Giải gần đúng một số bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân cấp bốn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NGUYỄN THANH HƯỜNG GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ BÀI TỐN BIÊN PHI TUYẾN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP BỐN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HàNội - 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NGUYỄN THANH HƯỜNG GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP BỐN Chun ngành: Tốn ứng dụng Mãsố: 46 01 12 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TS Đặng Quang Á TS Vũ Vinh Quan g HàNội – 2019 L˝I CAM OAN Tỉi xin cam oan ¥y l cổng trnh nghiản cứu ca tổi vợi sỹ hữợng dÔn khoa håc cıa GS TS °ng Quang v TS Vô Vinh Quang Nhœng k‚t qu£ tr…nh b y Lu“n Ăn l mợi, trung thỹc v chữa tng ữổc cổng bŁ b§t ký cỉng tr…nh cıa kh¡c C¡c kt quÊ thỹc nghiằm  ữổc kim tra bng cĂc chữỡng tr nh chnh tổi thit k v thò nghiằm trản mổi trữớng MATLAB, s liằu l ho n to n trung thüc C¡c k‚t qu£ ÷ỉc cỉng bŁ chung  ữổc cĂn b hữợng dÔn v ỗng tĂc giÊ cho php sò dửng Lun Ăn Nghiản cứu sinh Nguyn Thanh Hữớng i LIC MèN Trữợc ht, em xin b y tọ lặng bit ỡn chƠn th nh v sƠu sc nhĐt tợi cĂc Thy hữợng dÔn, GS TS °ng Quang v TS Vô Vinh Quang Trong suŁt qu¡ tr…nh håc t“p, nghi¶n cøu v thüc hi»n Lu“n Ăn, cĂc Thy luổn kiản nhÔn, tn tnh ch bÊo, du dt v giúp ù em Chnh nim say mả khoa hồc, sỹ nghiảm khc khoa hồc vợi õ l sỹ quan tƠm, ng viản v khch lằ cıa c¡c Thƒy l ºng lüc khi‚n em khæng ngłng nỉ lỹc, c gng vữổt qua mồi khõ khôn, vĐt v£ ” ho n th nh Lu“n ¡n Em xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c Thƒy Cỉ v c¡c th nh viản nhõm Seminar khoa hồc ca Phặng c¡c Ph÷ìng ph¡p To¡n håc Cỉng ngh» thỉng tin, Vi»n Cỉng ngh» Thỉng tin còng c¡c c¡n bº nghi¶n cứu Nhng ỵ kin nhn xt v õng gõp vổ quỵ bĂu cĂc bui bĂo cĂo v thÊo lun  giúp em ho n th nh tt nhĐt Lu“n ¡n cıa m…nh Em xin ch¥n th nh c£m ìn cì sð o t⁄o - Vi»n Cæng ngh» Thæng tin v Hồc viằn Khoa hồc v Cổng nghằ Quỵ Viằn v Hồc viằn  luổn to mồi iu kiằn thu“n læi ” em ho n th nh tŁt qu¡ trnh hồc v nghiản cứu ca mnh ti Ơy Em cơng xin b y tä lỈng bi‚t ìn ‚n lÂnh o Trữớng i hồc Khoa hồc - i hồc Th¡i nguy¶n, Ban chı nhi»m Khoa To¡n - Tin, c¡c bn b ỗng nghiằp, gia nh v ngữới thƠn  luổn ỗng h nh, hỉ trổ, ng viản, giúp ù em suŁt qu¡ tr…nh håc t“p, nghi¶n cøu v ho n th nh Lu“n ¡n Xin ch¥n th nh c£m ìn! ii Danh mưc c¡c chœ vi‚t t›t v cĂc kỵ hiằu R R+ C RK k C [a; b] C([0; 1)) C(R) C([0; 1] R) C([a; b]; K) C([a; b] R ; R) C( ) C( R) C ( R; R) C () C ( C ( R R) , ,r q L () L () kxk kxk2 H () H0 ( ) O(h) iii Danh s¡ch h…nh v‡ 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 2.20 2.21 2.22 ỗ th ca e(K) V dử 2.1 46 ỗ th ca r(K) V dử 2.1 47 ỗ th ca e(K) V dử 2.2 48 ỗ th ca r(K) V dử 2.2 48 ỗ th ca nghiằm xĐp x V dö 2.1.2 49 ỗ th cıa e(K) V‰ dö 2.3 49 ỗ th cıa r(K) V‰ dö 2.3 50 ỗ th cıa nghi»m x§p x¿ V‰ dư 2.3 50 ỗ th ca e(K) V‰ dö 2.4 59 ỗ th ca e(K) V‰ dö 2.5 61 ỗ th ca nghiằm xĐp x¿ V‰ dö 2.5 61 ỗ th ca nghiằm xĐp x V dö 2.6 63 ỗ cıa nghi»m x§p x¿ V‰ dư 2.7 64 ỗ th ca nghiằm x§p x¿ V‰ dư 2.10 66 ỗ th nghiằm xĐp x V dử 2.11 69 ỗ cıa c¡c nghi»m x§p x¿ V‰ dư 2.15 75 ỗ th ca cĂc nghiằm xĐp x¿ V‰ dö 2.16 76 ỗ cıa e(K) V‰ dö 2.17 84 ỗ th cıa e(K) V‰ dö 2.18 86 ỗ th cıa e(K) V‰ dö 2.19 86 ỗ th ca e(K) V‰ dö 2.20 87 ỗ th ca nghiằm x§p x¿ V‰ dư 2.20 87 3.1 ỗ th ca sai s e(m) phĂp nhanh nhĐt ca Wang (phÊi) V dử 3.1 vợi k 3.2 ỗ th ca sai s e(m) phĂp nhanh nhĐt ca Wang (phÊi) V dử 3.1 vợi k 3.3 ỗ th ca sai s e(m) phĂp nhanh nhĐt cıa Wang (ph£i) V‰ dư 3.2 vỵi k 3.4 ç cıa sai sŁ e(m) ph¡p nhanh nh§t cıa Wang (phÊi) V dử 3.2 vợi k 3.5 ỗ th ca sai s e(m) v iv 3.6 ỗ th cıa nghi»m x§p x¿ V‰ dư 3.3 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 ỗ th ca sai s e(m) v t s r(m) V dử 3.4 ỗ nghi»m x§p x¿ V‰ dư 3.4 ỗ cıa e(m) V‰ dö 3.5 ỗ th ca e(m) V dử 3.6 ỗ th ca nghiằm xĐp x¿ V‰ dö 3.6 ỗ th ca e(m) V dử 3.7 ỗ th ca nghiằm xĐp x¿ V‰ dö 3.7 ỗ th ca e(m) V dử 3.8 ỗ th ca nghiằm xĐp x¿ V‰ dö 3.8 v Danh s¡ch b£ng 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 Sü hºi tö V‰ dö 2.1 Sü hºi tö V‰ dö 2.4 Sü hi tử V dử 2.13 vợi xĐp x u v0 = Sü hºi tö V‰ dử 2.13 vợi xĐp x u v0 Sỹ hi tử V dử 2.14 vợi xĐp x u v0 Sỹ hi tử V dử 2.15 vợi xĐp x u v0 Sỹ hi tử V dử 2.16 vợi xĐp x¿ ƒu v0 Sü hºi tö V‰ dö 2.17 Sü hi tử V dử 2.21 vợi xĐp x u u0 Sü hºi tö V‰ dö 2.22 Sü hºi tö V‰ dö 2.23 Sü hºi tö V‰ dö 2.24 Sü hºi tö V‰ dö 2.25 Sü hºi tư cıa ph÷ìng ph¡p l°p V‰ dư 3.1 trản lữợi u 65 65 nút110 Sỹ hi tử ca ph÷ìng ph¡p l°p V‰ dư 3.2 112 Sü hºi tö V‰ dö 3.5 122 Sü hºi tö V‰ dö 3.6 123 Sü hºi tö V‰ dö 3.7 125 Sü hºi tö V‰ dö 3.8 125 vi 100 error−axis 105 1010 1015 1020 uaxis Hnh 3.10: ỗ th ca e(m) V dử 3.6 Hnh 3.11: ỗ th cıa nghi»m x§p x¿ V‰ dư 3.6 100 10−2 10−4 error−axis 10−6 10−8 10−10 10−12 10−14 10−16 H…nh 3.12: ç cıa e(m) V‰ dö 3.7 124 B£ng 3.5: Sü hºi tö V‰ dö 3.7 x 10−3 u−axis 1 0.8 0.5 0.6 yaxis Hnh 3.13: ỗ th ca nghiằm xĐp x¿ V‰ dư 3.7 V‰ dư 3.8 B¥y gií ta l§y u f(x; y; u) = e + v = [0; 1] [0; 1] Khi â ta câ th” chån R = D„ d ng ki”m tra ÷ỉc rng n D = u; juj R tĐt c£ c¡c i•u ki»n cıa f 1o 16 ; ành lỵ 3.5 u ữổc thọa mÂn vợi = Do vy b i toĂn tỗn ti nhĐt nghiằm, õ, theo [66] ta khổng kt lun ữổc v sỹ tỗn ti nghiằm ca b i toĂn Sỹ hi tử cıa ph÷ìng ph¡p l°p ÷ỉc th” hi»n ð B£ng 3.6 ç cıa sai sŁ e(m) v ç cıa nghiằm xĐp x tữỡng ứng ữổc cho bi Hnh BÊng 3.6: Sü hºi tö V‰ dö 3.8 3.14 v H…nh 3.15 125 100 10−2 10−4 error−axis 10−6 10−8 1010 1012 1014 1016 Hnh 3.14: ỗ th ca e(m) V‰ dö 3.8 x 10−3 u−axis 1 0.8 0.6 yaxis Hnh 3.15: ỗ th ca nghiằm xĐp x¿ V‰ dö 3.8 126 K T LU N CHìèNG Trong chữỡng 3, tip tửc phĂt trin cĂc k thut ca chữỡng 2, Lun Ăn nghiản cứu sỹ tỗn ti nhĐt nghiằm v phữỡng phĂp lp giÊi hai b i toĂn biản phi tuyn cho phữỡng trnh song iu hặa v phữỡng trnh song iu hặa lo⁄i Kirchhoff Cư th”, c¡c k‚t qu£ ⁄t ÷ỉc nh÷ sau: Łi vỵi c£ hai b i to¡n, vỵi mºt sŁ i•u ki»n ìn gi£n, d„ ki”m tra, Lu“n ¡n chứng minh ữổc sỹ tỗn ti v nhĐt ca nghiằm c biằt, i vợi b i toĂn biản cho phữỡng trnh song iu hặa, Lun Ăn cặn xt ữổc tnh dữỡng ca nghiằm - xuĐt cĂc phữỡng phĂp l°p t…m nghi»m cıa hai b i to¡n, chøng minh sỹ hi tử ca cĂc phữỡng phĂp lp vợi tc cĐp s nhƠn c biằt, i vợi b i toĂn biản cho phữỡng trnh song iu hặa, Lun Ăn cặn ch tnh ỡn iằu ca dÂy nghiằm xĐp x¿ - - X¥y düng c¡c v‰ dư sŁ minh hồa cho cĂc kt quÊ lỵ thuyt v th hiằn sü hºi tư cıa ph÷ìng ph¡p l°p t…m nghi»m, õ cõ mt s v dử m sỹ tỗn ti hoc tnh nhĐt nghiằm ca nghiằm khổng ữổc bÊo £m bði ph÷ìng ph¡p cıa mºt sŁ t¡c gi£ kh¡c cĂc iu kiằn cĂc nh lỵ ca hồ khổng ữổc thọa mÂn, õ, theo kt quÊ ca Lun Ăn, nghiằm ca b i toĂn l tỗn t⁄i v nh§t 127 K T LU N CHUNG Vợi mt cĂch tip cn ỡn giÊn hiằu quÊ õ l ữa b i toĂn ban u v phữỡng trnh toĂn tò i vợi h m cn tm hoc mºt h m phi tuy‚n trung gian, sau â ¡p dửng cĂc nh lỵ im bĐt ng i vợi toĂn tò n y, Lun Ăn  nghiản cứu sỹ tỗn ti nhĐt nghiằm v phữỡng phĂp lp giÊi mt s b i toĂn biản cho phữỡng trnh vi phƠn thữớng v phữỡng trnh o h m riảng cĐp bn Cö th”, c¡c k‚t qu£ ch‰nh cıa Lu“n ¡n bao gỗm: Thit lp sỹ tỗn ti v nhĐt nghiằm, xuĐt phữỡng phĂp lp giÊi mt s b i toĂn biản cho phữỡng trnh vi phƠn thữớng phi tuyn cĐp bn a phữỡng v khổng a phữỡng vợi cĂc loi iu kiản biản khĂc Ngo i ra, i vợi b i toĂn biản cho phữỡng trnh vi phƠn phi tuyn cĐp bn a phữỡng vợi iu kiằn biản Dirichlet v iu kiằn biản t hổp, Lun Ăn cặn xt thảm tnh dữỡng ca nghiằm i vợi b i toĂn biản cho phữỡng trnh song iu hặa v phữỡng trnh song iu hặa loi Kirchhoff, thit lp sỹ tỗn ti v nhĐt nghiằm, xuĐt phữỡng ph¡p l°p t…m nghi»m, ngo i Łi vỵi b i toĂn biản cho phữỡng trnh song iu hặa, Lun Ăn cặn ch tnh dữỡng ca nghiằm ữa c¡c v‰ dư sŁ minh håa cho kh£ n«ng ứng dửng ca cĂc kt quÊ lỵ thuyt, õ cõ mt s v dử ữổc phƠn tch cho thĐy ÷u th‚ cıa ph÷ìng ph¡p Lu“n ¡n so vỵi ph÷ìng ph¡p cıa c¡c t¡c gi£ kh¡c Thüc hi»n c¡c thüc nghi»m t‰nh to¡n minh håa cho sü hºi tử ca phữỡng phĂp lp Hữợng phĂt trin Nghiản cứu giÊi b i toĂn biản phi tuyn i vợi phữỡng trnh vi phƠn thữớng cĐp cao vợi cĂc iu ki»n bi¶n kh¡c Nghi¶n cøu gi£i b i to¡n biản phi tuyn i vợi phữỡng trnh o h m riảng cĐp bn v cĐp cao hỡn vợi mt s loi iu kiằn biản khĂc v h m v phÊi phøc t⁄p hìn Nghi¶n cøu gi£i b i to¡n biản phi tuyn i vợi hằ phữỡng trnh vi phƠn cĐp bn v cĐp cao hỡn vợi cĂc iu kiằn biản phức 128 Danh mửc cĂc cổng trnh  cæng bŁ cıa Lu“n ¡n [A1] Quang A Dang, Thanh Huong Nguyen (2018), Existence results and iterative method for solving a nonlinear biharmonic equation of Kirchhoff type, Computers and Mathematics with Applications, 76, pp 11-22 (SCI) [A2] Dang Quang A, Nguyen Thanh Huong (2018), The unique solvability and approximation of BVP for a nonlinear fourth order Kirchhoff type equation, East Asian Journal on Applied Mathematics, 8(2), pp 323-335 (SCIE) [A3] Quang A Dang, Thanh Huong Nguyen (2019), Solving the Dirichlet problem for fully fourth order nonlinear differential equation, Afrika Matematika, 30, pp 623 641 (ESCI, SCOPUS) [A4] Dang Quang A, Nguyen Thanh Huong (2018), Existence results and numer-ical method for a fourth order nonlinear problem, International Journal of Applied and Computational Mathematics, 4:148, DOI 10.1007/s40819-018-0584-9 (SCOPUS) [A5] Dang Quang A, Truong Ha Hai, Nguyen Thanh Huong, Ngo Thi Kim Quy (2017), Solving a nonlinear biharmonic boundary value problem, Journal of Computer Science and Cybernetics, 33(4), pp 309 324 (T⁄p ch‰ Tin håc v i•u khi”n håc - Vi»n H n l¥m Khoa håc v Cỉng ngh» Vi»t Nam) [A6] Dang Quang A, Nguyen Thanh Huong (2016), Existence results and iterative methods for solving a nonlocal fourth order boundary value problem, Journal of Mathematical Applications, 14(2), pp 63-78 (T⁄p ch‰ Ùng döng To¡n håc - Hºi To¡n håc Vi»t Nam) [A7] Quang A Dang, Nguyen Thanh Huong (2013), Iterative method for solving a beam equation with nonlinear boundary conditions, Advances in Numerical Analysis, Volume 2013, Article ID 470258, pages [A8] Vụ Vinh Quang, Nguyn Thanh Hữớng (2017), Lữổc ỗ sai phƠn giÊi b i toĂn biản cho phữỡng trnh vi phƠn tuyn tnh v phi tuyn tnh cĐp cao, K yu Hi ngh Quc gia ln thứ X v Nghiản cøu cì b£n v øng dưng Cỉng ngh» Thỉng tin (FAIR’10), H Nºi, trang 358-368 129 T i li»u tham kh£o [A] T i li»u Ti‚ng Vi»t: [1] °ng Quang (2009), GiĂo trnh phữỡng phĂp s, Nh xuĐt bÊn i hồc ThĂi Nguyản [2] Ngổ Th Kim Quy (2017), Phữỡng ph¡p l°p gi£i b i to¡n bi¶n hai i”m cho phữỡng trnh v hằ phữỡng trnh vi phƠn cĐp bn, Lun Ăn Tin sắ ToĂn hồc, Thữ viằn Quc gia Vi»t Nam [B] T i li»u Ti‚ng Anh: [3] O Adeyeye, Z Omar (2017), "Solving Nonlinear Fourth-Order Boundary Value Problems Using a Numerical Approach: th-Step Block Method", Int J Diff Equ., 2017, Article ID 4925914, pages [4] R.P Agarwal, Y.M Chow (1984), "Iterative methods for a fourth order bound-ary value problem", J Comput Appl Math., 10, 203-217 [5] R.P Agarwal (1986), Boundary Value Problems for Higher Order Differential Equations, World Scientific, Singapore [6] E Alves, E Toledo, L.P Gomes, M.S Cortes (2009), "A note on iterative solutions for a nonlinear fourth order ode", Bol Soc Paran Mat., 27(1), pp 15-20 [7] P Amster, P.P.C Alzate (2008), "A shooting method for a nonlinear beam equation", Nonlinear Anal., 68, pp 2072 2078 [8] P Amster, P.D N¡poli (2006), "An application of the antimaximum principle for a fourth order priodic problem", Electron J Qual Theory Differ Equ., 3, pp 1-12 [9] Y An, R Liu (2008), "Existence of nontrivial solutions of an asymptotically linear fourth-order elliptic equations", Nonlinear Anal., 68, pp 3325-3331 [10] P.K Anh (1982), "On the structure of solution sets of nonlinear periodic BVPs", Ukrain Math J., 34(2), pp 250-255 130 [11] P.K Anh, T.D Hong (1986), "An approximate method for a nonlinear periodic BVP", Acta Math Vietnam, 11(2), pp 156-171 [12] U.M Ascher, R.M.M Mattheij, R.D Russell (1995), Numerical solution of boundary value problems for ordinary differential equations, Soc Indust Appl Math, Philadelphia [13] Z Bai, W Ge, Y Wang, (2004), "The method of lower and upper solutions for some fourth-order equations", J Inequal Pure and Appl Math., Volume 5, Issue 1, Article 13 [14] Z Bai (2007), "The upper and lower solution method for some fourth order boundary value problems", Nonlinear Anal., 67, pp 1704-1709 [15] R.F Brown (2014), A topological introduction to nonlinear analysis, Springer [16] R.L Burden, J.D Faires (2011), Numerical Analysis, Ninth Edition, Brooks/Cole [17] Q.A Dang (2006), "Iterative method for solving the Neumann boundary value problem for biharmonic type equation", J Comput Appl Math., 96, pp 634-643 [18] Q.A Dang, Q.L Dang, T.K.Q Ngo (2017), "A novel efficient method for fourth order nonlinear boundary value problems", Numer Algor., 76(2), pp 427-439 [19] Q.A Dang, T.L Vu (2010), "Iterative method for solving a nonlinear fourth order boundary value problem", Comput Math Appl., 60(1), pp 112 121 [20] Q.A Dang, T.L Vu, Q.L Dang (2010), "Iterative method for solving a fourth order differential equation with nonlinear boundary condition", Appl Math Sci., 4, pp 3467 3481 [21] Q.A Dang, T.K.Q Ngo (2017), "Existence results and iterative method for solving the cantilever beam equation with fully nonlinear term", Nonlinear Anal.: Real World Appl., 36, pp 56-68 [22] Q.A Dang, T.K.Q Ngo (2018), "New fixed point approach for a fully nonlinear fourth order boundary value problem", Bol Soc Paran Mat., 36(4), pp 209-223 [23] Q.A Dang, T.K.Q Ngo (2016), "Numerical solution of a fully fourth order nonlinear problem", Advances in Information and Communication Technology, 131 Proceedings of the International Conference, Springer, Volume 538, pp 413-430 [24] Q.A Dang, H.H Truong (2016), Computational method for a fourth order nonlinear elliptic boundary value problem, 3rd National Foundation for Science and Technology Development Conference on Information and Computer Science, Danang, Vietnam [25] S Dhar, L Kong (2018), "Existence of Multiple Solutions to a Discrete Fourth Order Periodic Boundary Value Problem via Variational Method", Diff Equa Dynamical Sys., pp 1-11 [26] E.J Doedel (1979), "Finite difference collocation methods for nonlinear two point boundary value problems", SIAM J Numer Anal., 16, pp 173-185 [27] J Du, M Cui (2010), "Constructive proof of existence for a class of fourth- order nonlinear BVPs", Comput Math Appl., 59, pp 903-911 [28] Q.R Dunninger (1972), "Maximum principles for solutions of some fourth- order elliptic equations", J Math Anal Appl., 37, pp 655-658 [29] J Ehme, P.W Eloe, J Henderson (2002), "Upper and lower solution methods for fully nonlinear boundary value problems", J Diff Equa., 180, pp 51 64 [30] V.S Erturk, S Momani (2007), "Comparing numerical methods for solving fourth-order boundary value problems", Appl Math Comput., 188, pp 1963-1968 [31] H Feng, D Ji, W Ge (2009), "Existence and uniqueness of solutions for a fourth order boundary value problem", Nonlinear Anal., 70, pp 3561 3566 [32] F Geng (2012), "Iterative reproducing kernel method for a beam equation with third-order nonlinear boundary conditions", Math Sci., 6:1 [33] J.R Graef, L Kong, X Liu (2016), "Existence of solutions to a discrete fourth order periodic boundary value problem", 22, pp 1167-1183 [34] A Granas, J Dugundji (2003), Fixed point theory, Springer [35] S Heidarkhani, M Ferrara, A Salari, M Azimbagirad (2016), "A variational approach to perturbed elastic beam problems with nonlinear boundary condi-tions", Math Reports, 18(68), 4(2016), pp 573 589 [36] S Hu, L Wang (2014), "Existence of nontrivial solutions for fourth-order asymptotically linear elliptic equations", Nonlinear Anal., 94, pp 120-132 132 [37] H.B Keller (1987), Numerical solution of two point boundary value problems, Soc Indust Appl Math., Philadelphia, Pennsylvania [38] A.N Kolmogorov, S.V Fomin (1957), Elements of the theory of functions and functional Analysis, Volume 1: Metric and Normed Spaces, Graylock press Rochester [39] J Li (2005), "General explicit difference formulas for numerical differentia- tion", J Comput Appl Math., 183, pp 29-52 [40] Y Li (2010), "A monotone iterative technique for solving the bending elastic beam equations", Appl Math Comput., 217, pp 2200-2208 [41] Y Li (2016), "Existence of positive solutions for the cantilever beam equations with fully nonlinear terms", Nonlinear Anal Real World Appl., 27, pp 221-237 [42] Y Li, Q Liang (2013), "Existence results for a fully fourth-order boundary value problem", J Funct Spaces Appl., Article ID 641617, pages [43] X Liu, Y Huang (2010), "On sign-changing solution for a fourth-order asymp- totically linear elliptic problem", Nonlinear Anal., 72, pp 2271-2276 [44] X Liu, Z.P Wang (2007), "Biharmonic equations with asymptotically linear nonlinearities", Acta Math Sci., 27B, pp 549-560 [45] T.F Ma (2000), "Existence results for a model of nonlinear beam on elastic bearings", Appl Math Lett., 13, pp 11-15 [46] T.F Ma (2003), "Existence results and numerical solutions for a beam equa-tion with nonlinear boundary conditions", Appl Numer Math., 47, pp 189-196 [47] T.F Ma (2004), "Positive solutions for a beam equation on a nonlinear elastic foundation", Math Comput Model., 39, pp 1195-1201 [48] T.F Ma, J Da Silva (2004), "Iterative solutions for a beam equation with nonlinear boundary conditions of third order", Appl Math Comput., 159(1), pp 11 18 [49] T.F Ma (2007), "Positive solutions for a nonlocal fourth order equation of Kirchhoff type", Discrete Cont Dynam Sys (Suppl.), pp 694 703 [50] T.F Ma, A.L.M Martinez (2010), "Positive solutions for a fourth order equa-tion with nonlinear boundary conditions", Math Comput Simul., 80(11), pp 2177 2184 133 [51] Y.A Melnikov, M.Y Melnikov (2012), Green’s Functions: Construction and Applications, De Gruyter [52] F Minhâs, T Gyulov, A.I Santos (2009), "Lower and upper solutions for a fully nonlinear beam equation", Nonlinear Anal., 71, pp 281 292 [53] R.K Mohanty (2000), "A fourth-order finite difference method for the gen- eral one-dimensional nonlinear biharmonic problems of first kind", J Comput Appl Math., 114, pp 275-290 [54] M.A Noor, S.T Mohyud-Din (2007), "A efficient method for fourth-order boundary value problems", Comput Math Appl., 54, pp 1101-1111 [55] C.V Pao (2000), "On fourth-order elliptic boundary value problems", Proc Amer Math Soc., 128, pp 1023-1030 [56] C.V Pao (2001), "Numerical methods for fourth order nonlinear elliptic boundary value problems", Numer Meth Part Diff Equ., 17, pp 347-368 [57] R Pei (2010), "Multiple solutions for biharmonic equations with asymptoti- cally linear nonlinearities", Bound Value Probl., 2010, Article ID 241518 [58] M Pei, S.K Chang (2011), "Existence of solutions for a fully nonlinear fourth-order two-point boundary value problem", J Appl Math Comput., 37, pp 287-295 [59] M.H Protter, H.F Weinberger (1984), Maximum Principles in Differential Equations, Springer [60] M Ronto, A.M Samoilenko (2000), Numerical Analytic methods in the theory of boundary value problem, World Sci Publ, Singapore [61] A.A Samarskii (2001), The Theory of Difference Schemes, New York, Marcel Dekker [62] A.A Samarskii, E Nikolaev (1989), Numerical methods for grid equation, vol 1: Direct Method, Birkhauser, Basel [63] J Talwar, R.K Mohanty (2012), "A Class of Numerical Methods for the Solu-tion of Fourth-Order Ordinary Differential Equations in Polar Coordinates", Adv Numer Anal., 2012, Article ID 626419, 20 pages [64] B Yang (2005), "Positive solutions for a fourth order boundary value prob- lem", Elect J Quali Theo Diff Equa., 3, pp 1-17 134 [65] S Yardimci, E Ugurlu (2014), "Nonlinear fourth order boundary value prob-lem", Bound Value Prob., 2014:189 [66] F Wang, Y An (2012), "Existence and multiplicity of solutions for a fourth- order elliptic equation", Bound Value Probl., 2012, 2012:6 [67] Y.M Wang (2005), "On fourth-order elliptic boundary value problems with nonmonotone nonlinear function", J Math Anal Appl., 307, pp 1-11 [68] Y.M Wang (2006), "Convergence analysis of a monotone method for fourth-order semilinear elliptic boundary vale problems", Appl Math Lett., 19, pp 332-339 [69] Y.M Wang (2007), "Error and stability of monotone method for numerical so-lutions of fourth-order semilinear elliptic boundary vale problems", J Comput Appl Math., 200, pp 503-519 [70] Y.M Wang (2007), "Monotone iterative technique for numerical solutions of fourth-order nonlinear elliptic boundary value problems", Appl Numer Math., 57, pp 1081-1096 [71] E Zeidler (1986), Nonlinear functional analysis and its applications, I: Fixed-Point Theorems, Springer 135 ... VÀ ĐÀO TẠO VI N HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VI T NAM HỌC VI N KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NGUYỄN THANH HƯỜNG GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP BỐN Chun ngành:... "Gi£i gƒn óng mºt sŁ b i to¡n bi¶n phi tuy‚n cho phữỡng trnh vi phƠn cĐp bn" Mửc tiảu v phm vi nghiản cứu ca Lun Ăn i vợi mt s b i toĂn biản phi tuyn cho phữỡng trnh vi phƠn thữớng v phữỡng trnh o... biản phi tuyn 88 vii Chữỡng Sỹ tỗn ti nhĐt nghiằm v phữỡng phĂp lp giÊi b i toĂn biản phi tuyn cho phữỡng trnh o h m riảng cĐp bn 100 3.1 B i toĂn biản phi tuyn cho