Không gian Sobolev nghiệm yếu của phương trình Elliptic

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG KIM CHI KHÔNG GIAN SOBOLEV NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG KIM CHI KHÔNG GIAN SOBOLEV NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU KHÔNG GIAN SOBOLEV 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Không gian Wk,p (Ω) ; W0k,p (Ω) Không gian Wk,p (Ω) 1.2.1 1.2.2 Ví dụ 13 1.2.3 Không gian W0k,p (Ω) 14 1.3 Định lý nhúng 20 1.4 Đánh giá vị định lý nhúng 24 NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC 2.1 2.2 31 Khái niệm nghiệm yếu 31 2.1.1 Công thức tích phân phần 31 2.1.2 Định nghĩa 31 2.1.3 Sự tồn nghiệm yếu 33 Độ trơn nghiệm yếu 36 2.2.1 Độ trơn bên miền 36 2.2.2 Độ trơn toàn miền 40 2.2.3 Nghiệm yếu phương trình elliptic tổng quát 42 KẾT LUẬN Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 44 http://www.lrc-tnu.edu.vn i TÀI LIỆU THAM KHẢO Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 45 http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình bảo nghiêm khắc PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến thầy giáo Tôi xin kính gửi lời cảm ơn chân thành đến đến thầy giáo, cô giáo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên thầy cô giáo tham gia giảng dạy khóa học cao học 2010-2012, người đem hết tâm huyết nhiệt tình để giảng dạy trang bị cho nhiều kiến thức sở Tôi xin cảm ơn tập thể giáo viên trường Đại học Hàng Hải nơi công tác giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho suốt khóa học trình làm luận văn Cuối xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè thân thiết người động viên chia sẻ, giúp suốt trình học tập làm luận văn Thái Nguyên, tháng 07 năm 2012 Tác giả Hoàng Kim Chi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Bảng kí hiệu N: tập số tự nhiên Rn : không gian n chiều H: không gian Hilbert L: toán tử tuyến tính I : ánh xạ đồng Dα : đạo hàm bậc α Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Một số phương trình elliptic cấp hai thường suy từ định luật bảo toàn Do đó, nghiệm phương trình mở rộng, không thiết thuộc lớp C , mà cần thuộc lớp W 1,2 thỏa mãn đẳng thức tích phân với hàm thử v thuộc lớp W01,2 Dựa tài liệu [1], [2], luận văn trình bày cách hệ thống lý thuyết lớp nghiệm suy rộng cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn Luận văn gồm hai chương I II Trong chương I, luận văn trình bày không gian Sobolev W k,p (Ω) W0k,p (Ω) định lý nhúng Chương II nội dung luận văn, trình bày khái niệm nghiệm yếu phương trình, nghiệm yếu toán Dirichlet định lý tồn nghiệm yếu Luận văn trình bày độ trơn nghiệm yếu khẳng định: hệ số vế phải phương trình cho trước biên thuộc lớp C ∞ (∂Ω) nghiệm yếu u(x) khả vi vô hạn Ω Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương KHÔNG GIAN SOBOLEV 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong phần ta liệt kê số định lý định nghĩa cần thiết: Định lý 1.1 (Định lý Riesz) Với phiếm hàm tuyến tính bị chặn F không gian Hilbert H tồn phần tử xác định f ∈ H cho F (x) = (x, f ) với x ∈ H F = f đồng thời ta có: (x, f ) = F F (x) f F (f ) = sup x=0 f = |(x, f )| x (f, f ) = F (f ) Định lý 1.2 Giả sử T ánh xạ tuyến tính compact không gian tuyến tính định chuẩn V vào Khi hoặc: i) phương trình x−T x = có nghiệm không tầm thường x ∈ V hoặc: ii) với y ∈ V phương trình x − T x = y có nghiệm xác định x ∈ V Hơn nữa, trường hợp ii) toán tử (I − T )−1 mà tồn khẳng định bị chặn Định lý 1.3 (Định lý Lax-Milgram) Giả sử B dạng song tuyến tính Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn bức, bị chặn không gian Hilbert, tức i)∃M > : |B (x, y)| ≤ M x y , ∀x, y ∈ H ii)∃λ > : B (x, x) ≥ λx2 , ∀x ∈ H Khi đó, với phiếm hàm tuyến tính bị chặn F ∈ H∗ , tồn phần tử f ∈ H cho: B (x, f ) = F (x) với x ∈ H Định lý 1.4 Giả sử H không gian Hilbert T ánh xạ compact từ H vào Khi đó, tồn tập đếm Λ ⊂ R điểm giới hạn trừ λ = cho: λ = 0, λ ∈ / Λ phương trình λx − T x = y, λx − T ∗ x = y (1.1) có nghiệm xác định x ∈ H với y ∈ H ánh xạ ngược (λI − T )−1 , (λI − T ∗ )−1 bị chặn Nếu λ ∈ Λ, không gian không ánh xạ λI − T, λI − T ∗ có số chiều dương hữu hạn, phương trình (1.1) giải y trực giao với không gian không λI − T ∗ trường hợp thứ λI − T trường hợp lại Định lý 1.5 Một dãy bị chặn không gian Hilbert chứa dãy hội tụ yếu Định nghĩa 1.1 Toán tử vi phân đạo hàm riêng cấp hai dạng không bảo toàn có dạng: Lu = aij (x) Dij u + bi (x) Di u + c (x) u; aij = aji x = (x1 , , xn ) nằm miền Ω Rn , n ≥ L elliptic điểm x ∈ Ω thỏa mãn ma trận aij (x) xác định dương Vậy λ (x) , ∆ (x) giá trị cực tiểu cực đại giá trị riêng aij (x) đó: < λ (x) |ξ|2 ≤ aij (x) ξi ξj ≤ ∆ (x) |ξ|2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn với ξ = ξ1 , , ξn ∈ Rn \ {0} Nếu λ > Ω, L elliptic Ω elliptic ngặt λ ≥ λ0 > với số λ0 > Định lý 1.6 Cho L elliptic ngặt miền Ω bị chặn, với c ≤ 0, f hệ số L thuộc vào C α Ω Giả sử Ω miền C 2,α ϕ ∈ C 2,α Ω Khi đó, toán Dirichlet Lu = f Ω, u = ϕ ∂Ω có nghiệm nằm C 2,α Ω Định lý 1.7 Cho Ω miền C k+2,α (k ≥ 0) ϕ ∈ C k+2,α Ω Giả sử u hàm thuộc C Ω ∩ C (Ω) thỏa mãn Lu = f Ω u = ϕ ∂Ω, f hệ số toán tử elliptic ngặt thuộc C k,α Ω Khi u ∈ C k+2,α Ω 1.2 Không gian Wk,p (Ω) ; W0k,p (Ω) Một toán quan trọng phương trình đạo hàm riêng phương trình Poisson: ∆u = f (1.2) Nghiệm phương trình (1.2) thỏa mãn đồng thức tích phân: DuDϕdx = − Ω f ϕdx Ω u = u (x1 , , xn ) ẩn hàm, f = f (x1 , , xn ) hàm số cho trước, ϕ = ϕ (x1 , , xn ) ∈ C01 (Ω) không gian hàm khả vi liên tục có giá compact, n ∂ 2u ∆u = 2, i=1 ∂xi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... dung luận văn, trình bày khái niệm nghiệm yếu phương trình, nghiệm yếu toán Dirichlet định lý tồn nghiệm yếu Luận văn trình bày độ trơn nghiệm yếu khẳng định: hệ số vế phải phương trình cho trước... văn trình bày cách hệ thống lý thuyết lớp nghiệm suy rộng cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn Luận văn gồm hai chương I II Trong chương I, luận văn trình bày không gian Sobolev. ..ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG KIM CHI KHÔNG GIAN SOBOLEV NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN