Giải gần đúng một số bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân cấp bốn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NGUYỄN THANH HƯỜNG GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ BÀI TỐN BIÊN PHI TUYẾN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP BỐN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HàNội - 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NGUYỄN THANH HƯỜNG GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP BỐN Chun ngành: Tốn ứng dụng Mãsố: 46 01 12 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TS Đặng Quang Á TS Vũ Vinh Quang HàNội – 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu tơi với hướng dẫn khoa học GS TS Đặng Quang Á TS Vũ Vinh Quang Những kết trình bày Luận án mới, trung thực chưa công bố cơng trình khác Các kết thực nghiệm kiểm tra chương trình tơi thiết kế thử nghiệm mơi trường MATLAB, số liệu hồn tồn trung thực Các kết công bố chung cán hướng dẫn đồng tác giả cho phép sử dụng Luận án Nghiên cứu sinh Nguyễn Thanh Hường i LỜI CẢM ƠN Trước hết, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy hướng dẫn, GS TS Đặng Quang Á TS Vũ Vinh Quang Trong suốt trình học tập, nghiên cứu thực Luận án, Thầy kiên nhẫn, tận tình bảo, dìu dắt giúp đỡ em Chính niềm say mê khoa học, nghiêm khắc khoa học với quan tâm, động viên khích lệ Thầy động lực khiến em không ngừng nỗ lực, cố gắng vượt qua khó khăn, vất vả để hồn thành Luận án Em xin chân thành cảm ơn Thầy Cơ thành viên nhóm Seminar khoa học Phòng Phương pháp Tốn học Cơng nghệ thông tin, Viện Công nghệ Thông tin cán nghiên cứu Những ý kiến nhận xét đóng góp vơ q báu buổi báo cáo thảo luận giúp em hoàn thành tốt Luận án Em xin chân thành cảm ơn sở đào tạo - Viện Công nghệ Thông tin Học viện Khoa học Công nghệ Quý Viện Học viện tạo điều kiện thuận lợi để em hồn thành tốt q trình học tập nghiên cứu Em xin bày tỏ lòng biết ơn đến lãnh đạo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái nguyên, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, bạn bè đồng nghiệp, gia đình người thân ln đồng hành, hỗ trợ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành Luận án Xin chân thành cảm ơn! ii Danh mục chữ viết tắt ký hiệu Tập số thực Tập số thực không âm Tập số phức Không gian Euclide K chiều Khơng gian hàm có đạo hàm cấp k liên tục [a, b] C([0, ∞)) Không gian hàm liên tục [0, ∞) C(R) Không gian hàm liên tục R C([0, 1] × R) Khơng gian hàm liên tục [0, 1] × R C([a, b], K) Khơng gian hàm liên tục f : [a, b] → K C([a, b] × R4 , R) Khơng gian hàm liên tục f : [a, b] × R4 → R Ω Miền giới nội Γ Biên miền Ω Ω Bao đóng miền Ω C(Ω) Khơng gian hàm liên tục Ω C(Ω × R) Khơng gian hàm liên tục Ω × R C (Ω × R, R) Không gian hàm f : Ω × R → R có đạo hàm riêng cấp liên tục Ω × R C (Ω) Khơng gian hàm có đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục Ω ∞ C (Γ) Không gian hàm khả vi vô hạn Γ ∞ C (Ω × R × R) Khơng gian hàm khả vi vơ hạn Ω × R × R ∆, ∆2 , ∇ Toán tử Laplace, toán tử song điều hòa, tốn tử Gradient q L (Ω) Khơng gian hàm khả tích bậc q Ω ∞ L (Ω) Không gian hàm bị chặn hầu khắp nơi Ω x Chuẩn phần tử x x Chuẩn không gian L2 phần tử x H (Ω) Khơng gian Sobolev hàm có đạo hàm suy rộng cấp hai thuộc L2 (Ω) H01 (Ω) Không gian Sobolev hàm triệt tiêu biên Ω, có đạo hàm suy rộng cấp thuộc L2 (Ω) O(h) Vô bé bậc cao h R R+ C RK C k [a, b] iii Danh sách hình vẽ Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ 3.1 Đồ thị sai số e(m) Phương pháp DIM2 (trái) phương pháp nhanh Wang (phải) Ví dụ 3.1 với k = 1, σ = 2π Đồ thị sai số e(m) Phương pháp DIM2 (trái) phương pháp nhanh Wang (phải) Ví dụ 3.1 với k = 1, σ = 12π Đồ thị sai số e(m) Phương pháp DIM2 (trái) phương pháp nhanh Wang (phải) Ví dụ 3.2 với k = 0.1 Đồ thị sai số e(m) Phương pháp DIM2 (trái) phương pháp nhanh Wang (phải) Ví dụ 3.2 với k = 0.4 Đồ thị sai số e(m) tỉ số r(m) Ví dụ 3.3 3.2 3.3 3.4 3.5 thị thị thị thị thị thị thị thị thị thị thị thị thị thị thị thị thị thị thị thị thị thị e(K) Ví dụ 2.1 r(K) Ví dụ 2.1 e(K) Ví dụ 2.2 r(K) Ví dụ 2.2 nghiệm xấp xỉ Ví dụ 2.1.2 e(K) Ví dụ 2.3 r(K) Ví dụ 2.3 nghiệm xấp xỉ Ví dụ 2.3 e(K) Ví dụ 2.4 e(K) Ví dụ 2.5 nghiệm xấp xỉ Ví dụ 2.5 nghiệm xấp xỉ Ví dụ 2.6 nghiệm xấp xỉ Ví dụ 2.7 nghiệm xấp xỉ Ví dụ 2.10 nghiệm xấp xỉ Ví dụ 2.11 nghiệm xấp xỉ Ví dụ 2.15 nghiệm xấp xỉ Ví dụ 2.16 e(K) Ví dụ 2.17 e(K) Ví dụ 2.18 e(K) Ví dụ 2.19 e(K) Ví dụ 2.20 nghiệm xấp xỉ Ví dụ 2.20 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 2.20 2.21 2.22 iv 46 47 48 48 49 49 50 50 59 61 61 63 64 66 69 75 76 84 86 86 87 87 111 111 112 113 113 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ thị thị thị thị thị thị thị thị thị thị nghiệm xấp xỉ Ví dụ 3.3 sai số e(m) tỉ số r(m) Ví dụ nghiệm xấp xỉ Ví dụ 3.4 e(m) Ví dụ 3.5 e(m) Ví dụ 3.6 nghiệm xấp xỉ Ví dụ 3.6 e(m) Ví dụ 3.7 nghiệm xấp xỉ Ví dụ 3.7 e(m) Ví dụ 3.8 nghiệm xấp xỉ Ví dụ 3.8 v 3.4 114 114 114 123 124 124 124 125 126 126 Danh sách bảng 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 Sự Sự Sự Sự Sự Sự Sự Sự Sự Sự Sự Sự Sự hội hội hội hội hội hội hội hội hội hội hội hội hội tụ tụ tụ tụ tụ tụ tụ tụ tụ tụ tụ tụ tụ trong trong trong trong trong trong Ví Ví Ví Ví Ví Ví Ví Ví Ví Ví Ví Ví Ví dụ dụ dụ dụ dụ dụ dụ dụ dụ dụ dụ dụ dụ 2.1 2.4 2.13 với xấp xỉ đầu v0 = 2.13 với xấp xỉ đầu v0 = 2.14 với xấp xỉ đầu v0 = 2.15 với xấp xỉ đầu v0 = 2.16 với xấp xỉ đầu v0 = 2.17 2.21 với xấp xỉ đầu u0 = 0, v0 = 2.22 với xấp xỉ đầu u0 = 0, v0 = 2.23 với xấp xỉ đầu u0 = 0, v0 = 2.24 với xấp xỉ đầu u0 = 0, v0 = 2.25 với xấp xỉ đầu u0 = 0, v0 = 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 Sự Sự Sự Sự Sự Sự hội hội hội hội hội hội tụ tụ tụ tụ tụ tụ phương pháp lặp Ví dụ 3.1 phương pháp lặp Ví dụ 3.2 Ví dụ 3.5 Ví dụ 3.6 Ví dụ 3.7 Ví dụ 3.8 vi 46 59 73 74 74 75 75 84 95 96 96 97 98 lưới 65 × 65 nút110 112 122 123 125 125 Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Danh mục chữ viết tắt ký hiệu iii Mở đầu Chương Kiến thức bổ trợ 11 1.1 Một số định lý điểm bất động 1.1.1 Giới thiệu chung 1.1.2 Định lý điểm bất động Schauder 1.1.3 Định lý điểm bất động Banach 11 11 12 14 1.2 Hàm Green số toán 16 1.3 Đạo hàm số, tích phân số với sai số cấp cao 1.3.1 Đạo hàm số 1.3.2 Tích phân số 21 21 22 1.4 Lược đồ sai phân với độ xác cấp bốn cho phương trình Poisson 24 1.5 Phương pháp giải hệ phương trình lưới 1.5.1 Phương pháp truy đuổi giải hệ phương trình ba điểm 1.5.2 Phương pháp rút gọn hoàn toàn giải hệ phương trình véc ba điểm 26 26 tơ 29 Chương Sự tồn nghiệm phương pháp lặp giải toán biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn 34 2.1 Bài tốn biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn địa phương 2.1.1 Trường hợp điều kiện biên tổ hợp 2.1.2 Trường hợp điều kiện biên Dirichlet 2.1.3 Trường hợp điều kiện biên phi tuyến 35 35 50 68 2.2 Bài tốn biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn không địa phương 76 2.2.1 Trường hợp điều kiện biên dạng gối - tựa đơn giản 76 2.2.2 Trường hợp điều kiện biên phi tuyến 88 vii Chương Sự tồn nghiệm phương pháp lặp giải tốn biên phi tuyến cho phương trình đạo hàm riêng cấp bốn 100 3.1 Bài toán biên phi tuyến cho phương trình song điều hòa 3.1.1 Sự tồn nghiệm 3.1.2 Phương pháp giải ví dụ số 100 102 106 3.2 Bài toán biên phi tuyến cho phương trình song điều hòa loại Kirchhoff 115 3.2.1 Sự tồn nghiệm 117 3.2.2 Phương pháp giải ví dụ số 120 Kết luận chung 128 Danh mục công trình cơng bố Luận án 129 Tài liệu tham khảo 130 viii iii) Cập nhật |∇uk |2 dx vk + f (x, uk ) ϕk+1 (x) = M (3.2.27) Ω Định lý 3.6 Với giả thiết Định lý 3.5, Phương pháp lặp 3.2.1 hội tụ ta có đánh giá CΩ2 q k uk − u ≤ ϕ1 − ϕ0 , (3.2.28) 1−q u nghiệm toán (3.2.1) q xác định (3.2.11) Chứng minh Với chất phương pháp lặp tìm điểm bất động toán tử co A với xấp xỉ đầu ϕ0 ∈ B[O, R], Phương pháp lặp 3.2.1 hội tụ qk ||ϕk − ϕ|| ≤ ||ϕ1 − ϕ0 || 1−q Kết hợp đánh giá với (3.2.16) ta thu (3.2.28) Định lý chứng minh Dưới đưa ví dụ số để minh họa cho kết lý thuyết trình bày Chúng tơi xét số tốn khơng gian hai chiều Chú ý thử nghiệm số, lưới ω h = (xi , yj )| xi = ih1 , yj = jh2 , i = 0, 1, , N, j = 0, 1, , N , sử dụng lược đồ sai phân với độ xác cấp bốn giải tốn (3.2.25), (3.2.26), cơng thức tính gần đạo hàm cấp với độ xác cấp bốn để xấp xỉ ∇u sử dụng cơng thức Simpson để tính gần tích phân hai lớp Để kiểm tra hội tụ phương pháp lặp đề xuất, ví dụ đưa hai trường hợp biết trước nghiệm chưa biết trước nghiệm tốn (3.2.1) miền hình vng đơn vị Trên miền này, chúng tơi sử dụng lưới 17 × 17, 33 × 33, 65 × 65 nút Đồng thời để giải hệ phương trình lưới thu được, chúng tơi sử dụng phương pháp rút gọn hoàn toàn Để đánh giá sai số nghiệm rời rạc, sử dụng chuẩn hàm lưới xác định sau ψ = maxx∈ωh |ψ(x)| Trong tất bảng kết tính tốn hình vẽ, u nghiệm toán, m số lần lặp, e(m) = um − um−1 , eu(m) = um − u Quá trình lặp (3.2.24)-(3.2.27) dừng e(m) ≤ 10−15 Bây ta xét số ví dụ thể tính ứng dụng định lý tồn nghiệm, thể hội tụ phương pháp lặp tìm nghiệm Trong Ví dụ 3.5 nghiệm tốn biết trước Trong ví dụ lại, nghiệm tốn chưa biết trước Ví dụ 3.8, hàm f phụ thuộc vào u 121 Ví dụ 3.5 Ta lấy sin2 πx sin2 πy π2 f (x, y, u) = − + π4 + + sin πx sin πy + 4u2 , 64 s M (s) = + π Dễ dàng kiểm tra hàm f M không thỏa mãn điều kiện (H1)(H5) [66] (các điều kiện đề cập đến phần đầu mục 3.2) Do đó, tồn nghiệm dương tốn khơng đảm bảo tốn có nghiệm sin πx sin πy u(x, y) = (3.2.29) nghiệm dương Ω = [0, 1] × [0, 1] Trong ví dụ ta lấy R = 128 Khi đó, ta kiểm tra miền DR = (x, y, u) | (x, y) ∈ Ω; |u| ≤ , tất điều kiện Định lý 3.5 thỏa mãn với λf = 16, λM = , m = 0.58, q ≈ 0.4 < π4 Do tốn có nghiệm (3.2.29) Bảng 3.3 thể rõ hội tụ Phương pháp lặp 3.2.1 Từ bảng ta thấy, hội tụ phương pháp lặp không phụ thuộc vào cỡ lưới Đồ thị sai số hai xấp xỉ liên tiếp e(m) cho Hình 3.9 Bảng 3.3: Sự hội tụ Ví dụ 3.5 Grid size m e(m) eu(m) 17 × 17 10 8.3267e-17 2.0542e-6 33 × 33 10 1.6653e-16 1.2861e-7 65 × 65 10 1.3878e-16 8.0416e-9 Ví dụ 3.6 Lấy f (x, y, u) = sin πx + sin πy + eu , M (s) = s Ω = [0, 1] × [0, 1] Khi ta chọn R = 32 Dễ thấy miền DR = (x, y, u) | (x, y) ∈ Ω; |u| ≤ 0.5 tất điều kiện Định lý 3.5 thỏa mãn với √ λf = e, λM = 1/4, m = 0.5, q ≈ 0.2 < 122 10 −2 10 −4 10 −6 error−axis 10 −8 10 −10 10 −12 10 −14 10 −16 10 m−axis 10 Hình 3.9: Đồ thị e(m) Ví dụ 3.5 Bảng 3.4: Sự hội tụ Ví dụ 3.6 Grid size m e(m) 17 × 17 8.6736e-18 33 × 33 8.6736e-18 65 × 65 6.9389e-18 Do tốn có nghiệm kết [66] không suy tồn nghiệm toán Sự hội tụ phương pháp lặp thể Bảng 3.4 Đồ thị sai số e(m) đồ thị nghiệm xấp xỉ tương ứng cho Hình 3.10, Hình 3.11 Ví dụ 3.7 Lấy f (x, y, u) = sin2 πx + cos2 πy + 4u2 , + u2 M (s) = s Ω = [0, 1] × [0, 1] Trong ví dụ ta chọn R = 16 Khi miền DR = (x, y, u) | (x, y) ∈ Ω; |u| ≤ 0.25 , tất điều kiện Định lý 3.5 thỏa mãn với λf = 2, λM = 1, m = 0.5, q ≈ 0.2 < Do tốn có nghiệm phương pháp lặp tìm nghiệm hội tụ Trong theo [66], ta khơng kết luận tồn nghiệm toán Bảng 3.5 thể rõ hội tụ nhanh phương pháp lặp Đồ thị sai số e(m) đồ thị sai số xấp xỉ tương ứng cho Hình 3.12 Hình 3.13 123 10 −5 error−axis 10 −10 10 −15 10 −20 10 m−axis Hình 3.10: Đồ thị e(m) Ví dụ 3.6 0.012 0.01 u−axis 0.008 0.006 0.004 0.002 1 0.8 0.5 0.6 0.4 y−axis 0.2 x−axis Hình 3.11: Đồ thị nghiệm xấp xỉ Ví dụ 3.6 10 −2 10 −4 10 −6 error−axis 10 −8 10 −10 10 −12 10 −14 10 −16 10 1.5 2.5 m−axis 3.5 4.5 Hình 3.12: Đồ thị e(m) Ví dụ 3.7 124 Bảng 3.5: Sự hội tụ Ví dụ 3.7 Grid size m e(m) 17 × 17 2.6021e-16 33 × 33 2.6021e-16 65 × 65 2.6455e-16 −3 x 10 u−axis 1 0.8 0.5 0.6 0.4 y−axis 0.2 x−axis Hình 3.13: Đồ thị nghiệm xấp xỉ Ví dụ 3.7 Ví dụ 3.8 Bây ta lấy f (x, y, u) = eu + , M (s) = s Ω = [0, 1] × [0, 1] Khi ta chọn R = Dễ dàng kiểm tra miền , DR = u; |u| ≤ 16 tất điều kiện Định lý 3.5 thỏa mãn với √ 1 λf = 16 e, λM = , m = , q ≈ 0.02 < 128 Do toán tồn nghiệm, đó, theo [66] ta khơng kết luận tồn nghiệm toán Sự hội tụ phương pháp lặp thể Bảng 3.6 Đồ thị sai số e(m) đồ thị nghiệm xấp xỉ tương ứng cho Hình Bảng 3.6: Sự hội tụ Ví dụ 3.8 Grid size m e(m) 17 × 17 7.0083e-16 33 × 33 6.9996e-16 65 × 65 6.9909e-16 3.14 Hình 3.15 125 10 −2 10 −4 10 −6 error−axis 10 −8 10 −10 10 −12 10 −14 10 −16 10 m−axis Hình 3.14: Đồ thị e(m) Ví dụ 3.8 −3 x 10 u−axis 1 0.8 0.5 0.6 0.4 y−axis 0.2 x−axis Hình 3.15: Đồ thị nghiệm xấp xỉ Ví dụ 3.8 126 KẾT LUẬN CHƯƠNG Trong chương 3, tiếp tục phát triển kỹ thuật chương 2, Luận án nghiên cứu tồn nghiệm phương pháp lặp giải hai tốn biên phi tuyến cho phương trình song điều hòa phương trình song điều hòa loại Kirchhoff Cụ thể, kết đạt sau: - Đối với hai toán, với số điều kiện đơn giản, dễ kiểm tra, Luận án chứng minh tồn nghiệm Đặc biệt, tốn biên cho phương trình song điều hòa, Luận án xét tính dương nghiệm - Đề xuất phương pháp lặp tìm nghiệm hai toán, chứng minh hội tụ phương pháp lặp với tốc độ cấp số nhân Đặc biệt, tốn biên cho phương trình song điều hòa, Luận án tính đơn điệu dãy nghiệm xấp xỉ - Xây dựng ví dụ số minh họa cho kết lý thuyết thể hội tụ phương pháp lặp tìm nghiệm, có số ví dụ mà tồn tính nghiệm nghiệm không bảo đảm phương pháp số tác giả khác điều kiện định lý họ khơng thỏa mãn, đó, theo kết Luận án, nghiệm toán tồn 127 KẾT LUẬN CHUNG Với cách tiếp cận đơn giản hiệu đưa tốn ban đầu phương trình tốn tử hàm cần tìm hàm phi tuyến trung gian, sau áp dụng định lý điểm bất động toán tử này, Luận án nghiên cứu tồn nghiệm phương pháp lặp giải số toán biên cho phương trình vi phân thường phương trình đạo hàm riêng cấp bốn Cụ thể, kết Luận án bao gồm: Thiết lập tồn nghiệm, đề xuất phương pháp lặp giải số tốn biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn địa phương không địa phương với loại điều kiên biên khác Ngồi ra, tốn biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn địa phương với điều kiện biên Dirichlet điều kiện biên tổ hợp, Luận án xét thêm tính dương nghiệm Đối với tốn biên cho phương trình song điều hòa phương trình song điều hòa loại Kirchhoff, thiết lập tồn nghiệm, đề xuất phương pháp lặp tìm nghiệm, ngồi tốn biên cho phương trình song điều hòa, Luận án tính dương nghiệm Đưa ví dụ số minh họa cho khả ứng dụng kết lý thuyết, có số ví dụ phân tích cho thấy ưu phương pháp Luận án so với phương pháp tác giả khác Thực thực nghiệm tính tốn minh họa cho hội tụ phương pháp lặp Hướng phát triển Nghiên cứu giải tốn biên phi tuyến phương trình vi phân thường cấp cao với điều kiện biên khác Nghiên cứu giải toán biên phi tuyến phương trình đạo hàm riêng cấp bốn cấp cao với số loại điều kiện biên khác hàm vế phải phức tạp Nghiên cứu giải toán biên phi tuyến hệ phương trình vi phân cấp bốn cấp cao với điều kiện biên phức tạp 128 Danh mục cơng trình cơng bố Luận án [A1] Quang A Dang, Thanh Huong Nguyen (2018), Existence results and iterative method for solving a nonlinear biharmonic equation of Kirchhoff type, Computers and Mathematics with Applications, 76, pp 11-22 (SCI) [A2] Dang Quang A, Nguyen Thanh Huong (2018), The unique solvability and approximation of BVP for a nonlinear fourth order Kirchhoff type equation, East Asian Journal on Applied Mathematics, 8(2), pp 323-335 (SCIE) [A3] Quang A Dang, Thanh Huong Nguyen (2019), Solving the Dirichlet problem for fully fourth order nonlinear differential equation, Afrika Matematika, 30, pp 623–641 (ESCI, SCOPUS) [A4] Dang Quang A, Nguyen Thanh Huong (2018), Existence results and numerical method for a fourth order nonlinear problem, International Journal of Applied and Computational Mathematics, 4:148, DOI 10.1007/s40819-0180584-9 (SCOPUS) [A5] Dang Quang A, Truong Ha Hai, Nguyen Thanh Huong, Ngo Thi Kim Quy (2017), Solving a nonlinear biharmonic boundary value problem, Journal of Computer Science and Cybernetics, 33(4), pp 309–324 (Tạp chí Tin học Điều khiển học - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam) [A6] Dang Quang A, Nguyen Thanh Huong (2016), Existence results and iterative methods for solving a nonlocal fourth order boundary value problem, Journal of Mathematical Applications, 14(2), pp 63-78 (Tạp chí Ứng dụng Toán học - Hội Toán học Việt Nam) [A7] Quang A Dang, Nguyen Thanh Huong (2013), Iterative method for solving a beam equation with nonlinear boundary conditions, Advances in Numerical Analysis, Volume 2013, Article ID 470258, pages [A8] Vũ Vinh Quang, Nguyễn Thanh Hường (2017), Lược đồ sai phân giải tốn biên cho phương trình vi phân tuyến tính phi tuyến tính cấp cao, Kỷ yếu Hội nghị Quốc gia lần thứ X Nghiên cứu ứng dụng Công nghệ Thông tin (FAIR’10), Hà Nội, trang 358-368 129 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt: [1] Đặng Quang Á (2009), Giáo trình phương pháp số, Nhà xuất Đại học Thái Nguyên [2] Ngô Thị Kim Quy (2017), Phương pháp lặp giải tốn biên hai điểm cho phương trình hệ phương trình vi phân cấp bốn, Luận án Tiến sĩ Toán học, Thư viện Quốc gia Việt Nam [B] Tài liệu Tiếng Anh: [3] O Adeyeye, Z Omar (2017), "Solving Nonlinear Fourth-Order Boundary Value Problems Using a Numerical Approach: th-Step Block Method", Int J Diff Equ., 2017, Article ID 4925914, pages [4] R.P Agarwal, Y.M Chow (1984), "Iterative methods for a fourth order boundary value problem", J Comput Appl Math., 10, 203-217 [5] R.P Agarwal (1986), Boundary Value Problems for Higher Order Differential Equations, World Scientific, Singapore [6] E Alves, E Toledo, L.P Gomes, M.S Cortes (2009), "A note on iterative solutions for a nonlinear fourth order ode", Bol Soc Paran Mat., 27(1), pp 15-20 [7] P Amster, P.P.C Alzate (2008), "A shooting method for a nonlinear beam equation", Nonlinear Anal., 68, pp 2072–2078 [8] P Amster, P.D Nápoli (2006), "An application of the antimaximum principle for a fourth order priodic problem", Electron J Qual Theory Differ Equ., 3, pp 1-12 [9] Y An, R Liu (2008), "Existence of nontrivial solutions of an asymptotically linear fourth-order elliptic equations", Nonlinear Anal., 68, pp 3325-3331 [10] P.K Anh (1982), "On the structure of solution sets of nonlinear periodic BVPs", Ukrain Math J., 34(2), pp 250-255 130 [11] P.K Anh, T.D Hong (1986), "An approximate method for a nonlinear periodic BVP", Acta Math Vietnam, 11(2), pp 156-171 [12] U.M Ascher, R.M.M Mattheij, R.D Russell (1995), Numerical solution of boundary value problems for ordinary differential equations, Soc Indust Appl Math, Philadelphia [13] Z Bai, W Ge, Y Wang, (2004), "The method of lower and upper solutions for some fourth-order equations", J Inequal Pure and Appl Math., Volume 5, Issue 1, Article 13 [14] Z Bai (2007), "The upper and lower solution method for some fourth order boundary value problems", Nonlinear Anal., 67, pp 1704-1709 [15] R.F Brown (2014), A topological introduction to nonlinear analysis, Springer [16] R.L Burden, J.D Faires (2011), Numerical Analysis, Ninth Edition, Brooks/Cole [17] Q.A Dang (2006), "Iterative method for solving the Neumann boundary value problem for biharmonic type equation", J Comput Appl Math., 96, pp 634643 [18] Q.A Dang, Q.L Dang, T.K.Q Ngo (2017), "A novel efficient method for fourth order nonlinear boundary value problems", Numer Algor., 76(2), pp 427-439 [19] Q.A Dang, T.L Vu (2010), "Iterative method for solving a nonlinear fourth order boundary value problem", Comput Math Appl., 60(1), pp 112–121 [20] Q.A Dang, T.L Vu, Q.L Dang (2010), "Iterative method for solving a fourth order differential equation with nonlinear boundary condition", Appl Math Sci., 4, pp 3467–3481 [21] Q.A Dang, T.K.Q Ngo (2017), "Existence results and iterative method for solving the cantilever beam equation with fully nonlinear term", Nonlinear Anal.: Real World Appl., 36, pp 56-68 [22] Q.A Dang, T.K.Q Ngo (2018), "New fixed point approach for a fully nonlinear fourth order boundary value problem", Bol Soc Paran Mat., 36(4), pp 209223 [23] Q.A Dang, T.K.Q Ngo (2016), "Numerical solution of a fully fourth order nonlinear problem", Advances in Information and Communication Technology, 131 Proceedings of the International Conference, Springer, Volume 538, pp 413430 [24] Q.A Dang, H.H Truong (2016), Computational method for a fourth order nonlinear elliptic boundary value problem, 3rd National Foundation for Science and Technology Development Conference on Information and Computer Science, Danang, Vietnam [25] S Dhar, L Kong (2018), "Existence of Multiple Solutions to a Discrete Fourth Order Periodic Boundary Value Problem via Variational Method", Diff Equa Dynamical Sys., pp 1-11 [26] E.J Doedel (1979), "Finite difference collocation methods for nonlinear two point boundary value problems", SIAM J Numer Anal., 16, pp 173-185 [27] J Du, M Cui (2010), "Constructive proof of existence for a class of fourthorder nonlinear BVPs", Comput Math Appl., 59, pp 903-911 [28] Q.R Dunninger (1972), "Maximum principles for solutions of some fourthorder elliptic equations", J Math Anal Appl., 37, pp 655-658 [29] J Ehme, P.W Eloe, J Henderson (2002), "Upper and lower solution methods for fully nonlinear boundary value problems", J Diff Equa., 180, pp 51–64 [30] V.S Erturk, S Momani (2007), "Comparing numerical methods for solving fourth-order boundary value problems", Appl Math Comput., 188, pp 19631968 [31] H Feng, D Ji, W Ge (2009), "Existence and uniqueness of solutions for a fourth order boundary value problem", Nonlinear Anal., 70, pp 3561–3566 [32] F Geng (2012), "Iterative reproducing kernel method for a beam equation with third-order nonlinear boundary conditions", Math Sci., 6:1 [33] J.R Graef, L Kong, X Liu (2016), "Existence of solutions to a discrete fourth order periodic boundary value problem", 22, pp 1167-1183 [34] A Granas, J Dugundji (2003), Fixed point theory, Springer [35] S Heidarkhani, M Ferrara, A Salari, M Azimbagirad (2016), "A variational approach to perturbed elastic beam problems with nonlinear boundary conditions", Math Reports, 18(68), 4(2016), pp 573–589 [36] S Hu, L Wang (2014), "Existence of nontrivial solutions for fourth-order asymptotically linear elliptic equations", Nonlinear Anal., 94, pp 120-132 132 [37] H.B Keller (1987), Numerical solution of two point boundary value problems, Soc Indust Appl Math., Philadelphia, Pennsylvania [38] A.N Kolmogorov, S.V Fomin (1957), Elements of the theory of functions and functional Analysis, Volume 1: Metric and Normed Spaces, Graylock press Rochester [39] J Li (2005), "General explicit difference formulas for numerical differentiation", J Comput Appl Math., 183, pp 29-52 [40] Y Li (2010), "A monotone iterative technique for solving the bending elastic beam equations", Appl Math Comput., 217, pp 2200-2208 [41] Y Li (2016), "Existence of positive solutions for the cantilever beam equations with fully nonlinear terms", Nonlinear Anal Real World Appl., 27, pp 221237 [42] Y Li, Q Liang (2013), "Existence results for a fully fourth-order boundary value problem", J Funct Spaces Appl., Article ID 641617, pages [43] X Liu, Y Huang (2010), "On sign-changing solution for a fourth-order asymptotically linear elliptic problem", Nonlinear Anal., 72, pp 2271-2276 [44] X Liu, Z.P Wang (2007), "Biharmonic equations with asymptotically linear nonlinearities", Acta Math Sci., 27B, pp 549-560 [45] T.F Ma (2000), "Existence results for a model of nonlinear beam on elastic bearings", Appl Math Lett., 13, pp 11-15 [46] T.F Ma (2003), "Existence results and numerical solutions for a beam equation with nonlinear boundary conditions", Appl Numer Math., 47, pp 189196 [47] T.F Ma (2004), "Positive solutions for a beam equation on a nonlinear elastic foundation", Math Comput Model., 39, pp 1195-1201 [48] T.F Ma, J Da Silva (2004), "Iterative solutions for a beam equation with nonlinear boundary conditions of third order", Appl Math Comput., 159(1), pp 11–18 [49] T.F Ma (2007), "Positive solutions for a nonlocal fourth order equation of Kirchhoff type", Discrete Cont Dynam Sys (Suppl.), pp 694–703 [50] T.F Ma, A.L.M Martinez (2010), "Positive solutions for a fourth order equation with nonlinear boundary conditions", Math Comput Simul., 80(11), pp 2177–2184 133 [51] Y.A Melnikov, M.Y Melnikov (2012), Green’s Functions: Construction and Applications, De Gruyter [52] F Minhós, T Gyulov, A.I Santos (2009), "Lower and upper solutions for a fully nonlinear beam equation", Nonlinear Anal., 71, pp 281–292 [53] R.K Mohanty (2000), "A fourth-order finite difference method for the general one-dimensional nonlinear biharmonic problems of first kind", J Comput Appl Math., 114, pp 275-290 [54] M.A Noor, S.T Mohyud-Din (2007), "A efficient method for fourth-order boundary value problems", Comput Math Appl., 54, pp 1101-1111 [55] C.V Pao (2000), "On fourth-order elliptic boundary value problems", Proc Amer Math Soc., 128, pp 1023-1030 [56] C.V Pao (2001), "Numerical methods for fourth order nonlinear elliptic boundary value problems", Numer Meth Part Diff Equ., 17, pp 347-368 [57] R Pei (2010), "Multiple solutions for biharmonic equations with asymptotically linear nonlinearities", Bound Value Probl., 2010, Article ID 241518 [58] M Pei, S.K Chang (2011), "Existence of solutions for a fully nonlinear fourthorder two-point boundary value problem", J Appl Math Comput., 37, pp 287-295 [59] M.H Protter, H.F Weinberger (1984), Maximum Principles in Differential Equations, Springer [60] M Ronto, A.M Samoilenko (2000), Numerical Analytic methods in the theory of boundary value problem, World Sci Publ, Singapore [61] A.A Samarskii (2001), The Theory of Difference Schemes, New York, Marcel Dekker [62] A.A Samarskii, E Nikolaev (1989), Numerical methods for grid equation, vol 1: Direct Method, Birkhauser, Basel [63] J Talwar, R.K Mohanty (2012), "A Class of Numerical Methods for the Solution of Fourth-Order Ordinary Differential Equations in Polar Coordinates", Adv Numer Anal., 2012, Article ID 626419, 20 pages [64] B Yang (2005), "Positive solutions for a fourth order boundary value problem", Elect J Quali Theo Diff Equa., 3, pp 1-17 134 [65] S Yardimci, E Ugurlu (2014), "Nonlinear fourth order boundary value problem", Bound Value Prob., 2014:189 [66] F Wang, Y An (2012), "Existence and multiplicity of solutions for a fourthorder elliptic equation", Bound Value Probl., 2012, 2012:6 [67] Y.M Wang (2005), "On fourth-order elliptic boundary value problems with nonmonotone nonlinear function", J Math Anal Appl., 307, pp 1-11 [68] Y.M Wang (2006), "Convergence analysis of a monotone method for fourthorder semilinear elliptic boundary vale problems", Appl Math Lett., 19, pp 332-339 [69] Y.M Wang (2007), "Error and stability of monotone method for numerical solutions of fourth-order semilinear elliptic boundary vale problems", J Comput Appl Math., 200, pp 503-519 [70] Y.M Wang (2007), "Monotone iterative technique for numerical solutions of fourth-order nonlinear elliptic boundary value problems", Appl Numer Math., 57, pp 1081-1096 [71] E Zeidler (1986), Nonlinear functional analysis and its applications, I: FixedPoint Theorems, Springer 135 ... chia phương trình vi phân cấp bốn thành hai loại: Phương trình vi phân cấp bốn địa phương phương trình vi phân cấp bốn khơng địa phương Phương trình vi phân cấp bốn có chứa thành phần tích phân. .. Chương Sự tồn nghiệm phương pháp lặp giải tốn biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn 34 2.1 Bài tốn biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn địa phương ... tốn biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn địa phương không địa phương với điều kiện biên khác nhau, với hai tốn biên cho phương trình vi phân cấp bốn địa phương với điều kiện biên