Không gian sobolev nghiệm yếu của phương trình elliptic

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HỒNG KIM CHI KHƠNG GIAN SOBOLEV NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HỒNG KIM CHI KHƠNG GIAN SOBOLEV NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU KHÔNG GIAN SOBOLEV 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Không gian Wk,p (Ω) ; W0k,p (Ω) Không gian Wk,p (Ω) 1.2.1 1.2.2 Ví dụ 13 1.2.3 Không gian W0k,p (Ω) 14 1.3 Định lý nhúng 20 1.4 Đánh giá vị định lý nhúng 24 NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC 2.1 2.2 31 Khái niệm nghiệm yếu 31 2.1.1 Công thức tích phân phần 31 2.1.2 Định nghĩa 31 2.1.3 Sự tồn nghiệm yếu 33 Độ trơn nghiệm yếu 36 2.2.1 Độ trơn bên miền 36 2.2.2 Độ trơn toàn miền 40 2.2.3 Nghiệm yếu phương trình elliptic tổng quát 42 KẾT LUẬN Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 44 http://www.lrc-tnu.edu.vn i TÀI LIỆU THAM KHẢO Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 45 http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình bảo nghiêm khắc PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến thầy giáo Tôi xin kính gửi lời cảm ơn chân thành đến đến thầy giáo, cô giáo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên thầy giáo tham gia giảng dạy khóa học cao học 2010-2012, người đem hết tâm huyết nhiệt tình để giảng dạy trang bị cho nhiều kiến thức sở Tôi xin cảm ơn tập thể giáo viên trường Đại học Hàng Hải nơi công tác giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt khóa học q trình làm luận văn Cuối tơi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè thân thiết người động viên chia sẻ, giúp suốt trình học tập làm luận văn Thái Nguyên, tháng 07 năm 2012 Tác giả Hoàng Kim Chi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Bảng kí hiệu N: tập số tự nhiên Rn : không gian n chiều H: không gian Hilbert L: tốn tử tuyến tính I : ánh xạ đồng Dα : đạo hàm bậc α Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Một số phương trình elliptic cấp hai thường suy từ định luật bảo tồn Do đó, nghiệm phương trình mở rộng, không thiết thuộc lớp C , mà cần thuộc lớp W 1,2 thỏa mãn đẳng thức tích phân với hàm thử v thuộc lớp W01,2 Dựa tài liệu [1], [2], luận văn trình bày cách hệ thống lý thuyết lớp nghiệm suy rộng cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo tồn Luận văn gồm hai chương I II Trong chương I, luận văn trình bày khơng gian Sobolev W k,p (Ω) W0k,p (Ω) định lý nhúng Chương II nội dung luận văn, trình bày khái niệm nghiệm yếu phương trình, nghiệm yếu toán Dirichlet định lý tồn nghiệm yếu Luận văn trình bày độ trơn nghiệm yếu khẳng định: hệ số vế phải phương trình cho trước biên thuộc lớp C ∞ (∂Ω) nghiệm yếu u(x) khả vi vô hạn Ω Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương KHÔNG GIAN SOBOLEV 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong phần ta liệt kê số định lý định nghĩa cần thiết: Định lý 1.1 (Định lý Riesz) Với phiếm hàm tuyến tính bị chặn F khơng gian Hilbert H tồn phần tử xác định f ∈ H cho F (x) = (x, f ) với x ∈ H F = f đồng thời ta có: (x, f ) = F F (x) f F (f ) = sup x=0 f = |(x, f )| x (f, f ) = F (f ) Định lý 1.2 Giả sử T ánh xạ tuyến tính compact khơng gian tuyến tính định chuẩn V vào Khi hoặc: i) phương trình x−T x = có nghiệm khơng tầm thường x ∈ V hoặc: ii) với y ∈ V phương trình x − T x = y có nghiệm xác định x ∈ V Hơn nữa, trường hợp ii) toán tử (I − T )−1 mà tồn khẳng định bị chặn Định lý 1.3 (Định lý Lax-Milgram) Giả sử B dạng song tuyến tính Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn bức, bị chặn không gian Hilbert, tức i)∃M > : |B (x, y)| ≤ M x y , ∀x, y ∈ H ii)∃λ > : B (x, x) ≥ λx2 , ∀x ∈ H Khi đó, với phiếm hàm tuyến tính bị chặn F ∈ H∗ , tồn phần tử f ∈ H cho: B (x, f ) = F (x) với x ∈ H Định lý 1.4 Giả sử H không gian Hilbert T ánh xạ compact từ H vào Khi đó, tồn tập đếm Λ ⊂ R khơng có điểm giới hạn trừ λ = cho: λ = 0, λ ∈ / Λ phương trình λx − T x = y, λx − T ∗ x = y (1.1) có nghiệm xác định x ∈ H với y ∈ H ánh xạ ngược (λI − T )−1 , (λI − T ∗ )−1 bị chặn Nếu λ ∈ Λ, không gian không ánh xạ λI − T, λI − T ∗ có số chiều dương hữu hạn, cịn phương trình (1.1) giải y trực giao với không gian không λI − T ∗ trường hợp thứ λI − T trường hợp lại Định lý 1.5 Một dãy bị chặn không gian Hilbert chứa dãy hội tụ yếu Định nghĩa 1.1 Toán tử vi phân đạo hàm riêng cấp hai dạng khơng bảo tồn có dạng: Lu = aij (x) Dij u + bi (x) Di u + c (x) u; aij = aji x = (x1 , , xn ) nằm miền Ω Rn , n ≥ L elliptic điểm x ∈ Ω thỏa mãn ma trận aij (x) xác định dương Vậy λ (x) , ∆ (x) giá trị cực tiểu cực đại giá trị riêng aij (x) đó: < λ (x) |ξ|2 ≤ aij (x) ξi ξj ≤ ∆ (x) |ξ|2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn với ξ = ξ1 , , ξn ∈ Rn \ {0} Nếu λ > Ω, L elliptic Ω elliptic ngặt λ ≥ λ0 > với số λ0 > Định lý 1.6 Cho L elliptic ngặt miền Ω bị chặn, với c ≤ 0, f hệ số L thuộc vào C α Ω Giả sử Ω miền C 2,α ϕ ∈ C 2,α Ω Khi đó, tốn Dirichlet Lu = f Ω, u = ϕ ∂Ω có nghiệm nằm C 2,α Ω Định lý 1.7 Cho Ω miền C k+2,α (k ≥ 0) ϕ ∈ C k+2,α Ω Giả sử u hàm thuộc C Ω ∩ C (Ω) thỏa mãn Lu = f Ω u = ϕ ∂Ω, f hệ số toán tử elliptic ngặt thuộc C k,α Ω Khi u ∈ C k+2,α Ω 1.2 Không gian Wk,p (Ω) ; W0k,p (Ω) Một tốn quan trọng phương trình đạo hàm riêng phương trình Poisson: ∆u = f (1.2) Nghiệm phương trình (1.2) thỏa mãn đồng thức tích phân: DuDϕdx = − Ω f ϕdx Ω u = u (x1 , , xn ) ẩn hàm, f = f (x1 , , xn ) hàm số cho trước, ϕ = ϕ (x1 , , xn ) ∈ C01 (Ω) không gian hàm khả vi liên tục có giá compact, n ∂ 2u ∆u = 2, i=1 ∂xi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 Chương NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC 2.1 Khái niệm nghiệm yếu 2.1.1 Cơng thức tích phân phần a Hàm biến b b b f (x) g (x) dx = f (x) g (x) a − a f (x) g (x) dx (2.1) a b Hàm nhiều biến Cho x ∈ ∂Ω; νx = (ν1 , ν2 , , νn ) vectơ pháp tuyến đơn vị Khi đó: Dxj f (x) g (x) dx = Ω 2.1.2 f (x) g (x) νj (x) dS− ∂Ω f (x) Dxj g (x) dx (2.2) Ω Định nghĩa Chương ta xem xét toán tử tuyến tính elliptic có phần dạng bảo tồn, hệ số với giả thiết trơn, yếu tương đối Xét toán tử L dạng: Lu = Di aij (x) Dj u + bi (x) u + ci (x) Di u + d (x) u (2.3) đó: aij , bi , ci , d (i, j = 1, , n) hàm đo miền Ω ⊂ Rn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 Giả sử, hàm u khả vi yếu, hàm aij Dj u + bi u, ci Di u, i = 1, , n khả tích địa phương, với nghĩa yếu suy rộng hàm u gọi thỏa mãn Lu = miền Ω đẳng thức tích phân sau thỏa mãn: aij Dj u + bi u Di v − ci Di u + du v dx = L (u, v) = (2.4) Ω với hàm v ∈ C01 (Ω) a Nghiệm yếu phương trình Cho f i , g, i = 1, , n hàm khả tích địa phương Ω Hàm u ∈ W 1,2 (Ω) gọi nghiệm yếu hay nghiệm suy rộng phương trình khơng Lu = g + Di f i (2.5) Ω đẳng thức tích phân sau thảo mãn: f i Di v − gv dx ∀v ∈ C01 (Ω) L (u, v) = (2.6) Ω Nghiệm cổ điển (2.5) nghiệm suy rộng nghiệm suy rộng C (Ω) nghiệm cổ điển hệ số L đủ trơn b Nghiệm yếu toán Xét toán Dirichlet cho phương trình (2.5), giả sử L elliptic ngặt Ω, tức tồn số dương λ cho: aij (x) ξi ξj ≥ λ|ξ|2 , ∀x ∈ Ω, ξ ∈ Rn (2.7) Ta giả sử L có hệ số giới nội, tức là: số Λ, ν ≥ đó, ∀x ∈ Ω thì: aij (x) ≤ Λ2 , λ−2 bi (x) + ci (x) + λ−1 |d (x)| ≤ ν (2.8) Một hàm u thuộc vào không gian Sobolev W1,2 (Ω) gọi nghiệm suy rộng toán Dirichlet : Lu = g + Di f i , u = ϕ ∂Ω, u Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 nghiệm suy rộng phương trình (2.5), ϕ ∈ W1,2 (Ω) u−ϕ ∈ W01,2 (Ω) Các hàm v ∈ C01 (Ω) xuất công thức (2.4) (2.6) gọi hàm thử Chú ý điều kiện (2.8) ta có: aij Dj uDi v + bi uDi v + ci vDi u + |duv| dx |L(u, v)| ≤ Ω ≤ (2.9) C u W1,2 (Ω) v W1,2 (Ω) bất đẳng thức Schwarz Do đó, với u cố định thuộc W1,2 (Ω), ánh xạ: v → L (u, v) phiếm hàm tuyến tính bị chặn W01,2 (Ω) Do tính đắn hệ thức (2.4) với v ∈ C01 (Ω) kéo theo tính đắn chúng với v ∈ W01,2 (Ω) 2.1.3 Sự tồn nghiệm yếu Giả sử: dv + ci − bi vDi v dx ≤ 0, ∀v ∈ C01 (Ω) (2.10) Ω đó: bi , ci , d giới nội Bất đẳng thức (2.10) với hàm v ∈ W01,1 (Ω) Định lý 2.1 Cho toán tử L thỏa mãn điều kiện (2.7), (2.8) (2.10) Với ϕ ∈ W1,2 (Ω) g , f i ∈ L2 (Ω) , i = 1, , n, toán Dirichlet, Lu = g + Di f i Ω, u = ϕ ∂Ω có lời giải Chứng minh: Trước hết, ta quy toán Dirichlet với trường hợp giá trị biên Đặt w = u − ϕ, từ (2.5) ta có: Lw = Lu − Lϕ = g − ci Di ϕ − dϕ + Di f i − aij Dj ϕ − bi ϕ = gˆ + Di fˆi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 Từ điều kiện L ϕ, rõ ràng: gˆ, fˆi ∈ L2 (Ω); i = 1, , n w ∈ W01,2 (Ω) Bởi cần chứng minh định lý với trường hợp ϕ ≡ Đặt H = W01,2 (Ω), g = g, f , f , , f n F (v) = − gv − f i Di v dx Ω với v ∈ H Vì: |F (v)| ≤ g v W1,2 (Ω) ta có F ∈ H∗ Nếu dạng song tuyến tính L định nghĩa (2.4) cưỡng H giới nội , ta kết luận khả giải toán Dirichlet với L từ Định lý 1.3 Liên quan đến tính cưỡng L ta có bổ đề sau đây: Bổ đề 2.2 Cho L thỏa mãn điều kiện (2.7) (2.8), ∃ν > cho: L (u, u) ≥ λ |Du|2 dx − λν Ω u2 dx., ∀x ∈ W01,2 (Ω) (2.11) Ω Chứng minh: aij Di uDj u + bi − ci uDi u − du2 dx L (u, u) = Ω ≥ Ω = λ|Du|2 − λ2 |Du|2 − λν u2 dx λ |Du|2 dx − λν Ω (bất đẳng thức Schawarz) u2 dx Ω Với σ ∈ R định nghĩa toán tử Lσ Lσ u = Lu − σu Theo Bổ đề 2.2 ta thấy dạng liên hợp Lσ bị cưỡng σ đủ lớn |Ω| đủ nhỏ Tiếp theo, ta định nghĩa phép nhúng I : H → H∗ bởi: uvdx, v ∈ H Iu (v) = Ω Khi ta có: Bổ đề 2.3 Ánh xạ I compact Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.12) 35 Chứng minh: Đặt : I = I1 I2 đó: I2 : H → L2 (Ω) phép nhúng tự nhiên I1 : L2 (Ω) → H∗ cho (2.12) Theo Định lý 1.21 I2 compact (nếu p = n = 2), I1 rõ ràng liên tục ta có I compact Tiếp theo, ta chọn σ0 để dạng Lσ0 giới nội cưỡng khơng gian Hilbert H Phương trình Lu = F với u ∈ H, F ∈ H∗ tương đương với phương trình: Lσ0 u + σ0 Iu = F ∗ Bằng Định lý 1.3, L−1 σ0 liên tục, ánh xạ 1:1 H lên H áp dụng L−1 σ0 cho phương trình trên, ta có phương trình tương đương: −1 u + σo L−1 σ0 Iu = Lσ0 F (2.13) Ánh xạ T = −σ0 L−1 σ0 compact Bổ đề 2.3 theo Định lý 1.2, tồn hàm u ∈ H thỏa mãn phương trình (2.13) hệ tính H nghiệm tầm thường phương trình Lu = Một mơ tả dáng điệu phổ tốn tử L suy từ Định lý 1.4, định nghĩa dạng liên hợp hình thức L∗ L bởi: L∗ u = Di aij Dj u − ci u − bi Di u + du (2.14) Vì L∗ (u, v) = L(v, u) với u, v ∈ H = W01,2 (Ω), L∗ liên hợp L không gian Hilbert H Bằng cách thay L Lσ lí luận trên, ta thấy phương trình Lσ u = F tương đương với phương −1 ∗ trình u + (σ0 − σ) L−1 σ0 Iu = Lσ0 F liên hợp Tσ ánh xạ compact ∗ ∗ Tσ = (σ0 − σ) L−1 σ0 I cho Tσ = (σ0 − σ) Lσ0 −1 I Chúng ta áp dụng Định lý 1.4 để có kết sau Định lý 2.4 Cho toán tử L thỏa mãn điều kiện (2.7) (2.8) Khi tồn tập hợp rời rạc, đếm Σ ⊂ R cho σ ∈ / Σ, toán Dirichlet, Lσ u, L∗σ u = g + Di f i , u = ϕ ∂Ω, nghiệm với g tùy ý, f i ∈ L2 (Ω) ϕ ∈ W1,2 (Ω) Nếu σ ∈ Σ, khơng gian Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 nghiệm toán nhất, Lσ u, L∗σ u = 0, u = ∂Ω có số chiều dương hữu hạn toán L∗σ u = g + Di f i , u = ϕ ∂Ω giải nếu: g − ci Di ϕ − dϕ + σϕ v − f i − aij Dj ϕ − bi ϕ Di v dx = 0(2.15) Ω với v thỏa mãn L∗σ v = 0, v = ∂Ω Hơn nữa, điều kiện (2.10) thỏa mãn, Σ ⊂ (−∞, 0) Toán tử Gσ : H∗ → H cho Gσ = L−1 / Σ gọi toán tử Green σ với σ ∈ toán Dirichlet với Lσ Theo Định lý 1.2, Gσ tốn tử tuyến tính giới nội H∗ Do đó, ta có đánh giá tiên nghiệm sau Hệ 2.5 Cho u ∈ W1,2 (Ω) thỏa mãn Lσ u = g + Di f i , u = ϕ ∂Ω với σ ∈ / Σ Khi tồn số C phụ thuộc L, σ Ω : u W1,2 (Ω) ≤C g + ϕ W1,2 (Ω) (2.16) Từ Định lý 2.4 suy Định lý 2.1 hiệu lực ta thay bi −ci điều kiện (2.10) 2.2 Độ trơn nghiệm yếu 2.2.1 Độ trơn bên miền Định lý 2.6 Cho u ∈ W1,2 (Ω) nghiệm yếu phương trình Lu = f Ω, L elliptic ngặt Ω, hệ số aij , bi , i, j = 1, , n liên tục Lipchitz Ω, hệ số ci , d, i = 1, , n hầu bị chặn Ω hàm f ∈ L2 (Ω) Khi đó, với miền Ω ⊂⊂ Ω, ta có u ∈ W2,2 (Ω ) u W2,2 (Ω ) ≤C u W1,2 (Ω) + f L2 (Ω) (2.17) với C = C (n, λ, K, d ), λ xác định (2.7), K = max aij , bi C 0,1 (Ω) , ci , d L∞ (Ω) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên , d = dist (Ω , ∂Ω) http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 Hơn nữa, u thỏa mãn phương trình Lu = aij Dij u + Dj aji + bi + ci Di u + Di bi + d u = f (2.18) hầu khắp nơi Ω Chứng minh: Từ đồng thức tích phân (2.6), ta có: aij Dj uDi vdx = Ω gvdx, ∀v ∈ C01 (Ω) , (2.19) Ω g ∈ L2 (Ω) xác định bởi: g = bi + ci Di u + Di bi + d u − f (2.20) Với |2h| ≤ dist (sup v, ∂Ω), ta thay v tỉ sai phân ∆−h v = ∆−h k v với k thỏa ≤ k ≤ n Ta được: ∆h aij Dj u Di vdx = − aij Dj uDi ∆−h vdx Ω Ω − g∆−h vdx = Ω Vì ∆h aij Dj u (x) = aij (x + hek ) ∆h Dj u (x) + ∆h aij (x) Dj u (x) ta có: g.Dv + g∆−h v dx aij (x + hek ) ∆h uDi vdx = − Ω g = g , , g n Ω g i = ∆h aij Dj u Dùng (2.20) Bổ đề 1.22, có đánh giá: aij (x + hek ) Dj ∆h uDi vdx ≤ ( g + g ) Dv Ω ≤ C (n) K u Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên W1,2 (Ω) + f http://www.lrc-tnu.edu.vn Dv 38 Tiếp theo lấy η ∈ C01 (Ω) thỏa mãn ≤ η ≤ đặt v = η ∆h u Dùng (2.7) Bất đẳng thức Schawarz, ta có: ηD∆h u dx ≤ λ Ω η aij (x + hek ) ∆h Di u∆h Dj udx Ω aij (x + hek ) Dj ∆h u Di v − 2∆h uηDi η dx = Ω ≤ C (n) K u W1,2 (Ω) + f +C (n) K ηD∆h u ηD∆h u 2 + ∆h uDη ∆h uDη Với trợ giúp Bất đẳng thức Young (1.6), ta có: η∆h Du ≤ C u W1,2 (Ω) + f ≤ C + sup |Dη| Ω u + ∆h uDη W1,2 (Ω) + f theo Bổ đề 1.22, với C = C (n, λ, K) Hàm η lựa chọn hàm chặt cho η = Ω ⊂⊂ Ω |Dη| ≤ 2/d , d = dist (∂Ω, Ω ) Theo Bổ đề 1.23 cóDu ∈ W1,2 (Ω ) với Ω ⊂⊂ Ω bất kì, u ∈ W (Ω) có đánh giá (2.17) Cuối cùng, có Lu ∈ L2loc (Ω) đồng thức tích phân (2.6) kéo theo Lu = f hầu khắp nơi Ω Chú ý ( xem toán (2.4)) đánh giá (2.17), số u thay u W1,2 (Ω) L2 (Ω) Kết tồn tổng quát sau cho toán Dirichlet phương trình elliptic dạng: Lu ≡ aij (x) Dij u + bi (x) Di u + c (x) u = f (2.21) rút kết từ Định lý 2.1 2.6 Định lý 2.7 Cho toán tử L elliptic ngặt Ω có hệ số aij ∈ C 0,1 Ω , bi , c ∈ L∞ (Ω) , c ≤ Khi với f tùy ý thuộc vào L2 (Ω) 2,2 ϕ ∈ W1,2 (Ω), tồn hàm u ∈ W1,2 (Ω) ∩ Wloc (Ω) thỏa Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 mãn Lu = f Ω u − ϕ ∈ W01,2 (Ω) Định lý 2.7 với ∂Ω đủ trơn với ϕ ∈ W 2,2 (Ω) ta giả thiết hệ số aij nằm C Ω Tuy nhiên, kết khơng cịn giả thiết tiếp tục bị yếu aij ∈ L∞ (Ω) không liên tục, thấy rõ phương trình: ∆u + b xi xj n−1 , < λ < Dij u = 0, b = −1 + 1−λ |x| (2.22) Nếu n > 2(2 − λ) > phương trình có hai nghiệm u1 (x) = 1, u2 (x) = |x|λ ∈ W2,2 (B) phù hợp ∂B , B hình cầu đơn vị, B1 (0) Hơn nữa, tính khả vi nghiệm yếu dễ dàng suy từ chứng minh Định lý 2.6 Giả sử ta làm mạnh tính trơn hệ số cách giả sử aij , bi ∈ C 1,1 Ω , ci , d ∈ C 0,1 Ω với f ∈ W1,2 (Ω) Khi đó, thay v Dk v với ≤ k ≤ n, đồng thức (2.19), ta có (sau tính tích phân phần): aij Djk uDi vdx = Ω Dk gˆvdx ∀v ∈ C01 (Ω) , (2.23) Ω 2,2 (Ω) Bằng u ∈ Wloc (Ω), ta có Dk gˆ ∈ L2loc (Ω) Hơn nữa, Dk u ∈ Wloc phép quy nạp đơn giản, ta kết luận mở rộng sau Định lý 2.6 Định lý 2.8 Cho u ∈ W 1,2 (Ω) nghiệm yếu phương trình Lu = f Ω mà L elliptic ngặt Ω, hệ số aij , bi ∈ C hệ số ci , d ∈ C k−1,1 k,1 Ω , Ω hàm f ∈ Wk,2 (Ω) , k ≥ Khi với miền Ω ⊂⊂ Ω, có u ∈ Wk+2,2 (Ω ) u Wk+2,2 (Ω ) ≤C u W1,2 (Ω) với C = C(n, λ, K, d , k), K = max + f aij , bi C k,1 (2.24) Wk,2 (Ω) i (Ω) , c , d C k−1,1 (Ω) Bằng Định lý nhúng Sobolev, Hệ 1.9, có Định lý 2.8 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 Hệ 2.9 Cho u ∈ W1,2 (Ω) nghiệm yếu phương trình elliptic ngặt Lu = f ∈ Ω giả sử hàm aij , bi , ci , d, f C ∞ (Ω) Khi đó, u ∈ C ∞ (Ω) 2.2.2 Độ trơn tồn miền Dưới điều kiện tính trơn thích hợp biên ∂Ω kết tính phần trước mở rộng cho tất Ω, suy tương tự toàn cục Định lý 2.6 Định lý 2.10 Giả sử thêm vào giả thiết Định lý 2.6 ∂Ω thuộc lớp C tồn hàm ϕ ∈ W2,2 (Ω) cho u − ϕ ∈ W01,2 (Ω) Khi ta có u ∈ W2,2 (Ω) u W2,2 (Ω) ≤C u L2 (Ω) + f L2 (Ω) + ϕ W2,2 (Ω) (2.25) C = C(n, λ, K, ∂Ω) Chứng minh: Thế u u − ϕ, ta thấy khơng tính tổng quát giả sử ϕ ≡ 0, u ∈ W01,2 (Ω) Ngồi ra, theo Bổ đề 2.2 ta đánh giá: u W1,2 (Ω) ≤C( u + f 2) (2.26) C = C(n, λ, K) Khi ∂Ω ∈ C , với điểm x0 ∈ ∂Ω tồn hình cầu B = B(x0 ) ánh xạ 1:1 ψ từ B lên tập mở D ⊂ Rn cho ψ (B ∩ Ω) ⊂ Rn+ = {x ∈ Rn |xn > 0} , ψ (B ∩ ∂Ω) ⊂ ∂ Rn ψ ∈ C (B) , ψ −1 ∈ C (D) Cho BR (x0 ) ⊂⊂ B tập B + = BR (x0 )∩Ω, D = ψ (BR (x0 )) , D+ = ψ (B + ) Dưới ánh xạ ψ phương trình Lu = f B + trở thành phương trình dạng D+ Các số λ, K với phương trình biến đổi đánh giá qua ánh xạ ψ trị số cho phương trình gốc.Hơn nữa, u ∈ W01,2 (Ω), nghiệm biến đổi v = u ◦ ψ −1 ∈ W1,2 (D+ ) thỏa mãn ηv ∈ W01,2 (D+ ) với η ∈ C01 (D ) Tương ứng, ta giả sử Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 u ∈ W1,2 (D+ ) thỏa mãn Lu = f D+ ηu ∈ W01,2 (D+ ) với η η ∈ C01 (D ) Khi đó, với |h| < dist (sup p.η, ∂D ) ≤ k ≤ n − 1, ta có η ∆hk u ∈ W01,2 (D+ ) Vì áp dụng chứng minh Định lý 2.5 áp dụng kết luận Dij u ∈ L2 (ψ (Bρ ∩ Ω)) với ρ < R với điều kiện i j = n Đạo hàm cấp hai Dnn u cịn lại đánh giá trực tiếp từ phương trình (2.18) Do đó, quay lại miền Ω gốc với ánh xạ ψ −1 ∈ C ta có u ∈ W2,2 (Bρ ∩ Ω) Khi xo 1,2 điểm tùy ý ∂Ω u ∈ Wloc (Ω), Định lý 2.5 kết luận u ∈ W2,2 (Ω) Cuối cách chọn số hữu hạn điểm x(i) ∈ ∂Ω cho hình cầu Bρ x(i) phủ ∂Ω, có đánh giá (2.25) từ (2.17) (2.26) Chú ý điều kiện, u ∈ W2,2 (D+ ) , ηu ∈ W01,2 (D+ ) với η ∈ C01 (D ) kéo theo ηDk u ∈ W01,2 (D+ ) ≤ k ≤ n − Nói riêng, theo Bổ đề 1.22 có η∆hk u ∈ W01,2 (D+ ) ηDk u W01,2 (D+ ) ≤ η C (D+ ) u W2,2 (D+ ) với h đủ nhỏ Theo Định lý 1.5, suy tồn dãy η∆hj k u hội tụ yếu không gian Hilbert W01,2 (D+ ) Giới hạn dãy rõ ràng hàm ηDk u Tính quy tồn cục nghiệm phương trình Lu = f suy theo kiểu Định lý 2.8 từ Định lý 2.6 Định lý 2.11 Giả sử thêm vào giả thiết Định lý 2.8 ∂Ω ∈ C k+2 tồn hàm ϕ ∈ Wk+2,2 (Ω) mà u − ϕ ∈ W01,2 (Ω) Khi có u ∈ Wk+2,2 (Ω) u Wk+2,2 (Ω) ≤C u L2 (Ω) + ϕ Wk+2,2 (Ω) (2.27) C = C (n, λ, K, k, ∂Ω) Nếu hàm aij , bi , ci , d, f ϕ thuộc lớp C ∞ Ω ∂Ω lớp C ∞ Ω Khi đó, nghiệm u thuộc C∞ Ω Kết hợp Định lý 2.1 2.11 có định lý tồn cho tốn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 Dirichlet cổ điển với phương trình (2.21) có từ Định lý 1.6 1.7 Định lý 2.12 Cho toán tử L ( đưa (2.21)) elliptic ngặt Ω có C ∞ Ω hệ số thỏa mãn c ≤ Ω Khi đó, ∂Ω ∈ C ∞ tồn nghiệm u ∈ C ∞ Ω toán Dirichlet, Lu = f, u = ϕ ∂Ω với f tùy ý, ϕ ∈ C ∞ Ω 2.2.3 Nghiệm yếu phương trình elliptic tổng quát Định lý 2.13 Cho Ω ∈ Rn miền với biên lớp C ∞ Giả sử hàm aij (i, j = 1, , n) c lớp C ∞ Ω thỏa mãn giả thiết * tính đối xứng : aij (x) = aji (x) với i, j x ∈ Ω * tính khơng âm : c (x) ≥ với x ∈ Ω giả sử f ∈ C ∞ Ω , g ∈ C ∞ (∂Ω) cho Khi tốn Dirichlet: n ∂ i i,j=1 ∂x aij (x) ∂ u (x) − c (x) u (x) = f (x) Ω, ∂xj u (x) = g (x) ∂Ω, có nghiệm (duy nhất) thuộc lớp C ∞ Ω Bây ta xét điều xảy ta xém xét phương trình đạo hàm yếu: Du.Dv + Ω fv = f ∈ L2 (Ω) (2.28) Ω với v ∈ W 1,2 (Ω) Đặc biệt có kết sau đây: Định lý 2.14 Cho (2.28) thỏa mãn ∀v ∈ W 1,2 (Ω), miền Ω thuộc lớp C ∞ , u − g ∈ W01,2 (Ω) hàm f ∈ C ∞ Ω , g ∈ C ∞ (∂Ω) Khi đó: u ∈ C∞ Ω Xét phương trình: Du.Dv + µ Ω u.v = (µ ∈ R) , ∀v ∈ W1,2 (Ω) Ω Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.29) 43 Hệ 2.15 Cho u nghiệm phương trình (2.29), với v ∈ W 1,2 (Ω) Nếu miền Ω thuộc lớp C ∞ , u − g ∈ W01,2 (Ω), g ∈ C ∞ (∂Ω) Khi đó: u ∈ C ∞ Ω Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 KẾT LUẬN Trong luận văn trình bày vấn đề sau: -Khái niệm không gian Sobolev W k,p (Ω) W0k,p (Ω) định lý nhúng - Khái niệm nghiệm yếu phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn, định lý tồn nghiệm yếu toán Dirichlet phương trình định lý mơ tả độ trơn nghiệm yếu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 Tài liệu tham khảo Tài liệu tiếng Anh [1] David Gibarg - Neil S.Trudinger (1998), Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer [2] Jurgen Jost (2002), Partial Differential Equations, Springer Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... dung luận văn, trình bày khái niệm nghiệm yếu phương trình, nghiệm yếu tốn Dirichlet định lý tồn nghiệm yếu Luận văn trình bày độ trơn nghiệm yếu khẳng định: hệ số vế phải phương trình cho trước... văn trình bày vấn đề sau: -Khái niệm không gian Sobolev W k,p (Ω) W0k,p (Ω) định lý nhúng - Khái niệm nghiệm yếu phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo tồn, định lý tồn nghiệm yếu. .. (2.4) Ω với hàm v ∈ C01 (Ω) a Nghiệm yếu phương trình Cho f i , g, i = 1, , n hàm khả tích địa phương Ω Hàm u ∈ W 1,2 (Ω) gọi nghiệm yếu hay nghiệm suy rộng phương trình khơng Lu = g + Di f i (2.5)