Nghiệm yếu của phương trình elliptic cấp hai

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC CẤP HAI Sinh viên thực hiện: Trần Thị Thủy Lớp: 09 ST Giáo viên hướng dẫn: TS Trần Nhân Tâm Quyền Đà Nẵng, tháng 5/2013 LỜI CẢM ƠN Để hồn thành khóa luận này, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy Trần Nhân Tâm Quyền, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình thực đề tài Tôi xin chân thành cảm ơn tất q thầy khoa Tốn, thầy ban quản lý thư viện thuộc trường Đại học Sư Phạm Đà Nẵng tạo điều kiện cho thực đề tài Qua đây, xin gởi lời biết ơn chân thành đến thầy cô dành thời gian để đọc khóa luận đóng góp cho tơi kinh nghiệm q báu Xin cảm ơn gia đình, đồng mơn quan tâm, bên cạnh động viên tơi suốt q trình thực khóa luận MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .1 MỤC LỤC .3 PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: .5 Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu 6 Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài .6 Cấu trúc - nội dung khóa luận PHẦN NỘI DUNG .7 CHƯƠNG 1: CÁC KÍ HIỆU VÀ GIỚI THIỆU KHÔNG GIAN SOBOLEV 1.1 Các kí hiệu 1.1.1 1.1.2 Kí hiệu ma trận Kí hiệu hình học 1.1.3 Kí hiệu hàm số 1.1.4 Kí hiệu đạo hàm 1.1.5 Các không gian hàm 1.1.6 Hàm véctơ 10 1.2 Giới thiệu không gian Sobolev 10 1.2.1 Không gian Sobolev W k,p (U), p ∈ [1, +∞) 10 1.2.2 Các định lý 12 1.2.3 Không gian H -1 13 CHƯƠNG 2: NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC CẤP HAI 14 2.1 Các định nghĩa 14 2.2 Nghiệm yếu 16 2.2.1 2.2.2 Cơ sở dẫn tới khái niệm nghiệm yếu 16 Nghiệm yếu toán giá trị biên elliptic 17 2.2.3 Sự tồn nghiệm yếu 18 2.2.3.1 Định lý Lax-Milgram 18 2.2.3.2 Đánh giá lượng 20 2.2.3.3 Thế vị Fredholm 22 2.3 Tính quy 27 2.3.1 2.3.2 Mơ tả: đạo hàm hình thức đánh giá 27 Tính quy miền 28 2.3.3 Tính quy biên 34 2.4 Nguyên lý cực đại 41 2.4.1 Nguyên lý cực đại yếu 42 2.4.2 Nguyên lý cực đại mạnh 44 KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Phương trình đạo hàm riêng nghiên cứu lần vào kỷ 18 cơng trình nhà tốn học Euler, D’Alambert, Lagrange Laplace công cụ quan trọng để mơ tả mơ hình vật lý học Đến kỷ 19 đặc biệt cơng trình Riemann, phương trình đạo hàm riêng trở thành công cụ mạnh dùng lĩnh vực tốn học khác Cả hai hướng nói tác động tích cực đến phát triển lý thuyết đạo hàm riêng ngược lại, phương trình đạo hàm riêng đóng vai trị quan trọng lĩnh vực khác toán học lý thuyết đặc biệt tốn thực tiễn Vì để hiểu sâu tầm quan trọng phương trình đạo hàm riêng đối tốn học lĩnh vực khoa học khác nói chung, phương trình elliptic cấp hai nói riêng, theo gợi ý thầy hướng dẫn Trần Nhân Tâm Quyền, em mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu khoa học “Nghiệm yếu phương trình elliptic cấp hai” Ở ta nghiên cứu toán giá trị biên phương trình elliptic cấp hai, tốn xuất nhiều vật lý số ngành kỹ thuật học, lượng tử…Nơi mà việc tìm nghiệm toán giá trị biên elliptic trở nên cần thiết Tuy nhiên khơng phải lúc ta tìm nghiệm tường minh tốn, ta cố gắng “tìm” với khái niệm nghiệm yếu cho tốn giá trị biên elliptic cấp hai Đây nội dung nghiên cứu luận văn Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu nhằm hiểu nắm định nghĩa, định lý tính chất nghiệm yếu phương trình ellipic cấp hai Qua đó, giúp củng cố số kiến thức học suốt năm đại học như: giải tích 1,2, khơng gian metric, độ đo tích phân Lebesgue, giải tích hàm… Nghiên cứu nghiệm yếu toán giá trị bên elliptic không gian Sobolev tồn tại, tính nhất, tính trơn, cực đại, cực tiểu nghiệm Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu vấn đề cở khơng gian Sobolev, phương trình elliptic cấp hai nghiệm yếu toán giá trị biên elliptic Luận văn nghiên cứu toán giá trị biên elliptic cấp hai miền bị chặn không gian Eclide n- chiều Ở tập trung nghiên cứu định nghĩa, định lý, tính chất chứng minh định lý, tính chất Phương pháp nghiên cứu Bằng cách xây dựng không gian Sobolev mà nghiệm tốn giá trị biên elliptic cấp hai tồn Bằng phương pháp lượng phương pháp nguyên lý cực đại nghiên cứu tính giải phương trình vi phân đạo hàm riêng elliptic cấp hai với điều kiện biên Q trình làm khóa luận sử dụng kết hợp phương pháp nghiên cứu như: Tổng hợp, phân tích, so sánh đối chiếu q trình nghiên cứu lý thuyết Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài tài liêu tham khảo bước đầu cho yêu thích khía niệm nghiệm yếu phương ttrình elliptic, đồng thời tảng cho tìm hiểu phương trình hyperbolic parabolic cấp hai… Cấu trúc - nội dung khóa luận Luận văn gồm phần mở đầu, phần nội dung gồm chương luận văn, phần kết luận Nội dung Gồm chương: Chương 1: Các kí hiệu giới thiệu không gian Sobolev như: định nghĩa định lý có liên quan Trình bày kí hiệu dùng luận văn kiến thức sở bổ trợ cho phần nội dung nghiên cứu chương Chương 2: Nghiệm yếu phương trình elliptic cấp hai Trình bày sở lý thuyết, tồn tại, tính nhất, tính trơn nghiệm yếu tốn biên loại elliptic cấp hai PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CÁC KÍ HIỆU VÀ GIỚI THIỆU KHƠNG GIAN SOBOLEV 1.1 Các kí hiệu 1.1.1 Kí hiệu ma trận (1) Ta viết 𝐴 = ((𝑎𝑖𝑗 )) để kí hiệu ma trận 𝐴 dạng 𝑚 × 𝑛 với 𝑎𝑖𝑗 phần tử hàng i, cột j Ma trận đường chéo 𝐴 kí hiệu diag(𝑑1 , … , 𝑑𝑛 ) (2) 𝕄𝑚×𝑛 = khơng gian ma trận thực 𝑚 × 𝑛 𝕊𝑛×𝑛 = khơng gian ma trận đối xứng thực 𝑛 × 𝑛 (3) tr 𝐴 = vết ma trận 𝐴, tức tổng phần tử đường chéo (4) det 𝐴 = định thức ma trận 𝐴 (5) 𝐴𝑇 = chuyển vị ma trận 𝐴 (6) Nếu 𝐴 = ((𝑎𝑖𝑗 )) 𝐵 = ((𝑏𝑖𝑗 )) hai ma trận 𝑚 × 𝑛, 𝑚 𝑛 𝐴: 𝐵 = ∑ ∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑏𝑖𝑗 , 𝑖=1 𝑗=1 Đặc biệt : 𝐴: 𝐴 : tổng tất bình phương phần tử 𝐴 |𝐴| = (𝐴: 𝐴) 1⁄ 𝑛 𝑖𝑗 = (∑𝑚 𝑖=1 ∑𝑗=1(𝑎 ) ) 1⁄ gọi chuẩn ma trận 𝐴 (7) Nếu 𝐴 ∈ 𝕊𝑛×𝑛 𝑥 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) ∈ ℝ𝑛 , dạng tồn phương tương ứng 𝑛 𝑥𝐴𝑥 = ∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 𝑖,𝑗=1 (8) Đôi ta viết 𝑦𝐴 thay cho 𝐴𝑇 𝑦 với 𝐴 ∈ 𝕄𝑚×𝑛 𝑦 ∈ ℝ𝑚 1.1.2 Kí hiệu hình học (1) ℝ𝑛 không gian Euclide thực 𝑛 chiều, ℝ = ℝ1 (2) 𝑒𝑖 = (0, … ,0,1,0, … 0) vectơ tọa độ đơn vị thứ 𝑖 (3) Một điểm ℝ𝑛 𝑥 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) Trong trường hợp cụ thể coi 𝑥 vectơ hàng vectơ cột (4) ℝ𝑛+ = {𝑥 = (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) ∈ ℝ𝑛 ⁄𝑥𝑛 > 0} nửa khơng gian mở phía ℝ+ = {𝑥𝑛 ∈ ℝ𝑛 ⁄𝑥 > 0} (5) 𝑈, 𝑉 𝑊 thường kí hiệu tập mở ℝ𝑛 Ta viết 𝑉 ⊂⊂ 𝑈 𝑉 ⊂ 𝑉̅ ⊂ 𝑈, 𝑉̅ compact ta nói 𝑉 chứa compact 𝑈 ̅ = 𝑈 ∪ 𝜕𝑈 bao đóng 𝑈 (6) 𝜕𝑈 biên 𝑈, 𝑈 (7) 𝑈𝑇 = 𝑈 × (0, 𝑇] (8) 𝐵0 (𝑥, 𝑟) = {𝑦 ∈ ℝ𝑛 ⁄|𝑥 − 𝑦| < 𝑟} hình cầu mở ℝ𝑛 với tâm 𝑥 bán kính 𝑟 > (9) 𝐵(𝑥, 𝑟) = {𝑦 ∈ ℝ𝑛 ⁄|𝑥 − 𝑦| ≤ 𝑟} hình cầu đóng ℝ𝑛 với tâm 𝑥 bán kính 𝑟 > 1.1.3 Kí hiệu hàm số (1) Nếu 𝑢: 𝑈 → ℝ, ta viết 𝑢(𝑥) = 𝑢(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) (𝑥 ∈ 𝑈) Ta nói 𝑢 trơn 𝑢 khả vi vô hạn (2) Nếu 𝑢 𝑣 hai hàm, ta viết 𝑢 ≡ 𝑣 nghĩa 𝑢 đồng 𝑣 Ta đặt 𝑢 ≔ 𝑣 để nói 𝑢 định nghĩa 𝑣 Giá hàm 𝑢 kí hiệu 𝑠𝑢𝑝𝑝𝑢 (3) Nếu 𝒖: 𝑈 → ℝ𝑚 , ta viết 𝒖(𝑥) = (𝑢1 (𝑥), … , 𝑢𝑚 (𝑥)) Hàm 𝑢𝑘 thành phần thứ 𝑘 𝒖 (𝑘 = 1, … , 𝑚) 1.1.4 Kí hiệu đạo hàm Giả thiết: 𝑈 → ℝ (𝑥 ∈ 𝑈) (1) 𝜕𝑢 𝜕𝑥𝑖 (𝑥) = lim 𝑢(𝑥+ℎ𝑒𝑖 )−𝑢(𝑥) ℎ ℎ→0 , giới hạn tồn (2) Ta thường viết 𝑢𝑥𝑖 thay cho (3) Tương tự 𝜕2 𝑢 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑗 = 𝑢𝑥𝑖 𝑥𝑗 , 𝜕𝑢 𝜕𝑥𝑖 𝜕3 𝑢 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑗 𝜕𝑥𝑘 = 𝑢𝑥𝑖 𝑥𝑗𝑥𝑘 , vv… (4) Kí hiệu đa số: (𝑥 ∈ 𝑈 ) a) Một vectơ có dạng 𝛼 = (𝛼1 , … , 𝛼𝑛 ), thành phần 𝛼𝑖 số nguyên không âm, gọi đa số bậc |𝛼| = 𝛼1 + ⋯ + 𝛼𝑛 b) Cho trước đa số 𝛼, kí hiệu 𝜕 |𝛼| 𝑢(𝑥) 𝛼𝑛 𝛼1 𝐷 𝑢 ( 𝑥 ) ≔ 𝛼1 𝛼𝑛 = 𝜕𝑥1 … 𝜕𝑥𝑛 𝑢 𝜕𝑥1 … 𝜕𝑥𝑛 𝛼 c) Nếu 𝑘 số nguyên không âm 𝐷 𝑘 𝑢(𝑥) ≔ {𝐷 𝛼 𝑢(𝑥)⁄|𝛼| = 𝑘 } tập tất đạo hàm riêng bậc 𝑘 Ta coi 𝐷 𝑘 𝑢 (𝑥) điểm 𝑘 ℝ𝑛 d) |𝐷 𝑘 𝑢| = (∑|𝛼|=𝑘|𝐷 𝛼 𝑢|2 ) 1⁄ e) Các trường hợp đặc biệt : Nếu 𝑘 = 1, ta coi 𝐷𝑢 = (𝑢𝑥1 , … , 𝑢𝑥𝑛 ) vectơ gradient Nếu 𝑘 = 2, ta coi phần tử 𝐷 𝑢 xếp ma trận 𝜕2 𝑢 𝜕𝑥12 𝐷 𝑢= ⋮ 𝜕2 𝑢 (𝜕𝑥𝑛 𝑥1 ⋯ ⋱ ⋯ 𝜕2 𝑢 𝜕𝑥1 𝜕𝑥𝑛 ⋮ ma trận Hessian 𝜕2 𝑢 𝜕𝑥𝑛 )𝑛×𝑛 (5) Thỉnh thoảng ta dùng số gắn với kí hiệu 𝐷, 𝐷 , … để ký hiệu biến lấy đạo hàm Chẳng hạn : 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦) (𝑥 ∈ ℝ𝑛 , 𝑦 ∈ ℝ𝑚 ), 𝐷𝑥 𝑢 = (𝑢𝑥1 , … , 𝑢𝑥𝑛 ), 𝐷𝑦 𝑢 = (𝑢𝑦1 , … , 𝑢𝑦𝑚 ) (6) ∆𝑢 = ∑𝑛𝑖=1 𝑢𝑥𝑖 𝑥𝑖 = 𝑡𝑟(𝐷 𝑢) toán tử Laplace 𝑢 1.1.5 Các không gian hàm (1) 𝐶 (𝑈) = {𝑢: 𝑈 → ℝ⁄𝑢 liên tục} ̅) = {𝑢 ∈ 𝐶 (𝑈)⁄𝑢 liên tục đều} 𝐶 (𝑈 𝐶 𝑘 (𝑈) = {𝑢: 𝑈 → ℝ⁄𝑢 liên tục khả vi 𝑘 lần} ̅) = {𝑢 ∈ 𝐶 𝑘 (𝑈)⁄𝐷 𝛼 𝑢 liên tục với |𝛼| ≤ 𝑘 } 𝐶 𝑘 (𝑈 ̅) 𝐷 𝛼 𝑢 thác triển liên tục tới 𝑈 ̅ với đa số 𝛼, Do : 𝑢 ∈ 𝐶 𝑘 (𝑈 |𝛼| ≤ 𝑘 𝑘 (2) 𝐶 ∞ (𝑈) = {𝑢: 𝑈 → ℝ⁄𝑢 khả vi vô hạn} = ⋂∞ 𝑘=0 𝐶 (𝑈) 𝑘 ̅ ̅) = ⋂∞ 𝐶 ∞ (𝑈 𝑘=0 𝐶 (𝑈) (3) 𝐶𝑐 (𝑈), 𝐶𝑐𝑘 (𝑈), …, ký hiệu hàm 𝐶 (𝑈), 𝐶 𝑘 (𝑈),…, với giá compact 𝐶𝑐𝑘 (𝑈) = {𝑢 ∈ 𝐶 𝑘 (𝑈)⁄𝑆𝑢𝑝𝑝 𝑢 ⊂⊂ 𝑈} Các hàm 𝑢 ∈ 𝐶𝑐𝑘 (𝑈) triệt tiêu (nhận giá trị 0) biên 𝜕𝑈 𝑈 (4) 𝐿𝑝 (𝑈) = {𝑢: 𝑈 → ℝ⁄𝑢 đo Lebesgue, ‖𝑢‖𝐿𝑝(𝑈) < ∞}, 1⁄ 𝑝 ‖𝑢‖𝐿𝑝(𝑈) = (∫ |𝑢|𝑝 𝑑𝑥) ( ≤ 𝑝 < ∞) 𝑈 𝐿∞ (𝑈) = {𝑢: 𝑈 → ℝ⁄𝑢 đo Lebesgue, ‖𝑢‖𝐿∞(𝑈) < ∞}, ‖𝑢‖𝐿∞(𝑈) = 𝑒𝑠𝑠 sup|𝑢| 𝑈 𝑝 𝐿𝑙𝑜𝑐 (𝑈) = {𝑢: 𝑈 → ℝ⁄𝑢 ∈ 𝐿𝑝 (𝑉 ) với 𝑉 ⊂⊂ 𝑈} (5) ‖𝐷𝑢‖𝐿𝑝(𝑈) = ‖|𝐷𝑢|‖𝐿𝑝(𝑈) , ‖𝐷 𝑢‖𝐿𝑝(𝑈) = ‖|𝐷 𝑢|‖𝐿𝑝(𝑈) (6) 𝑊 𝑘,𝑝 (𝑈), 𝐻 𝑘 , … , (𝑘 = 0,1, … ,1 ≤ 𝑝 ≤ ∞) ký hiệu không gian Sobolev ̅), 𝐶𝑘,𝛽 (𝑈) (7) 𝐶𝑘,𝛽 (𝑈 (𝑘 = … ,0 ≤ 𝛽 ≤ 1) ký hiệu không gian H𝑜̈ lder 1.1.6 Hàm véctơ (1) Nếu 𝑚 > 𝒖: 𝑈 → ℝ𝑚 , 𝒖 = (𝑢1 , … , 𝑢𝑚 ), (𝑥 ∈ 𝑈) 𝐷 𝛼 𝒖 = (𝐷 𝛼 𝑢1 , 𝐷 𝛼 𝑢2 , … , 𝐷 𝛼 𝑢𝑚 ) với đa số 𝛼, |𝐷 𝑘 𝒖| = (∑|𝛼|=𝑘|𝐷 𝛼 𝒖|2 ) 1⁄ (2) Đặc biệt : 𝑘 = ta có 𝜕𝑢1 𝐷𝒖 = 𝜕𝑥1 ⋮ 𝜕𝑢𝑚 ( 𝜕𝑥1 ⋯ ⋱ ⋯ 𝜕𝑢1 𝜕𝑥𝑛 ⋮ 𝜕𝑢𝑚 = ma trận 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡 𝜕𝑥𝑛 )𝑚×𝑛 (3) Nếu 𝑚 = 𝑛, ta có 𝑛 div 𝒖 = 𝑡𝑟(𝐷𝑢) ∑ 𝑢𝑥𝑖 𝑖 = toán tử 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑖=1 1.2 Giới thiệu không gian Sobolev Trong chương này, chúng tơi trình bày vài kết lí thuyết khơng gian Sobolev, làm tảng để nghiên cứu vấn đề luận văn chương sau 1.2.1 Không gian Sobolev 𝑊 𝑘,𝑝 (𝑈), 𝑝 ∈ [1, +∞) Định nghĩa 1.1 (Đạo hàm yếu) 10 Ta thiết lập (2.67) (2.68) phương pháp quy nạp theo 𝑚, trường hợp 𝑚 = định lý (2.7) Nội dung chứng minh xem [7, tr 85-86].□ Định lý 2.9 (Tính khả vi vô hạn miền) 𝑎𝑖𝑗 , 𝑏𝑖 , 𝑐 ∈ 𝐶 ∞ (𝑈) Giả thiết: (𝑖, 𝑗 = 1, … , 𝑛) 𝑓 ∈ 𝐶 ∞ (𝑈 ) Giả sử 𝑢 ∈ 𝐻1 (𝑈) nghiệm yếu phương trình đạo hàm riêng elliptic 𝐿𝑢 = 𝑓 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑈 Khi 𝑢 ∈ 𝐶 ∞ (𝑈 ) Một lần nữa, không yêu cầu điều kiện dáng điệu 𝑢 gần biên 𝜕𝑈 Do đó, nói riêng, khẳng định tất điểm kì dị 𝑢 biên không “lan truyền” vào miền Chứng minh 𝑚 ( ) Theo Định lý 2.8, ta có 𝑢 ∈ 𝐻𝑙𝑜𝑐 𝑈 với số nguyên 𝑚 = 1,2 … Do đó, Định lý 1.3 (Bất đẳng thức Sobolev tổng quát) cho ta 𝑢 ∈ 𝐶 𝑘 (𝑈) với 𝑘 = 1,2 …□ 2.3.3 Tính quy biên Bây mở rộng ước lượng Mục 2.3.1 để nghiên cứu tính trơn nghiệm yếu đến biên Định lý 2.10 (Tính 𝐻 - quy biên) Giả thiết ̅), 𝑏𝑖 , 𝑐 ∈ 𝐿∞ (𝑈) 𝑎𝑖𝑗 ∈ 𝐶 (𝑈 (𝑖, 𝑗 = 1, … , 𝑛) (2.69) 𝑓 ∈ 𝐿2 (𝑈) (2.70) Giả sử 𝑢 ∈ 𝐻01 (𝑈) nghiệm yếu toán biên elliptic 𝐿𝑢 = 𝑓 𝑈 𝑢 = 𝜕𝑈, (2.71) 𝜕𝑈 thuộc lớp 𝐶 (2.72) { với giả thiết 34 Khi 𝑢 ∈ 𝐻 (𝑈 ), có đánh giá ‖𝑢‖𝐻 2(𝑈) ≤ 𝐶(‖𝑓‖𝐿2(𝑈) + ‖𝑢‖𝐿2(𝑈) ), (2.73) với số 𝐶 phụ thuộc vào 𝑈 hệ số 𝐿 Nhận xét 2.7 (𝑖) Nếu 𝑢 ∈ 𝐻01 (𝑈) nghiệm yếu (2.71) ước lượng (2.73) trở nên đơn giản ‖𝑢‖𝐻 (𝑈) ≤ 𝐶 ‖𝑓‖𝐿2(𝑈) Điều suy từ Định lý 2.6 (𝑖𝑖) Khác với Định lý 2.7, giả thiết 𝑢 = dọc theo 𝜕𝑈 (theo nghĩa vết) Chứng minh Trước hết nghiên cứu trường hợp đặc biệt, 𝑈 nửa hình cầu: 𝑈 = 𝐵0 (0,1) ∩ ℝ𝑛+ (2.74) Đặt 𝑉 = 𝐵 (0, ) ∩ ℝ𝑛+ Khi chọn hàm cắt trơn 𝜁 thỏa mãn 𝜁 ≡ 𝑡𝑟ê𝑛 𝐵 (0, ) , { ≤ 𝜁 ≤ 𝜁 ≡ 𝑡𝑟ê𝑛 ℝ𝑛 \𝐵(0,1), Như 𝜁 ≡ 𝑉 𝜁 triệt tiêu gần phần cong 𝜕𝑈 Do 𝑢 nghiệm yếu (2.1) nên ta có 𝐵[𝑢, 𝑣 ] = (𝑓, 𝑣 ) với 𝑣 ∈ 𝐻01 (𝑈); suy 𝑛 ∑ ∫ 𝑎𝑖𝑗 𝑢𝑥𝑖 𝑣𝑥𝑗 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓̃𝑣𝑑𝑥, 𝑖,𝑗=1 𝑈 (2.75) 𝑈 với 𝑛 𝑓̃ = 𝑓 − ∑ 𝑏𝑖 𝑢𝑥𝑖 − 𝑐𝑢 𝑖=1 Bây cho ℎ > 0, đủ nhỏ, chọn 𝑘 ∈ {1, … , 𝑛 − 1}, lấy 𝑣 ≔ −𝐷𝑘−ℎ (𝜁 𝐷𝑘ℎ 𝑢) Chúng ta ý 35 (2.76) 𝑣 ≔ − 𝐷𝑘−ℎ (𝜁 (𝑥)[𝑢(𝑥 + ℎ𝑒𝑘 ) − 𝑢(𝑥)]) ℎ = − (𝜁 (𝑥 − ℎ𝑒𝑘 )[𝑢(𝑥) − 𝑢(𝑥 − ℎ𝑒𝑘 )] − 𝜁 (𝑥)[𝑢(𝑥 + ℎ𝑒𝑘 ) − 𝑢(𝑥)]) ℎ 𝑥 ∈ 𝑈 Bây 𝑢 = 𝑥𝑛 = theo nghĩa vết 𝜁 ≡ gần phần cong 𝜕𝑈, nên ta có 𝑣 ∈ 𝐻01 (𝑈) Chúng ta 𝑣 vào đồng thức (2.75) viết biểu thức nhận dạng 𝐴 = 𝐵, (2.77) 𝐴 ≔ ∑ ∫ 𝑎𝑖𝑗 𝑢𝑥𝑖 𝑣𝑥𝑗 𝑑𝑥 (2.78) với 𝑛 𝑖,𝑗=1 𝑈 𝐵 ≔ ∫ 𝑓̃𝑣𝑑𝑥 (2.79) 𝑈 Bây đánh giá số hạng 𝐴 𝐵 hoàn toàn tương tự chứng minh Định lý 2.7 Sau số tính tốn ta nhận 𝐴≥ 𝜃 ∫ 𝜁 |𝐷𝑘ℎ 𝐷𝑢| 𝑑𝑥 − 𝐶 ∫ |𝐷𝑢|2 𝑑𝑥 𝑈 𝑈 (2.80) 𝜃 𝐵 ≤ ∫𝑈 𝜁 |𝐷𝑘ℎ 𝐷𝑢| 𝑑𝑥 − 𝐶 ∫𝑈 𝑓 + 𝑢2 + |𝐷𝑢|2 𝑑𝑥, (2.81) với số 𝐶 thích hợp Lúc kết hợp (2.77), (2.80) (2.81) ∫ |𝐷𝑘ℎ 𝐷𝑢| 𝑑𝑥 ≤ 𝐶 ∫ 𝑓 + 𝑢2 + |𝐷𝑢 |2 𝑑𝑥 𝑉 𝑈 với 𝑘 = 1, … , 𝑛 − Do vậy, nhớ lại Nhận xét sau Định lý 1.4 ta suy 𝑢𝑥𝑘 ∈ 𝐻1 (𝑉 ) (𝑘 = 1, … , 𝑛 − 1), ước lượng 𝑛 ∑ ‖𝑢𝑥𝑘 𝑥𝑙 ‖ 𝑘,𝑙=1 𝑘+𝑙 𝐶 hàm 𝛾: ℝ𝑛−1 → ℝ Ta đổi biến viết 𝑦 = Φ ( 𝑥 ) , 𝑥 = 𝚿( 𝑦 ) (2.88) Chọn 𝑠 > đủ nhỏ cho nửa hình cầu 𝑈 ′ ≔ 𝐵0 (0, 𝑠) ∩ {𝑦𝑛 > 0} nằm 𝑠 Φ(𝑈 ∩ 𝐵(𝑥 , 𝑟)) Đặt 𝑉 ′ ≔ 𝐵0 (0, ) ∩ {𝑦𝑛 > 0} Cuối định nghĩa 37 𝑢′ (𝑦) ≔ 𝑢(𝚿(𝑦)) (𝑦 ∈ 𝑈 ′ ) (2.89) Có thể kiểm tra trực tiếp 𝑢 ′ ∈ 𝐻 (𝑈 ′ ) (2.90) 𝑡𝑟ê𝑛 𝜕𝑈 ′ ∩ {𝑦𝑛 = 0} (2.91) 𝑢′ = theo nghĩa vết Tiếp theo chứng tỏ 𝑢′ nghiệm yếu phương trình đạo hàm riêng 𝐿′𝑢′ = 𝑓 ′ 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑈 ′ , (2.92) 𝑓 ′ (𝑦) ≔ 𝑓(𝚿(𝑦)) (2.93) với 𝑛 𝑛 𝐿′𝑢′ = − ∑ (𝑎′𝑘𝑙 𝑢′𝑦𝑘 ) + ∑ 𝑏′𝑘 𝑢′𝑦𝑘 + 𝑐 ′ 𝑢′ , 𝑦𝑙 𝑘,𝑙=1 (2.94) 𝑘=1 𝑛 𝑎′𝑘𝑙 (𝑦) ≔ ∑ 𝑎𝑟𝑠 (𝚿(𝑦)) Φ𝓍𝑘r (𝚿(𝑦))Φ𝓍ℓ s (𝚿(𝑦)) (𝑘, 𝑙 = 1, … , 𝑛), (2.95) 𝑟,𝑠=1 𝑛 𝑏′𝑘 (𝑦) ≔ ∑ 𝑏𝑟 (𝚿(𝑦))Φ𝓍𝑘r (𝚿(𝑦)) (𝑘 = 1, … , 𝑛), (2.96) 𝑟=1 𝑐 ′ ≔ 𝑐(𝚿(𝑦)) với 𝑦 ∈ 𝑈 ′ , (2.97) 𝑘, 𝑙 = 1, … , 𝑛 Nếu 𝑣′ ∈ 𝐻01 (𝑈′) 𝐵′[ , ] kí hiệu dạng song tuyến tính liên kết với tốn tử 𝐿′, ta có 𝑛 ′[ ′ ′] 𝐵 𝑢 ,𝑣 = ∫ 𝑛 𝑘𝑙 ∑ 𝑎′ 𝑢′𝑦𝑘 𝑣′𝑦𝑙 + ∑ 𝑏′𝑘 𝑢′𝑦𝑘 𝑣′ + 𝑐 ′ 𝑢′ 𝑣 ′ 𝑑𝑦 𝑈 ′ 𝑘,𝑙=1 𝑘=1 Lúc ta định nghĩa 𝑣 (𝑥) ≔ 𝑣′(Φ(𝑥)) Khi từ (2.98) tính 38 (2.98) 𝑛 ′[ ′ 𝑛 𝑗 𝑘𝑙 ′] 𝐵 𝑢 , 𝑣 = ∑ ∑ ∫ 𝑎′ 𝑢𝑥𝑖 𝚿𝑦𝑖 𝑘 𝑣𝑥𝑗 𝚿𝑦𝑙 𝑑𝑦 ′ 𝑖,𝑗=1 𝑘,𝑙=1 𝑈 𝑛 𝑛 + ∑ ∑ ∫ 𝑏′𝑘 𝑢𝑥𝑖 𝚿𝑦𝑖 𝑘 𝑣𝑑𝑦 + ∫ 𝑐′𝑢𝑣𝑑𝑦 ′ 𝑖=1 𝑘=1 𝑈 (2.99) 𝑈′ Bây theo (2.98), với 𝑖, 𝑗 = 1, … , 𝑛, tìm 𝑛 ∑𝑎 𝑛 ′ 𝑘𝑙 𝑗 𝚿𝑦𝑖 𝑘 𝚿𝑦𝑙 𝑛 𝑗 = ∑ ∑ 𝑎𝑟𝑠 Φ𝓍𝑘r Φ𝓍ℓ s 𝚿𝑦𝑖 𝑘 𝚿𝑦𝑙 = 𝑎𝑖𝑗 , 𝑘,𝑙=1 𝑟,𝑠=1 𝑘,𝑙=1 = (𝐷𝚿)−1 Tương tự, với 𝑖 = 1, … , 𝑛, có 𝑛 𝑛 𝑛 ∑ 𝑏′𝑘 𝚿𝑦𝑖 𝑘 = ∑ ∑ 𝑏𝑟 𝚽𝓍𝑘r 𝚿𝑦𝑖 𝑘 = 𝑏𝑖 𝑘=1 𝑘=1 𝑟=1 Thay tính tốn vào (2.99) biến đổi (vì |𝑑𝑒𝑡𝐷𝚽| = 1) ta nhận 𝑛 𝐵 ′[𝑢′ ,𝑣 ′ ] 𝑛 𝑖𝑗 = ∫ ∑ 𝑎 𝑢𝑥𝑖 𝑣𝑥𝑗 + ∑ 𝑏𝑖 𝑢𝑥𝑖 𝑣 + 𝑐𝑢𝑣 𝑑𝑥 𝑈 𝑖,𝑗=1 𝑖=1 = 𝐵[𝑢, 𝑣 ] = (𝑓, 𝑣 )𝐿2(𝑈) = (𝑓′, 𝑣′)𝐿2(𝑈 ′) Điều cho ta (2.92) Bây kiểm tra toán tử 𝐿′ elliptic 𝑈′ Thực vậy, 𝑦 ∈ 𝑈′ 𝜉 ∈ ℝ𝑛 , ta để ý 𝑛 𝑛 𝑛 ∑ 𝑎′𝑘𝑙 (𝑦)𝜉𝑘 𝜉𝑙 = ∑ ∑ 𝑎𝑟𝑠 (𝚿(𝑦)) Φ𝓍𝑘r Φ𝓍ℓ s 𝜉𝑘 𝜉𝑙 𝑘,𝑙 𝑟,𝑠=1 𝑘,𝑙=1 𝑛 = ∑ 𝑎𝑟𝑠 (𝚿(𝑦))𝜂𝑟 𝜂𝑠 ≥ 𝜃|𝜂 |2 , (2.100) 𝑟,𝑠=1 𝜂 = 𝜉𝐷𝚽; tức là, 𝜂𝑟 = ∑𝑛𝑘=1 Φ𝓍𝑘r 𝜉𝑘 , (𝑟 = 1, … , 𝑛) Nhưng đó, 𝐷𝚽𝐷𝚿 = 𝐼, nên ta có 𝜉 = 𝜂𝐷𝚿, |𝜉 | ≤ 𝐶 |𝜂 | với 𝐶 số Bất đẳng thức (2.100) suy 𝑛 ∑ 𝑎′𝑘𝑙 (𝑦)𝜉𝑘 𝜉𝑙 ≥ 𝜃 ′ |𝜉 |2 𝑘,𝑙 với số 𝜃 ′ > với 𝑦 ∈ 𝑈 ′ , 𝜉 ∈ ℝ𝑛 Để ý từ (2.95) ta thấy, hệ số 𝑎′𝑘𝑙 𝐶 , Φ 𝚿 𝐶 39 (2.101) 10 Theo (2.92) (2.101), ta áp dụng kết từ bước 1-5 chứng minh để khẳng định 𝑢′ ∈ 𝐻 (𝑉′), với ước lượng ‖𝑢′‖𝐻 2(𝑉 ′) ≤ 𝐶 (‖𝑓′‖𝐿2(𝑈 ′) + ‖𝑢′‖𝐿2(𝑈 ′) ) Suy ‖𝑢‖𝐻 2(𝑉) ≤ 𝐶(‖𝑓‖𝐿2(𝑈) + ‖𝑢‖𝐿2(𝑈) ) (2.102) với 𝑉 ≔ 𝚿(𝑉′) Do 𝜕𝑈 compact, nên ta phủ 𝜕𝑈 số hữu hạn tập 𝑉1 , … , 𝑉𝑁 Chúng ta kết hợp đánh giá thu được, với đánh giá miền, nhận 𝑢 ∈ 𝐻 (𝑈), với bất đẳng thức (2.73).□ Định lý 2.11 (Tính quy cao biên) Giả thiết 𝑚 số nguyên không âm, ̅ ), 𝑎𝑖𝑗 , 𝑏𝑖 , 𝑐 ∈ 𝐶 𝑚+1 (𝑈 (𝑖, 𝑗 = 1, … , 𝑛) (2.103) 𝑓 ∈ 𝐻 𝑚 (𝑈 ) (2.104) Giả sử 𝑢 ∈ 𝐻01 (𝑈) nghiệm yếu toán biên 𝐿𝑢 = 𝑓 𝑈 𝑢 = 𝜕𝑈, (2.105) 𝜕𝑈 thuộc lớp 𝐶 𝑚+2 (2.106) { Khi 𝑢 ∈ 𝐻 𝑚+2 (𝑈), (2.107) có đánh giá ‖𝑢‖𝐻 𝑚+2(𝑉) ≤ 𝐶(‖𝑓‖𝐻 𝑚(𝑈) + ‖𝑢‖𝐿2(𝑈) ), (2.108) số 𝐶 phụ thuộc vào 𝑚, 𝑈 hệ số 𝐿 Nhận xét 2.8 Nếu 𝑢 nghiệm (2.105), ước lượng (2.108) đơn giản hóa thành ‖𝑢‖𝐻 𝑚+2(𝑈) ≤ 𝐶 ‖𝑓‖𝐻 𝑚(𝑈) Chứng minh : Xem [7, tr 93-94].□ Định lý 2.12 (Tính khả vi vô hạn đến biên) 40 Giả thiết ̅ ), 𝑎𝑖𝑗 , 𝑏𝑖 , 𝑐 ∈ 𝐶 ∞ (𝑈 (𝑖, 𝑗 = 1, … , 𝑛) ̅ ) 𝑓 ∈ 𝐶 ∞ (𝑈 Giả sử 𝑢 ∈ 𝐻01 (𝑈) nghiệm yếu toán biên { 𝐿𝑢 = 𝑓 𝑈 𝑢 = 𝜕𝑈, 𝜕𝑈 thuộc lớp 𝐶 ∞ Khi ̅ ) 𝑢 ∈ 𝐶 ∞ (𝑈 Chứng minh Theo Định lý 2.11, ta có 𝑢 ∈ 𝐻 𝑚 (𝑈) với số nguyên 𝑚 = 1,2 … Do vậy, từ ̅) với 𝑘 = 1,2 …□ Định lý 1.3 suy 𝑢 ∈ 𝐶 𝑘 (𝑈 Những tính toán chủ yếu dựa việc áp dụng nhiề lần phương pháp « lượng » đạo hàm riêng ngày cao Tích phân phần cơng cụ giúp khẳng định nghiệm yếu (chỉ phụ thuộc 𝐻01 (𝑈)) trơn 2.4 Nguyên lý cực đại Mục dành cho việc phát triển nguyên lý cực đại cho phương trình đạo hàm riêng elliptic cấp hai Phương pháp nguyên lý cực đại dựa quan sát rằng, hàm 𝑢 thuộc lớp 𝐶 đạt cực đại tập mở 𝑈 điểm 𝑥 ∈ 𝑈, 𝐷𝑢(𝑥0 ) = 0, 𝐷 (𝑥0 ) ≤ 0, (2.109) bất đẳng thức sau có nghĩa là: ma trận đối xứng 𝐷 𝑢 = ((𝑢𝑥𝑖 𝑥𝑗 )) xác định không dương 𝑥0 Những suy diễn dựa (2.109) điểm, chúng khác hoàn toàn với phương pháp lượng dựa việc tích phân, đa thiết lập mục 2.1-2.3 Đặc biệt cần đòi hỏi nghiệm 𝑢 phải thuộc lớp 𝐶 , việc xét 𝐷𝑢, 𝐷 𝑢 điểm có nghĩa (Trong lý thuyết tính qui mục 2.3 biết rằng, nghiệm yếu trơn, hệ số,…đủ qui) Chúng ta thấy, thích hợp xét tốn tử elliptic 𝐿 có dạng khơng divergence 41 𝑛 𝑛 𝑖𝑗 𝐿𝑢 = − ∑ 𝑎 𝑢𝑥𝑖 𝑥𝑗 + ∑ 𝑏𝑖 𝑢𝑥𝑖 + 𝑐𝑢, 𝑖,𝑗 (2.110) 𝑖 hệ số 𝑎𝑖𝑗 , 𝑏𝑖 , 𝑐 liên tục thỏa mãn điều kiện tính elliptic Khơng tính tổng quát, ta giả thiết điều kiện đối xứng 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎 𝑗𝑖 , (𝑖, 𝑗 = 1, … , 𝑛) 2.4.1 Nguyên lý cực đại yếu Trước hết đồng kiện với hàm phải đạt cực đại (hoặc cực tiểu) biên Ta giả sử 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 mở bị chặn Định lý 2.13 (Nguyên lý cực đại yếu) ̅) 𝑐 ≡ 𝑈 Giả thiết 𝑢 ∈ 𝐶 (𝑈) ∩ 𝐶 (𝑈 (𝑖) Nếu 𝐿𝑢 ≤ 𝑈, (2.111) 𝑈, (2.112) max 𝑢 = max 𝑢 ̅ 𝑈 𝜕𝑈 (𝑖𝑖) Nếu 𝐿𝑢 ≥ 𝑢 = 𝑢 ̅ 𝑈 𝜕𝑈 Nhận xét 2.9 Một hàm thỏa mãn (2.111) gọi nghiệm Như khẳng định nghiệm đạt giá trị cực đại biên 𝜕𝑈 Tương tự, (2.112) đúng, 𝑢 gọi nghiệm nhận giá trị cực tiểu biên 𝜕𝑈 Chứng minh Trước hết giả sử có bất đẳng thức ngặt 𝐿𝑢 < 𝑈, (2.113) tồn điểm 𝑥0 ∈ 𝑈 cho 𝑢(𝑥0 ) = max 𝑢 ̅ 𝑈 (2.114) Bây điểm cực đại 𝑥0 , ta có 𝐷𝑢(𝑥0 ) = 0, 42 (2.115) 𝐷 𝑢(𝑥0 ) ≤ (2.116) Do ma trận 𝐴 = ((𝑎𝑖𝑗 (𝑥0 ))) đối xứng xác định dương, nên tồn ma trận trực giao 𝑂 = ((𝑜𝑖𝑗 )) cho 𝑂𝐴𝑂𝑇 = 𝑑𝑖𝑎𝑔 (𝑑1 , … , 𝑑𝑛 ), 𝑂𝑂𝑇 = 𝐼, (2.117) với 𝑑𝑘 > 0, (𝑘 = 1, … , 𝑛) Đặt 𝑦 = 𝑥0 + 𝑂(𝑥 − 𝑥0 ) Khi 𝑥 − 𝑥0 = 𝑂𝑇 (𝑦 − 𝑥0 ), ta có 𝑛 𝑛 (𝑖, 𝑗 = 1, … , 𝑛) 𝑢𝑥𝑖 = ∑ 𝑢𝑦𝑘 𝑜𝑖𝑘 , 𝑢𝑥𝑖 𝑥𝑗 = ∑ 𝑢𝑦𝑘𝑦𝑙 𝑜𝑖𝑘 𝑜𝑗𝑙 𝑘=1 𝑘,𝑙 Vì điểm 𝑥0 , 𝑛 𝑛 𝑛 𝑖𝑗 ∑ 𝑎 𝑢𝑥𝑖 𝑥𝑗 = ∑ ∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑢𝑦𝑘𝑦𝑙 𝑜𝑖𝑘 𝑜𝑗𝑙 𝑖,𝑗 𝑘,𝑙=1 𝑖,𝑗=1 𝑛 = ∑ 𝑑𝑘 𝑢𝑦𝑘𝑦𝑘 𝑑𝑜 (3.117) (2.118) 𝑘 ≤ 0, theo (3.116), 𝑑𝑘 > 𝑢𝑦𝑘𝑦𝑘 (𝑥0 ) ≤ 0, (𝑘 = 1, … , 𝑛) Do vậy, 𝑥0 𝑛 𝑛 𝑖𝑗 𝐿𝑢 = − ∑ 𝑎 𝑢𝑥𝑖 𝑥𝑗 + ∑ 𝑏𝑖 𝑢𝑥𝑖 ≥ 𝑖,𝑗=1 𝑖=1 Theo (2.115) (2.118), từ suy (2.112) (2.113) khơng thể xảy Trong trường hợp tổng quát, (2.111) ta đặt 𝑢𝜀 (𝑥) ≔ 𝑢(𝑥) + 𝜀𝑒 𝜆𝑥1 (𝑥 ∈ 𝑈 ), 𝜆 > chọn sau 𝜀 > Nhớ lại (như chứng minh Định lý 2.10 rằng, điều kiện tính elliptic suy 𝑎𝑖𝑗 (𝑥) ≥ 𝜃, (𝑖 = 1, … , 𝑛, 𝑥 ∈ 𝑈) Vì 𝐿𝑢𝜀 = 𝐿𝑢 + 𝜀𝐿(𝑒 𝜆𝑥1 ) ≤ 𝜀𝑒 𝜆𝑥1 [−𝜆2 𝑎11 + 𝜆𝑏1 ] ≤ 𝜀𝑒 𝜆𝑥1 [−𝜆2 𝜃 + ‖𝑏‖𝐿∞ 𝜆] đủ lớn Lúc này, theo bước max 𝑢𝜀 = max 𝑢𝜀 , ̅ 𝑈 𝜕𝑈 cho 𝜀 → ta nhận max 𝑢 = max 𝑢 Điều chứng minh (𝑖) ̅ 𝑈 𝜕𝑈 Do – 𝑢 nghiệm 𝑢 nghiệm trên, nên ta có khẳng định (𝑖𝑖) Tiếp theo điều chỉnh nguyên lý cực đại yếu để có nguyên lý cực đại yếu trường hợp hệ số số hạng bậc không: c không âm Nhớ lại 𝑢+ = max(𝑢, 0), 𝑢− = min(𝑢, 0).□ Định lý 2.14: (Nguyên lý cực đại yếu với 𝒄 ≥ 𝟎) ̅) 𝑐 ≥ 𝑈 Giả sử 𝑢 ∈ 𝐶 (𝑈) ∩ 𝐶 (𝑈 (𝑖) Nếu 𝐿𝑢 ≤ 𝑈 max 𝑢 ≤ max 𝑢+ ̅ 𝑈 (2.119) 𝜕𝑈 (𝑖𝑖) Cũng vậy, 𝐿𝑢 ≥ 𝑈, 𝑢 ≥ − max 𝑢− ̅ 𝑈 (2.120) 𝜕𝑈 Nhận xét 2.10 Trong trường hợp đặc biệt, 𝑢 = 𝑈, max|𝑢| ≤ max|𝑢| ̅ 𝑈 (2.121) 𝜕𝑈 Chứng minh Cho 𝑢 nghiệm tập 𝑉 ≔ {𝑥 ∈ 𝑈 ∕ 𝑢(𝑥) > 0} Khi 𝐾𝑢 ≔ 𝐿𝑢 − 𝑐𝑢 ≤ −𝑐𝑢 ≤ 𝑉 Toán tử 𝐾 khơng có số hạng bậc khơng nên theo Định lý 2.13, max 𝑢 = max 𝑢 = max 𝑢+ ̅ 𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑈 Điều cho ta (2.119) trường hợp 𝑉 ≠ ∅ Trái lại 𝑢 ≤ 𝑈, ta có (2.119) Khẳng định (𝑖𝑖) suy cách áp dụng (𝑖) – 𝑢, ý (−𝑢)+ = 𝑢 − □ 2.4.2 Nguyên lý cực đại mạnh Trong mục làm mạnh khẳng định cách chứng minh nghiệm dươi 𝑢 đạt giá trị cực đại điểm miền liên thông, trừ 𝑢 hàm Khẳng định nguyên lý cực đại mạnh, 44 phụ thuộc vào phân tích tinh tế đạo hàm theo vectơ pháp tuyến đơn vị 𝜕𝑢 𝜕𝜈 điểm cực đại biên Bổ đề 2.1 (Bổ đề Hopf) ̅) 𝑐 ≡ 𝑈 Hơn Giả sử 𝑢 ∈ 𝐶 (𝑈) ∩ 𝐶 (𝑈 𝐿𝑢 ≤ 𝑈, có điểm 𝑥 ∈ 𝜕𝑈 cho 𝑢(𝑥 ) > 𝑢(𝑥) với 𝑥 ∈ 𝑈 (2.122) Cuối giả thiết 𝑈 thỏa mãn điều kiện hình cầu 𝑥 ; tức tồn hình cầu mở 𝐵 ⊂ 𝑈 với 𝑥 ∈ 𝜕𝐵 (𝑖) Khi 𝜕𝑢 𝜕𝜈 (𝑥 ) > 0, 𝜈 vectơ pháp tuyến đơn vị 𝐵 𝑥 (𝑖𝑖) Nếu 𝑐 ≥ 𝑈, kết luận tương tự miễn 𝑢 (𝑥 ) ≥ Nhận xét 2.11 Tầm quan trọng (𝑖) bất đẳng thức ngặt: tức 𝜕𝑢 𝜕𝜈 (𝑥 ) ≥ hiển nhiên Chú ý rằng, điều kiện hình cầu tự động thỏa mãn 𝜕𝑈 thuộc lớp 𝐶 Chứng minh: Xem [7, tr99-100].□ Bổ đề Hopf công cụ sở chứng minh tiếp theo: Định lý 2.15 (Nguyên lý cực đại mạnh) ̅) 𝑐 ≡ 𝑈 Ta giả sử 𝑈 liên thông, Giả sử 𝑢 ∈ 𝐶 (𝑈) ∩ 𝐶 (𝑈 mở bị chặn (𝑖) Nếu 𝐿𝑢 ≤ 𝑈 ̅ điểm thuộc phần trong, 𝑢 đạt cực đại 𝑈 𝑢 số 𝑈 (𝑖𝑖) Tương tự, 𝐿𝑢 ≥ 𝑈 ̅ điểm thuộc phần trong, 𝑢 đạt cực tiêur 𝑈 𝑢 số 𝑈 Chứng minh Đặt 𝑀 ≔ max 𝑢 𝐶 ≔ {𝑥 ∈ 𝑈⁄𝑢(𝑥) = 𝑀} Khi 𝑢 ≢ 𝑀, ta xét ̅ 𝑈 45 𝑉 ≔ {𝑥 ∈ 𝑈 ⁄𝑢 (𝑥 ) < 𝑀 } Chọn điểm 𝑦 ∈ 𝑉 thỏa mãn 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑦, 𝐶 ) < 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑦, 𝜕𝑈), gọi 𝐵 hình cầu lớn với tâm 𝑦 mà phần nằm 𝑉 Khi tồn điểm 𝑥 ∈ 𝐶, với 𝑥 ∈ 𝜕𝐵 Rõ ràng 𝑉 thỏa mãn điều kiện hình cầu 𝑥 ; từ Bổ đề Hopf, (𝑖), suy 𝜕𝑢 𝜕𝜈 (𝑥 ) > Nhưng điều mâu thuẫn : 𝑢 đạt cực đại 𝑥 ∈ 𝑈, nên ta có 𝐷𝑢(𝑥 ) = 0.□ Khi hệ số đạo hàm bậc khơng khơng âm (𝑐 ≥ 0), có nguyên lý cực đại : Định lý 2.16 (Nguyên lý cực đại mạnh với 𝑐 ≥ 0) ̅) 𝑐 ≥ 𝑈 Ta giả sử 𝑈 liên thông Giả sử 𝑢 ∈ 𝐶 (𝑈) ∩ 𝐶 (𝑈 (𝑖) Nếu 𝐿𝑢 ≤ 𝑈 ̅ điểm thuộc phần trong, 𝑢 đạt cực đại không âm 𝑈 𝑢 số 𝑈 (𝑖𝑖) Tương tự, 𝐿𝑢 ≥ 𝑈 ̅ điểm thuộc phần trong, 𝑢 đạt cực tiểu không dương 𝑈 𝑢 số 𝑈 Chứng minh Chứng minh Định lý tương tự chứng minh Định lý 3.15 trên, khác chỗ sử dụng khẳng định (𝑖𝑖) bổ đề Hopf □ 46 KẾT LUẬN Trước phát triển mạnh mẽ không ngừng khoa học cơng nghệ, chắn phương trình đạo hàm riêng phát triển mạnh mẽ tương lai Tuy giới phương trình đạo hàm riêng phát triển mạnh mẽ, nước ta cịn sách nói vấn đề Vì để bước đầu làm quen với mơn học này, chúng tơi tìm hiểu phương trình đạo hàm riêng elliptic cấp hai, chúng tơi tập trung nghiên cứu tồn tại, tính nhất, tính trơn, nguyên lý cực đại nghiệm yếu toán giá trị biên elliptic cấp hai Đây toán ứng dụng nhiều vật lý ngành kĩ thuật : học, lượng tử….Nhưng thời gian nghiên cứu hạn hẹp, kiến thức cịn hạn chế, nên chúng tơi chưa khai thác hết khía cạnh tốn, chưa sử dụng số phương pháp khác : phương pháp đại số, phương pháp phần tử hữu hạn… để nghiên cứu sâu toán giá trị biên cho phương trình elliptic cấp hai Chính thế, xem luận văn tư liệu, hành trang khởi đầu cho để sau có điều kiện tiếp tục nghiên cứu kĩ phương trình elliptic cấp hai nói riêng nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng nói chung Đây lần thực nghiên cứu khoa học, nên không tránh khỏi thiếu sót định Chúng tơi mong nhận quan tâm, đóng góp ý kiến q thầy bạn để khóa luận hồn chỉnh 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] TS Đậu Thế Cấp, Giải Tích Hàm, Nhà xuất Giáo dục, 2003 [2] Nguyễn Minh Chương, Phương Trình Đạo Hàm Riêng, Nhà xuất Giáo dục, 2000 [3] Lê Đình Đức, Bài Tốn Biên Loại Elliptic Và Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn – Luận văn thạc sĩ khoa học, Đà Nẵng 2007 [4] Evans L.C., Partial Differential Equations, AMS Press, 1998 [5] Gilbarg, D and Trudinger, N., Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, (2nd ed.), Springer, 1983 [6] Hoàng Tụy, Giải Tích Hiện Đại (Tập 1, 2), Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp Hà Nội, 1978 [7] Trần Đức Vân, Hà Tiến Ngạn, Nguyễn Hữu Thọ, Phương Trình Đạo Hàm Riêng Tuyến Tính, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội, 2009 [8] Trần Đức Vân, Lý Thuyết Phương Trình Vi Phân Đạo Hàm Riêng – Bộ sách cao học viện Toán học, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội, 2005 48 ... CHƯƠNG 2: NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC CẤP HAI Trong chương nghiên cứu tính giải phương trình vi phân đạo hàm riêng elliptic cấp hai với điều kiện biên Chúng ta khai thác hai kĩ thuật... 2: NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC CẤP HAI 14 2.1 Các định nghĩa 14 2.2 Nghiệm yếu 16 2.2.1 2.2.2 Cơ sở dẫn tới khái niệm nghiệm yếu 16 Nghiệm yếu. .. khoa học ? ?Nghiệm yếu phương trình elliptic cấp hai? ?? Ở ta nghiên cứu toán giá trị biên phương trình elliptic cấp hai, tốn xuất nhiều vật lý số ngành kỹ thuật học, lượng tử…Nơi mà việc tìm nghiệm