêu số vấn đề nghiên cứu hay mở rộng sau Kết tính tắt dần nghiệm t ! +∞ phương trình (P1) với điều kiện biên khác cịn vấn đề mở Bài tốn (P3) tiếp tục nghiên cứu với điều kiện biên khác Danh mục cơng trình tác giả [D1] N T Duy, L T P Ngoc, N A Triet (2015), On a nonlinear Love’s equation with mixed nonhomogeneous conditions, Nonlinear Functional Analysis and Applications, 20 (1) (2015) 1-25 (Scopus) [D2] N T Duy, L T P Ngoc, N A Triet (2016), An N – order iterative scheme for a nonlinear Love equation associated with mixed homogeneous conditions, Nonlinear Functional Analysis and Applications, 21 (2) (2016) 325-344 (Scopus) [D3] L T P Ngoc, N T Duy, N T Long (2013), A linear recursive scheme associated with the Love’s equation, Acta Mathematica Vietnamica, 38 (4) (2013) 551-562 (Scopus) [D4] L T P Ngoc, N T Duy, N T Long (2014), Existence and properties of solutions of a boundary problem for a Love’s equation, Bull Malays Math Sci Soc 37 (4) (2014) 997-1016 (SCI-E) [D5] L T P Ngoc, N T Duy, N T Long (2015), On a high - order iterative scheme for a nonlinear Love equation, Applications of Math 60 (3) (2015) 285-298 (SCI-E) [D6] L T P Ngoc, N T Duy, T M Thuyet, L K Luan, N A Triet (2016), Existence and exponential decay for a nonlinear Love equation associated with mixed homogeneous conditions, Nonlinear Functional Analysis and Applications, 21 (2) (2016) 345-366.(Scopus) [D7] L T P Ngoc, N A Triet, N T Duy, N T Long (2016), An N - order iterative scheme for a nonlinear Love equation, Vietnam J Math (2016) 44(4)(2016) 801-816 (Scopus) 87 Tài liệu tham khảo [1] R A Adams, Sobolev Spaces, Academic Press, NewYork, 1975 [2] J Albert, On the decay of solutions of the generalized Benjamin-Bona-Mahony equations, J Math Anal Appl 141 (2) (1989) 527–537 [3] C J Amick, J L Bona, M E Schonbek, Decay of solutions of some nonlinear wave equations, J Differential Equations, 81 (1) (1989) 1–49 [4] N T An, N D Trieu, Shock between absolutely solid body and elastic bar with the elastic viscous frictional resistance at the side, J Mech NCSR Vietnam, 13 (1991) 1–7 [5] D D Ang, A P N Dinh, Mixed problem for some semilinear wave equation with a nonhomogeneous condition, Nonlinear Anal TMA 12 (1988) 581 – 592 [6] S Berrimi, S A Messaoudi, Exponential decay of solution to a viscoelastic equation with nonlinear localized damping, Electronic J Diff Eqn 2004 (88) (2004) - 10 [7] S Berrimi, S A Messaoudi, Existence and decay of solutions of a viscoelastic equation with a nonlinear source, Nonlinear Anal TMA 64 (2006) 2314 - 2331 [8] M Bergounioux, N T Long, A P N Dinh, Mathematical model for a shock problem involving a linear viscoelastic bar, Nonlinear Anal TMA 43 (5) (2001) 547561 [9] A Benaissa, S A Messaoudi, Exponential decay of solutions of a nonlinearly damped wave equation, Nonlinear Differ Equ Appl 12 (2005) 391 – 399 [10] H Brézis, L Nirenberg, Forced vibrations for a nonlinear wave equation, Commun Pure Appl Math 31 (1978) - 30 [11] H Brézis, J M Coron, L Nirenberg, Free vibrations for a nonlinear wave equation and a Theorem of P Rabinowitz, Commun Pure Appl Math 33 (1980) 667- 689 [12] H Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer New York Dordrecht Heidelberg London, 2010 88 Tài liệu tham khảo 89 [13] F E Browder, On nonlinear wave equations, Math Z 80 (1962) 249 – 264 [14] F E Browder, Nonlinear elliptic boundary value problems, Bull Amer Math Soc 69 (1963) 862 - 874 [15] H R Clark, Global classical solutions to the Cauchy problem for a nonlinear wave equation, Int J Math Math Sci 21 (3) (1998) 533–548 [16] M M Cavalcanti, V N Domingos Cavalcanti, J A Soriano, Exponential decay for solution of semilinear viscoelastic wave equations with localized damping, Electron J Diff Eqns 2002 (44) (2002) - 14 [17] M M Cavalcanti, et al., Existence and uniform decay rates for viscoelastic problems with nonlinear boundary damping, Diff Integ Eq 14 (1) (2001) 85 - 116 [18] M M Cavalcanti, V N Domingos Cavalcanti, J Ferreira, Existence and uniform decay for nonlinear viscoelastic equation with strong damping, Math Methods Appl Sci 24 (2001) 1043 - 1053 [19] A Chattopadhyay, S Gupta, A K Singh, S A Sahu, Propagation of shear waves in an irregular magnetoelastic monoclinic layer sandwiched between two isotropic halfspaces, International Journal of Engineering, Science and Technology, (1) (2009) 228 – 244 [20] E L A Coddington, N Levinson, Theory of ordinary differential equations, McGrawHill, 1955, p 43 [21] P A Clarkson, New similarity reductions and Painlevé analysis for the symmetric regularised long wave and modified Benjamin-Bona-Mahoney equations, Journal of Physics A 22 (18) (1989) 3821–3848 [22] K Deimling, Nonlinear Functional Analysis, Springer, NewYork, 1985 [23] Subhas Dutta, On the propagation of Love type waves in an infinite cylinder with rigidity and density varying linearly with the radial distance, Pure and Applied Geophysics, 98 (1) (1972) 35 – 39 [24] Y Ebihara, L A Medeiros, M M Miranda, Local solutions for a nonlinear degenerate hyperbolic equation, Nonlinear Anal TMA 10 (1986) 27 - 40 [25] G Hellwig, Partial Differential Equations, Blaisdell Publ Co., New York, 1964 [26] Lakshmikantham V, Leela S, Differential and Integral Inequalities, Vol.1 Academic Press, NewYork, 1969 Tài liệu tham khảo 90 [27] J L Lions, E Magenes, Problèmes aux limites non homogènes, III, Ann Scuola Norm Sup Pisa, 15 (1961) 311 - 326 [28] J L Lions, W A Strauss, Sur certains problèmes hyperboliques non-linéaires, C R Acad Sci Paris, 257 (1963) 3267 - 3270 [29] J L Lions, Equations differentielles operationelles et problèmes aux limites, SpringerVerlag, Berlin, 1961, p 96, Section [30] J L Lions, W A Strauss, Some nonlinear evolution equations, Bull Soc Math., France, 93 (1965) 43 – 96 [31] J L Lions, Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites nonlinéaires, Dunod; Gauthier – Villars, Paris, 1969 [32] J L Lions, Non - homogeneous boundary value problems and applications I, Grundlehren 181, Springer, Berlin - Heidelberg - NewYork, 1972 [33] N T Long, A P N Dinh, On the quasilinear wave equation utt u + f (u, ut ) = associated with a mixed nonhomogeneous condition, Nonlinear Anal TMA 19 (1992) 613–623 [34] N T Long, T N Diem, On the nonlinear wave equation utt u xx = f ( x, t, u, u x , ut ) associated with the mixed homogeneous conditions, Nonlinear Anal TMA 29 (1997) 1217–1230 [35] N T Long, A P N Dinh, T N Diem, On a shock problem involving a nonlinear viscoelastic bar, Bound Value Probl 2005 (2005) 337–358 [36] N T Long, L X Truong, Existence and asymptotic expansion of solutions to a nonlinear wave equation with a memory condition at the boundary, Electron J Diff Eqns., 2007 (48) (2007) pp – 19 [37] N T Long, L X Truong, Existence and asymptotic expansion for a viscoelastic problem with a mixed nonhomogeneous condition, Nonlinear Anal TMA 67 (2007) 842–864 [38] N T Long, L T P Ngoc, On nonlinear boundary value problems for nonlinear wave equations, Vietnam J Math 37 (2 - 3)(2009) 141 – 178 [39] N.T Long, L T P Ngoc, On a nonlinear wave equation with boundary conditions of two-point type, J Math Anal Appl 385 (2012) 1070–1093 [40] V G Makhankov, Dynamics of classical solitons (in nonintegrable systems), Physics Reports C 35 (1) (1978) 1–128 Tài liệu tham khảo 91 [41] G P Menzala, On global classical solutions of a nonlinear wave equation, Appl Anal.10 (1980) 179–195 [42] S A Messaoudi, Decay of the solution energy for a nonlinearly damped wave equation, Arab J Sci Eng 26 (2001) 63–68 [43] S A Messaoudi, Blow up and global existence in a nonlinear viscoelastic wave equation, Math Nachr 260 (2003) 58–66 [44] S A Messaoudi et al., Global existence and asymptotic behavior for a fractional differential equation, Appl Math Comput 188 (2007) 1955 - 1962 [45] S A Messaoudi, N -e Tatar, Exponential and polynomial decay linear viscoelastic equation, Nonlinear Anal 68 (4) (2008) 785–793 [46] S A Messaoudi, General decay of the solution energy in a viscoelastic equation with a nonlinear source, Nonlinear Anal 69 (8) (2008) 2589–2598 [47] M Nakao, Decay of solutions of some nonlinear evolution equations, J Math Anal Appl 60 (1997) 542–549 [48] M Nakao, Remarks on the existence and uniqueness of global decaying solutions of the nonlinear dissipative wave equations, Math Z 206 (1991) 265–275 [49] M Nakao, K Ono, Global existence to the Cauchy problem of the semilinear wave equation with a nonlinear dissipation, Funkcial Ekvacioj, 38 (1995) 417 – 431 [50] N H Nhan, L T P Ngoc, T M Thuyet, N T Long, On a high order iterative scheme for a nonlinear wave equation with the source term containing a nonlinear integral, Nonlinear Functional Analysis and Applications, 21 (1) (2016) 65-84 [51] L T P Ngoc, N A Triet, N T Long, A linear wave equation with a nonlinear boundary condition of viscoelastic type, Nonlinear Anal TMA 72 (2010) 1865-1885 [52] L T P Ngoc, N A Triet, N T Long, On a nonlinear wave equation involving the term ∂ ∂x ( µ ( x, t, u, jj u x jj ) u x ) : Linear approximation and asymptotic expansion of solution in many small parameters, Nonlinear Anal RWA 11 (4) (2010) 2479 – 2510 [53] L T P Ngoc, L X Truong, N T Long, An N – order iterative scheme for a nonlinear Kirchhoff-Carrier wave equation associated with mixed homogeneous conditions, Acta Mathematica Vietnamica, 35 (2) (2010) 207 – 227 [54] L T P Ngoc, N T Long, Linear approximation and asymptotic expansion of solutions in many small parameters for a nonlinear Kirchhoff wave equation with mixed nonhomogeneous conditions, Acta Applicanda Mathematicae, 112 (2) (2010) 137–169 Tài liệu tham khảo 92 [55] L T P Ngoc, N T Long, Existence and exponential decay for a nonlinear wave equation with a nonlocal boundary condition, Communications on Pure and Applied Analysis, 12 (5) (2013) 2001-2029 [56] L T P Ngoc, N T Long, Existence, blow-up and exponential decay estimates for a system of nonlinear wave equations with nonlinear boundary conditions, Mathematical Methods in the Applied Sciences, 37 (4) (2014) 464-487 [57] L T P Ngoc, N T T Truc, T T H Nga, N T Long, On a high order iterative scheme for a nonlinear wave equation, Nonlinear Functional Analysis and Applications, 20 (1) (2015) 123 - 140 [58] L T P Ngoc, N T Long, Existence, blow-up and exponential decay for a nonlinear Love equation associated with Dirichlet conditions, Applications of Math 61 (2) (2016) 165196 [59] L T P Ngoc, N A Triet, N T Long, Existence and decay of solutions a mixed nonlocal problem, Vietnam J Math 44 (2) (2016) 273-293 [60] T Ogino, S Takeda, Computer simulation and analysis for the spherical and cylindrical ion-acoustic solitons, Journal of the Physical Society of Japan, 41 (1) (1976) 257–264 [61] K Ono, On the global existence and decay of solutions for semilinear telegraph equations, Int J Appl Math (2000) 1121–1136 [62] P K Parida, D K Gupta, Recurrence relations for a Newton-like method in Banach spaces, J Comput Appl Math 206 (2007) 873 – 887 [63] V Pata, M Squassina, On the strongly damped wave equation, Commun Math Phys 253 (3) (2004) 511 - 533 [64] V Pata, S Zelik, A remark on the damped wave equation, Commun Pure Appl Anal (3) (2006) 609-614 [65] Mrinal K Paul, On propagation of love-type waves on a spherical model with rigidity and density both varying exponentially with the radial distance, Pure and Applied Geophysics, 59 (1) (1964) 33 – 37 [66] V Pierfelice, Decay estimate for the wave equation with a small potential, NoDES, Birkhauser, 13 (5) (2007) 511 - 530 [67] Vˇera Radochová, Remark to the comparison of solution properties of Love’s equation with those of wave equation, Applications of Math 23 (3) (1978) 199 – 207 Tài liệu tham khảo 93 [68] J E Munoz-Rivera, D Andrade, Exponential decay of nonlinear wave equation with a viscoelastic boundary condition, Math Methods Appl Sci 23 (2000) 41–61 [69] M L Santos, Decay rates for solutions of a system of wave equations with memory, Electron J Differ Equ 2002 (38) (2002) pp.1-17 [70] C E Seyler, D L Fenstermacher, A symmetric regularized-long-wave equation, Physics of Fluids, 27 (1) (1984) 4–7 [71] R E Showalter, Hilbert space methods for partial differential equations, Electronic J Diff Eqns Monograph 01, 1994 [72] N A Triet, L T P Ngoc, N T Long, A mixed Dirichlet - Robin problem for a nonlinear Kirchhoff - Carrier wave equation, Nonlinear Anal RWA 13 (2) (2012) 817 – 839 [73] L X Truong, L T P Ngoc, N T Long, High-order iterative schemes for a nonlinear Kirchhoff – Carrier wave equation associated with the mixed homogeneous conditions, Nonlinear Anal TMA 71 (1-2) (2009) 467 – 484 [74] L X Truong, L T P Ngoc, N T Long, The N – order iterative schemes for a nonlinear Kirchhoff–Carrier wave equation associated with the mixed inhomogeneous conditions, Applied Mathematics and Computation, 215 (5) (2009) 1908 – 1925 [75] L X Truong, L T P Ngoc, A P N Dinh, N T Long, Existence, blow-up and exponential decay estimates for a nonlinear wave equation with boundary conditions of two-point type, Nonlinear Anal TMA 74 (2011) 6933–6949 [76] Yanjin Wang, Yufeng Wang, Exponential energy decay of solutions of viscoelastic wave equations, J Math Anal Appl 347 (1) (2008) 18-25 [77] Eberhard Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and its Applications, SpringerVerlag NewYork Berlin Heidelberg Tokyo, Part I 1985 ... cho toán biên phi tuyến liên kết với phương trình Love Nội dung chương khảo sát thuật giải lặp cho phương trình Love phi tuyến chiều Trong phần chương thiết lập thuật giải xấp xỉ tuyến tính cho. .. Chương Các tính chất nghiệm tốn biên phi tuyến cho phương trình Love Nội dung chương khảo sát tốn biên cho phương trình Love phi tuyến chiều liên kết với điều kiện biên hỗn hợp không Kỹ thuật sử... khác Số hạng phi tuyến f = f ( x, t, u, u x , ut , u xt , u xxt ) xuất (9) khảo sát dạng khác cho toán chương - Trong chương luận án, chúng tơi khảo sát tốn biên cho phương trình Love phi tuyến