Về một số bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LƯƠNG DUY NHẬT MINH VỀ MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH NGUỒN CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Nghệ An – 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LƯƠNG DUY NHẬT MINH VỀ MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH NGUỒN CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CHUN NGÀNH: TỐN GIẢI TÍCH MÃ SỐ: 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS NGUYỄN VĂN ĐỨC TS NGUYỄN TRUNG THÀNH Nghệ An – 2021 MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Một số ký hiệu thường dùng luận án Lời nói đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 24 1.1 Một số kiến thức Giải tích 24 1.2 Một số kiến thức nửa nhóm tốn tử tuyến tính bị chặn 1.3 Bài tốn đặt khơng chỉnh 30 35 1.4 Phương pháp chỉnh hóa làm nhuyễn 38 Chương Bài tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian 42 2.1 Giới thiệu toán 42 2.2 Đánh giá ổn định 49 2.3 Chỉnh hóa toán xác định nguồn 51 2.4 Thuật tốn ví dụ số 63 2.5 Kết luận Chương 72 Chương Bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic bậc phân theo biến thời gian khơng gian 73 3.1 Giới thiệu toán 73 3.2 Đánh giá ổn định 75 3.3 Chỉnh hóa tốn xác định nguồn 79 3.4 Thuật toán ví dụ số 88 3.5 Kết luận Chương 97 Chương Bài tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic khơng gian Banach 98 4.1 Giới thiệu tốn 98 4.2 Chỉnh hóa tốn xác định nguồn 100 4.3 Thuật tốn ví dụ số 114 4.4 Kết luận Chương 118 Kết luận chung kiến nghị 119 Danh mục cơng trình NCS có liên quan đến luận án 121 Tài liệu tham khảo 122 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình khoa học riêng tơi Luận án hoàn thành Trường Đại học Vinh, hướng dẫn khoa học PGS TS Nguyễn Văn Đức TS Nguyễn Trung Thành Các đồng tác giả đồng ý để đưa kết viết chung vào luận án Các nội dung, kết quả, kết luận mà tơi trình bày luận án chưa công bố cơng trình khoa học khác Tác giả Lương Duy Nhật Minh LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến người Thầy mình: PGS TS Nguyễn Văn Đức (Viện sư phạm Tự nhiên, Trường Đại học Vinh) TS Nguyễn Trung Thành (Giáo sư Đại học Rowan, Hoa Kỳ) người đặt toán, định hướng nghiên cứu cho tác giả Trong suốt trình học tập nghiên cứu, Thầy ln nhiệt tình tận tâm dạy cho tác giả nhiều điều, hướng dẫn khoa học Thầy giáo PGS TS Nguyễn Văn Đức Thầy giáo TS Nguyễn Trung Thành, luận án hoàn thành Trường Đại học Vinh Tác giả xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô Bộ mơn Giải tích, Viện Sư phạm Tự nhiên, Phịng đào tạo Sau đại học phòng ban chức Trường Đại học Vinh tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu sinh Tác giả xin tỏ lòng biết ơn tới gia đình, đồng nghiệp người bạn thân thiết sẻ chia, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả Lương Duy Nhật Minh MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN TT Các ký hiệu Giải thích ý nghĩa ký hiệu Lp ( Rn ) Khơng gian hàm có lũy thừa bậc p khả tích Rn , p = 1, 2 · L2 F(v) := v F−1 (v) := v ˇ H p ( Rn ) · Hp ||| · |||q k∗f Dν 10 Sν (g) 11 Mη,2 (Rn ) 12 13 14 15 16 ∂α ∂tα Eα,β , Eα,1 Rn ∆ N∗ , R∗ Chuẩn không gian L2 (Rn ) Phép biến đổi Fourier hàm v ∈ L2 (Rn ) Phép biến đổi Fourier ngược hàm v ∈ L2 (Rn ) Không gian Sobolev H p (Rn ) Chuẩn không gian Sobolev H p (Rn ) Chuẩn ||| · |||q không gian Sobolev H p (Rn ) Tích chập hàm k f Nhân Dirichlet Sν (g)(x) := π n (Dν ∗ g)(x) Tập hợp hàm nguyên dạng mũ η theo biến x ∈ Rn thuộc L2 (Rn ) Đạo hàm bậc phân Caputo với bậc α ∈ (0, 1) Hàm Mittag–Leffler Không gian thực n-chiều Toán tử Laplace Tập số nguyên dương tập số thực dương LỜI NÓI ĐẦU Lý chọn đề tài Bài toán xác định nguồn phương trình parabolic nhà khoa học quan tâm nghiên cứu từ năm 60 kỉ 20 Các nhà tốn học có cơng trình tốn xác định nguồn kể Cannon ([13, 14, 17]), Đinh Nho Hào ([51, 52]), Đặng Đức Trọng ([120, 121]), Hasanov ([55, 56]), Isakov ([63]), Li ([79, 80, 81, 82], Savateev ([107]), Prilepko ([99], [103]), Yang Fu ([27, 133]), Bài toán kể thường đặt không chỉnh theo nghĩa Hadamard ([45, 65]) Một toán gọi đặt chỉnh theo nghĩa Hadamard thỏa mãn ba điều kiện sau: i) Nghiệm tốn ln tồn ii) Nghiệm toán iii) Nghiệm phụ thuộc liên tục vào liệu toán Nếu ba điều kiện không thỏa mãn, tốn gọi đặt khơng chỉnh Với tốn đặt khơng chỉnh, sai số nhỏ liệu dẫn đến sai lệch lớn nghiệm Do đó, tốn đặt khơng chỉnh thường khó giải số tốn đặt chỉnh liệu sử dụng tốn thường tạo đo đạc nên không tránh khỏi có sai số Hơn nhiều tính tốn thực gần Để giải tốn đặt khơng chỉnh, nhà khoa học thường đề xuất phương pháp chỉnh hóa, tức sử dụng nghiệm toán đặt chỉnh để làm nghiệm xấp xỉ cho tốn đặt khơng chỉnh ban đầu Các nghiên cứu toán xác định nguồn phương trình parabolic thường tập trung vào ba chủ đề là: i) Tính nghiệm ([3, 5, 13, 20, 21, 59, 63, 64, 86, 99, 103]) ii) Tính ổn định nghiệm ([3, 5, 28, 31, 49, 50, 64, 71, 79, 86, 125, 134, 139]) iii) Các phương pháp chỉnh hóa phương pháp giải số ([19, 27, 28, 32, 33, 48, 51, 52, 54, 55, 58, 94, 99, 129, 134, 135]) Đã có nhiều cơng trình nghiên cứu tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic mơ hình tốn học toán thực tiễn xác định nguồn nhiệt phương trình truyền nhiệt ([14, 25, 27, 120]), xác định nguồn ô nhiễm nước, ô nhiễm không khí ([1, 80, 81, 82, 126, 140]), Hiện có nhiều vấn đề mở liên quan đến tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic cần nghiên cứu, kết đánh giá ổn định chỉnh hóa cho trường hợp phương trình có hệ số phụ thuộc thời gian chưa nghiên cứu cách đầy đủ, có vài kết tính nghiệm dạng tốn đưa [25, 111] Hướng nghiên cứu tốn xác định nguồn phương trình parabolic bậc phân nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học ([5, 6, 53, 69, 70, 75, 87, 110, 127, 128, 134, 135]) Tuy nhiên, hầu hết kết kể dành cho phương trình parabolic bậc phân theo biến thời gian theo biến khơng gian, có kết dành cho phương trình parabolic bậc phân theo biến khơng gian thời gian ([3, 5, 69, 124]) Về kết đánh giá ổn định chỉnh hóa cho tốn xác định nguồn phương trình parabolic khơng gian Banach, theo tìm kiếm chúng tơi, có số kết cơng trình Prilepko, Piskarev, Shaw ([101]), Hasanov ([57]) Schuster, Kaltenbacher, Hofmann, Kazimierski ([109]) Với lý trên, chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: "Về số tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic" Mục đích nghiên cứu Luận án nghiên cứu số tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic, tập trung vào ba chủ đề: Thứ nhất, đưa đánh giá ổn định Thứ hai, chúng tơi đề xuất phương pháp chỉnh hóa Thứ ba, chúng tơi thiết lập thuật tốn, lập trình đưa ví dụ số để minh họa cho phương pháp chỉnh hóa đề xuất luận án Đối tượng nghiên cứu Luận án nghiên cứu toán xác định nguồn 03 trường hợp: i) Phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian không gian Hilbert L2 (Rn ); ii) Phương trình parabolic bậc phân theo biến khơng gian thời gian không gian Hilbert L2 (Rn ); iii) Phương trình parabolic khơng gian Banach Phạm vi nghiên cứu Chúng nghiên cứu đánh giá ổn định, phương pháp chỉnh hóa phương pháp số để giải toán xác định nguồn cho: phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian khơng gian Hilbert L2 (Rn ); phương trình parabolic bậc phân theo biến không gian thời gian khơng gian Hilbert L2 (Rn ); phương trình parabolic không gian Banach Phương pháp nghiên cứu Đây đề tài thuộc lĩnh vực khoa học chun ngành Tốn Giải tích Tốn Ứng dụng Do đó, chúng tơi chủ yếu sử dụng phương pháp suy luận lôgic sở kết có Đồng thời chúng tơi sử dụng phương pháp số để giải toán xác định nguồn Ý nghĩa khoa học thực tiễn Luận án góp phần làm phong phú thêm kết nghiên cứu lĩnh vực toán ngược toán xác định nguồn cho phương trình parabolic Luận án đạt số kết đánh giá ổn định, đề xuất phương pháp chỉnh hóa phương pháp số để giải toán xác định nguồn cho phương trình parabolic Luận án tài liệu tham khảo cho học viên cao học, nghiên cứu sinh chuyên ngành Tốn Giải tích, Tốn Ứng dụng người quan tâm đến hướng nghiên cứu Tổng quan cấu trúc luận án 7.1 Tổng quan số vấn đề liên quan đến luận án Để tiện cho việc giới thiệu kết nghiên cứu liên quan đến tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic, chúng tơi lấy ví dụ cụ thể phương trình parabolic tuyến tính khơng gian Hilbert Cho T số thực dương, X không gian Hilbert với chuẩn · , u : [0, T ] → X hàm từ [0, T ] đến X F ∈ X Ta xét toán giá trị ban đầu  u′ (t) + Au(t) = F, t ∈ (0, T ), u(0) = 0, (1) A tốn tử tuyến tính khơng bị chặn X Bài toán (1) 120 Nghiên cứu tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic không gian Banach đạt - Phương pháp làm nhuyễn khơng sử dụng để chỉnh hóa tốn này, chúng tơi đề xuất phương pháp chỉnh hóa dựa lý thuyết nửa nhóm để chỉnh hóa tốn, đạt đánh giá sai số kiểu Hăolder cho nghim chnh húa s dng c lut chn tham số chỉnh hóa kiểu tiên nghiệm hậu nghiệm - Đề xuất thuật tốn trình bày ví dụ số Kiến nghị Trong thời gian tới, quan tâm vấn đề sau: Nghiên cứu đánh giá ổn định, phương pháp chỉnh hóa, phương pháp số giải toán xác định nguồn cho phương trình parabolic khơng gian Banach với hệ số phụ thuộc thời gian, hệ số có dạng phức tạp hơn, với đo đạc biên, với đo đạc miền Nghiên cứu đánh giá ổn định, phương pháp chỉnh hóa, phương pháp số giải tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic bậc phân với trường hợp hệ số phụ thời gian, hệ số có dạng phức tạp hơn, với đo đạc biên, với đo đạc miền 121 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH CỦA NGHIÊN CỨU SINH CÓ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN Nguyen Van Duc, Luong Duy Nhat Minh and Nguyen Trung Thanh (2020), "Identifying an unknown source term in a heat equation with time-dependent coefficients", Inverse Problems in Science and Engineering https://doi.org/10.1080/17415977.2020.1798421 (SCIE, IF: 1.314) Nguyen Van Duc, Nguyen Van Thang, Luong Duy Nhat Minh and Nguyen Trung Thanh (2020), "Identifying an unknown source term of a parabolic equation in Banach spaces", Applicable Analysis https://doi.org/10.1080/00036811.2020.1800650 (SCIE, IF: 1.107) Nguyen Van Thang, Nguyen Van Duc, Luong Duy Nhat Minh and Nguyen Trung Thanh (2021), "Identifying an unknown source term in a time-space fractional parabolic equation", Applied Numerical Mathematics, 166, 313-332 https://doi.org/10.1016/j.apnum.2021.04.016 (SCIE, IF: 1.979) 122 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Abderrezzak K E K., Ata R and Zaoui F (2015), "One-dimensional numerical modelling of solute transport in streams, The role of longitudinal dispersion coefficient", J Hydrol., 527, 978–989 [2] Ames K A and Hughes R J (2005), "Structural stability for ill-posed problems in Banach spaces", Semigr Forum, 70, 127–145 [3] Ali M., Aziz S and Malik S A (2018), "Inverse problem for a space-time fractional diffusion equation: Application of fractional Sturm-Liouville operator", Math Meth Appl Sci., 41(7), 2733–2747 [4] Ali M., Aziz S and Malik S A (2018), "Inverse source problems for a space–time fractional diffusion equation", Fract Calc Appl Anal., 21(3), 844–863 [5] Ali M., Aziz S and Malik S A (2019), "Inverse source problems for a space–time fractional differential equation", Inverse Probl Sci Eng., 28(1), 47–68 [6] Allen M., Caffarelli L and Vasseur A (2016), "A parabolic problem with a fractional time derivative", Arch Ration Mech Anal, 221(2), 603–630 [7] Anh P K (2007), Bài tốn đặt khơng chỉnh, Đại Học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội, Việt Nam [8] Anh C T Kế T.Đ (2016), Nửa nhóm tốn tử tuyến tính ứng dụng, Nhà xuất Đại học Sư phạm, Hà Nội, Việt Nam [9] Barkai E., Metzler R and Klafter J (2000), "From continuous time random walks to the fractional Fokker-Planck equation", Phys Rev E, 61(1), 132–138 123 [10] Bas E and Ozarslan R (2018), "Real world applications of fractional models by Atangana–Baleanu fractional derivative", Chaos Solitions Fract., 116, 121–125 [11] Baumeister J (1987), "Stable Solution of Inverse Problems", Vieweg+Teubner Verlag [12] Caffarelli L A., Salsa S and Silvestre L (2007), "Regularity estimates for the solution and the free boundary of the obstacle problem for the fractional Laplacian", Invent Math., 171(2), 425–461 [13] Cannon J R (1968), "Determination of an Unknown Heat Source from Overspecified Boundary Data", SIAM J Numer Anal., 5, 275–286 [14] Cannon J R (1980), "An inverse problem for an unknown source in a heat equation", J Math Anal Appl., 75, 465–485 [15] Cannon J R (1990), "Some stability estimates for a heat source in terms of overspecified data in the 3-d heat equation", J Math Anal Appl., 147, 363–371 [16] Cannon J R and DuChateau P (1998), "Structural identification of an unknown source term in a heat equation", Inverse Probl., 14(3), 535–551 [17] Cannon J R and Ewing R E (1976), "Determination of a source term in a linear parabolic partial differential equation", Z Angew Math Phys., 27, 393–401 [18] Chaves A (1998), "A fractional diffusion equation to describe Lévy flights", Phys Lett A, 239(1-2), 13–16 [19] Cheng H and Fu C.-L (2012), "An iteration regularization for a timefractional inverse diffusion problem", Appl Math Model., 36(11), 5642– 5649 [20] Cheng J., Nakagawa J., Yamamoto M and Yamazaki T (2009), "Uniqueness in an inverse problem for a one-dimensional fractional diffusion equation", Inverse Probl., 25(11) 124 [21] Cheng J and Liu J (2020), "An inverse source problem for parabolic equations with local measurements", Appl Math Lett., 103 [22] Cheng W., Zhao L.-L and Fu C.-L (2010), "Source term identification for an axisymmetric inverse heat conduction problem", Comput Math Appl., 59, 142–148 [23] de Laubenfels R (1989), "Functional calculus for generators of uniformly bounded holomorphic semigroups", Semigroup Forum, 38(1), 91–103 [24] Denisov A M (1999), Elements of the Theory of Inverse Problems, De Gruyter [25] D’haeyer S., Johansson B T and Slodiˇcka M (2014), "Reconstruction of a spacewise-dependent heat source in a time-dependent heat diffusion process", IMA J Appl Math., 79(1), 33–53 [26] Diethelm K (2004), The Analysis of Fractional Differential Equations, Springer, Heidelberg – Dordrecht – London – New York [27] Dou F.-F., Fu C.-L and Yang F (2009), "Identifying an unknown source term in a heat equation", Inverse Probl Sci Eng., 17, 901–913 [28] Dou F.-F., Fu C.-L and Yang F.-L (2010), "Optimal error bound and Fourier regularization for identifying an unknown source in the heat equation", J Comput Appl Math., 230(2), 728–737 [29] Đức N V (2011), Phương trình parabolic ngược thời gian, Luận án Tiến sĩ, Đại học Vinh, Nghệ An, Việt Nam [30] Duc N V (2017), "An a posteriori mollification method for the heat equation backward in time", J Inverse Ill-Posed Probl., 25(4), 403–422 [31] Duc N V and Thang N V (2017), "Stability results for semi-linear parabolic equations backward in time", Acta Math Vietnam., 42, 99– 111 [32] Duc N V., Minh L D N and Thành N T (2020), "Identifying an unknown source term in a heat equation with time-dependent coefficients", Inverse Probl Sci Eng 125 [33] Duc N V., Thang N V., Minh L D N and Thành N T (2020), "Identifying an unknown source term of a parabolic equation in Banach spaces", Appl Anal [34] Duchon J (1977), Splines minimizing rotation-invariant semi-norms in Sobolev spaces in Constructive Theory of Functions of Several Variables, Springer Berlin Heidelberg [35] Eidelman Y S (1984), Boundary value problems for differential equations with parameters, PhD thesis, Voronezh State University [36] Eidelman Y S (1991), "An inverse problem for an evolution equation", Mat Zametki, 49(5), 135–141, 160 [37] Engel K and Nagel R (1999), One-Parameter Semigroups For Linear Evolution Equations, Springer [38] Engl H W., Hanke M and Neubauer A (1996), Regularization of Inverse Problems, Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht [39] Friedman A (1976), Partial Differential Equations, Robert E Krieger Publishing Co., Huntington, N.Y [40] Friedrichs K O (1944), "The identity of weak and strong extensions of differential operators", Trans Amer Math Soc., 55(1), 132–151 [41] Gao W., Ghanbari B and Baskonus H M (2019), "New numerical simulations for some real world problems with Atangana–Baleanu fractional derivative", Chaos Solitions Fract., 128, 34–43 [42] Garrappa R (2015), "Numerical evaluation of two and three parameter Mittag–Leffler functions", SIAM J Num Anal., 53(3), 1350–1369 [43] Gu Y., Lei J., Fan C.-M and He X.-Q (2018), "The generalized finite difference method for an inverse time-dependent source problem associated with three-dimensional heat equation", Eng Anal Bound Elem., 91, 73–81 [44] Guidetti D (2012), "Determining the source term in an abstract parabolic problem from a time integral of the solution", Mediterr J Math., 9(4), 611–633 126 [45] Hadamard J (1923), Lectures on the Cauchy’s Problem in Linear Partial Differential Equations, Yale University Press, New Haven [46] Hào D N (1994), "A mollification method for ill-posed problems", Numer Math., 68(4), 469–506 [47] Hào D N (1996), "A mollification method for a noncharacteristic Cauchy problem for a parabolic equation", J Math Anal Appl., 199(3), 873–909 [48] Hào D N (1998), Methods for Inverse Heat Conduction Problems, Peter Lang, Frankfurt am Main [49] Hào D N and Duc N V (2009), "Stability results for the heat equation backward in time", J Math Anal Appl., 353(2), 627–641 [50] Hào D N and Duc N V (2011), "Stability results for backward parabolic equations with time-dependent coefficients", Inverse Probl., 27 [51] Hào D N., Thanh P X., Lesnic D and Ivanchov M (2014), "Determination of a source in the heat equation from integral observations", J Comput Appl Math., 264, 82–98 [52] Hào D N., Huong B V., Oanh N T N and Thanh P X (2017), "Determination of a term in the right-hand side of parabolic equations", J Comput Appl Math., 309, 28–43 [53] Hào D N., Liu J., Duc N V and Thang N V (2019), "Stability results for backward time-fractional parabolic equations", Inverse Probl., 35(12) [54] Hasanov A., Otelbaev M and Akpayev B (2011), "Inverse heat conduction problems with boundary and final time measured output data", Inverse Probl Sci Eng., 19(7), 985–1006 [55] Hasanov A (2012), "Identification of spacewise and time dependent source terms in 1d heat conduction equation from temperature measurement at a final time", Int J Heat Mass Transf., 55, 2069–2080 127 [56] Hasanov A and Pektas B (2013), "Identification of an unknown timedependent heat source term from overspecified Dirichlet boundary data by conjugate gradient method", Comput Math Appl., 65, 42–57 [57] Hasanov A and Slodiˇcka M (2013), "An analysis of inverse source problems with final time measured output data for the heat conduction equation: A semigroup approach", Appl Math Lett., 26(2), 207–214 [58] Hasanov A and Mukanova B (2015), "Relationship between representation formulas for unique regularized solutions of inverse source problems with final overdetermination and singular value decomposition of inputoutput operators", IMA J Appl Math., 80(3), 676–696 [59] Hazanee A., Lesnic D., Ismailov M I and Kerimov N (2019), "Inverse time-dependent source problems for the heat equation with nonlocal boundary conditions", Appl Math Comput., 346, 800–815 [60] Hetrick B M C and Hughes R J (2007), "Continuous dependence results for inhomogeneous ill-posed problems in Banach space", J Math Anal Appl., 331, 342–357 [61] Huang Y and Zheng Q (2004), "Regularization for ill-posed Cauchy problems associated with generators of analytic semigroups", J Differ Equ., 203(1), 38–54 [62] Huang Y (2008), "Modified quasi-reversibility method for final value problems in Banach spaces", J Math Anal Appl., 340, 757–769 [63] Isakov V (1990), Inverse Source Problems, American Mathematical Society, Providence, RI [64] Isakov V (1993), "Uniqueness and stability in multi-dimensional inverse problems", Inverse Probl., 9(6), 579–621 [65] Isakov V (2006), Inverse Problems for Partial Differential Equations, Springer-Verlag [66] Iskenderov A D and Tagiev R G (1979), "The inverse problem on the determination of right sides of evolution equations in Banach space", Nauchn Tr., Azerb Gos Univ., 1, 51–56 128 [67] Ismailov M I., Kanca F and Lesnic D (2011), "Determination of a timedependent heat source under nonlocal boundary and integral overdetermination conditions", Appl Math Comput., 218(8), 4138–4146 [68] Ismailov M I (2018), "Inverse source problem for heat equation with nonlocal Wentzell boundary condition", Results Math., 73(2) [69] Jia J., Peng J and Yang J (2017), "Harnack’s inequality for a spacetime fractional diffusion equation and applications to an inverse source problem", Int J Differ Equ., 262(8), 4415–4450 [70] Jin B., Lazarov R., Pasciak J and Zhou Z (2014), "Error analysis of a finite element method for the space-fractional parabolic equation", SIAM J Numer Anal, 52(5), 2272–2294 [71] Jin B., Lazarov R and Zhou Z (2013), "Error estimates for a semidiscrete finite element method for fractional order parabolic equations", SIAM J Numer Anal, 51(1), 445–466 [72] Johansson, T and Lesnic, D (2007), "Determination of a spacewise dependent heat source", J Comput Appl Math, 209, 66–80 [73] Muscat J (2014), Functional Analysis: An Introduction to Metric Spaces, Hilbert Spaces, and Banach Algebras, Springer International Publishing [74] Kaashoek M A (1964), Closed Linear Operators On Banach Spaces, PhD Thesis, University of Leiden, Amsterdam [75] Khorshidi M N., Yousefi S A and Firoozjaee M A (2016), "Determination of an unknown source term for an inverse source problem of the time-fractional equation", Asia Eur J Math, 10(02) [76] Kilbas A A., Srivastava H M and Trujillo J J (2006), Theory and Applications of Fractional Differential Equations, Elsevier [77] Kirsch A (2011), An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems, Springer New York [78] Krein S.G (1971), Linear Differential Equations in Banach Space, American Mathematical Society, Providence, RI 129 [79] Li G (2006), "Data compatibility and conditional stability for an inverse source problem in the heat equation", Appl Math Comput., 173(1), 566–581 [80] Li G., Liu J., Fan X and Ma Y (2008), "A new gradient regularization algorithm for source term inversion in 1d solute transportation with final observations", Appl Math Comput., 196(2), 646–660 [81] Li G S., Tan Y J., Cheng J and Wang X Q (2006), "Determining magnitude of groundwater pollution sources by data compatibility analysis", Inverse Probl Sci Eng., 14(3), 287–300 [82] Li K., Zhang L., Li Y., Zhang L and Wang X (2015), "A threedimensional water quality model to evaluate the environmental capacity of nitrogen and phosphorus in Jiaozhou Bay, China", Mar Pollut., 91(1), 306–316 [83] Li Y S and Wei T (2018), "An inverse time-dependent source problem for a time–space fractional diffusion equation", Appl Math Comput., 336, 257–271 [84] Lindenstrauss J and Tzafriri L (1996), Classical Banach Spaces I, Springer Berlin Heidelberg [85] Liu J and Yamamoto M (2010), "A backward problem for the timefractional diffusion equation", Appl Anal., 89(11), 1769–1788 [86] Liu J J., Yamamoto M and Yan L L (2015), "On the reconstruction of unknown time-dependent boundary sources for time fractional diffusion process by distributing measurement", Inverse Probl., 32(1) [87] Liu Y., Li Z and Yamamoto M (2019), "Inverse problems of determining sources of the fractional partial differential equations", In Kochubei A and Luchko Y editors, Fractional Differential Equations, 411–430 [88] Ma Y.-J., Fu C.-L and Zhang Y.-X (2012), "Identification of an unknown source depending on both time and space variables by a variational method", Appl Math Model., 36(10), 5080–5090 130 [89] McLean W (2000), Strongly Elliptic Systems and Boundary Integral Equations, Cambridge University Press [90] Metzler R and Klafter J (2000), "The random walk's guide to anomalous diffusion, a fractional dynamics approach", Phys Rep., 339(1), 1–77 [91] Murio D A (1989), The mollification method and the numerical solution of the inverse heat conduction problem by finite differences", Comput Math Appl., 17, 1385–1396 [92] Nguyen P M and Nguyen L H (2020), "A numerical method for an inverse source problem for parabolic equations and its application to a coefficient inverse problem", J Inverse Ill-Posed Probl., 28(3), 323–339 [93] Nikol’skii S (1975), Approximation of Functions of Several Variables and Imbedding Theorems, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York [94] Oanh N T N and Huong B V (2016), "Determination of a timedependent term in the right-hand side of linear parabolic equations", Acta Math Vietnam., 41, 313–335 [95] Payne L E (1975), Improperly Posed Problems in Partial Differential Equations, SIAM, Philadelphia [96] Pazy A (1983), Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, volume 44 of Applied Mathematical Sciences, Springer, New York [97] Podlubny I (1999), Fractional Differential Equations, An Introduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, to Methods of Their Solution and Some of Their Applications, volume 198 of Mathematics in Science and Engineering, Academic Press [98] Prilepko A I and Tikhonov I V (1994), "Reconstruction of the inhomogeneous term in an abstract evolution equation", Izv Ross Akad Nauk Ser Mat., 58(2), 167–188 [99] Prilepko A., Orlovsky D and Vasin I (2000), Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics, Marcel Dekker, Inc., New York 131 [100] Prilepko A I and Tkachenko D S (2003), "The Fredholm property of the inverse source problem for parabolic systems", Differ Uravn., 39(12), 1693–1700, 1727 [101] Prilepko A., Piskarev S and Shaw S.-Y (2007), "On approximation of inverse problem for abstract parabolic differential equations in Banach spaces", J Inverse Ill-Posed Probl., 15(8), 831–851 [102] Prilepko A I., Kostin A B and Solov’ev V V (2017), "Inverse problems on finding the source and coefficients for elliptic and parabolic equations in Hăolder and Sobolev spaces", Sib Zh Chist Prikl Mat., 17(3), 67–85 [103] Prilepko A I., Kamynin V L and Kostin A B (2018), "Inverse source problem for parabolic equation with the condition of integral observation in time", J Inverse Ill-posed Probl., 26(4), 523–539 [104] Qureshi S and Yusuf A (2019), "Modeling chickenpox disease with fractional derivatives, From caputo to Atangana-Baleanu", Chaos Solitions Fract., 122, 111–118 [105] Rundell W (1980), "Determination of an unknown nonhomogeneous term in a linear partial differential equation from overspecified boundary data", Appl Anal., 10(3), 231–242 [106] Sakamoto K and Yamamoto M (2011), "Initial value/boundary value problems for fractional diffusion-wave equations and applications to some inverse problems", J Math Anal Appl., 382(1), 426–447 [107] Savateev E G (1995), "On problems of determining the source function in a parabolic equation", J Inverse Ill-Posed Probl., 3(1), 83–102 [108] Scalas E., Gorenflo R and Mainardi F (2000), "Fractional calculus and continuous-time finance", Physica A Stat Mech Appl., 284(1-4), 376–384 [109] Schuster T., Kaltenbacher B., Hofmann B and Kazimierski K S (2012), Regularization methods in Banach spaces, volume 10 of Radon Series on Computational and Applied Mathematics, Walter de Gruyter GmbH & Co KG, Berlin 132 [110] Shayegan A H S., Tajvar R B., Ghanbari A., and Safaie A (2019), "Inverse source problem in a space fractional diffusion equation from the final overdetermination", Appl Math., 64(4), 469–484 [111] Slodiˇcka M and Johansson B T (2016), "Uniqueness and counterexamples in some inverse source problems", Appl Math Lett., 58, 56–61 [112] Tartar L (2007), An Introduction to Sobolev Spaces and Interpolation Spaces, Springer-Verlag Berlin [113] Tartar S and Ulusoy S (2013), "A uniqueness result for an inverse problem in a space-time fractional diffusion equation", Electron J Differ Equ., 2013(258),1–9 [114] Tartar S and Ulusoy S (2014), "An inverse source problem for a one-dimensional space–time fractional diffusion equation", Appl Anal., 94(11), 2233–2244 [115] Tautenhahn U (1998), "Optimality for ill-posed problems under general source conditions", Numer Funct Anal Optim., 19(3-4), 377–398 [116] Tikhonov I V and Eidelman Y S (2000), "Uniqueness of the solution of a two-point inverse problem for an abstract differential equation with an unknown parameter", Differ Uravn., 36(8), 1132–1133, 1151 [117] Tikhonov I V and Eidelman Y S (2005), "A uniqueness criterion in an inverse problem for an abstract differential equation with a nonstationary inhomogeneous term", Mat Zametki, 77(2), 273–290 [118] Thang N V., Duc N V., Minh L D N and Thành N T (2021), "Identifying an unknown source term in a time-space fractional parabolic equation", Appl Numer Math., 166, 313–332 [119] Trong D D., Long N T and Dinh A P N (2005), "Non-homogeneous heat equation, Identification and regularization for the inhomogeneous term", J Math Anal Appl., 312, 94–104 [120] Trong D D., Quan P and Dinh A P N (2006), "Determination of a two-dimensional heat source, Uniqueness, regularization and error estimate", Comput Math Appl., 191, 50–67 133 [121] Trong D D., Dinh A P N and Nam P T (2009), "Determine the spatial term of two-dimensional heat source", Appl Anal., 88, 457–474 [122] Trong D D., Hai D N D and Minh N D (2019), "Optimal regularization for an unknown source of space-fractional diffusion equation", Appl Math Comput., 349, 184–206 [123] Tụy H (2005), Hàm thực Giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội, Việt Nam [124] Tuan N H and Long L D (2017), "Fourier truncation method for an inverse source problem for space-time fractional diffusion equation", Electron J Differ Equ., 2017(122), 1–16 [125] Vessella S (1997), "Stability estimates in an inverse problem for a three-dimensional heat equation", SIAM J Math Anal., 28(6), 1354– 1370 [126] Wang S and Shen Y (2005), "Three high-order splitting schemes for 3D transport equation", Appl Math Mech (English Ed.), 26(8), 1007– 1016 [127] Wei T and Zhang Z (2013), "Reconstruction of a time-dependent source term in a time-fractional diffusion equation", Eng Anal Bound Elem., 37(1), 23–31 [128] Wei T and Wang J (2014), "A modified quasi-boundary value method for an inverse source problem of the time-fractional diffusion equation", Appl Numer Math., 78, 95–111 [129] Xiong X and Wang J (2012), "A Tikhonov-type method for solving a multidimensional inverse heat source problem in an unbounded domain", J Comput Appl Math., 236(7), 1766–1774 [130] Yamamoto M (1993), "Conditional stability in determination of force terms of heat equation in a rectangle", Math Computer Model., 18(1), 79–88 134 [131] Yang F and Fu C.-L (2010), "The method of simplified Tikhonov regularization for dealing with the inverse time-dependent heat source problem", Comput Math Appl., 60(5), 1228–1236 [132] Yang F and Fu C.-L (2014), "A mollification regularization method for the inverse spatial-dependent heat source problem", J Comput Appl Math., 255, 555–567 [133] Yang F., Fu C.-L and Li X.-X (2014), "A mollification regularization method for unknown source in time-fractional diffusion equation", Int J Comput Math, 91(7), 1516–1534 [134] Yang F., Fu C.-L and Li X.-X (2015), "The inverse source problem for time-fractional diffusion equation, stability analysis and regularization", Inverse Probl Sci Eng., 23(6), 969–996 [135] Yang F and Fu C.-L (2015), "The quasi-reversibility regularization method for identifying the unknown source for time fractional diffusion equation", Appl Math Model., 39(5-6), 1500–1512 [136] Yang F., Fu C.-L and Li X.-X (2016), "A mollification regularization method for identifying the time-dependent heat source problem", J Eng Math., 100(1), 67–80 [137] Yi Z and Murio D (2004), "Identification of source terms in 2-d IHCP", Comput Math Appl., 47(10-11), 1517–1533 [138] Yi Z and Murio D (2005), "Source term identification in 1-d IHCP", Comput Math Appl., 47(12), 1921–1933 [139] Yuste S B and Acedo L (2005), "An Explicit Finite Difference Method and a New von Neumann-Type Stability Analysis for Fractional Diffusion Equations", SIAM J Numer Anal., 42(5), 1862–1874 [140] Zhang S and Xin X (2016), "Pollutant source identification model for water pollution incidents in small straight rivers based on genetic algorithm", Appl Water Sci., 7(4), 1955–1963 ... vực toán ngược tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic Luận án đạt số kết đánh giá ổn định, đề xuất phương pháp chỉnh hóa phương pháp số để giải toán xác định nguồn cho phương trình parabolic. .. chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: "Về số tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic" Mục đích nghiên cứu Luận án nghiên cứu số toán xác định nguồn cho phương trình parabolic, tập trung... dụ số tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic, nên chúng tơi trình bày cách tổng quát phương pháp làm nhuyễn dựa tham khảo tài liệu [46] 42 CHƯƠNG BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH NGUỒN CHO PHƯƠNG TRÌNH