Nguyên lý biến phân đối với bài toán biên thứ nhất của phương trình Elliptic

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LƯƠNG THỊ DUNG NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN ĐỐI VỚI BÀI TOÁN BIÊN THỨ NHẤT CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60 46 36 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN THÁI NGUYÊN, 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa Học, Đại học Thái Nguyên Trong trình học tập làm luận văn, thông qua giảng, tác giả nhận quan tâm giúp đỡ, bảo tận tình ý kiến đóng góp quý báu thầy cô giáo trường Đại học Khoa Học, Đại Học Thái Nguyên, giáo sư Viện Toán học Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng biết đến thầy cô Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, phòng Đào tạo khoa học Quan hệ Quốc tế, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sau sắc tới P GS.T S Hà Tiến Ngoạn, thầy tận tình hướng dẫn, bảo tác giả suốt thời gian tác giả thực luận văn trực tiếp hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè cảm thông, theo sát động viên, ủng hộ chia sẻ khó khăn suốt thời gian tác giả học tập làm luận văn, giúp Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tác giả có điều kiện tốt trình học tập làm luận văn Thái Nguyên, ngày 20 tháng năm 2012 Tác giả Lương Thị Dung Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Một số ký hiệu chữ viết tắt Phép tính biến phân 1.1 Một số không gian hàm 1.1.1 Không gian Lp (Ω) 1.1.2 Không gian H 1,2 (Ω) 10 1.1.3 Không gian H01,2 (Ω) 10 1.2 Phiếm hàm toàn phương H01,2 (Ω) 19 1.3 Phiếm hàm H01,2 (Ω) 25 1.4 Phiếm hàm lồi 26 Phương pháp biến phân toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic cấp 33 2.1 Nghiệm suy rộng toán Dirichlet 33 2.1.1 Bài toán Dirichlet 33 2.1.2 Nghiệm suy rộng 34 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.1.3 Sự tồn nghiệm suy rộng 34 2.2 Nguyên lý Dirichlet 35 2.3 Phương pháp Galerkin tìm nghiệm gần 37 2.3.1 Trường hợp g ≡ ∂Ω 37 2.3.2 Trường hợp g = ∂Ω 39 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Nghiệm suy rộng toán biên Drichlet phương trình elliptic cấp miền Ω định nghĩa không gian H 1,2 (Ω) hàm số gồm hàm số mà đạo hàm riêng đến cấp bình phương khả tích Ω Người ta chứng minh nghiệm suy rộng có liên quan chặt chẽ đến cực tiểu hóa phiếm hàm lượng tương ứng Luận văn trình bày nguyên lý biến phân toán biên thứ cho phương trình elliptic tuyến tính cấp Các vấn đề đề cập luận văn tập hợp từ [1] Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, Luận văn gồm có hai chương Phần đầu chương Luận văn trình bày số kiến thức chuẩn bị không gian H 1,2 (Ω) H01,2 (Ω) phiếm hàm không gian Phần tiếp theo, Luận văn trình bày tồn phần tử cực tiểu hóa phiếm hàm Phần cuối chương 1, Luận văn trình bày điều kiện cần đủ để phần tử cực tiểu hóa Trong chương 2, Luận văn trình bày nguyên lý biến phân toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic cấp Nguyên Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn lý Dirichlet phát biểu sau: Hàm u(x) ∈ H 1,2 (Ω), u(x) = g(x) ∂Ω nghiệm suy rộng toán Dirichlet cực tiểu hóa phiếm hàm lượng tương ứng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Một số ký hiệu chữ viết tắt R Rn Rd Wd W (Ω) Tập số thực Không gian Euclidean n chiều Không gian Euclidean d chiều Thể tích hình cầu đơn vị Rd Không gian sinh tích vô hướng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Phép tính biến phân 1.1 1.1.1 Một số không gian hàm Không gian Lp (Ω) Cho Ω ∈ Rn miền Rn Không gian Lp (Ω), ≤ p < +∞ tập hợp tất hàm f (x) đo Ω |f (x)|p khả tích Ω, tức |f (x)|p dx < +∞ Ω Trong Lp (Ω) ta đưa vào chuẩn 1 p p  |f (x)| dx  ||f (x)||Lp (Ω) =  (1.1) Ω Khi Lp (Ω) không gian Banach Không gian L2 (Ω) không gian Hilbert với tích vô hướng sau (f, g)L2 (Ω) = f (x)g(x)dx (1.2) Ω Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 Giả sử số p q thỏa mãn điều kiện p ≥ 1, q ≥ 1, 1 + = p q Khi ta có bất đẳng thức Holder sau |f (x)g(x)|dx ≤ ||f ||Lp (Ω) ||g||Lq (Ω) (1.3) Ω 1.1.2 Không gian H 1,2 (Ω) ¯ không gian tiền Hilbert với tích vô hướng Không gian C (Ω) chuẩn sau  < u, v >C (Ω) ¯ = Dj (u)Dj (v) + u(x)v(x) dx,  Ω  n (1.4) j=1  ||u||2C (Ω) ¯ = n u2 + Ω  (Dj u)2  dx (1.5) j=1 ∂u ∂xj ¯ theo chuẩn (1.5) Ta kí hiệu H 1,2 (Ω) bao đóng C (Ω) Trong Dj u = 1.1.3 Không gian H01,2 (Ω) Không gian H01,2 (Ω) không gian không gian H 1,2 (Ω) H01,2 (Ω) = {u(x) ∈ H 1,2 (Ω), u|∂Ω = 0} Ta định nghĩa H01,2 (Ω) bao đóng C0∞ (Ω) chuẩn (1.5), C0∞ (Ω) không gian tất hàm số khả vi vô hạn có giá compact Ω Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... chương 2, Luận văn trình bày nguyên lý biến phân toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic cấp Nguyên Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn lý Dirichlet phát... quan chặt chẽ đến cực tiểu hóa phiếm hàm lượng tương ứng Luận văn trình bày nguyên lý biến phân toán biên thứ cho phương trình elliptic tuyến tính cấp Các vấn đề đề cập luận văn tập hợp từ [1]... Phiếm hàm toàn phương H01,2 (Ω) 19 1.3 Phiếm hàm H01,2 (Ω) 25 1.4 Phiếm hàm lồi 26 Phương pháp biến phân toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic cấp