Sự tồn tại nghiệm yếu Ta sẽ chứng minh rằng một nghiệm yếu của phương trình 1 với điều kiện biên 2 có thể ε →0 nhận được qua giới hạn khi của một họ u ε ε >0 các nghiệm xấp xỉ.. với điề[r]
(1)SỰ TỒN TẠI MỘT NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH TẬP MỨC MẶT CỰC TIỂU EXISTENCE OF A WEAK SOLUTION OF LEVEL SET MINIMAL SURFACE EQUATIONS NGUYỄN CHÁNH ĐỊNH Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng TÓM TẮT Bài báo này đưa phương pháp tập mức để mô phương trình mặt cực tiểu Dựa trên khuôn khổ nghiệm yếu phương trình tập mức mặt cực tiểu, chúng tôi chứng minh tồn loại nghiệm yếu cho phương trình Nghiệm này nhận là giới hạn dãy nghiệm cổ điển các phương trình xấp xỉ tương ứng Nghiệm biểu diễn mặt cực tiểu dạng tập mức không nó ABSTRACT This paper aims to provide a level set method for simulation of an equation which describes the minimal surfaces The main focus is set in the framework based on weak solutions of level set minimal surface equations We prove that there exists a weak solution of the equation The solution will be obtained as a limit of a sequence of classical solutions to the correspondent aproximation equations It describes the minimal surface as its zero level set ĐẶT VẤN ĐỀ Ta nghiên cứu nghiệm yếu phương trình mặt cực tiểu hình trụ Ω := { x = ( x' , xn ); x'∈ Ω' , xn ∈ R }, n −1 ( n ≥ 2) đó Ω' là miền trơn bị chặn R Cho S là mặt (n-1)- chiều n Γ ⊂ ∂ Ω R với biên trơn Ta biểu diễn mặt S dạng tập mức không hàm n biến u nào đó Cụ thể, ta xác định phương trình cho hàm u = u ( x) = u ( x1 , , x n ) chứa S dạng tập mức không nó Bài toán xây dựng mặt cực tiểu S có biên Γ đưa bài toán tìm hàm u với kiện biên cho trên Γ cho S là tập mức không u Ta gán giá trị biên cho u cách chọn hàm trơn u : ∂Ω → R cho Γ = { x ∈ ∂Ω | u ( x) = } Như ta đã đề cập, mặt S biểu diễn dạng tập mức không u Tức là S = { x ∈ R n | u ( x) = } Vì S là tập mức không u, nên pháp vectơ đơn vị S là υ=− ∇u , ∇u và độ cong trung bình S cho Lop12.net (2) ∇u H = −div(υ ) = −div ∇ u Vì vậy, ta thu phương trình mặt cực tiểu cho u với S là mặt cực tiểu biểu diễn dạng tập mức không u Ω ∇u = 0, − ∇u div ∇u ; hay Ω u u δ − xi x j u = ij ∇u xi x j , , (1) với điều kiện biên: u ( x) = u ( x), với x ∈ ∂Ω (2) Ta chứng tỏ rằng, tồn ít nghiệm yếu cho phương trình (1) với điều kiện biên (2) GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN 2.1 Định nghĩa nghiệm yếu Ta ký hiệu: C (Ω) = { u : Ω → R | u liên tục trên Ω} ∈ Định nghĩa: Một nghiệm yếu phương trình (1) là hàm u C (Ω) cho: ∞ u −φ Với φ ∈ C (Ω), hàm đạt cực đại địa phương điểm x0 ∈ Ω , thì φ x ( x0 )φ x j ( x0 ) φ ( x ) ≤ δ ij − i xi x j ∇φ ( x ) khi ∇φ (x ) ≠ 0, và (δ ij − ηiη j )φ xi x j ( x0 ) ≤ n η ∈ R , η ≤ 1, ∇φ (x ) = ∈ Định nghĩa: Một nghiệm yếu trên phương trình (1) là hàm u C (Ω) cho: ∞ u −φ Với φ ∈ C (Ω), hàm đạt cực tiểu địa phương điểm x0 ∈ Ω , thì φ x ( x0 )φ x j ( x0 ) φ ( x ) ≥ δ ij − i xi x j ∇φ ( x ) khi ∇φ (x ) ≠ 0, và Lop12.net (3) (δ ij − ηiη j )φ xi x j ( x0 ) ≥ n η ∈ R , η ≤ 1, ∇φ (x ) = ∈ Định nghĩa: Một nghiệm yếu phương trình (1) là hàm u C (Ω) cho u vừa là nghiệm yếu vừa là nghiệm yếu trên phương trình (1) 2.2 Sự tồn nghiệm yếu Ta chứng minh nghiệm yếu phương trình (1) với điều kiện biên (2) có thể ε →0 nhận qua giới hạn họ (u ε ) ε >0 các nghiệm xấp xỉ Để làm điều này, ta xét phương trình Ω u xεi u xε j ε u xi x j = (1 + ε )δ ij − ε 2 ∇ u + ε , , (3) u ε ( x) = u ( x), với x ∈ ∂Ω (4) với điều kiện biên: Lưu ý rằng, các hệ số {aij } với pi p j aij ( p ) := (1 + ε )δ ij − 2 p + ε thỏa mãn điều kiện elliptic ε ξ ≤a ij ( p )ξ iξ j , với ξ ∈ Rn , p ∈ Rn n −1 Định lý: Giả sử Ω' là miền trơn bị chặn và lồi R Khi đó tồn nghiệm yếu phương trình (1) Chứng minh: Vì phương trình là elliptic và Ω' là miền trơn bị chặn và lồi, nên tồn ε nghiệm trơn u phương trình (3) với điều kiện biên (4) Ω [2] Hơn ε nữa, nghiệm u thỏa mãn các đánh giá sau đây: uε L∞ ( Ω ) , ∇u ε L∞ ( Ω ) ≤ C, (5) đó C không phụ thuộc vào ε εk ∞ εk ε + Từ (5), tồn dãy {u }k =1 ⊂ {u }0<ε <1 cho ε k → và u → u địa phương Ω k → ∞ Hàm u đó là hàm bị chặn và liên tục Lipschitz Ta chứng minh u là nghiệm yếu phương trình (1) ∞ u −φ Giả sử φ ∈ C (Ω) và đạt cực đại ngặt địa phương điểm x0 ∈ Ω Vì u ε k → u gần x0 , nên tồn dãy các điểm xk ∈ Ω cho xk → x0 k → ∞ , và u ε k − φ đạt cực đại địa phương điểm xk Lop12.net (6) (4) εk Vì u và φ là các hàm trơn, nên ∇u ε k = ∇φ , D u ε k ≤ D 2φ điểm xk Vì vậy, ta có φ ( x )φ ( x ) (1 + ε )δ − xi k x j k φ ( x ) ≤ k ij xi x j k ∇φ ( xk ) + ε k2 (7) Tiếp theo ta giả sử ∇φ ( x0 ) ≠ Khi đó ∇φ ( xk ) ≠ với k đủ lớn và ta có thể lấy giới hạn (7) k → ∞ và đưa đến φ ( x )φ ( x ) δ − xi x j φ ( x ) ≤ ij xi x j ∇φ ( x ) (8) Bây giờ, ta giả sử ∇φ ( x0 ) = Đặt η k := ∇φ ( x k ) (∇φ ( x ) k và (7) trở thành Vì ((1 + ε k + ε k2 ) 1/ , ) )δ ij − ηikη kj φ xi x j ( xk ) ≤ η k ≤ 1, nên ta lấy giới hạn có thể qua dãy cần thiết và giả sử n k →∞ R η ≤ với Cho (9) và thu (δ ij ) − ηi η j φ xi x j ( x0 ) ≤ (9) ηk →η (10) Nếu u − φ đạt cực đại địa phương không thiết là cực đại địa phương ngặt φ (x) điểm x0 ∈ Ω , thì ta lặp lại lý luận trên với thay φˆ( x) := φ ( x) + x và thu (8) và (10) Hệ cho ta u là nghiệm yếu phương trình (1) Để chứng tỏ u là nghiệm yếu trên phương trình (1), ta lý luận hoàn toàn tương tự Vậy u là nghiệm yếu phương trình (1) KẾT LUẬN Vấn đề tìm nghiệm bài toán mặt cực tiểu đã nghiên cứu nhiều tác giả quan điểm mặt là đồ thị hàm nhiều biến Bài báo đã đưa cách tiếp cận khác, đó là phương pháp tập mức Chúng tôi đã chứng minh tồn loại nghiệm yếu cho phương trình Tính loại nghiệm này chúng tôi nghiên cứu tương lai Lop12.net (5) TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] L C Evans, and J Spruck, Motion of level set by mean curvature I, J Diff Geom., 33(1991), 635-681 [2] G Huisken, Flow by mean curvature of convex surfaces into spheres, J Differential Geometry, 20(1984), 237-266 [3] R Jensen, The maximum principle for viscosity solutions of fully nonlinear second order partial differential equations, Arch Rat Mech Anal., 101(1988), 1-27 [4] Ch D Nguyen, and R H W Hoppe, Amorphous surface growth via a level set approach, J Nonlinear Analysis & Applications (accepted) Lop12.net (6)