skkn bài toán tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân trong toán học cao cấp

Đặt vấn đề Trong trình giảng dạy môn toán lớp 11 – Chương Dãy số – Cấp số cộng, cấp số nhân, nhận thấy có vấn đề thường gặp khó khăn cho học sinh lớp 11 số giáo viên toán tìm số hạng tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi Như biết toán tìm số hạng tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi thực chất “Bài toán tìm nghiệm riêng phương trình vi phân toán học cao cấp” Nhưng làm để học sinh 11 nắm bắt giải toán này? Vì dưa ngôn ngữ toán học cao cấp cố gắng tìm hiểu đưa cách giải tổng quát cho số toán tìm số hạng tổng quát dãy số thường gặp ngôn ngữ toán học sơ cấp, hy vọng giúp em học sịnh giải số toán tìm số hạng tổng quát thường gặp Mét sè bµi to¸n t×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè thêng gÆp Loại Dựa vào phương trình Vi phân tuyến tính cấp Bài toán u1 cho tr íc  u n +1 = un + d Cho dãy số (un) xác định bởi:  (1) Tìm số hạng tổng quát dãy số (un) Lời giải Dãy số (u n) cấp số cộng với số hạng đầu u công sai d, nên theo công thức số hạng tổng quát cấp số cộng ta có un = u1 + (n - 1).d Bài toán u1 cho tr íc  u n +1 = qun , Cho dãy số (un) xác định bởi:  n = 1, 2, (2) Tìm số hạng tổng quát dãy số (un) Lời giải Dãy số (un) cấp số nhân với số hạng đầu u công bội q, nên theo công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có un = u1.qn – Bài toán u1 cho tr íc  u n +1 = aun + b Cho dãy số (un) xác định bởi:  n = 1, 2, (3) Tìm số hạng tổng quát dãy số (un) Lời giải Để tìm số hạng tổng quát dãy số (u n) ta đưa vào dãy số phụ cho un = + k, n = 1,2,…Từ công thức xác định dãy suy ra: vn+1 + k = a(vn + k) + b Chọn k cho: k = ak + b ⇔ k = b 1− a Khi đó: vn+1 = avn, n = 1, 2,… v1 = u1 - k Nên theo toán số hạng tổng quát dãy (vn) = v1.an - Mét sè bµi to¸n t×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè thêng gÆp b Vậy: un = (u1 - k)an - + k, n = 1, 2,… k = 1− a Bài toán Cho dãy số (un) xác định bởi: u cho tríc  n u n +1 = au n + bq , n = 1,2, (4) Tìm số hạng tổng quát dãy số (un) Lời giải Xét khả a) Nếu a = q: un u u Ta có un+1 = qun + bqn, hay: qn +n1 = q nn−1 + b , n = 1,2, Đặt v n = n −1 , q Thì (4) trở thành n = 1,2,… v = u 1  vn+1 = + b Theo kết toán ta có số hạng tổng quát dãy (vn) là: = v1 + (n - 1).b, n = 1,2,… Vậy: un = vn.qn-1 = qn-1[u1 + (n – 1)b], ∀n = 1,2,… b) Nếu a ≠ q: Đặt un = + λqn-1, n = 1,2,… v1 = u1 - λ từ công thức xác định dãy suy ra: vn+1 + λqn = a(vn + λqn-1) + bqn, n = 1,2,… Chọn λ cho: λqn = a.λqn-1 + bqn, tức λ = bq Khi đó: q−a vn+1 = avn, n = 1,2,… ⇒ = v1.an-1 Vậy: un = v1an-1 + λqn-1, n = 1,2,… với v1 = u1 - λ, λ = bq q−a Bài toán u1 cho tr íc Cho dãy số (un) xác định bởi:  u n +1 = aun + nb, n = 1,2, Mét sè bµi to¸n t×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè thêng gÆp Tìm số hạng tổng quát dãy số (un) Lời giải Xét khả a) Nếu a = 1: T a có: un = un-1 + (n -1)b, n = 2,3,…Do đó: un = (un - un-1) + (un-1 - un-2) + … + (u2 - u1) + u1 = = (n-1)b + (n-2)b + … + b + u1 = n ( n − 1) b + u , n = 2,3,… Công thức n = Vậy: un = n(n − 1) b + u1 , n = 1,2, … b b) Nếu a ≠ 1: Đặt un = + λ n + β với λ = − a ; β= −b (1 − a)2 Từ công thức xác định dãy suy ra: v n = a vn-1, n = 1,2,… từ kết qủa toán ta có = v1.an-1 v1 = u1 - λ − β Vậy un = + λ n + β Loại II Dựa vào phương trình Vi phân tuyến tính cấp Bài toán  u1 , u2 cho tr íc Cho dãy số (un) xác định bởi:   u n + + aun +1 + bun = 0, n = 1,2, Tìm số hạng tổng quát dãy số (un) Lời giải Xét trường hợp sau: a) Nếu a2 - 4b > 0: Phương trình x + ax + b = có nghệm phân biệt x 1, x2 x1 + x2 = -a, x1x2 = b Từ công thức xác định dãy suy ra: un+2 - (x1 + x2)un+1 + x1x2un = 0, n = 1,2,… Hay: un+2 - x1un+1 = x2(un+1 - x1un) (*) Đặt un+1 - x1un = vn, ∀n = 1,2, … ⇒ v1 = u2 - x1u1 từ (*) ta có v n+1 = x2vn, n = 1,2,… ⇒ = v1.x2n-1, n = 1,2,… Mét sè bµi to¸n t×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè thêng gÆp Do từ: un+1 - x1un = ⇒ un+1 = x1un + v1x2n-1, n = 1,2,… Đây dãy có dạng n −1 xét tập Từ suy ra: un = C1 x1 với C1 = + C2 x2n −1 , n = 1,2,… u1x − u u − u1x1 , C2 = x − x1 x − x1 b) Nếu a2 - 4b = 0: Khi phương trình x + ax + b = có nghiệm kép a x0 = − Làm tương tự ta suy ra: un+1 = x0un + v1x0n-1, n = 1,2,…, v1 = u2 - x0u1 Từ n −1 theo Suy ra: un = x0 (C3 + C4 n) , n = 1,2,… Với C = 2u − u2 u , C = − u1 x0 x0 c) Nếu a2 - 4b < 0: Phương trình x2 + ax + b = vô nghiệm 4b − a −∆ Đặt cos ϕ = − , sin ϕ = = b b b a 2 a   −∆   =1) (Ta đặt vì:  −  +  b   b  Khi phương pháp quy nạp toán học ta chứng minh được: un = ( b) n −1 [C5 cos(n −1)ϕ + C6 sin( n −1)ϕ] , n = 1,2,… với C = u , C = 2u + au1 −∆ Bài toán u1 , u cho tr íc  u n + + aun +1 + bun = c, n = 1, 2, Dãy số xác định bởi:  Tìm số hạng tổng quát dãy số (un) Lời giải Mét sè bµi to¸n t×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè thêng gÆp Xét trường hợp sau: a) Nếu a + b = -1 (a = -1 - b): Từ công thức xác định dãy suy ra: un+2 - un+1 - b(un+1 - un) = c, n = 1,2,… Đặt = un+1 - un, n = 1,2,…ì v1 = u2 – u1 vn+1 = bvn + c, n = 1,2,… Theo Suy ra: Nếu b = thì: v n = v1 + (n – 1)c; b ≠ thì: = C1bn-1 + C2, với C1 = u + u1 + c c + bu , C2 = Từ đó: b −1 1− b +) Khi b = 1(a = -2): un+1 – un = v1 + (n – 1)c, n = 1,2,… Theo mục ta tìm được: un = K1 + K2n + K3n2, n = 1,2,…, với K1 = 2u1 - u2 + c, 3 c K = v1 − c = u − u − c , K = 2 +) Khi b ≠ 1: Ta có: un+1 - un = C1bn-1 + C2, n = 1,2,…Cũng từ toán Ta suy ra: un = C3 + C4 n + C5b n−1 , n = 1,2,… đó: C3 = u1 - C4 - C5, C = c + bu u + c  , C5 = u2 +  1− b b − 1 b −1  b) Nếu a + b ≠ -1: Đặt un = + λ, với λ = c , n = 1,2,… a + b +1 Từ công thức xác đinh dãy suy ra: v n+2 + avn+1 + bvn = 0, n = 1,2,…Từ theo mục Tìm suy un Cụ thể sau: c  n −1 n −1 C x + C x + , nÕu x + ax + b = cã nghiÖm x ≠ x 1 2  a + b +1  c  u n = (C + C n ) x 0n −1 + , nÕu x + ax + b = cã nghiÖm kÐp x a + b +1  n −1 c  b [C cos(n − 1)ϕ + C sin( n − 1)ϕ] + , nÕu x + ax + b = VN  a + b +1  ( ) ( cos ϕ = − 4b − a −∆ ) với , sin ϕ = = b b b a Mét sè bµi to¸n t×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè thêng gÆp C1 = u1x − u u − u1x1 u u 2u + au , C2 = , C = 2u − , C = − u , C = u , C = x − x1 x − x1 x0 x0 −∆ u = −1, u = Ví dụ Cho dãy số xác định:  u n + − 4u n +1 + u n = 5, n = 1,2, Tìm số hạng tổng quát dãy số (un) Giải: Đặt u n = v n − 5 5 , n = 1,2,… ⇒ v1 = u + = , v = u + = 2 2 Từ công thức xác định dãy suy ra: vn+2 – 4vn+1 + = 0, n = 1,2,… Phương trình đặc trưng x2 – 4x + = có nghiệm x = − 3, x = + , đó: v n = C1 (2 − ) n −1 + C (2 + ) n −1 , n = 1,2,… Khi n = n = 2, ta có:  9+  C + C = v = C1 =  12 ⇔  C (2 − ) + C ( + ) = v = C = − 2   12 Vậy: v n = 9+ 9− (2 − ) n −1 + (2 + ) n −1 , n = 1,2,… 12 12 Suy ra: u n = 9+ 9− (2 − ) n −1 + (2 + ) n −1 − , n = 1,2,… 12 12 u = 0, u = −1 Ví dụ Xét dãy:  u n +2 = 2u n +1 − 4u n + 6, n = 1,2, Tìm số hạng tổng quát dãy số (un) Giải: Đặt un = + 2, n = 1,2,… ⇒ v1 = u1 – = -2; v2 = u2 – = -3 Từ công thức xác định dãy suy ra: vn+2 = 2vn+1 – 4vn, n = 1,2,… Phương trình đặc trưng x2 = 2x – vô nghiệm (∆ = -12) Ta có: cos ϕ = − a b =− −2 −∆ π = , sin ϕ = = ⇒ϕ= 2 b Mét sè bµi to¸n t×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè thêng gÆp π π n −1 Do đó: v n = [C1 cos(n − 1) + C sin( n − 1) ] , n = 1,2,… 3 C1 = −2 C1 = v1 = −2   ⇔ Khi n = 1, n = ⇒  π π 2(C1 cos + C sin ) = v = −1 C =  Vậy: v n = n −1[−2 cos(n − 1) π π + sin( n − 1) ] , n = 1,2,… 3 Suy ra: u n = n −1[−2 cos(n − 1) π π + sin( n − 1) ] + , n = 1,2,… 3 u = u = Ví dụ Xét dãy:  u n + − 3u n +1 + 2u n = −1, n = 1,2, Tìm số hạng tổng quát dãy số (un) Giải: Từ cách xác định dãy suy ra: un+2 - un+1 - 2(un+1 - un) = -1 (*) Đặt un+1 – un = + 1, ∀n = 1,2,… ⇒ v1 = u2 - u1 -1 = -1 Từ (*) ⇒ vn+1 + - 2(vn + 1) = -1 ⇔ vn+1 = 2vn, ∀n = 1,2,… ⇒ (vn) cấp số nhân với công bội q = Ta có: với n = 2,3,… :un = (un - un-1 - 1) + (un-1 - un-2 - 1) +… + (u2 - u1 - 1) + u1 + (n-1) = vn-1 + vn-2 + … + v1 + n ⇒ u n = v1 n −1 − + n = − n −1 + n −1 Công thức n = Vậy: un = n + – 2n-1, n = 1,2,… u = u =  Ví dụ Xét dãy số (un):  u n + = u n +1 − u n , n = 1,2, Tìm số hạng tổng quát dãy số (un) Giải: Phương trình đặc trưng: x = x − 1 có nghiệm kép x = Do đó: Mét sè bµi to¸n t×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè thêng gÆp 1 un =   2 n −1 (C1 + C n ) , n = 1,2,… Trong C1, C2 xác định: C1 + C = u = n −1 C1 =  1 ⇔ Vậy: u n = n   , n = 1,2,… 1  2  (C1 + 2C ) = C = Bài toán u , u > cho tríc Cho dãy số (un) xác định bởi:  α β u n +2 = u n +1u n , n = 1,2, Tìm số hạng tổng quát dãy số (un) Giải: Từ công thức xác định dãy ta có un > ∀n = 1,2,… Ta có: ln u n + = α ln u n +1 + β ln u n , n = 1,2,… Đặt lnun = vn, ∀n = 1,2,… v1 = lnu1, v2 = lnu2 vn+2 = αvn+1 + βvn, n = 1,2,… Do đó: a) Nếu α2 + 4β > 0: Phương trình x2 = αx + β có nghiệm phân biệt x 1, x2 Khi v n = C1 x 1n −1 + C x n2 −1 , ∀n = 1,2,… đó: C1 = Từ suy ra: u n = ( e C1 ) x1n −1 ( e C2 ) x n2 −1 v1 x − v v − v1 x ,C2 = x − x1 x − x1 , ∀n = 1,2,… b) Nếu α2 + 4β = 0: Phương trình x2 = αx + β có nghiệm kép x = v n = (C + nC ) x 0n −1 , ∀n = 1,2,… đó: C = 2v1 − ( Từ suy ra: un = eC3 ) x0n−1 ( e C4 ) n x0n−1 v2 v , C = − v1 x0 x0 , ∀n = 1,2,… c) Nếu α2 + 4β < 0: Phương trình x2 = αx + β vô nghiệm Khi = ( −β ) n −1 [C cos(n − 1)ϕ + C sin( n − 1)ϕ] , n = 1,2,… α Khi Mét sè bµi to¸n t×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè thêng gÆp − α − 4β α −∆ cos ϕ = , sin ϕ = = đó: ; −β −β −β Từ suy ra: un = e ( − β )n−1 C5 cos( n −1)ϕ e( − β )n −1 C5 sin( n −1)ϕ , ∀n = 1,2,… u = 1, u = Ví dụ Cho dãy số (un) xác định bởi:  u n + = u n +1u n , n = 1,2, Tìm công thức số hạng tổng quát dãy (un) Giải α = β = 1 1 , phương trình x = x + có nghiệm x = − , x = 2 2  1 Do đó: v n = ln u n = C1  −   2 n −1 + C , Với C1, C2 xác định để phù hợp với C1 + C = C1 = − ln  ⇔ u1, u2 sau:  − C + C = ln C = ln  Vậy un = ( e )  1 C1  −    n −1   e C2 = 4.   4  1 −   2 n −1 , n = 1,2,… u = 1, u =  Ví dụ Cho dãy số (un) xác định bởi:  u 2n +1 u =  n + u , n = 1,2,  n Tìm un theo n Giải α = 2, β = -1, phương trình x2 = 2x - có nghiệm kép x0 = Do đó: v n = ln u n = C1 + C n , với C1, C2 xác định: C1 + C = C = − ln ⇔  C1 + 2C = ln C = ln 10 Mét sè bµi to¸n t×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè thêng gÆp n Vậy u n = e C1 ( e C2 ) = n = n −1 , n = 1,2,… u = 1, u =  Ví dụ Cho dãy số (un) xác định bởi:  u = , n = 1,2, n +  (u n +1u n )  Tìm công thức số hạng tổng quát un Giải α = β = -2 Phương trình x2 = -2x – vô nghiệm (∆ = -4) Ta có: cos ϕ = −2 3π =− , sin ϕ = = ⇒ϕ= 2 2 2 Do đó: v n = ln u n = ( 2) n −1 [C1 cos(n − 1) 3π 3π + C sin( n − 1) ] , với C1, C2 4 C1 = C =  ⇔ xác định:  3π 3π  (C1 cos + C sin ) = ln C = ln 3π n −1 Vậy u = ( ) sin( n −1) , n = 1,2,… n u = 1, u =  Ví dụ Cho dãy số (un) xác định bởi:  2u 2n +1 u = , n = 1,2,  n +2 u  n Tìm un theo n Giải Dãy có dạng 2), với C = ln2, α = 2, β = -1 (α + β = 1) Đặt lnun = vn, ∀n = 1,2,…ì v1 = lnu1 = 0, v2 = lnu2 = ln2 vn+2 = 2vn+1 - + ln2, n = 1,2,…vn+2 - vn+1 = vn+1 - + ln2 Đặt vn+1 - = wn , n = 1,2,…w1 = ln2 wn+1 = wn + ln2, ∀n = 1,2,…(wn) CSC công sai d = ln2 Ta có: = (vn - vn-1) + (vn-1 - vn-2) + ….v2 - v1) + v1 = = wn-1 + wn-2 + …w1 = n −1 n (n − 1) ln [ 2w + (n − 2)d] = , ∀n = 2,3,… 2 11 Mét sè bµi to¸n t×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè thêng gÆp Vậy u = e = n n ( n −1) , n = 1,2,… u = 1, u =  Ví dụ Cho dãy số (un) xác định bởi:  2u 2n u n +2 = u , n = 1,2,  n +1 Tìm un theo n Giải ta có C = ln2, α = -1, β = (α + β = 1) Đặt lnun = vn, ∀n = 1,2,…ì v1 = lnu1 = 0, v2 = lnu2 = ln2 vn+2 = -vn+1 + 2vn + ln2, n = 1,2,…vn+2 - vn+1 Đặt vn+1 – - ln ln = -2(vn+1 - ) 3 ln ln 2 ln = wn, n = 1,2,…w1 = v2 – v1 = và: 3 wn+1 = -2wn, n = 1,2,…(wn) CSN công bội q = -2 Ta có: = (vn - vn-1 - = wn-1 + wn-2 ln ln ln ln ) + (vn-1 - vn-2 )+ …+(v2 - v1 )+v1 + (n-1) 3 3 ln ln (−2) n −1 − + …w1 + (n - 1) = w + (n – 1) = 3 −3 ln 2 ln (−2) n −1 − + (n – 1) , n = 2,3,… 3 −3 Công thức n = Vậy = ln ln [1 − (−2) n −1 ] + (n − 1) , n = 1,2,… đó: un = e =2 1 [1−( −2 ) n −1 ]+ ( n −1) , ∀n = 1,2,… Trên số toán tìm số hạng tổng quát dãy số thường gặp chương trình toán THPT mà kết thực chất nghiệm riêng 12 Mét sè bµi to¸n t×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè thêng gÆp “Phương trình vi phân tuyến tính cấp cấp 2” toán học cao cấp trình giảng dạy cố gắng tìm hiểu trình bày lại ngôn ngữ toán học sơ cấp Mặc dù cố gắng điều kiện thời gian hiểu biết phương trình vi phân hạn chế dừng lại ứng dụng kết phương trình vi phân tuyến tính cấp cấp Hy vọng thời gian tới giải lớp toán rộng hơn, phong phú Rất mong nhận góp ý, giúp đỡ thầy, cô tổ Toán – Tin Trường THPT Vũ Quang 13 [...]... Trên đây là một số bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số thường gặp trong chương trình toán THPT mà kết quả của nó thực chất là một nghiệm riêng 12 Mét sè bµi to¸n t×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè thêng gÆp của Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 và cấp 2” trong toán học cao cấp và trong quá trình giảng dạy tôi đã cố gắng tìm hiểu và trình bày lại dưới ngôn ngữ toán học sơ cấp Mặc dù đã hết sức... gắng nhưng vì điều kiện thời gian và sự hiểu biết của tôi về phương trình vi phân còn hạn chế cho nên chỉ mới dừng lại ở ứng dụng kết quả của phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 và cấp 2 Hy vọng trong thời gian tới tôi có thể giải quyết được lớp bài toán rộng hơn, phong phú hơn Rất mong nhận được sự góp ý, giúp đỡ của các thầy, cô trong tổ Toán – Tin của Trường THPT Vũ Quang 13 ... u n = e C1 ( e C2 ) = 2 n = 2 n −1 , n = 1,2,… 2 u 1 = 1, u 2 = 2  1 Ví dụ 3 Cho dãy số (un) được xác định bởi:  u = , n = 1,2, n + 2  (u n +1u n ) 2  Tìm công thức số hạng tổng quát un Giải ở đây α = β = -2 Phương trình x2 = -2x – 2 vô nghiệm (∆ = -4) Ta có: cos ϕ = −2 2 4 2 3π =− , sin ϕ = = ⇒ϕ= 2 2 4 2 2 2 2 Do đó: v n = ln u n = ( 2) n −1 [C1 cos(n − 1) 3π 3π + C 2 sin( n − 1) ] , với C1,...  2 (C1 cos 4 + C 2 sin 4 ) = ln 2 C 2 = ln 2 3π n −1 Vậy u = 2 ( 2 ) sin( n −1) 4 , n = 1,2,… n u 1 = 1, u 2 = 2  Ví dụ 4 Cho dãy số (un) được xác định bởi:  2u 2n +1 u = , n = 1,2,  n +2 u  n Tìm un theo n Giải Dãy ở đây có dạng 2), với C = ln2, α = 2, β = -1 (α + β = 1) Đặt lnun = vn, ∀n = 1,2,…ì v1 = lnu1 = 0, v2 = lnu2 = ln2 và vn+2 = 2vn+1 - vn + ln2, n = 1,2,…vn+2 - vn+1 = vn+1 - vn +... sè bµi to¸n t×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè thêng gÆp Vậy u = e vn = 2 n n ( n −1) 2 , n = 1,2,… u 1 = 1, u 2 = 2  Ví dụ 5 Cho dãy số (un) được xác định bởi:  2u 2n u n +2 = u , n = 1,2,  n +1 Tìm un theo n Giải ở đây ta có C = ln2, α = -1, β = 2 (α + β = 1) Đặt lnun = vn, ∀n = 1,2,…ì v1 = lnu1 = 0, v2 = lnu2 = ln2 và vn+2 = -vn+1 + 2vn + ln2, n = 1,2,…vn+2 - vn+1 Đặt vn+1 – vn - ln 2 ln 2 = ... phân tuyến tính cấp cấp 2” toán học cao cấp trình giảng dạy cố gắng tìm hiểu trình bày lại ngôn ngữ toán học sơ cấp Mặc dù cố gắng điều kiện thời gian hiểu biết phương trình vi phân hạn chế dừng... Trên số toán tìm số hạng tổng quát dãy số thường gặp chương trình toán THPT mà kết thực chất nghiệm riêng 12 Mét sè bµi to¸n t×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè thêng gÆp Phương trình vi phân tuyến... Loại Dựa vào phương trình Vi phân tuyến tính cấp Bài toán u1 cho tr íc  u n +1 = un + d Cho dãy số (un) xác định bởi:  (1) Tìm số hạng tổng quát dãy số (un) Lời giải Dãy số (u n) cấp số cộng