Giải gần đúng một số bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân cấp bốn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌCVÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NGUYỄN THANH HƯỜNG GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

NGUYỄN THANH HƯỜNG

GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP BỐN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

NGUYỄN THANH HƯỜNG

GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP BỐN

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mãsố: 9 46 01 12

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1 GS TS Đặng Quang Á

HàNội – 2019

L˝I CAM OAN

Tæi xin cam oan ¥y l cæng tr…nh nghi¶n cøu cıa tæi vîi sü h÷îng d¤n khoa håc cıa GS TS °ng Quang v TS Vô Vinh Quang Nhœng k‚t qu£ tr…nh

tr…nh cıa ai kh¡c C¡c k‚t qu£ thüc nghi»m ¢ ÷æc ki”m tra b‹ng c¡c ch÷ìng tr…nh

do ch‰nh tæi thi‚t k‚ v thß nghi»m tr¶n mæi tr÷íng MATLAB, sŁ li»u l ho n to n trung thüc C¡c k‚t qu£ ÷æc cæng bŁ chung ¢ ÷æc c¡n bº h÷îng d¤n v çng t¡c gi£ cho ph†p sß döng trong Lu“n ¡n

Nghi¶n cøu sinhNguy„n Thanh H÷íng

L˝IC MÌN

Tr÷îc h‚t, em xin b y tä lÆng bi‚t ìn ch¥n th nh v s¥u s›c nh§t tîi c¡c Thƒyh÷îng d¤n, GS TS °ng Quang v TS Vô Vinh Quang Trong suŁt qu¡ tr…nhhåc t“p, nghi¶n cøu v thüc hi»n Lu“n ¡n, c¡c Thƒy luæn ki¶n nh¤n, t“n t…nhch¿ b£o, d…u d›t v gióp ï em Ch‰nh ni•m say m¶ khoa håc, sü nghi¶m kh›ctrong khoa håc còng vîi â l sü quan t¥m, ºng vi¶n v kh‰ch l» cıa c¡c Thƒy l ºnglüc khi‚n em khæng ngłng nØ lüc, cŁ g›ng v÷æt qua måi khâ kh«n, v§t v£ ” ho

n th nh Lu“n ¡n

Em xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c Thƒy Cæ v c¡c th nh vi¶n trong nhâmSeminar khoa håc cıa PhÆng c¡c Ph÷ìng ph¡p To¡n håc trong Cæng ngh»thæng tin, Vi»n Cæng ngh» Thæng tin còng c¡c c¡n bº nghi¶n cøu Nhœng þki‚n nh“n x†t v âng gâp væ còng quþ b¡u trong c¡c buŒi b¡o c¡o v th£o lu“n ¢gióp em ho n th nh tŁt nh§t Lu“n ¡n cıa m…nh

Em xin ch¥n th nh c£m ìn cì sð o t⁄o - Vi»n Cæng ngh» Thæng tin v Håcvi»n Khoa håc v Cæng ngh» Quþ Vi»n v Håc vi»n ¢ luæn t⁄o måi i•u ki»n thu“nlæi ” em ho n th nh tŁt qu¡ tr…nh håc t“p v nghi¶n cøu cıa m…nh t⁄i ¥y

Em công xin b y tä lÆng bi‚t ìn ‚n l¢nh ⁄o Tr÷íng ⁄i håc Khoa håc - ⁄i håc Th¡inguy¶n, Ban chı nhi»m Khoa To¡n - Tin, c¡c b⁄n b– çng nghi»p, gia …nh vng÷íi th¥n ¢ luæn çng h nh, hØ træ, ºng vi¶n, gióp ï em trong suŁt qu¡ tr…nhhåc t“p, nghi¶n cøu v ho n th nh Lu“n ¡n

Xin ch¥n th nh c£m ìn!

ii

Danh möc c¡c chœ vi‚t t›t v c¡c kþ hi»u

tr¶n [a; b]

Mi•n giîi nºiBi¶n cıa mi•nBao âng cıa mi•n

Danh s¡ch h…nh v‡

2.1 ç thà cıa e(K) trong V‰ dö 2.1 46

2.2 ç thà cıa r(K) trong V‰ dö 2.1 47

2.3 ç thà cıa e(K) trong V‰ dö 2.2 48

2.4 ç thà cıa r(K) trong V‰ dö 2.2 48

2.5 ç thà cıa nghi»m x§p x¿ trong V‰ dö 2.1.2 49

2.6 ç thà cıa e(K) trong V‰ dö 2.3 49

2.7 ç thà cıa r(K) trong V‰ dö 2.3 50

2.8 ç thà cıa nghi»m x§p x¿ trong V‰ dö 2.3 50

2.9 ç thà cıa e(K) trong V‰ dö 2.4 59

2.10 ç thà cıa e(K) trong V‰ dö 2.5 61

2.11 ç thà cıa nghi»m x§p x¿ trong V‰ dö 2.5 61

2.12 ç thà cıa nghi»m x§p x¿ trong V‰ dö 2.6 63

2.13 ç thà cıa nghi»m x§p x¿ trong V‰ dö 2.7 64

2.14 ç thà cıa nghi»m x§p x¿ trong V‰ dö 2.10 66

2.15 ç thà nghi»m x§p x¿ trong V‰ dö 2.11 69

2.16 ç thà cıa c¡c nghi»m x§p x¿ trong V‰ dö 2.15 75

2.17 ç thà cıa c¡c nghi»m x§p x¿ trong V‰ dö 2.16 76

2.18 ç thà cıa e(K) trong V‰ dö 2.17 84

2.19 ç thà cıa e(K) trong V‰ dö 2.18 86

2.20 ç thà cıa e(K) trong V‰ dö 2.19 86

2.21 ç thà cıa e(K) trong V‰ dö 2.20 87

2.22 ç thà cıa nghi»m x§p x¿ trong V‰ dö 2.20 87

3.1 ç thà cıa sai sŁ e(m) cıa Ph÷ìng ph¡p DIM2 (tr¡i) v ph÷ìng ph¡p nhanh nh§t cıa Wang (ph£i) trong V‰ dö 3.1 vîi k = 1; = 2 2 111

3.2 ç thà cıa sai sŁ e(m) cıa Ph÷ìng ph¡p DIM2 (tr¡i) v ph÷ìng ph¡p nhanh nh§t cıa Wang (ph£i) trong V‰ dö 3.1 vîi k = 1; = 12 2 111 3.3 ç thà cıa sai sŁ e(m) cıa Ph÷ìng ph¡p DIM2 (tr¡i) v ph÷ìng ph¡p nhanh nh§t cıa Wang (ph£i) trong V‰ dö 3.2 vîi k = 0:1 112

3.4 ç thà cıa sai sŁ e(m) cıa Ph÷ìng ph¡p DIM2 (tr¡i) v ph÷ìng ph¡p nhanh nh§t cıa Wang (ph£i) trong V‰ dö 3.2 vîi k = 0:4 113

3.5 ç thà cıa sai sŁ e(m) v t¿ sŁ r(m) trong V‰ dö 3.3 113

iv

3.6 ç thà cıa nghi»m x§p x¿ trong V‰ dö 3.3 114

3.7 ç thà cıa sai sŁ e(m) v t¿ sŁ r(m) trong V‰ dö 3.4 114

3.8 ç thà nghi»m x§p x¿ trong V‰ dö 3.4 114

3.9 ç thà cıa e(m) trong V‰ dö 3.5 123

3.10 ç thà cıa e(m) trong V‰ dö 3.6 124

3.11 ç thà cıa nghi»m x§p x¿ trong V‰ dö 3.6 124

3.12 ç thà cıa e(m) trong V‰ dö 3.7 124

3.13 ç thà cıa nghi»m x§p x¿ trong V‰ dö 3.7 125

3.14 ç thà cıa e(m) trong V‰ dö 3.8 126

3.15 ç thà cıa nghi»m x§p x¿ trong V‰ dö 3.8 126

Danh s¡ch b£ng

2.1 Sü hºi tö trong V‰ dö 2.1 46

2.2 Sü hºi tö trong V‰ dö 2.4 59

2.3 Sü hºi tö trong V‰ dö 2.13 vîi x§p x¿ ƒu v0 = 0 73

2.4 Sü hºi tö trong V‰ dö 2.13 vîi x§p x¿ ƒu v0 =0 74

2.5 Sü hºi tö trong V‰ dö 2.14 vîi x§p x¿ ƒu v0 =0 74

2.6 Sü hºi tö trong V‰ dö 2.15 vîi x§p x¿ ƒu v0 =0 75

2.7 Sü hºi tö trong V‰ dö 2.16 vîi x§p x¿ ƒu v0 =0 75

2.8 Sü hºi tö trong V‰ dö 2.17 84

2.9 Sü hºi tö trong V‰ dö 2.21 vîi x§p x¿ ƒu u0 = 0; v0 = 0 95

2.10 Sü hºi tö trong V‰ dö 2.22 vîi x§p x¿ ƒu u0 = 0; v0 =0 96

2.11 Sü hºi tö trong V‰ dö 2.23 vîi x§p x¿ ƒu u0 = 0; v0 =0 96

2.12 Sü hºi tö trong V‰ dö 2.24 vîi x§p x¿ ƒu u0 = 0; v0 =0 97

2.13 Sü hºi tö trong V‰ dö 2.25 vîi x§p x¿ ƒu u0 = 0; v0 =0 98

3.1 Sü hºi tö cıa ph÷ìng ph¡p l°p trong V‰ dö 3.1 tr¶n l÷îi •u 65 65 nót110 3.2 Sü hºi tö cıa ph÷ìng ph¡p l°p trong V‰ dö 3.2 112

3.3 Sü hºi tö trong V‰ dö 3.5 122

3.4 Sü hºi tö trong V‰ dö 3.6 123

3.5 Sü hºi tö trong V‰ dö 3.7 125

3.6 Sü hºi tö trong V‰ dö 3.8 125

vi

Möc löc

Líi cam oan

i

Líi c£m ìn ii

Danh möc c¡c chœ vi‚t t›t v c¡c kþ hi»u iii

Mð ƒu

1

Ch÷ìng 1 Ki‚n thøc bŒ træ

11 1.1 Mºt sŁ ành lþ i”m b§t ºng 11

1.1.1 Giîi thi»u chung 11

1.1.2 ành lþ i”m b§t ºng Schauder

12 1.1.3 ành lþ i”m b§t ºng Banach

14 1.2 H m Green Łi vîi mºt sŁ b i to¡n

16 1.3 ⁄o h m sŁ, t ‰ch ph¥n sŁ vîi sai sŁ c§p cao 21

1.3.1 ⁄o h m sŁ 21

1.3.2 T‰ch ph¥n sŁ

22 1.4 L÷æc ç sai ph¥n vîi º ch‰nh x¡c c§p bŁn cho ph÷ìng tr…nh Poisson 24 1.5 Ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr…nh l÷îi

26 1.5.1 Ph÷ìng ph¡p truy uŒi gi£i h» ph÷ìng tr…nh ba i”m 26

2.1.1 Tr÷íng hæp i•u ki»n bi¶n tŒ hæp

88

vii

Ch÷ìng 3 Sü tçn t⁄i duy nh§t nghi»m v ph÷ìng ph¡p l°p gi£i b i to¡n bi¶n phi tuy‚n

cho ph÷ìng tr…nh ⁄o h m ri¶ng c§p bŁn 1003.1 B i to¡n bi¶n phi tuy‚n cho ph÷ìng tr…nh song i•u hÆa

3.2.1 Sü tçn t⁄i v duy nh§t nghi»m

117

3.2.2 Ph÷ìng ph¡p gi£i v v‰ dö sŁ

120

K‚t lu“n chung 128

T i li»u tham kh£o 130

viii

M— U

1 T‰nh c§p thi‚t cıa Lu“n ¡n

Nhi•u hi»n t÷æng trong V“t lþ, Cì håc v mºt sŁ l¾nh vüc kh¡c ÷æc mæ h…nh hâa bði c¡c b i to¡n bi¶n cho ph÷ìng tr…nh vi ph¥n th÷íng ho°c ph÷ìng tr…nh ⁄o

nh÷ ph÷ìng ph¡p gi£i c¡c b i to¡n n y luæn l nhœng chı • thu hót ÷æc nhi•u sü quant¥m cıa c¡c nh khoa håc trong v ngo i n÷îc nh÷ R.P Agawarl, E Alves, P Amster,

Z Bai, Y Li, T.F Ma, H Feng, F Minhâs, Y.M Wang, °ng Quang

, Ph⁄m Ký Anh, Nguy„n æng Anh, Nguy„n Hœu Cæng, Nguy„n V«n ⁄o, L¶L÷ìng T i, Sü tçn t⁄i nghi»m, t‰nh duy nh§t nghi»m, t‰nh d÷ìng cıa nghi»m,ph÷ìng ph¡p l°p t…m nghi»m cıa mºt sŁ b i to¡n bi¶n cho ph÷ìng tr…nh vi ph¥nth÷íng, ph÷ìng tr…nh ⁄o h m ri¶ng c§p bŁn ¢ ÷æc x†t ‚n trong c¡c cæng tr…nhcıa t¡c gi£ °ng Quang v c¡c cºng sü trong [17]-[24] T¡c gi£ Ph⁄m Ký Anh công

câ mºt sŁ cæng tr…nh nghi¶n cøu v• t‰nh gi£i ÷æc, c§u tróc t“p nghi»m, c¡cph÷ìng ph¡p x§p x¿ nghi»m, cıa b i to¡n bi¶n tuƒn ho n (xem [10], [11]) Sütçn t⁄i nghi»m, tçn t⁄i nghi»m d÷ìng cıa c¡c b i to¡n v• dƒm ÷æc x†t ‚n trong c¡ccæng tr…nh cıa t¡c gi£ T.F Ma (xem [45]-[50]) Lþ thuy‚t v v§n • gi£i sŁ c¡c b ito¡n bi¶n tŒng qu¡t ¢ ÷æc • c“p ‚n trong c¡c t i li»u [5], [12], [37], [60],

Trong sŁ c¡c b i to¡n bi¶n, b i to¡n bi¶n cho ph÷ìng tr…nh vi ph¥n th÷íng v

ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ⁄o h m ri¶ng phi tuy‚n c§p bŁn nh“n ÷æc sü quan t¥m lîncıa c¡c nh nghi¶n cøu bði chóng l mæ h…nh to¡n håc cıa nhi•u hi»n t÷æng trong

thüc ti„n nh÷ sü uŁn cong cıa dƒm v cıa b£n, Câ th” chia ph÷ìng tr…nh vi

ph¥n c§p bŁn th nh hai lo⁄i: Ph÷ìng tr…nh vi ph¥n c§p bŁn àa ph÷ìng v ph÷ìng

chøa

th nh phƒn t‰ch ph¥n ÷æc gåi l ph÷ìng tr…nh vi ph¥n c§p bŁn khæng àa ph÷ìng

cıa ph÷ìng ph¡p l ÷a b i to¡n ban ƒu v• b i to¡n t…m cüc trà cıa mºt phi‚m

cıa phi‚m h m X†t b i to¡n bi¶n cho ph÷ìng tr…nh vi ph¥n c§p bŁn lo⁄i Kirchhofftrong [45] n«m 2000

gi£ thi‚t l“p sü tçn t⁄i nghi»m cıa b i to¡n

Lipschitz, p(0) = h(0) = 0: Trong cæng tr…nh n y, c¡c t¡c gi£ °t ra r§t nhi•u gi£thi‚t phøc t⁄p v• i•u ki»n t«ng tr÷ðng t⁄i væ còng cıa c¡c h m f; g; p; h

Ph÷ìng ph¡p bi‚n ph¥n khæng ch¿ ¡p döng Łi vîi c¡c b i to¡n bi¶n cho ph÷ìngtr…nh vi ph¥n th÷íng m cÆn ¡p döng vîi b i to¡n bi¶n cho ph÷ìng tr…nh ⁄o h mri¶ng Trong [57] n«m 2010, R Pei x†t b i to¡n bi¶n Navier cho ph÷ìng tr…nhsong i•u hÆa

2

u = u = 0; x 2 ;

gi£ ¢ chøng minh ÷æc r‹ng b i to¡n tr¶n câ ‰t nh§t ba nghi»m khæng tƒm

th÷íng n‚u h m f thäa m¢n c¡c i•u ki»n sau:

song i•u hÆa lo⁄i Kirchhoff

Z

2u = Mc jruj2dx u + f(x; u); x 2 ;

” chøng minh sü tçn t⁄i nghi»m khæng ¥m cıa b i to¡n tr¶n, b‹ng ph÷ìng ph¡p bi‚n ph¥n, c¡c t¡c gi£ °t ra nhi•u gi£ thi‚t v• sü t«ng tr÷ðng t⁄i væ còng cıa h mf:

Ngo i c¡c cæng tr…nh n¶u tr¶n, câ th” k” th¶m nhi•u cæng tr…nh kh¡c công

¡p döng ph÷ìng ph¡p bi‚n ph¥n nghi¶n cøu c¡c b i to¡n bi¶n cho ph÷ìng tr…nh viph¥n phi tuy‚n c§p bŁn nh÷ [25], [33], [47], M°c dò ph÷ìng ph¡p bi‚n ph¥n lmºt cæng cö phŒ bi‚n v hœu hi»u khi nghi¶n cøu sü tçn t⁄i nghi»m cıa c¡c b ito¡n bi¶n tuy nhi¶n công ph£i ” þ r‹ng, khi sß döng ph÷ìng ph¡p bi‚n ph¥n, vîic¡c gi£ thi‚t v• i•u ki»n t«ng tr÷ðng °t l¶n h m v‚ ph£i, c¡c t¡c gi£ phƒn lîn l x†t sütçn t⁄i nghi»m, sü tçn t⁄i nhi•u nghi»m cıa b i to¡n (câ th” x†t sü tçn t⁄i duy nh§tcıa nghi»m trong tr÷íng hæp phi‚m h m lçi) nh÷ng l⁄i khæng câ v‰ dö n o v•

nghi»m tçn t⁄i, çng thíi ph÷ìng ph¡p gi£i b i to¡n công khæng ÷æc x†t ‚n

nghi»m d÷îi K‚t qu£ ch‰nh cıa ph÷ìng ph¡p n y khi ¡p döng cho c¡c b i to¡n

bi¶n phi tuy‚n nh÷ sau: N‚u b i to¡n câ nghi»m tr¶n v nghi»m d÷îi th… vîi mºt sŁgi£ thi‚t, b i to¡n câ ‰t nh§t mºt nghi»m v nghi»m n y n‹m trong kho£ng nghi»m

x§p x¿ ƒu l nghi»m tr¶n v nghi»m d÷îi hºi tö tîi nghi»m cüc ⁄i v nghi»m cüc

3

ti”u cıa b i to¡n Trong tr÷íng hæp hai nghi»m cüc ⁄i v cüc ti”u tròng nhau th… b

i to¡n câ nghi»m duy nh§t

Sau ¥y ta i”m qua mºt sŁ cæng tr…nh sß döng ph÷ìng ph¡p nghi»m tr¶n v

nghi»m d÷îi khi nghi¶n cøu c¡c b i to¡n bi¶n cho ph÷ìng tr…nh vi ph¥n phi tuy‚n

c§p bŁn

ƒu ti¶n, x†t b i to¡n trong cæng tr…nh [14] n«m 2007

d÷îi cıa b i to¡n n‚u

Trong cæng tr…nh n y, Z Bai ¢ chøng minh sü tçn t⁄i nghi»m cıa b i to¡n vîi gi£

Ti‚p theo, x†t cæng tr…nh [31] cıa H Feng v c¡c cºng sü n«m 2009 khi

nghi¶n cøu b i to¡n

d÷îi cıa b i to¡n n‚u

Công vîi gi£ thi‚t b i to¡n câ nghi»m tr¶n v nghi»m d÷îi ; thäa m¢n 00 00, h m f

v; z) gi£m theo u; y, t«ng ch°t theo z, c¡c t¡c gi£ thi‚t l“p ÷æc sü tçn t⁄i duy nh§tnghi»m cıa b i to¡n

N«m 2006, trong cæng tr…nh [68], Y.M Wang x†t b i to¡n

4(k(x)4u) = f(x; u; 4u); x 2 ;

Ngo i ph÷ìng ph¡p bi‚n ph¥n, ph÷ìng ph¡p nghi»m tr¶n nghi»m d÷îi, c¡c nhkhoa håc cÆn dòng ph÷ìng ph¡p sß döng c¡c ành lþ i”m b§t ºng trong nghi¶ncøu c¡c b i to¡n bi¶n phi tuy‚n p döng ph÷ìng ph¡p n y, ng÷íi ta ÷a b i to¡n ¢ cho

u(a) = A1; u0(a) = A2; u(b) = B1; u0(b) = B2:

cıa to¡n tß T

a

sß döng Nguy¶n lþ i”m b§t ºng Schauder c¡c t¡c gi£ ¢ chøng minh ÷æc

sü tçn t⁄i nghi»m cıa b i to¡n, ¡p döng ành lþ i”m b§t ºng Banach cho ¡nh x⁄ co,c¡c t¡c gi£ chøng minh ÷æc sü tçn t⁄i v duy nh§t nghi»m cıa b i to¡n, çng thíix¥y düng d¢y l°p Picard vîi x§p x¿ ƒu l mºt nghi»m x§p x¿ cıa b i to¡n hºi tö tîinghi»m duy nh§t n y

X†t b i to¡n bi¶n cho ph÷ìng tr…nh vi ph¥n c§p bŁn lo⁄i Kirchhoff

c

trong cæng tr…nh [50] cıa T.F Ma v A.L.M Martinez n«m 2010 C¡c t¡c gi£ ¢

÷a b i to¡n ¢ cho v• ph÷ìng tr…nh to¡n tß Łi vîi 'n h m

b i b¡o n«m 2008 cıa P Amster [7] sau khi ÷a b i to¡n ban ƒu v• ph÷ìng tr…nhto¡n tß Łi vîi 'n h m, t¡c gi£ sß döng ành lþ i”m b§t ºng Leray-Schauder k‚t hæpvîi lþ thuy‚t b“c Brouwer thi‚t l“p sü tçn t⁄i nghi»m cıa b i to¡n

trong â A l h‹ng sŁ khæng ¥m, f; g l c¡c h m li¶n töc

6

Chó þ r‹ng, trong c¡c cæng tr…nh ¡p döng ph÷ìng ph¡p i”m b§t ºng nghi¶n cøu c¡c b i to¡n bi¶n phi tuy‚n, phƒn lîn c¡c t¡c gi£ sß döng c¡ch ti‚p c“n ÷a

v• tçn t⁄i i”m b§t ºng nh÷ ành lþ i”m b§t ºng Schauder, Leray-Schauder,Krassnosel’skii, Łi vîi to¡n tß n y ta ch¿ thi‚t l“p ÷æc sü tçn t⁄i nghi»m cıa

tçn t⁄i duy nh§t nghi»m m cÆn ÷a ra ÷æc ph÷ìng ph¡p l°p hºi tö c§p sŁ nh¥n t…mnghi»m Tuy nhi¶n công ph£i ” þ r‹ng, vi»c lüa chån to¡n tß v x†t to¡n tß n y tr¶nmºt khæng gian phò hæp sao cho c¡c gi£ thi‚t °t l¶n c¡c h m r ng buºc l ìn gi£n mv¤n £m b£o c¡c i•u ki»n ” ¡p döng ÷æc c¡c ành lþ i”m b§t ºng trong nghi¶n cøu ànht‰nh công nh÷ ph÷ìng ph¡p gi£i c¡c b i to¡n bi¶n phi tuy‚n âng vai trÆ væ còngquan trång

Mºt trong nhœng ph÷ìng ph¡p sŁ phŒ bi‚n ÷æc sß döng rºng r¢i trong x§px¿ nghi»m cıa c¡c b i to¡n bi¶n cho ph÷ìng tr…nh vi ph¥n th÷íng v ph÷ìng tr…nh

⁄o h m ri¶ng phi tuy‚n c§p bŁn l ph÷ìng ph¡p sai ph¥n hœu h⁄n (xem [46], [53],[63], [70], ) B‹ng c¡ch thay th‚ c¡c ⁄o h m bði c¡c cæng thøc sai ph¥n, b i to¡n

¢ cho ÷æc ríi r⁄c th nh c¡c h» ph÷ìng tr…nh ⁄i sŁ Gi£i h» n y ta thu ÷æc nghi»mx§p x¿ cıa b i to¡n t⁄i c¡c nót l÷îi Chó þ r‹ng khi sß döng ph÷ìng ph¡p sai ph¥nhœu h⁄n nghi¶n cøu c¡c b i to¡n bi¶n phi tuy‚n, nhi•u cæng tr…nh ti‚p c“n theoh÷îng cæng nh“n sü tçn t⁄i nghi»m cıa b i to¡n (khæng x†t v• m°t ành t‰nh), ríir⁄c hâa b i to¡n ngay tł ban ƒu C¡ch l m n y câ nh÷æc i”m l khâ ¡nh gi¡ ÷æc sü

Œn ành, hºi tö cıa l÷æc ç sai ph¥n v khâ câ th” ¡nh gi¡ sai sŁ giœa nghi»m óng

v nghi»m x§p x¿

Khi nghi¶n cøu c¡c b i to¡n bi¶n phi tuy‚n, ngo i c¡c ph÷ìng ph¡p phŒ bi‚n

÷æc tr…nh b y ð tr¶n cÆn câ th” k” ‚n mºt sŁ ph÷ìng ph¡p kh¡c nh÷ ph÷ìngph¡p phƒn tß hœu h⁄n, ph÷ìng ph¡p chuØi Taylor, ph÷ìng ph¡p chuØi Fourier,ph÷ìng ph¡p sß döng lþ thuy‚t b“c Brouwer, b“c Leray-Schauder, Câ th” k‚thæp c¡c ph÷ìng ph¡p n¶u tr¶n ” nghi¶n cøu ƒy ı c£ v• m°t ành t‰nh l¤n ànhl÷æng cıa b i to¡n

Vîi sü ph¡t tri”n khæng ngłng cıa khoa håc, kÿ thu“t, v“t lþ, cì håc, xu§tph¡t tł nhœng b i to¡n thüc t‚, c¡c b i to¡n bi¶n mîi ÷æc °t ra ng y c ng nhi•u

ph¡p, c¡ch ti‚p c“n, kÿ thu“t kh¡c nhau vîi tłng b i to¡n MØi ph÷ìng ph¡p • ra s‡ cânhœng ÷u i”m v h⁄n ch‚ ri¶ng v khâ câ th” khflng ành ph÷ìng ph¡p n o thüc sü tŁthìn ph÷ìng ph¡p n o tł lþ thuy‚t cho ‚n thüc nghi»m Tuy nhi¶n, chóng tæi s‡ h÷îngtîi ph÷ìng ph¡p nghi¶n cøu ÷æc to n di»n c£ v• m°t ành t‰nh l¤n ành l÷æng cıac¡c b i to¡n sao cho c¡c i•u ki»n ÷æc °t ra l ìn gi£n

thuy‚t, so s¡nh ÷æc k‚t qu£ chóng tæi ⁄t ÷æc so vîi k‚t qu£ ¢ câ cıa mºt sŁ

7

t¡c gi£ kh¡c v• mºt m°t n o â.

¥y ch‰nh l möc ‰ch v l‰ do chóng tæi lüa chån • t i Lu“n ¡n "Gi£i gƒnóng mºt sŁ b i to¡n bi¶n phi tuy‚n cho ph÷ìng tr…nh vi ph¥n c§p bŁn"

2 Möc ti¶u v ph⁄m vi nghi¶n cøu cıa Lu“n ¡n

Łi vîi mºt sŁ b i to¡n bi¶n phi tuy‚n cho ph÷ìng tr…nh vi ph¥n th÷íng vph÷ìng tr…nh ⁄o h m ri¶ng c§p bŁn l mæ h…nh c¡c b i to¡n trong lþ thuy‚t uŁncıa dƒm v cıa b£n:

d÷ìng cıa nghi»m) b‹ng c¡ch sß döng c¡c ành lþ i”m b§t ºng v nguy¶n lþ cüc ⁄ikhæng cƒn ‚n i•u ki»n t«ng tr÷ðng t⁄i væ còng, i•u ki»n Nagumo, cıa h m v‚ ph£i

dö th” hi»n ÷u th‚ cıa ph÷ìng ph¡p • xu§t so vîi ph÷ìng ph¡p cıa mºt sŁ t¡c gi£ kh¡c

- Sß döng c¡ch ti‚p c“n ìn gi£n nh÷ng hi»u qu£ ÷a c¡c b i to¡n bi¶n phi tuy‚n v•ph÷ìng tr…nh to¡n tß Łi vîi h m cƒn t…m ho°c mºt h m trung gian, sß döng c¡c cæng

cö cıa to¡n gi£i t‰ch, gi£i t‰ch h m, lþ thuy‚t ph÷ìng tr…nh vi ph¥n, nghi¶n cøu sütçn t⁄i nghi»m, t‰nh duy nh§t nghi»m v mºt sŁ t‰nh ch§t kh¡c cıa nghi»m cıa mºt sŁ

b i to¡n bi¶n cho ph÷ìng tr…nh vi ph¥n th÷íng v ph÷ìng tr…nh

tö cıa ph÷ìng ph¡p

ch÷a bi‚t tr÷îc nghi»m óng ” minh håa cho t‰nh óng ›n cıa c¡c k‚t qu£ lþ thuy‚t v ki”m tra sü hºi tö cıa c¡c ph÷ìng ph¡p l°p t…m nghi»m

Lu“n ¡n • xu§t mºt ph÷ìng ph¡p ìn gi£n nh÷ng r§t hi»u qu£ nghi¶n cøu sü tçnt⁄i duy nh§t nghi»m v ph÷ìng ph¡p l°p gi£i n«m b i to¡n bi¶n cho ph÷ìng tr…nh

¢ cho v• ph÷ìng tr…nh to¡n tß Łi vîi h m cƒn t…m ho°c mºt h m trung gian.

d„ ki”m tra, trong â b i to¡n bi¶n cho ph÷ìng tr…nh vi ph¥n th÷íng c§p bŁn

àa ph÷ìng vîi i•u ki»n bi¶n Dirichlet, i•u ki»n bi¶n tŒ hæp v b i to¡n bi¶n cho ph÷ìng tr…nh song i•u hÆa, x†t ÷æc t‰nh d÷ìng cıa nghi»m

ph÷ìng ph¡p vîi tŁc º hºi tö c§p sŁ nh¥n

thuy‚t, trong â câ nhœng v‰ dö th” hi»n ÷u th‚ cıa ph÷ìng ph¡p trong Lu“n ¡n so vîiph÷ìng ph¡p cıa mºt sŁ t¡c gi£ kh¡c

- ÷a ra c¡c thß nghi»m sŁ ki”m tra sü hºi tö cıa ph÷ìng ph¡p l°p t…m nghi»m.Lu“n ¡n ÷æc vi‚t tr¶n cì sð c¡c b i b¡o [A1]-[A8] trong Danh möc c¡c cæng

tr…nh cıa t¡c gi£ li¶n quan ‚n Lu“n ¡n

5 C§u tróc cıa Lu“n ¡n

Ngo i phƒn mð ƒu, k‚t lu“n v t i li»u tham kh£o, nºi dung cıa Lu“n ¡n ÷æc tr…

nh b y trong 3 ch֓ng:

Ch÷ìng 1 tr…nh b y c¡c ki‚n thøc bŒ træ bao gçm: mºt sŁ ành lþ i”m b§t ºng; h m Green Łi vîi mºt sŁ b i to¡n; c¡c cæng thøc t‰nh gƒn óng ⁄o h m

c§p bŁn cho ph÷ìng tr…nh Poisson v ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr…nh l÷îi ¥y lnhœng ki‚n thøc cì b£n, câ vai trÆ r§t quan trång, l m n•n t£ng cho Ch÷ìng 2

Trong Ch÷ìng 2, vîi c¡ch ti‚p c“n ÷a c¡c b i to¡n bi¶n phi tuy‚n v• ph÷ìng tr…

nh to¡n tß Łi vîi h m cƒn t…m ho°c mºt h m trung gian, Lu“n ¡n thi‚t l“p sü tçn t⁄i

v duy nh§t nghi»m Łi vîi n«m b i to¡n bi¶n cho ph÷ìng tr…nh vi ph¥n th÷íng phituy‚n c§p bŁn àa ph÷ìng v khæng àa ph÷ìng vîi c¡c i•u ki»n bi¶n kh¡c nhau,trong â vîi hai b i to¡n bi¶n cho ph÷ìng tr…nh vi ph¥n c§p bŁn àa ph÷ìng vîi i•uki»n bi¶n Dirichlet v i•u ki»n bi¶n tŒ hæp, Lu“n ¡n x†t ÷æc t‰nh d÷ìng cıanghi»m Tr¶n cì sð ph÷ìng tr…nh to¡n tß, Lu“n ¡n • xu§t ph÷ìng ph¡p l°p t…mnghi»m v chøng minh sü hºi tö vîi tŁc º hºi tö c§p sŁ nh¥n cıa ph÷ìng ph¡p l°p.Lu“n ¡n công ÷a ra c¡c v‰ dö trong c£ hai tr÷íng hæp ¢ bi‚t tr÷îc nghi»m óngho°c khæng bi‚t tr÷îc nghi»m óng ” minh håa cho t‰nh óng ›n cıa c¡c k‚t qu£ lþthuy‚t v hi»u qu£ cıa ph÷ìng ph¡p l°p Chó þ r‹ng trong c¡c v‰ dö n y, mºt sŁ v

‰ dö ÷æc ph¥n t‰ch ” th§y ÷æc læi th‚ trong ph÷ìng ph¡p • xu§t so vîi ph÷ìngph¡p cıa mºt sŁ t¡c gi£ kh¡c

9

b i to¡n bi¶n cho ph÷ìng tr…nh song i•u hÆa v ph÷ìng tr…nh song i•u hÆa lo⁄i Kirchhoff, Lu“n ¡n công thu ÷æc c¡c k‚t qu£ v• sü tçn t⁄i duy nh§t nghi»m v sü hºi tö cıa ph÷ìng ph¡p l°p t…m nghi»m.

Trong Lu“n ¡n, c¡c thüc nghi»m t‰nh to¡n ÷æc l“p tr…nh trong mæi tr÷íng MATLAB 7.0 tr¶n m¡y t‰nh PC vîi CPU Intel Core i3, 4GB RAM

C¡c k‚t qu£ trong Lu“n ¡n ¢ ÷æc b¡o c¡o v th£o lu“n t⁄i:

1 Hºi th£o TŁi ÷u v T‰nh to¡n Khoa håc lƒn thø 11, Ba V…, 24-27/4/2013

2 Hºi nghà to n quŁc lƒn thø IV v• Ùng döng To¡n håc, H Nºi, 23-25/12/2015

3 Hºi th£o TŁi ÷u v T‰nh to¡n Khoa håc lƒn thø 14, Ba V…, 21-23/4/2016

4 Hºi nghà To¡n øng döng v Tin håc, ⁄i håc B¡ch Khoa H Nºi, 12-13/11/2016

Nfing, 17-18/8/2017

(VIAMC 2017), Ho Chi Minh, December 15 to 18, 2017

Thæng tin, Vi»n Cæng ngh» Thæng tin, Vi»n H n l¥m Khoa håc v Cæng ngh» Vi»tNam

Ch֓ng 1

Ki‚n thøc bŒ træ

Ch÷ìng 1 tr…nh b y mºt sŁ ki‚n thøc chu'n bà cƒn sß döng trong c¡cch÷ìng ti‚p theo cıa Lu“n ¡n Nºi dung cıa ch÷ìng ÷æc tham kh£o tł c¡c t i li»u[1], [16], [34], [38], [39], [61], [62], [71]

1.1.1 Giîi thi»u chung

ành ngh¾a 1.1 (Xem [34]) Gi£ sß X l khæng gian Banach, T l ¡nh x⁄ i tł X v o

X ho°c l ¡nh x⁄ i tł mºt t“p con cıa X v o X i”m x 2 X ÷æc gåi l i”m b§t ºng cıa Tn‚u x = T x

C¡c ành lþ i”m b§t ºng £m b£o sü tçn t⁄i i”m b§t ºng C¡c ành lþ n y câ t‰nhøng döng cao trong vi»c chøng minh sü tçn t⁄i nghi»m cıa c¡c ph÷ìng tr…nh.Chflng h⁄n nh÷, x†t ph÷ìng tr…nh

F (x) = 0;

Banach ” ch¿ ra sü tçn t⁄i nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh tr¶n ta ch¿ cƒn chøng minh

¡nh x⁄

x 7!x T (x)F (x)

câ i”m b§t ºng, trong â > 0 l mºt tham sŁ, T (x) l to¡n tß tuy‚n t‰nh kh£ nghàch

” £m b£o sü tçn t⁄i i”m b§t ºng ta ph£i quan t¥m ‚n c¡c i•u ki»n °t l¶n ¡nh x⁄ côngnh÷ c¡c i•u ki»n °t l¶n mi•n x¡c ành cıa ¡nh x⁄ â

b§t ºng n‚u måi ¡nh x⁄ li¶n töc tł X v o X •u câ i”m b§t ºng

ch§t i”m b§t ºng Th“t v“y, vîi ¡nh x⁄ li¶n töc b§t ký

f : J ! J

11

ta •u câ

Do â ph÷ìng tr…nh

câ ‰t nh§t mºt nghi»m thuºc J, nghi»m n y ch‰nh l i”m b§t ºng cıa f

V‰ dö 1.2 TŒng qu¡t hìn V‰ dö 1.1, ành lþ i”m b§t ºng Brouwer khflng ành:

i”m b§t ºng

ành ngh¾a 1.3 (Xem [34]) Gi£ sß X l khæng gian Banach, @ l lîp c¡c ¡nh x⁄li¶n töc f : X ! X N‚u mØi f 2 @ •u câ i”m b§t ºng th… X ÷æc gåi l khæng gian

câ t‰nh ch§t i”m b§t ºng Łi vîi lîp c¡c ¡nh x⁄ thuºc @

V‰ dö 1.3 Måi t“p kh¡c rØng, lçi, âng, bà ch°n trong khæng gian Banach X •u

l khæng gian câ t‰nh ch§t i”m b§t ºng Łi vîi lîp c¡c ¡nh x⁄ compact (theo ành lþi”m b§t ºng Schauder)

V‰ dö 1.4 Khæng gian m¶tric ƒy ı l khæng gian câ t‰nh ch§t i”m b§t ºng Łivîi lîp c¡c ¡nh x⁄ co (theo ành lþ i”m b§t ºng Banach)

ành lþ i”m b§t ºng Brouwer, Schauder v ành lþ i”m b§t ºng Banach s‡ ÷æctr…nh b y chi ti‚t hìn trong phƒn ti‚p theo bði t‰nh øng döng rºng r¢i cıa chóngcông nh÷ ” phöc vö cho c¡c k‚t qu£ ch‰nh cıa Lu“n ¡n

Ngo i ba ành lþ n¶u tr¶n ta ph£i k” ‚n mºt sŁ ành lþ quan trång kh¡c: ành lþi”m b§t ºng Leray-Schauder ¡p döng Łi vîi to¡n tß compact trong khæng gianBanach, ành lþ i”m b§t ºng Bourbaki-Kneser cho c¡c ¡nh x⁄ ìn i»u gi£m tr¶n c¡ct“p s›p thø tü mºt phƒn, c¡c ành lþ i”m b§t ºng tr¶n khæng gian Banach s›p thø

tü, ành lþ i”m b§t ºng Krassnosel’skii ¡p döng vîi to¡n tß compact tr¶n nân trongkhæng gian Banach, (c¡c ành lþ n y câ th” xem chi ti‚t trong [71])

Tr÷îc ti¶n ta x†t mºt phi¶n b£n cıa ành lþ i”m b§t ºng Schauder trong khænggian hœu h⁄n chi•u:

Ùng döng °c bi»t quan trång cıa ành lþ i”m b§t ºng Brouwer l Nguy¶n lþ tçn

t⁄i nghi»m cho h» ph÷ìng tr…nh trong khæng gian hœu h⁄n chi•u - Nguy¶n lþ

câ vai trÆ quan trång trong ph÷ìng ph¡p Galerkin cho to¡n tß ìn i»u (xem trong

[71]) Tuy nhi¶n, ành lþ i”m b§t ºng Brouwer câ mºt h⁄n ch‚ l ch¿ ¡p döng vîi c¡c

¡nh x⁄ li¶n töc trong khæng gian hœu h⁄n chi•u Khi x†t sü tçn t⁄i nghi»m cıa c¡c

ph÷ìng tr…nh, ta th÷íng x†t tr¶n c¡c khæng gian h m l c¡c khæng gian Banach

væ h⁄n chi•u Lóc n y ta cƒn ‚n phi¶n b£n mð rºng cıa ành lþ Brouwer ¡p döng

vîi c¡c to¡n tß trong khæng gian væ h⁄n chi•u - ành lþ i”m b§t ºng Schauder

ành ngh¾a 1.4 (Xem [71]) Cho X; Y l c¡c khæng gian Banach To¡n tß T :

V‰ dö 1.5 (Xem [71]) Cho h m li¶n töc

x¡c ành mºt to¡n tß compact T x = y trong khæng gian C[a; b] n‚u h m K(t; s) giîi

nºi trong h…nh vuæng a t b, a s b v t§t c£ c¡c i”m gi¡n o⁄n cıa h m K(t; s) n‹m

tr¶n mºt sŁ hœu h⁄n c¡c ÷íng cong

13

ành lþ 1.2 (Xem [71]) ( ành lþ i”m b§t ºng Schauder (1930))

Gi£ sß D l t“p con kh¡c rØng, lçi, âng, bà ch°n trong khæng gian Banach X v

T : D ! D l to¡n tß compact Khi â T câ i”m b§t ºng

ành lþ 1.3 (Xem [71]) (Phi¶n b£n kh¡c cıa ành lþ i”m b§t ºng Schauder) Gi£

sß D l t“p con kh¡c rØng, lçi, compact trong khæng gian Banach X v T : D ! D lto¡n tß li¶n töc Khi â T câ i”m b§t ºng

tr…nh vi ph¥n c§p mºt Ngo i ra, ành lþ n y cÆn câ nhi•u øng döng quan trångkh¡c trong gi£i t‰ch h m v gi£i t‰ch sŁ nh÷ ch¿ ra sü tçn t⁄i nghi»m cıa ph÷ìngtr…nh t‰ch ph¥n vîi tham sŁ b†

ành ngh¾a 1.5 (Xem [71]) To¡n tß T : D X ! X tr¶n khæng gian m¶tric (X; d)

÷æc gåi l co vîi h» sŁ q khi v ch¿ khi tçn t⁄i 0 q < 1 sao cho

ành lþ 1.4 (Xem [71]) ( ành lþ i”m b§t ºng Banach (1922))

a) Sü tçn t⁄i v duy nh§t nghi»m: T câ duy nh§t mºt i”m b§t ºng tr¶n D, tøc l

ph÷ìng tr…nh (1.1.1) câ duy nh§t nghi»m x

d(xk; x)

qkd(x0; x1

Nh÷ v“y ành lþ i”m b§t ºng Banach câ þ ngh¾a °c bi»t quan trång trong gi£i

gƒn óng c¡c ph÷ìng tr…nh phi tuy‚n Ngo i ra ta câ th” k” ‚n mºt sŁ øng döng

kh¡c cıa ành lþ n y: chøng minh sü tçn t⁄i duy nh§t nghi»m cıa b i to¡n gi¡ trà ƒu

cho ph÷ìng tr…nh vi ph¥n c§p mºt ( ành lþ Picard Lindelof); øng döng trong

vi»c gi£i h» ph÷ìng tr…nh ⁄i sŁ tuy‚n t‰nh, gi£i h» ph÷ìng tr…nh phi tuy‚n, gi£i

ph÷ìng tr…nh t‰ch ph¥n tuy‚n t‰nh, gi£i ph÷ìng tr…nh to¡n tß tuy‚n t‰nh,

Trong thüc t‚ khi ¡p döng c¡c ành lþ i”m b§t ºng v o vi»c gi£i c¡c b i to¡n bi¶n

phi tuy‚n, ta th÷íng ÷a b i to¡n ¢ cho v• ph÷ìng tr…nh i”m b§t ºng u = T u vîi u l

nghi»m cıa b i to¡n ¢ cho ho°c ph÷ìng tr…nh ’ = T ’ vîi ’ l mºt h m trung gian

Sau â ” ch¿ ra sü tçn t⁄i nghi»m cıa b i to¡n, tøc l sü tçn t⁄i i”m b§t ºng cıa to¡n

tß T , ta câ th” sß döng c¡c ành lþ v• sü tçn t⁄i i”m b§t ºng nh÷ ành lþ i”m b§t ºng

Schauder ” ch¿ ra t‰nh duy nh§t cıa nghi»m çng thíi • xu§t ph÷ìng ph¡p l°p

gi£i b i to¡n, ta sß döng ành lþ i”m b§t ºng Banach Sü hœu hi»u cıa ph÷ìng

1.2 H m Green Łi vîi mºt sŁ b i to¡n

X†t b i to¡n gi¡ trà bi¶n cho ph÷ìng tr…nh vi ph¥n tuy‚n t‰nh thuƒn nh§t c§p

n vîi c¡c i•u ki»n bi¶n thuƒn nh§t

ành ngh¾a 1.6 (Xem [51]) H m G(x; t) ÷æc gåi l h m Green cıa b i to¡n(1.2.1), (1.2.2) n‚u xem nh÷ h m cıa bi‚n x, vîi måi t 2 (a; b); nâ thäa m¢n c¡c i•uki»n sau:

X†t b i to¡n bi¶n cho ph÷ìng tr…nh vi ph¥n tuy‚n t‰nh khæng thuƒn nh§tc§p n vîi c¡c i•u ki»n bi¶n thuƒn nh§t

16

ð ¥y h m v‚ ph£i f(x) l h m li¶n töc trong (a; b).

ành lþ sau cho ta mŁi li¶n h» giœa t‰nh duy nh§t nghi»m cıa b i to¡n(1.2.3), (1.2.4) vîi b i to¡n thuƒn nh§t t÷ìng øng v bi”u di„n cıa nghi»m n y qua h

m Green

ành lþ 1.6 (Xem [51]) N‚u b i to¡n gi¡ trà bi¶n thuƒn nh§t t÷ìng øng vîi b i to¡n(1.2.3), (1.2.4) ch¿ câ nghi»m tƒm th÷íng th… b i to¡n (1.2.3), (1.2.4) cânghi»m duy nh§t v nghi»m n y ÷æc bi”u di„n d÷îi d⁄ng

a

ð ¥y G(x; t) l h m Green cıa b i to¡n thuƒn nh§t t÷ìng øng

Ti‚p theo, ta x†t mºt sŁ v‰ dö cö th” v• h m Green cıa c¡c b i to¡n bi¶n cho ph÷ìng tr…nh vi ph¥n c§p hai v c§p bŁn vîi c¡c i•u ki»n bi¶n kh¡c nhau C¡c

h m Green n y •u ÷æc sß döng trüc ti‚p trong ch÷ìng sau cıa Lu“n ¡n V

‰ dö 1.7 X†t b i to¡n bi¶n cho ph÷ìng tr…nh vi ph¥n c§p hai

u00(x) = f(x); 0 < x < L;

Green cıa b i to¡n thuƒn nh§t t÷ìng øng câ d⁄ng sau

CuŁi còng, tł i•u ki»n (iii) ta suy ra

18

Chó þ 1.2 Nghi»m cıa b i to¡n

X†t c¡c i•u ki»n (i)-(iv) trong ành ngh¾a 1.6 Tł i•u ki»n (i) ta suy ra h m

Green câ d⁄ng sau

H m Green cıa b i to¡n ÷æc x¡c ành nh÷ sau

;

8 (x a) 2 (b t) 2 h

v c§p hai cıa h m t⁄i c¡c i”m l÷îi vîi sai sŁ c§p hai v c§p cao hìn nhí sß döng

a thøc nºi suy Lagrange (xem [1], [39])

f0(x0) = 2 1 h( 3y0 + 4y1 y2) + O(h2);

21