Phương trình tích phân fredholm loại ii

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC MA VĨNH HUY PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI II Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Giáo viên hướng dẫn: TS NGUYỄN VĂN NGỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 i Mục lục Mục lục i Lời cảm ơn ii Mở đầu 1 Phương trình tích phân với nhân suy biến 1.1 Một số không gian hàm 1.2 Khái niệm phương trình Fredholm 1.3 Phương trình tích phân với nhân suy biến Phương pháp xấp xỉ liên tiếp xấp xỉ 15 2.1 Phương pháp thay liên tiếp 15 2.2 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp 19 2.3 Phương pháp xấp xỉ 28 Các định lý Fredholm 33 3.1 Dẫn luận 33 3.2 Định lý Fredholm thứ 40 3.3 Định lý Fredholm thứ tư 40 3.4 Định lý Fredholm thứ hai 43 3.5 Định lý Fredholm thứ ba 45 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 ii Lời cảm ơn Trong suốt trình làm luận văn, tác giả ln nhận hướng dẫn giúp đỡ TS Nguyễn Văn Ngọc Thầy dành nhiều thời gian bảo tận tình, hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tác giả xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy kính chúc thầy ln ln mạnh khỏe Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa học Quan hệ quốc tế, Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Ngun, Viện Tốn học q thầy tham gia giảng dạy lớp cao học khóa (2012 - 2014) quan tâm, giúp đỡ mang đến cho tơi nhiều kiến thức bổ ích suốt thời gian học tập trường Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, anh chị em học viên lớp cao học tốn K6 bạn bè đồng mơn giúp đỡ tác giả trình học tập Đại học Thái Ngun q trình hồn thiện luận văn cao học Thái Nguyên, tháng năm 2014 Tác giả Ma Vĩnh Huy Mở đầu Toán học môn học gắn liền với thực tiễn, toán học bắt nguồn từ nhu cầu giải vấn đề có nguồn gốc từ thực tiễn Cùng với thời gian, toán học ngày phát triển chia làm hai lĩnh vực: Toán học lý thuyết toán học ứng dụng Trong lĩnh vực toán học ứng dụng, thường gặp nhiều toán dẫn đến phương trình hàm chưa biết chứa dấu tích phân Những loại phương trình gọi phương trình tích phân Đây xem cơng cụ tốn học hữu ích có ứng dụng rộng rãi khơng tốn học mà cịn nhiều ngành vật lí, học ngành khoa học kĩ thuật khác ví dụ nghiên cứu phương trình tích phân nhằm giải phương trình vi phân với điều kiện biên xác định hay giải số vấn đề vật lí tượng khuếch tán, tượng truyền, Vì việc nghiên cứu phương trình tích phân đóng vai trị quan trọng tốn học Hai loại phương trình tích phân quan trọng nghiên cứu phát triển vào năm đầu kỷ 20 phương trình tích phân Fredholm loại II phương trình tích phân Volterra Luận văn trình bày mơt số vấn đề lý thuyết phương trình tích phân Fredholm loại II Với đề tài "Phương trình tích phân Fredholm loại II", tác giả trình bày khái niệm phương trình Fredholm, định lý Fredholm, tồn nghiệm phương trình phương trình tích phân Fredholm loại II trường hợp nhân suy biến, sử dụng phương pháp thay liên tiếp, xấp xỉ liên tiếp, xấp xỉ cho phương trình Luận văn gồm có phần Mở đầu, Ba chương, Kết luận Danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Phương trình tích phân với nhân suy biến Chương trình bày không gian hàm khả tổng bản, khái niệm phương trình Fredholm Nội dung chương trình bày cách giải phương trình Fredholm (loại II) với nhân suy biến (tách biến) Chương 2: Phương pháp xấp xỉ liên tiếp xấp xỉ Mục đích chương trình bày số phương pháp giải phương trình tích phân Fredholm loại II, phương pháp liên tiếp, phương pháp xấp xỉ liên tiếp, phương pháp xấp xỉ ví dụ minh họa Chương 3: Các định lý Fredholm Chương sở lý thuyết quan trọng phương trình Fredholm loại II Trong chương trình bày bốn định lý Fredholm tính tồn nghiệm, tính nghiệm phương trình Fredholm loại II với nhân tổng quát Luận văn chưa đề cập tới lớp phương trình tích phân Fredholm loại II nhân Hermitian (nhân đối xứng) Nội dung luận văn chủ yếu hình thành từ tài liệu [3] [4] Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn trực tiếp TS Nguyễn Văn Ngọc Mặc dù, tác giả cố gắng thời gian có hạn kinh nghiệm nghiên cứu cịn hạn chế nên khó tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý thầy cô bạn Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2014 Tác giả Ma Vĩnh Huy Chương Phương trình tích phân với nhân suy biến Trong chương chúng tơi trình bày số khái niệm kết không gian hàm, phương trình tích phân Fredholm 1.1 Một số khơng gian hàm Ký hiệu C [a, b] không gian hàm liên tục khoảng hữu hạn [a, b] với chuẩn ||f ||C = max |f (x)| a x b Ký hiệu Lp (a, b) (0 < p < +∞) không gian hàm khả tổng (a, b), cho b f p = |f (x)|p dx 1/ p < ∞ a Các trường hợp riêng đặc biệt quan trọng p = p = L2 (a, b) không gian Hilbert với tích vơ hướng b (f, g) = f (x)g(x)dx a Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có dạng |(f, g)| ||f ||2 ||g||2 hay, cách cụ thể b b f (x)g (x)dx ≤ |f (x)|2 dx 1/ a a b g (x) dx 1/ a Một chuẩn khác nhắc đến chuẩn vô định nghĩa sau f ∞ = sup {|f (x)| : x ∈ [a, b]} Hoàn toàn tương tự, chuẩn định nghĩa theo tập hợp hàm nhận giá trị phức liên tục định nghĩa hình vng Q(a, b) Ký hiệu L2 (Q(a, b)) không gian hàm hai biến K(x, y), (x, y) ∈ Q(a, b), cho b K b = a |K (x, t)|2 dxdt 1/ < ∞, a K ∞ = sup {|K (x, t)| : (x, t) ∈ Q (a, b)} , quan tâm đặc biệt chương Hội tụ dãy hàm vô tận: Dãy vô hạn {fn (x)} hàm hội tụ [a, b] tới hàm f (x) nếu: Với ε > tồn số nguyên N = N (ε) cho |fn (x) − f (x)| < ε với x ∈ [a, b] với n ≥ N (ε) Chuỗi vô hạn ∞ fn (x) hội tụ [a, b] tổng dãy hội tụ [a, b] Tiêu chuẩn Cauchy dùng để thiết lập hội tụ Chúng ta nói dãy vô hạn {fn (x)} định nghĩa hội tụ [a, b] với ε > tồn số nguyên N (ε) cho |fn (x) − fm (x)| < ε với x ∈ [a, b] với n, m ≥ N (ε) Hội tụ điều kiện cần nhiều định lý Ví dụ, {fn (x)} dãy vô hạn hàm liên tục [a, b] dãy {fn (x)} hội tụ đến hàm giới hạn f (x) f (x) liên tục [a, b] Hội tụ cần để chứng minh phép lấy tích phân Nếu {fn (x)} dãy hàm khả tích hội tụ đến f (x) [a, b], f (x) khả tích b b f (x) dx = lim n→∞ a fn (x) dx a Như hệ tức thời, ta nói ∞ f (x) = fn (x), n=1 hội tụ [a, b] ∞ b b f (x) dx = a 1.2 fn (x) dx n=1 a Khái niệm phương trình Fredholm Khái niệm 1.1 Kí hiệu (a, b) khoảng hữu hạn hay vô hạn trục thực Giả sử f (x) (a < x < b), K (x, y) (a < x, y < b) hàm cho, u (x) (a < x < b) hàm cần tìm Các phương trình sau gọi phương trình tích phân ẩn hàm u(x) : b K (x, y) u (y) dy = f (x) , a < x < b, (1.1) a b u (x) − K (x, y) u (y) dy = f (x) , a < x < b (1.2) a Phương trình (1.1) gọi phương trình tích phân loại 1, cịn phương trình (1.2) gọi phương trình tích phân loại 2, hàm f (x) gọi vế phải, hay số hạng tự do, hàm K (x, y) gọi nhân hay hạch phương trình Nếu vế phải f (x) ≡ 0, phương trình gọi phương trình nhất, cịn f (x) = 0, phương trình gọi phương trình khơng Thơng thường người ta khơng xét phương trình mà xét cho họ phương trình dạng b u (x) − λ K (x, y) u (y) dy = f (x) , a a < x < b, (1.3) λ (là số thực hay phức) gọi tham số phương trình (1.3) Phương trình Fredholm: Xét phương trình (1.2) Phương trình (1.2) gọi phương trình Fredholm b b b |f (x)| dx < ∞, a a |K (x, y)|2 dxdy < ∞ (1.4) a Nếu điều kiện thứ (1.4) thỏa mãn thì, theo định lí Fubini, tích phân b |K (x, y)|2 dy, a tồn hầu khắp nơi với x ∈ (a, b) Trong nhiều trường hợp giả thiết thêm rằng: Tồn số A cho b |K (x, y)|2 dx ≤ A, a < x < b (1.5) a Nếu khoảng (a, b) hữu hạn, từ điều kiện (1.5) suy điều kiện thứ hai (1.4) Nghiệm u (x) phương trình tích phân tìm lớp hàm bình phương khả tích b |u (x)|2 dx < ∞ a 1.3 Phương trình tích phân với nhân suy biến Nhân suy biến phương trình tích phân nhân có dạng n K (x, s) = ak (x) bk (s) (1.6) i=1 Chúng ta giả thiết rằng, hàm ak (x) bk (s) bình phương khả tích khoảng (a, b) Đặt (1.6) vào phương trình b u (x) − λ K (x, s) u (s) ds = f (x) , a a < x < b, (1.7) ta n b u (x) − λ ak (x) bk (s) u (s) ds = f (x) (1.8) a k=1 Giả sử phương trình (1.8) có nghiệm Ký hiệu b bk (s) u (s) ds = Ck (1.9) a Từ (1.8) (1.9) suy n Ck ak (x) + f (x) , u (x) = λ a < x < b (1.10) k=1 Nhân hai vế (1.10) với bm (x), tích phân theo x (a, b), sử dụng ký hiệu (1.9), ta hệ phương trình đại số tuyến tính n Cm − λ amk Ck = fm , m = 1, 2, , n, (1.11) k=1 b amk = b ak (x) bm (x) dx, fm = a f (x) bm (x) dx a Nếu hệ đại số tuyến tính (1.11) khơng có nghiệm rõ ràng phương trình (1.7) khơng có nghiệm Giả sử hệ (1.11) có nghiệm C1 , C2 , , Cn Khi hàm u (x), xác định công thức (1.10) nghiệm phương trình (1.8) Định thức hệ (1.11) − λa11 −λa12 −λa21 − λa22 D (λ) = −λan1 −λan2 · · · −λa1n · · · −λa2n · · · −λann Rõ ràng D (λ) đa thức bậc n D (0) = Hệ (1.11) viết dạng (I − λA)c = f , (1.12) 36 Nhân Gε (x, t; λ) hàm giải tích λ ∆ρ , giá trị phức liên tục hình vng Q (a, b) Nó phản ánh điều chỉnh với nhân K (x, t) ban đầu dựa vào tích phân Cần lưu ý Gε (x, t; λ) rời rạc Dễ thấy điều đó, ta có b n b Rε (x, u; λ) Ksep (u, t) du = Rε (x, u; λ) a a (u) bi (t) du i=1 n b = Rε (x, u; λ) (u) du bi (t) a i=1 n Aεi (x; λ)bi (t), = i=1 b Aεi (x; λ) = Rε (x, u; λ) (u) du a ∞ b λm−1 Kεm (x, u) (u) du = a ∞ b λm−1 = (3.7) m=1 Kεm (x, u)ai (u) du a m=1 Khi chuỗi giải thức hội tụ tuyệt đối [a, b] với λ ∈ ∆ρ Mỗi Aεi (x; λ) hàm giải tích λ ∆ρ liên tục [a, b] Với quy ước chuẩn, nhân Gε (x, t; λ) viết dạng tách n Gε (x, t; λ) = [ai (x) + λAεi (x; λ)]bi (t) (3.8) i=1 Phân tích phương trình (3.4) với việc thay Gε (x, t; λ) phương trình (3.8), ta n φ (x) = fε (x; λ) + λ ci (λ) [ai (x) + λAεi (x; λ)], i=1 ta đặt b ci (λ) = φ (t) bi (t)dt a (3.9) 37 Mọi nghiệm phương trình (3.4) giả định dạng Nó giữ nguyên để xác định hệ số ci (λ) Nếu ta thay x t, thay đổi hệ số tổng từ i sang j , nhân hai vế phương trình (3.9) với bi (t), lấy tích phân đa thức từ a đến b, ta hệ phương trình tuyến tính n ci (λ) = fi (λ) + λ ci (λ) aij (λ), (3.10) j=1 với i = 1, , n, ta đặt b fi (λ) = fε (t; λ) bi (t)dt, a b aij (λ) = [aj (t) + λAεj (t; λ)]bi (t)dt (3.11) a Từ định nghĩa fi (λ) aij (λ) phụ thuộc vào nhân giải thức Rε (x, t; λ) hàm giải tích λ ∆ρ Hệ tuyến tính (3.10) viết dạng ma trận (I − λA (λ)) c (λ) = f (λ) (3.12) Định thức Fredholm Dρ (λ) = det (I − λA (λ)) hàm giải tích λ hình trịn đóng ∆ρ Một hàm giải tích xác định miền lân cận D mặt phẳng phức triệt tiêu tập hợp vô hạn điểm giới hạn D triệt tiêu tương tự miền lân cận D Khi Dρ (0) = 1, Dρ (λ) có hữu hạn số khơng ∆ρ Ma trận A tương ứng với A (λ) ma trận số định thức Fredholm Dρ (λ) = det (I − λA (λ)) đa thức bậc n với n số không Tuy nhiên Dρ (λ) không thiết đa thức, nhiều n số không, nhiều trường hợp, số số không hữu hạn Giá trị λ ∈ ∆ρ theo Dρ (λ) = giá trị tắc K (x, t) Nếu λ giá trị tắc nghiệm φ (x) phương trình tích phân khơng đồng (3.1) biểu diễn tích phân với nhân giải thức dựa định lý Fredholm thứ 38 Nói cách khác, giá trị λ Dρ (λ) = gọi giá trị riêng nhân K (x, t) Nếu λ giá trị riêng phương trình tích phân khơng đồng (3.1) có nghiệm khơng tầm thường gọi hàm riêng Trường hợp không đồng có mà khơng có nghiệm, phụ thuộc vào xét đến bổ sung Tích phân hệ tuyến tính (3.12) tiến hành với cách khác dựa giá trị định thức Fredholm Dρ (λ) Hệ tuyến tính phương trình (3.1) có xác nghiệm định thức khơng triệt tiêu Ngồi ra, hệ tuyến tính có vô số nghiệm vô nghiệm Ta xét hai trường hợp • Trường hợp : Dρ (λ) = det (I − λA (λ)) = Trong trường hợp này, hệ tuyến tính có nghiệm c (λ) = (I − λA (λ))−1 f (λ) = adj (I − λA (λ)) f (λ) , Dρ (λ) (3.13) với adj (I − λA (λ)) = (Dji (λ)) ma trận chuyển vị phần phụ đại số từ I − λA (λ) Mỗi hệ số ci (λ) biểu diễn dạng ci (λ) = Dρ (λ) n Dji (λ) fj (λ) j=1 Lưu ý: Dji (λ) hàm giải tích λ ∆ρ đóng Ta xét hai khả năng: Nếu f (λ) = c (λ) = 0, ci (λ) = với i = 1, · · · , n Khi nghiệm phương trình (3.4) có dạng chung (3.9), kéo theo φ (x) = fε (x; λ) Cụ thể, f (x) ≡ fε (x; λ) ≡ [a, b], nghiệm phương trình (3.4) φ (x) ≡ Dễ thấy f (x) = với fε (x; λ) = [a, b] Ví dụ, bi (t) trực giao với f (t) Kε (t, u) lặp lặp lại, f (λ) = Nếu f (x) = c (λ) = 0, ci (λ) = với số i Sau giá trị ci (λ) vào (3.9), ta 39  n φ (x) = fε (x; λ) + λ  i=1 Dρ (λ)  n Dji (λ) fj (λ) [ai (x) + λAεi (x; λ)] j=1 b = fε (x; λ) + λ Sε (x, t; λ) fε (t; λ) dt, a ta đặt Sε (x, t; λ) = n i=1 n j=1 Dji (λ) [ai (x) + λAεi (x; λ)] bj (t) Dρ (λ) (3.14) Nhân Sε (x, t; λ) hàm phân hình λ ∆ρ đóng, hàm tách x t Từ Sε (x, t; 0) = Ksep (x, t), Sε (x, t; λ) thể điều chỉnh Ksep (x, t) dựa phân tách K (x, t) viết thương âm định thức Sau fε (x; λ) vào φ (x), cuối ta có nghiệm phương trình (3.4) (3.1) dạng b φ (x) = f (x) + λ Uε (x, t; λ) f (t) dt, a Uε (x, t; λ) =Rε (x, t; λ) + Sε (x, t; λ) b +λ Sε (x, s; λ) Rε (s, t; λ)ds (3.15) a Giải thức Rε (x, t; λ) tương đối nhỏ, xác định cách lặp Kε (x, t) hạng tử tích phân nhỏ, từ Rε (s, t; λ) xuất hàm lấy tích phân Do Sε (x, t; λ) thành phần Uε (x, t; λ) Nhân Uε (x, t; λ) hàm phân hình λ ∆ρ đóng Thực ra, Uε (x, t; λ) giới hạn hàm phân hình tồn mặt phẳng λ Với ρ˜ với < ρ < ρ˜, ta xây dựng nhân giải thức khác U˜ε (x, t; λ) phân hình ∆ρ˜, nghiệm phương trình (3.4) biểu diễn dạng b φ (x) = f (x) + λ a U˜ε (x, t; λ)f (t) dt 40 ˜ε (x, t; λ) miền Tuy nhiên, φ (x) nhất, Uε (x, t; λ) = U ˜ε (x, t; λ) phân hình mở rộng lân cận với gốc tọa độ Suy ra, U Uε (x, t; λ) Khi ρ˜ lấy tùy ý, kéo theo Uε (x, t; λ) mở rộng toàn mặt phẳng λ, giả sử mở rộng Từ kết ta có định lý sau: 3.2 Định lý Fredholm thứ Định lý 3.1 (Định lý Fredholm thứ nhất) Cho λ tham số phức, f (x) hàm phức liên tục, xác định [a, b] K (x, t) nhân phức liên tục, xác định miền Q (a, b) nghiệm φ (x) phương trình tích phân Fredholm loại b φ (x) = f (x) + λ K (x, t) φ (t) dt, a biểu diễn dạng b φ (x) = f (x) + λ R (x, t; λ) f (t) dt, a với giá trị tắc λ, với nhân giải thức R (x, t; λ) hàm phân hình λ mặt phẳng phức C Lưu ý: Nếu λ giá trị tắc phương trình tích phân đồng có nghiệm φ (x) ≡ [a, b] Nếu f (x) ≡ [a, b] fε (x, λ) ≡ 0, f (λ) = 0, giả định c (λ) = Dạng thông thường (3.9) nghiệm dẫn đến φ (x) ≡ 3.3 Định lý Fredholm thứ tư Định lý 3.2 (Định lí Fredholm thứ tư) Cho K (x, t) nhân phức liên tục, xác định hình vng Q (a, b) Cho ΛK tập giá trị riêng nhân K (x, t), tập giá trị λ phương trình tích phân Fredholm đồng b φ (x) = λ K (x, t) φ (t) dt, a 41 có nghiệm khơng tầm thường ΛK đếm khơng có điểm giới hạn hữu hạn • Trường hợp : Dρ (λ) = det (I − λA (λ)) = Trong trường hợp có số hữu hạn giá trị λ ∈ ∆ρ với Dρ (λ) = Ta xét hai trường hợp: Nếu f (λ) = hệ tuyến tính (I − λA (λ)) c (λ) = 0, (3.16) có số lượng định p (λ) véctơ độc lập tuyến tính khác khơng c(j) (λ) , j = 1, · · · , p (λ), viết dạng   (j) c1 (λ)   c(j) (λ) =   (j) cn (λ) (j) Chèn giá trị ci (λ) vào phương trình (3.9) để đạt nghiệm phương trình (3.1) Nếu f (x) ≡ [a, b], fε (x; λ) ≡ Với j = 1, · · · , p (λ), dạng thông thường nghiệm đối chiếu với phương trình (3.1) n (e) φj (x; λ) (j) = ci (λ) [ai (x) + λAεi (x; λ)] i=1 n (j) ci (λ) = (3.17) b (x) + λ Rε (x, t; λ) (u) du , a i=1 (e) số mũ (e) cho thấy φj (x; λ) hàm riêng nhân K (x, t) Tập hàm riêng tương ứng với giá trị riêng λ tạo thành không gian riêng với số chiều p (λ) Nghiệm thơng thường phương trình tích phân đồng tương ứng với giá trị riêng λ cho trước có dạng p(λ) (e) φ(h) (x; λ) = αj φj (x; λ) , j=1 đó, αj số ngẫu nhiên, số mũ (h) cho thấy nghiệm φ(h) (x; λ) nghiệm thường gặp phương trình đồng tương ứng với giá trị riêng λ 42 Số p (λ) hàm riêng độc lập tuyến tính tương ứng với giá trị riêng λ gọi bội số hình học giá trị riêng Bội số hình học giá trị riêng nhỏ bội số đại số giá trị riêng, λ m (λ) - gốc ban đầu phương trình Dρ (λ) = ≤ p (λ) ≤ m (λ) Khi λ giá trị riêng nhân rời rạc, để xét phương trình tích phân liên hợp đồng tiến hành phân tích phương trình tích phân khơng đồng (3.1) Tại đây, kiểm tra mối quan hệ λ giá trị riêng nhân thông thường Xét phương trình tích phân liên hợp đồng b ψ (x) = λ K (t, x)ψ (t) dt, (3.18) a với K (x, t) giá trị phức liên tục Q (a, b) Nếu ta kết hợp thành phần nhân đổi biến, ta được: K (t, x) = Ksep (t, x) + Kε (t, x) Nếu ta khai triển vào tích phân đồng xếp lại hạng tử, ta có b ω (x) = ψ (x) − λ b Kε (t, x)ψ (t) dt = λ a Ksep (t, x)ψ (t) dt (3.19) a Nếu ψ (x) ≡ ω (x) ≡ [a, b] Khi vế trái phương trình phương trình Fredholm khơng đồng với nhân tương đối nhỏ, định lý xấp xỉ liên tiếp áp dụng ψ (x) có dạng b ψ (x) = ω (x) + λ Rε (t, x; λ)ω (t) dt, (3.20) a nhân giải thức Rε (t, x; λ) liên hợp phức nhân giải thức Rε (t, x; λ) xây dựng từ tích phân nhân Kε (x, t) Dễ dàng ω (x) ≡ ψ (x) ≡ [a, b] Do ω (x) ψ (x) đồng thời triệt tiêu Nếu ta vế phải phương trình (3.19) cho ω (x) vào phương trình cuối ta b ψ (x) = λ Gε (t, x; λ)ψ (t) dt, a (3.21) 43 với Gε (t, x; λ) hàm liên hợp phức nhân Gε (t, x; λ) phương trình b φ (x) = fε (x; λ) + λ Gε (t, x; λ) φ (t) dt a Từ ta có n Gε (t, x; λ) = [ai (t) + λAεi (t; λ)]bi (x) (3.22) i=1 Kéo theo nghiệm (3.21) biểu diễn n (e) ψj (x; λ) (j) =λ di (λ) bi (x) , i=1 với j = 1, · · · , q (λ), q (λ) bội số hình học λ ta đặt (j) di (λ) b ψ (t)[ai (t) + λAεi (t; λ)]dt = a Ta kết luận λ giá trị riêng K (t, x) tất nghiệm độc lập tuyến tính q (λ) cho trước Khi phương trình (3.21) phương trình b φ (x) = λ Gε (x, t; λ)φ (t) dt, a có nhân liên hợp phải độc lập tuyến tính, nghĩa p (λ) = q (λ) 3.4 Định lý Fredholm thứ hai Định lý 3.3 (Định lí Fredholm thứ hai) Cho K (x, t) nhân phức liên tục xác định hình vuông Q (a, b) Nếu λ giá trị riêng K (x, t) λ giá trị riêng nhân liên hợp K (t, x) Số hàm riêng độc lập tuyến tính phương trình đồng b φ (x) = λ K (x, t) φ (t) dt, a với số hàm riêng độc lập tuyến tính với phương trình liên hợp đồng b ψ (x) = λ K (x, t)ψ (t) dt a 44 Nếu f (λ) = hai số hạng tự fε (x; λ) f (x) không bị triệt tiêu đồng [a, b], phương trình b φ (x) = f (x) + λ K (x, t) φ (t)dt, a b φ (x) = fε (x; λ) + λ Gε (x, t; λ) φ (t)dt, a không đồng thời đồng đồng thời thỏa mãn φ (x) Khi Gε (x, t; λ) rời rạc, định lý Fredholm thứ ba phương trình tích phân với nhân rời rạc kết luận phương trình cuối có nghiệm fε (x; λ) trực giao với nghiệm phương trình liên hợp đồng b ψ (x) = λ Gε (t, x; λ)ψ (t) dt a Nếu ω (x) nghiệm này, sau đó, biểu diễn theo (3.5), ta có b b fε (t; λ) ω (t)dt = a b f (t) + λ a Rε (t, s; λ) f (s) ds ω (t)dt a b = b b f (t) ω (t)dt + λ Rε (t, s; λ) f (s) ω (t)dsdt a a b b = f (t) ω (t) + λ a Rε (s, t; λ) ω (s)ds dt a b b = a f (t) ω (t) + λ a Rε (s, t; λ)ω (s) ds dt a b = f (t) ψ (t)dt a Từ phương trình ta kết luận fε (x; λ) trực giao với ω (x) f (x) trực giao với nghiệm ψ (x) phương trình liên hợp đồng b ψ (x) = λ K (t, x)ψ (t) dt a Những nhận định đưa đến kết sau 45 3.5 Định lý Fredholm thứ ba Định lý 3.4 (Định lí Fredholm thứ ba) Cho λ tham số phức, f (x) hàm phức liên tục xác định [a, b], K (x, t) nhân phức liên tục hình vng Q (a, b) Nếu λ giá trị riêng K (x, t) phương trình tích phân Fredholm loại hai không đồng b φ (x) = f (x) + λ K (x, t) φ (t) dt, a có nghiệm số hạng tự f (x) trực giao với hàm riêng phương trình liên hợp đồng b ψ (x) = λ K (t, x)ψ (t) dt a Ví dụ 3.1 Phương trình Lalesco–Picard Ví dụ nhấn mạnh tầm quan trọng định lý Fredholm thứ tư Hãy xem xét phương trình tích phân đồng +b φ (x) = λ e−|x−t| φ(t)dt, −b < λ < +∞ < b ≤ +∞ Sự diện giá trị tuyệt đối tích phân yêu cầu phương trình mở rộng theo dạng thức tương đương φ (x) = λ e −x x +b t e φ(t)dt + e −b x e−t φ(t)dt x Sau phép lấy vi phân đơn giản, đạt phương trình vi phân thường tuyến tính cấp hai φ (x) + (2λ − 1) φ (x) = Bất kỳ giải pháp cho phương trình Lalesco-Picard thiết phải giải pháp phương trình vi phân này, có hai nghiệm tuyến tính độc lập có dạng thức phụ thuộc vào giá trị λ Những nghiệm 46  √ √   Asinh( , − 2λ) + B cosh − 2λ , < λ <    φ (x) = A + Bx, λ = ,    √ √   Asin( 2λ − 1) + B cos 2λ − , < λ < +∞ Ta xét ba trường hợp : Trường hợp I: < λ < √ Trong trường hợp này, ta đặt µ = − 2λ hay λ = − µ2 /2, < µ < Sau thay φ (x) = sinh(µx) vào phương trình tích phân mở rộng, ta có sinh(µx) = sinh (µx) + λe−b sinhx − ebµ e−bµ + , 1−µ µ+1 sau thay φ (x) = cosh(µx), ta có cosh(µx) = cosh (µx) − λe−b coshx ebµ e−bµ + 1−µ µ+1 Nếu b = +∞ đẳng thức giữ nguyên hai phương trình, bao (e) (e) hàm hai φ1 (x, λ) = sinh (µx) φ2 (x, λ) = cosh (µx) hàm riêng nhân cho λ ∈ 0, Tuy nhiên, b < +∞ đẳng thức khơng thể giữ nguyên hai phương trình cho giá trị b, sinh(µx) cosh(µx) hàm riêng nhân cho λ ∈ 0, Trường hợp II: λ = Sau thay φ (x) = φ (x) = x thành phương trình tích phân khuếch đại, có = − e−b , x = x − (b + 1) e−b sinhx Nếu b = +∞ bất đẳng thức giữ nguyên hai phương trình, 1 (e) (e) bao hàm hai φ1 x; = φ2 x; = x hàm riêng nhân 2 47 Tuy nhiên, b < +∞, sau đẳng thức giữ nguyên hai phương trình cho giá trị b, hoặc s hàm riêng nhân < λ < +∞ √ Trong trường hợp này, ta đặt µ = 2λ − λ = + µ2 /2 < µ < +∞ Sau thay φ (x) = sin (µx) vào phương trình tích phân mở rộng, có Trường hợp III: sin (µx) = sin (µx) − e−b sinhx (sin (µb) + µcos (µb)) , sau thay φ (x) = cos (µx), ta cos (µx) = cos (µx) + e−b coshx (µsin (µb) − cos (µb)) Nếu b = +∞, đẳng thức giữ nguyên hai phương trình bao (e) (e) hàm φ1 (x, λ) = sin (µx) φ2 (x, λ) = cos (µx) hàm riêng , +∞ nhân cho λ ∈ Tuy nhiên, b < +∞ đẳng thức giữ nguyên phương trình sin (µb) + cos (µb) = 0, tan (µb) = −µ Với giá trị cố định b, có vơ số giá trị riêng λn = + µ2n /2 (e) tương ứng với giá trị riêng φ1 (x; λn ) = sin (µn x) Đẳng thức giữ ngun phương trình thứ hai µ sin (µb) − cos (µb) = 0, tan (µb) = 1/µ Với giá trị cố định b, có vơ số giá trị riêng (e) λn = + µ2n /2 tương ứng với giá trị riêng φ2 (x; λn ) = cos (µn x) Tóm lại, ta có kết luận sau: - Nếu b = +∞ λ ∈ (0, +∞) giá trị riêng nhân Hai hàm riêng ứng với giá trị riêng λ - Nếu b < +∞, có tập vơ hạn đếm giá trị riêng rời rạc {λn } mà khơng có điểm giới hạn hữu hạn, phù hợp với định lí Fredholm thứ tư Một hàm riêng tương ứng với giá trị riêng λn 48 Kết luận Luận văn trình bày vấn đề học tập kiến thức sau đây: Trình bày lý thuyết phương trình Fredholm theo mức độ khó dần, từ trường hợp nhân suy biến (hay gọi tách biến) đến nhân tổng quát Giới thiệu ba phương pháp giải phương trình Fredholm, phương pháp thay liên tiếp, phương pháp xấp xỉ liên tiếp phương pháp xấp xỉ Xét nhiều ví dụ để minh họa cho lý thuyết tương ứng Trong trình hoàn thành luận văn này, tác giả củng cố nhiều kiến thức học, giải tích hàm đại số tuyến tính Điều quan lĩnh hội lý thuyết ứng dụng phương trình tích phân Fredholm loại hai Qua luận văn này, tác giả bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học, thu thập tài liệu, dịch tài liệu tiếng Việt, xử lý biên tập chúng để thành môt luận văn khoa học không trùng lặp với cơng trình tương tự có tiếng Việt 49 Tài liệu tham khảo [1] Ram P Kanwal (1997), Linear Integral Equations, Birkhauser [2] M Rahman (2007), Integral Equations and Their Applications,WIT Press [3] Y V Shestopalov and Y G Smirnov (2002) , Integral Equations, Karlstad [4] S M Zemyan (2012) , The Classical Theory Of Integral Equations, A Consise Treament, Spinger Science, LLC 50 Luận văn với đề tài "Phương trình tích phân Fredholm loại II" học viên Ma Vĩnh Huy chỉnh sửa theo ý kiến đóng góp Hội đồng chấm luận văn họp Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên ngày 11 tháng 10 năm 2014 Người hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Văn Ngọc ... thuyết phương trình tích phân Fredholm loại II Với đề tài "Phương trình tích phân Fredholm loại II" , tác giả trình bày khái niệm phương trình Fredholm, định lý Fredholm, tồn nghiệm phương trình phương. .. trọng tốn học Hai loại phương trình tích phân quan trọng nghiên cứu phát triển vào năm đầu kỷ 20 phương trình tích phân Fredholm loại II phương trình tích phân Volterra Luận văn trình bày mơt số... 1: Phương trình tích phân với nhân suy biến Chương trình bày khơng gian hàm khả tổng bản, khái niệm phương trình Fredholm Nội dung chương trình bày cách giải phương trình Fredholm (loại II)