Một số kết quả chính quy nghiệm cho phương trình parabolic dạng divergence

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Cao Phi Thơ MỘT SỐ KẾT QUẢ CHÍNH QUY NGHIỆM CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC DẠNG DIVERGENCE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Cao Phi Thơ MỘT SỐ KẾT QUẢ CHÍNH QUY NGHIỆM CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC DẠNG DIVERGENCE Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 84 601 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : TS NGUYỄN THÀNH NHÂN Thành phố Hồ Chí Minh - 2019 LỜI CẢM ƠN Trước hết tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Thành Nhân, người trực tiếp hướng dẫn lựa chọn thực đề tài này, cảm ơn Thầy tận tâm bảo, giúp đỡ truyền đạt kiến thức để hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành đến q thầy trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, đặc biệt khoa Tốn- tin phịng sau đại học tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập nghiên cứu Qua xin gởi lời cảm ơn đến bạn học viên lớp Tốn giải tích k28, bạn bè, đồng nghiệp cổ cũ, động viên giúp đỡ tơi hồn thành khóa học Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 28 tháng năm 2019 Học viên Cao Phi Thơ DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU x = x(x , xn ) điểm điển hình Rn Rn+ = {x ∈ R : xn > 0} khơng gian Rn với điểm có xn > Br = {x ∈ Rn : |x| < r} cầu mở tâm O, bán kính r Rn Br+ = Br ∩ {xn > 0} nửa cầu Qr = Br × (−r2 , 0] hình lập phương parabolic 2 Cr = Br × − r2 , r2 hình lập phương parabolic tâm gốc tọa độ ΩT = Ω × (0, T ) Miền trụ với chiều cao T đáy Ω ⊂ Rn = {(x, t) : x ∈ Rn , t ∈ (0, T )} ∇u(x, t) = (ux1 (x, t), , uxn (x, t)) Gradient u divf(x, t) = ni=1 (f i (x, t))xi f (x, t)dxdt f Qr = |Qr | Qr ∂p ΩT = (∂Ω × [0, T ]) ∪ (Ω × {0}) Divergence f ∂p Qr = (∂Br × [−r2 , 0]) ∪ (Br × {−r2 }) biên parabolic giá trị trung bình hàm f Qr biên parabolic C0∞ (ΩT ) = {u ∈ C ∞ (ΩT ) : u có giá compact ΩT } Không gian V2 (ΩT ) tập hợp hàm v ∈ W 1,2 (ΩT ) cho: v Lp (ΩT ) = u : u V2 (ΩT ) Lp (ΩT ) = sup =( v(·, t) 0≤t≤T L2 (ΩT ) + v Ω |u|p dxdt) p < ∞ (1 W01,p (ΩT ) không gian Sobolev với u W01,p (ΩT ) = u W 1,2 (ΩT ) < ∞ p < ∞) Lp (ΩT ) + ∇u Lp (ΩT ) Ta nói u ∈ W01,p (Ω) u ∈ W 1,p (Ω) u = biên Ω Chuẩn không gian BM O (dao động trung bình BM O bé) [A]BM O = sup sup |A(y, s) − Acr (x,t) |2 dyds r>0 (x,t) |Cr | cr (x,t) Mục lục Giới thiệu Chương Phương trình parabolic với hệ số không liên tục 1.1.Sự tồn nghiệm yếu bổ đề phủ Vitali 1.2.Các đánh giá địa phương 1.3.Các đánh giá so sánh 11 1.4.Bất đẳng thức dạng “level sets” 15 1.5.Kết quy nghiệm địa phương 19 Chương Phương trình với hệ số BMO miền Lipschitz 22 2.1.Bổ đề phủ Vitali 22 2.2.Các đánh giá địa phương 24 2.3.Các đánh giá so sánh 28 2.4.Bất đẳng thức dạng “level sets” 32 2.5.Kết quy nghiệm miền Lipschitz 37 Chương Phương trình với hệ số BMO miền Reifenberg 41 3.1.Bổ đề phủ Vitali 41 3.2.Các đánh giá địa phương 43 3.3.Các đánh giá so sánh 47 3.4.Bất đẳng thức dạng “level sets” 53 3.5.Kết quy nghiệm miền Reifenberg 59 Kết luận 62 Tài liệu tham khảo 63 Giới thiệu Phương trình đạo hàm riêng chủ đề nhiều nhà toán học nghiên cứu, mà vấn đề tồn tại, tính chất nghiệm Bên cạnh tốn tồn nghiệm phương trình đạo hàm riêng, câu hỏi tính quy nghiệm quan tâm Có nhiều phương pháp để khảo sát tính quy nghiệm lớp phương trình elliptic [2], [3], [8], [9], [7] parabolic [14], [15], [11], [5] Gần đây, số kết chủ đề cho phương trình có dạng divergence với hệ số khơng liên tục nghiên cứu miền có biên Lipschitz [4] thỏa điều kiện Reifenberg [10], [11], [12] Ý tưởng chứng minh kết dựa việc sử dụng bổ đề phủ Vitali số bất đẳng thức có dạng “level sets” thơng qua tốn tử cực đại nghiên cứu nhiều lĩnh vực giải tích điều hịa Trong luận văn này, chúng tơi tìm hiểu số kết tính quy nghiệm phương trình parabolic tuyến tính, có dạng divergence với điều kiện biên Dirichlet sau  ut − div(A∇u) = divf  u =0 ΩT , ∂p ΩT , tham số < p < ∞, u = u(x, t) với (x, t) ∈ ΩT = Ω × (0, T ] nghiệm phương trình f ∈ Lp (ΩT ; Rn ) hàm liệu cho trước Đặc biệt, khảo sát phương trình với hệ số A khơng liên tục, có chuẩn BMO nhỏ thỏa điều kiện sau: Λ−1 |ξ|2 ξ T A(x, t)ξ Λ|ξ|2 , ∀(x, t) ∈ ΩT , ξ ∈ Rn , với Λ số dương cho trước Chính xác hơn, chúng tơi trình bày lại chứng minh tác giả S.-S Byun cộng kết quy nghiệm yếu phương trình (1.1) ba trường hợp, bao gồm kết quy địa phương bên miền xác định kết quy tồn cục cho miền có biên thỏa mãn điều kiện Lipschitz Reifenberg Phương pháp chung cho chứng minh xây dựng bất đẳng thức sau mà gọi bất đẳng thức dạng “level sets”: (x, t) ∈ Q1 : M |∇u|2 > N12k k i 2(k−i) (x, t) ∈ Q1 : M|f |2 > δ N1 + (x, t) ∈ Q1 : M|∇u|2 > k , i=1 với = C , giả thiết sau số giả thiết liệu thỏa mãn (x, t) ∈ ΩT : M |∇u|2 > N12 < |Q1 | Với bất đẳng thức dạng “level sets” này, tính quy nghiệm phương trình (1.1) chứng minh dựa theo bổ đề sau đây: Bổ đề 0.1 ([13]) Giả sử f hàm không âm đo miền Ω bị chặn hai số θ > N1 > Khi đó, với < p < ∞, f ∈ Lp (Ω) p N1k S= |{x ∈ Ω : f (x) > θN1k }| < ∞ (0.1) k Hơn nữa, tồn số dương C phụ thuộc vào θ, p, N1 cho S C f p Lp (Ω) C(|Ω| + S) Các bất đẳng thức dạng “level sets” chứng minh dựa dạng bổ đề phủ Vitali xây dựng lại trường hợp tương ứng với giả thiết khác tốn Ngồi ra, việc chứng minh bất đẳng thức dựa số đánh giá địa phương cho nghiệm yếu phương trình (1.1) đánh giá sai khác nghiệm với nghiệm phương trình tương ứng Các đánh giá địa phương cho nghiệm yếu phương trình thường dạng đánh giá cổ điển sau u − uQ1 L2 (Q1 ) C ∇u L2 (Q1 ) + f L2 (Q1 ) Về đánh giá so sánh, chứng minh lại kết với > tùy ý, tồn δ > cho v nghiệm yếu phương trình vt − div AQ4 ∇v = Q4 , hàm liệu thỏa mãn |Q5 | |∇u|2 dxdt Q5 |Q5 | |f |2 + A − AQ5 dxdt δ2, Q5 ta thu đánh giá so sánh dạng: u−v W∗1,2 (Q2 ) Dựa theo ý tưởng này, chúng tơi phân chia chứng minh kết tính quy nghiệm phương trình parabolic thành nhiều cơng đoạn nhỏ, bao gồm việc xây dựng lại bổ đề phủ Vitali, đánh giá địa phương, đánh giá so sánh bất đẳng thức dạng “level sets” Các bước chứng minh có khác đơi chút xét toán giả thiết khác Các kết tham khảo chủ yếu báo S.-S Byun L Wang [4], [5], [10], [11] Luận văn trình bày theo ba chương: Chương Phương trình parabolic với hệ số khơng liên tục Chương khảo sát tính quy nghiệm phương trình parabolic với hệ số thỏa điều kiện BMO Chúng tơi chứng minh kết quy nghiệm địa phương bên miền Ω Kỹ thuật chứng minh dựa dạng bổ đề phủ Vitali, xây dựng lại cho trường hợp parabolic bất đẳng thức dạng “level sets” Chúng nhắn mạnh chương khảo sát tính quy nghiệm địa phương phương trình tập QR , không cần giả thiết biên miền ΩT Chương Phương trình với hệ số BMO miền Lipschitz Chương khảo sát tính quy nghiệm tồn cục phương trình parabolic với điều kiện BMO điều kiện biên Dirichlet miền xác định có biên Lipschitz Các kết quy nghiệm địa phương chứng minh tương tự Chương Tuy nhiên, với giả thiết biên miền xác định Lipschitz, số đánh giá gần biên cần xử lý khác Chương Phương trình với hệ số BMO miền Reifenberg Chưng tiếp tục khảo sát tính quy nghiệm tồn cục miền có biên thỏa điều kiện Reifenberg Chú ý miền Reifenberg yếu miền Lipschitz Chương Phương trình parabolic với hệ số không liên tục Trong chương này, ta xét tính quy nghiệm phương trình parabolic dạng divergence không gian W∗1,p với < p < ∞ Cụ thể, chúng tơi tìm hiểu số kết tính quy nghiệm phương trình parabolic tuyến tính, có dạng divergence với điều kiện biên Dirichlet sau  ut − div(A∇u) = divf  u =0 ΩT , (1.1) ∂p ΩT , u = u(x, t) với (x, t) ∈ ΩT = Ω × (0, T ] nghiệm phương trình f ∈ Lp (ΩT ; Rn ) hàm liệu cho trước Đặc biệt, khảo sát phương trình với hệ số A khơng liên tục, có chuẩn BMO nhỏ thỏa điều kiện sau: Λ−1 |ξ|2 ξ T A(x, t)ξ Λ|ξ|2 , ∀(x, t) ∈ ΩT , ξ ∈ Rn , với Λ số dương cho trước Khi A thỏa mãn điều kiện (1.2), ta nói P = (1.2) ∂ − ∂t ∂i (aij ∂j ) toán tử parabolic Kết tồn nghiệm yếu phương trình cổ điển, nhắc lại không chứng minh mục Chứng minh định lý tính quy nghiệm địa phương chia thành nhiều bước, tương ứng với mục bên 1.1 Sự tồn nghiệm yếu bổ đề phủ Vitali Định nghĩa 1.1 Ta nói u ∈ V2 (ΩT ) nghiệm yếu phương trình (1.1) với ϕ ∈ C0∞ (ΩT ), − A∇u · ∇ϕdxdt = − uϕt dxdt + ΩT f · ∇ϕdxdt ΩT ΩT Định lý 1.2 ([4]) Nếu điều kiện (1.2) thỏa mãn f ∈ L2 (ΩT , Rn ) tồn nghiệm yếu phương trình (1.1) Định nghĩa 1.3 Cho < p < ∞, ta nói u ∈ W∗1,p (ΩT ) u ∈ W01,p (ΩT ) tồn hàm F ∈ Lp (ΩT , Rn ) g ∈ Lp (ΩT ) cho ut = divF − g ΩT theo nghĩa phân phối, nghĩa ∀ϕ ∈ C0∞ (ΩT ) (F · ∇ϕ + gϕ)dxdt, uϕt dxdt = ΩT ΩT Hơn nữa, ta xác định chuẩn sau u W∗1,p (ΩT ) = u p Lp (ΩT ) + ∇u p Lp (ΩT ) + F p Lp (ΩT ,Rn ) + g p Lp (ΩT ) p Không gian H 1, (Ω∞ ) với Ω∞ = Ω × (−∞, ∞), bao gồm tất phần tử u H01 (Ω∞ ) cho tích phân sau hữu hạn ∞ | u |Ω∞ = −2 h u(., + h) − u(., ) L2 (Ω∞ ) dh Định lý 1.4 ([4]) Nghiệm yếu u phương trình (1.1) thuộc khơng gian W∗1,2 (ΩT ) với đánh giá u W∗1,2 (ΩT ) ≤C u L2 (ΩT ) + f L2 (ΩT ) Trong mục tiếp theo, xét phương trình ut − div(A∇u) = divf (1.3) QR với R > đánh giá tính quy nghiệm phương trình Trước hết, chúng tơi nhắc lại bổ đề phủ Vitali tổng quát chứng minh dạng bổ đề phủ Vitali cho trường hợp parabolic 50 Khi đó, ta có |uk (x , θ − s◦ , τ )| |uk (x , θ, τ ) − uk (x , θ − s◦ , τ )| = d uk (x , θ − (1 − s)s◦ , τ )ds ds ∂ s◦ uk (x , θ − (1 − s)s◦ , τ )ds ∂xn 1 θ+ |∇uk (x , θ − (1 − s)s◦ , τ )|ds, k = = = vậy, |uk (x , θ − s◦ , τ )|2 θ2 + k2 |∇uk (x , θ − (1 − s)s◦ , τ )|2 ds Lấy tích phân T4∗ = T4 (−16, 0] ta |uk (x , θ − s◦ , τ )|2 dx dτ T4∗ = T4∗ = 1 θ + k k2 θ2 + k |∇uk (x , θ − (1 − s)s◦ , τ )|2 ds dx dτ θ2 + C θ2 + k2 |∇uk (x , θ − (1 − s)s◦ , τ )|2 dx dτ ds S4 |∇uk |2 dxdt Ωk∗ Cho k −→ ∞ θ −→ ta |uk (x , 0, τ )|2 dx dτ = 0, T4∗ điều kéo theo u◦ = T4∗ (3.28) Từ (3.27) (3.28) suy (3.25) Cuối ta có mâu thuẫn với (3.20) A = A◦ , v = u◦ k đủ lớn Vậy, bổ đề chứng minh 51 Hệ 3.10 Với > bất kỳ, tồn δ = δ( ) > cho với nghiệm yếu  ut − div(A∇u) = divf u  = Ω∗5 ∂ω Ω∗5 thỏa mãn điều kiện   (B5 ∩ {xn > −δ}) ⊃ Ω5 ⊃ B5+ ,     |Q | |∇u|2 |Q5 | Ω∗5 Ω∗5 |f |2 + |A − AΩ∗5 |2 δ2, (3.29) đó, tồn ma trận số A thỏa |AΩ∗5 − A| nghiệm trơn v tương ứng  vt − div(A∇v) = Q+ v  = T4∗ cho ta có đánh giá sau u−V 2 W∗1,2 (Ω∗2 ) , (3.30) ∗ V phần mở rộng khơng v xác định Q+ tới Ω4 Chứng minh Từ Bổ đề 3.9 giả thiết (3.29), tồn ma trận số A với AΩk∗ −A nghiệm trơn tương ứng v phương trình  vt − div(A∇v) = Q+ v  = T4∗ cho |u − v|2 (3.31) Q+ với điều kiện Q5 Ω∗5 (|f|2 + |A − AΩ∗5 |2 )dxdt + D(∂ω Ω5 , T5 ) Trước hết, ta quan sát V nghiệm yếu phương trình Vt − div A∇V = = ∂ ∂v ann (x , 0, t)χQ+4 (x, t) ∂xn ∂xn ∂ ∂v ann (x , 0, t)χQ−4 (x, t) ∂xn ∂xn − Ω∗4 , 52 {aij }∞ i,j=1 = A Giờ ta đặt ω = u − V để thực phép tính sau ωt − div(A∇ω) = (u − V )t − div(A∇(u − V )) = ut − div(A∇u) − (Vt − div(A∇V )) = div f + A − A ∇V − (Vt − div(A∇V )) = div f + A − A ∇V − ∂ ∂xn ann ∂ ∂xn ann ∂v (x , 0, t)χQ−4 (x, t) ∂xn Như vậy, ω nghiệm yếu phương trình ωt − div(A∇ω) div f + A − A ∇V = − ∂v (x , 0, t)χQ−4 (x, t) ∂xn Ω∗4 với ω = ∂ω Ω∗4 Khi đó, theo Bổ đề 3.7, ta có ω W∗1,2 (Ω∗2 ) ω C +C L2 (Ω∗3 ) ann C ω ∂v (x , 0, t)χQ−4 (x, t) ∂xn L2 (Ω∗4 ) L2 (Ω∗3 ) + f + (A − A)∇V + f L2 (Ω∗5 ) L2 (Ω∗4 ) + A−A L2 (Ω∗5 ) +δ Tóm lại, ta có ω W∗1,2 (Ω∗2 ) C L2 (Ω∗4 ) ω + f L2 (Ω∗5 ) + A−A L2 (Ω∗5 ) +δ (3.32) Ta có ω W∗1,2 (Ω∗3 ) |ω|2 dxdt |ω|2 dxdt + = Ω∗3 \Q+ Q+ |u − v|2 dxdt |ω|2 dxdt + = Ω∗3 \Q+ Q+ |u(x, t)|2 dx dt + |u − v|2 dxdt Ω3 \B3+ −9 Q+ n−2   −9 |u(x, t)|2 n n−2 n n dx (1) dx Ω3 \B3+ Ω3 \B3+   dt |u − v|2 dxdt + Q+ n−2   −9 |∇u(x, t)|2 Ω3 \B3+ |u − v|2 dxdt, Cδ n + Q+ n n−2 dx  δ n  dt + |u − v|2 dxdt Q+ 53 ta s dng bt ng thc Hăolders, bt ng thc Sobolev (B5 ∩ {xn > −δ}) ⊃ Ω5 ⊃ B5+ Khi đó, từ đánh giá (2.31) suy u−v 2 W∗1,2 (Ω∗2 ) |u − v|2 + f Cδ n + Q+ L2 (Ω∗5 ) + A−A L2 (Ω∗5 ) + δ (3.33) Cuối cùng,kết hợp (3.33),(3.31), (3.29) ta suy kết luận (3.30) Vậy, hệ chứng minh 3.4 Bất đẳng thức dạng “level sets” Bổ đề 3.11 Tồn số N1 cho với > bất kỳ, δ = δ( ) > u nghiệm yếu ut − div(A∇u) = divf ΩT với hai giả thiết sau thỏa mãn B7 ∩ {xn > −δ} ⊃ Ω ⊃ B7+ (3.34)  u = T5∗ (0, 2), A − AΩ∗ (0,2) Ω∗ ∩ {(x, t) ∈ Ω : M|∇u|2 T L2 (Ω∗5 (0,2)) δ2, (3.35) 1} ∩ {(x, t) ∈ ΩT : M|f | δ } = ∅, ta có đánh giá |{(x, t) ∈ ΩT : M(|∇u|2 ) > N12 } ∩ Ω∗1 | |Ω∗1 | (3.36) Chứng minh Từ điều kiện (3.35), ta thấy tồn điểm (x◦ , t◦ ) ∈ Ω∗1 cho |Cr | |∇u|2 Cr (x◦ ,t◦ )∩ΩT Từ (3.34) δ |Cr | |f |2 δ , ∀r > Cr (x◦ ,t◦ )∩ΩT 1, ta thấy Ω∗5 (0, 2) = ⊂ (Ω ∩ B5 (0)) × (−23, 2] Ω ∩ B5+√1+δ2 (x◦ ) × (−23, 2] ⊂ (Ω ∩ B7 (x◦ )) × (−23, 2] ⊂ C7 (x◦ , t◦ ) ∩ ΩT (3.37) 54 Điều cho thấy |Q5 | |Q5 | |f |2 dxdt Ω∗5 (0,2) C7 (x◦ ,t◦ )∩ΩT |Q7 | |Q5 | |C7 | = |Q5 | |f |2 dxdt |f |2 dxdt C7 (x◦ ,t◦ )∩ΩT n+2 δ ; tức là, n+2 |f | dxdt Ω∗5 (0,2) δ2 (3.38) Tương tự, ta thấy |Q5 | |∇u| dxdt Ω∗5 (0,2) n+2 (3.39) Từ Hệ 3.10 với giả thiết (3.35), (3.38) (3.39) , tồn ma trận số A với AΩ∗5 (0,2) − A nghiệm trơn v tương ứng phương trình  vt − div(A∇v) = Q+ (0, 2)  v T4∗ (0, 2) = cho W∗1,2 (Ω∗2 (0,2)) u−V (3.40) với điều kiện |f |2 + |A − A|2 dxdt + D(∂ω Ω, T5 ) 1, Ω∗5 (0,2) ∗ V phần mở rộng không v xác định Q+ (0, 2) tới Ω4 (0, 2) Khi đó, ta sử dụng dánh giá địa phương |Q4 | |V |2 C, Ω∗4 (0,2) để thấy tồn số N◦ cho sup |∇V |2 Ω∗3 (0,2) N◦2 (3.41) Bây ta chọn N12 = max{4N◦2 , 2n+2 } chứng minh {(x, t) ∈ Ω∗1 : M|∇u|2 > N12 } ⊂ {(x, t) ∈ Ω∗1 : M|∇(u − V )|2 > N◦2 } (3.42) 55 Ta chứng minh bất đẳng thức này, giả sử (x1 , t1 ) ∈ {(x, t) ∈ Ω∗1 : M|∇(u − V )|2 > N◦2 } Với r (3.43) 2, Cr (x1 , t1 ) ∩ ΩT ⊂ Ω∗3 (0, 2) (3.43) (3.41), ta có |Cr | |Cr | |∇u|2 dxdt Cr (x1 ,t1 )∩ΩT |∇(u − V )|2 + |∇V |2 Cr (x1 ,t1 )∩ΩT 2N◦2 + 2N◦2 4N◦2 = Với r > 2, Cr (x1 , t1 ) ⊂ C2r (x◦ , t◦ ) (3.37), ta |Cr | |∇u|2 Cr (x1 ,t1 )∩ΩT = |∇u|2 |Cr | C2 r(x◦ ,t◦ )∩ΩT |C2r | |∇u|2 |Cr | |C2r | C2 r(x◦ ,t◦ )∩ΩT 2n+2 Điều chứng tỏ (x1 , t1 ) ∈ {(x, t) ∈ Ω∗1 : M|∇u|2 > N12 } (3.44) Khi đó, khẳng định (3.42) suy từ (3.43) (3.44) Từ (3.42) đánh giá yếu − dạng parabolic ta thu {(x, t) ∈ ΩT : M|∇u|2 > N12 } ∩ Ω∗1 {(x, t) ∈ Ω∗1 : M|∇(u − V )|2 > N◦2 } C |∇(u − V )|2 dxdt N◦ Ω∗2 (0,2) C u − V 2W∗1,2 (Ω∗ (0,2)) N◦2 Cuối cùng, từ đánh giá theo (3.40) ta có điều phải chứng minh Bổ đề 3.12 ([11]) Tồn số N1 > cho với , r > bất kỳ, δ = δ( ) > u nghiệm yếu ut − div(A∇u) = divf ΩT thỏa mãn hai điều kiện sau + B7r ∩ {xn > −δr } ⊃ Ω ⊃ B7r 56    u = (∂Ω ∩ B7r ) × −23r2 , 2r2 ,   Cr ∩ {(x, t) ∈ ΩT : M|∇u|2 |Q5r | |A − A|2 δ2, Ω∗5r (0,2r2 ) 1} ∩ {(x, t) ∈ ΩT : M|f |2 δ } = ∅, ta có đánh giá sau |{(x, t) ∈ ΩT : M(|∇u|2 ) > N12 } ∩ Cr | Hệ 3.13 Tồn số N1 > cho với |Cr | , r > 0, δ = δ( ) > u nghiệm yếu  ut − div(A∇u) = divf u  [A]BM O = ΩT ∂p ΩT δ, ∂Ω (δ, 63)−Reifenberg tính chất sau thỏa mãn: |{M|∇u|2 > N12 } ∩ Cr (x, t)| |Cr (x, t)|, (3.45) Cr (x, t) ∩ ΩT ⊂ {M|∇u|2 > 1} ∪ {M|f |2 > δ } (3.46) Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Nếu Cr (x, t) thỏa mãn (3.45) kết luận (3.46) sai, tồn (x◦ , t◦ ) ∈ ΩT ∩ Cr (x, t) cho |Cr | |∇u|2 ΩT ∩Cr (x◦ ,t◦ ) |Cr | |f |2 δ , ∀r > ΩT ∩Cr (x◦ ,t◦ ) Nếu C7r (x, t) ∩ ∂p ΩT = ∅, đánh giá (xem chương 1) Giả sử C7r (x, t) ∩ ∂p ΩT = ∅ Xét B7r (x) ⊂ B9r (x◦ ), chọn y = (y , yn ) ∈ B7r (x) ∩ ∂Ω Khi ∂Ω (δ, 63r)− miền phẳng Reifenberg, ta có + Ω ⊃ Ω63r (0) ⊃ B9r (x , 0) ⊃ Br+ (x) vài hệ tọa độ phù hợp Bây giờ, áp dụng Bổ đề 3.12 vào khối lập phương C9r (x , 0) thay 9n+2 , thu |{(x, t) ∈ ΩT : M(|∇u|2 )(x, t) > N12 } ∩ Cr (x, t)| |{(x, t) ∈ ΩT : M(|∇u|2 )(x, t) > N12 } ∩ C9r (x , 0, t)| < = 9n+2 |C9r | |Cr |, điều mâu thuẫn với (3.45) 57 Hệ 3.14 Giả sử u nghiệm yếu  ut − div(A∇u) = divf u  [A]BM O ΩT = ∂p ΩT δ, ∂Ω (δ, 63)− Reifenberg Giả thiết |{(x, t) ∈ ΩT : M(|∇u|2 ) > N12 }| < |C1 | Cho k nguyên dương tập hợp 10 1−δ = (3.47) n+2 Khi ta có |{(x, t) ∈ ΩT : M|∇u|2 > N12k }| k 2(k−i) (x, t) : M|f |2 > δ N1 i + (x, t) ∈ ΩT : M|∇u|2 > k i=1 Chứng minh Ta chứng minh mệnh đề quy nạp Rõ ràng mệnh đề trường hợp k = Thật vậy, với A = {(x, t) ∈ ΩT : M(|∇u|2 ) > N12 } B = {(x, t) ∈ ΩT : M(|f |2 ) > δ } ∪ {(x, t) ∈ ΩT : M(|∇u|2 ) > 1} Do ∂Ω (δ, 63)− Reifenberg Khi từ (3.47), Bổ đề 3.11 Định lý 3.1, ta có |{(x, t) ∈ ΩT : M(|∇u|2 ) > N12 }| (|{(x, t) ∈ ΩT : M(|f |2 ) > δ }| + |{(x, t) ∈ ΩT : M(|∇u|2 ) > 1}|), Giả sử mệnh đề với k nguyên dương Ta định nghĩa u = u N1 tương ứng f = Khi đó, u nghiệm yếu với u = ∂Ω (u)t − div(A∇u) = divf ΩT ⊃ Ω∗63r (r > 0), thỏa mãn |{(x, t) ∈ ΩT : M(|∇u|2 ) > N12 }| < |C1 | Khi đó,theo giả thuyết quy nạp, ta có |{(x, t) ∈ ΩT : M(|∇u|2 ) > N12k }| k i (x, t) : M f 2(k−i) > δ N1 + k i=1 Ta viết bất đẳng thức thành I1 I1 = I2 , |{(x, t) ∈ ΩT : M(|∇u|2 ) > N12k }|, (x, t) ∈ ΩT : M|∇u|2 > f N1 58 k I2 = i (x, t) : M f 2(k−i) > δ N1 + (x, t) ∈ ΩT : M|∇u|2 > k i=1 Ta thực tính tốn đánh giá biểu thức I1 , I2 sau: Với I1 , ta có I1 = |{(x, t) ∈ ΩT : M(|∇u|2 ) > N12k }| = = (x, t) ∈ ΩT : M u ∇ ) N1 > N12k 2(k+1) |{(x, t) ∈ ΩT : M(|∇u|2 ) > N1 }| Với I2 , ta có k I2 = i f M N1 i M|f |2 > δ N1 i M|f |2 > δ N1 i=1 k = 2(k−i) > δ N1 Mf i=1 k = i M|∇u|2 > k + >δ 2(k−i) N1 2(k+1−i) k + + u M∇ N1 >1 M|∇u|2 > N12 k i=1 k 2(k+1−i) i=1 + k 1 {|{M|f | > δ }| + |{M|∇u|2 > 1}|} k i = 2(k+1−i) M|f |2 > δ N1 + k+1 {|{M|f | + k+1 |{M|∇u| > δ }|} i=1 + k+1 |{M|∇u| > 1}| k+1 i = 2(k+1−i) M|f |2 > δ N1 > 1}| i=1 Do I1 I2 , nên suy 2(k+1) |{(x, t) ∈ ΩT : M(|∇u|2 ) > N1 }| k+1 i 2(k+1−i) M|f |2 > δ N1 + k+1 |{M|∇u| > 1}|, i=1 suy mệnh đề với k + Vậy, theo phép chứng minh quy nạp mệnh đề với giá trị nguyên dương k 59 3.5 Kết quy nghiệm miền Reifenberg Định lý 3.15 Cho số thực p : < p < ∞ Có δ = δ(p) > cho u ∈ W∗1,2 (ΩT ) nghiệm yếu parabolic PDE  ut − div(A∇u) = divf u  ΩT = (3.48) ∂p ΩT δ, toán tử P parabolic f ∈ Lp (ΩT ; Rn ), ∇u ∈ Lp (ΩT ; Rn ) với [A]BM O ta có bất đẳng thức sau ∇u Lp (ΩT ) C u Lp (ΩT ) + f Lp (ΩT ) , C số khơng phụ thuộc vào u f Chứng minh Khơng tính tổng quát, giả thiết |(x, t) ∈ ΩT : M(|∇u|2 ) > N12 | < |C1 | cách nhân PDE (3.48) với số nhỏ cân thiết Vì f ∈ Lp (ΩT ), nên p M|f |2 ∈ P ( ) (ΩT ) Do đó, ta có ∞ 2pk N1 |{M|f |2 > δ N12k }| C M|f |2 k=0 với C > số phụ thuộc vào δ, N12 , p p p L (ΩT ) C, (3.49) 60 Mặt khác, ta có đánh giá ∞ 2pk N1 |{M|∇u|2 > N12k }| k=1 ∞ 2pk k N1 }| + 2(k−i) }| > δ N1 i |{M|f | > δ N1 k |{M|∇u| > 1}| i=1 k=1 ∞ = 2(k−i) i |{M|f | 2pk k N1 i=1 k=1 ∞ p2 k + N1 k |{M|∇u| > 1}| k=1 ∞ ∞ (N1p )i = i=1 p (k−i) N1 2(k−i) |{M|f |2 > δ N1 }| k=i ∞ (N1p )k (|{M|∇u|2 > 1}|) + k=1 ∞ (N1p )k C k=1 < ∞, đến ta sử dụng (3.49) chọn cho N1p < Khi đó, từ đánh giá suy p M|∇u|2 ∈ L (ΩT ), hay ∇u ∈ Lp (ΩT ) Cuối cùng, ta chứng minh định lý chương Định lý 3.16 Cho số thực p : < p < ∞ Có δ = δ(p) > cho u nghiệm yếu parabolic PDE  ut − div(A∇u) = divf  với [A]BM O u = ΩT ∂p ΩT δ, toán tử P parabolic đều, miền Ω thỏa ∂Ω(δ, R)−Reifenberg hàm f ∈ Lp (ΩT ; Rn ), u ∈ W∗1,p (ΩT ) ta có đánh giá sau u W∗1,p (ΩT ) C f Lp (ΩT ) , C số không phụ thuộc vào u f Chứng minh Kết trường hợp p = cổ điển trường hợp < p < suy từ tính đối ngẫu nên ta cần chứng minh cho trường hợp p > 61 Theo định lý 3.15 ut = div(A∇u + f ) ΩT , ta có đánh giá sau u W∗1,p (ΩT ) = u Lp (ΩT ) + ∇u u Lp (ΩT ) +C u Lp (ΩT ) + f +2 A L∞ (ΩT ) ∇u Lp (ΩT ) +2 f C Lp (ΩT ) Vậy, định lý chứng minh u Lp (ΩT ) + f + A∇u + f Lp (ΩT ) , Lp (ΩT ) Lp (ΩT ) P Lp (ΩT ) Kết luận Trong luận văn này, tác giả tìm hiểu phương pháp đưa Wang S.-S Byun, để khảo sát tính quy nghiệm phương trình parabolic tuyến tính với liệu dạng divergence dựa bổ đề phủ Vitali bất đẳng thức dạng “level sets” Cụ thể hơn, tác giả đọc hiểu chứng minh lại cách chi tiết số kết tính quy nghiệm phương trình parabolic với hệ số khơng liên tục có dao động trung bình BMO nhỏ Có ba kết trình bày luận văn, tương ứng với tính quy nghiệm địa phương tính quy nghiệm tồn cục phương trình parabolic hai trường hợp ứng với giả thiết khác miền xác định Kỹ thuật phương pháp xây dựng bất đẳng thức dạng “level sets” dựa đánh giá so sánh sai khác nghiệm yếu phương trình ban đầu với phương trình tương ứng Mặc dù luận văn chưa thu kết mong đợi, tác giả cố gắng trình bày thật chi tiết rõ ràng chứng minh định lý tìm hiểu Các kết Wang S.-S Byun tìm hiểu luận văn nhận nhiều trích dẫn báo gần Điều cho tác giả luận văn có thêm niềm tin luận văn tài liệu tham khảo có ích tiếng Việt cho sinh viên, học viên cao học người nghiên cứu quan tâm đến phương pháp chứng minh tính quy nghiệm phương trình parabolic tuyến tính 62 Tài liệu tham khảo [1] K Adimurthi, S S Byun (2019), Gradient weighted estimates at the natural exponent for Quasilinear Parabolic equations, Advances in Mathematics 348, 456511 [2] L A Caffarelli, I Peral (1998), On W 1,p estimates for elliptic equations in divergence form, Communications on Pure and Applied Mathematics 51, - 21 [3] G Di Fazio (1996), Lp estimates for divergence form elliptic equations with discontinuous coefficients, Boll Un Mat Ita l A(7) 10, 409 - 420 [4] S S Byun (2005), Parabolic equations with BMO coefficients in Lipschitz domains, Journal of Differential Equations 209(2), 229-265 [5] S S Byun (2007), Optimal W 1,p regularity theory for parabolic equations in divergence form, Journal of Evolution Equations 7(3), 415-428 [6] S S Byun, S Ryu (2017), Weighted Orlicz estimates for general nonlinear parabolic equations over nonsmooth domains, Journal of Functional Analysis 272(10), 4103-4121 [7] S S Byun, H Chen, M Kim, L Wang (2007), Lp regularity theory for linear elliptic systems, Discrete and Continuous Dynamical Systems-Series A 18, 121 134 [8] S S Byun, L Wang (2004), Elliptic equations with BMO coefficients in Reifenberg domains, Conmmunications on Pure and Applied Mathematics 57(10), 1283 - 1310 63 64 [9] S S Byun, L Wang (2005), The conormal derivative problem for elliptic equations with BMO coefficients on Reifenberg on Reifenberg flat domains, Proceedings of London Mathematical Society (3) 90, 245 - 272 [10] S S Byun, L Wang (2005), Parabolic equations in Reifenberg domains, Archive for Rational Mechanics and Analysis 176, 271-301 [11] S S Byun, L Wang (2005), Lp Estimates for Parabolic equations in Reifenberg domains, Journal of Functional Analysis 223, 44-85 [12] S S Byun, L Wang (2007), Parabolic equations in time dependent Reifenberg domains, Advances in Mathematics 212(2), 797-818 [13] L Grafakos (2004), Classical and Modern Fourier Analysis, Pearson/Prentice Hall [14] L Wang (1990), On the regularity theory of fully nonlinear parabolic equations, Bulletin of the American Mathematical Society 22(1), 107-114 [15] L Wang (1992), On the regularity theory of fully nonlinear parabolic equations: I, Communications on Pure and Applied Mathematics 45(1), 27-76 ... HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Cao Phi Thơ MỘT SỐ KẾT QUẢ CHÍNH QUY NGHIỆM CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC DẠNG DIVERGENCE Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 84 601 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI... chứng minh quy nạp kết luận với giá trị nguyên dương k 1.5 Kết quy nghiệm địa phương Định lý 1.16 Cho số thực p thỏa mãn < p < ∞ Tồn số δ = δ(p) > cho u ∈ W∗1,2 nghiệm yếu phương trình parabolic. .. số dương cho trước Chính xác hơn, chúng tơi trình bày lại chứng minh tác giả S.-S Byun cộng kết quy nghiệm yếu phương trình (1.1) ba trường hợp, bao gồm kết quy địa phương bên miền xác định kết