Về một số phương trình elliptic và hyperbolic phi tuyến suy biến (tt)

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI * DNG TRNG LUYN V MT S PHNG TRèNH ELLIPTIC V HYPERBOLIC PHI TUYN SUY BIN Chuyờn ngnh: Phng trỡnh vi phõn v tớch phõn Mó s: 62.46.01.03 TểM TT LUN N TIN S TON HC H NI - 2017 Lun ỏn c hon thnh ti: Trng i hc S phm H Ni Ngi hng dn khoa hc: GS.TSKH Nguyn Minh Trớ, Vin Toỏn hc, Vin Hn lõm Khoa hc v Cụng ngh Vit Nam Phn bin 1: GS.TSKH V Ngc Phỏt, Vin Toỏn hc, Vin Hn lõm Khoa hc v Cụng ngh Vit Nam Phn bin 2: PGS.TS Hong Quc Ton, Trng i hc KHTN - HQG H Ni Phn bin 3: PGS.TS Cung Th Anh, Trng i hc S phm H Ni Lun ỏn s c bo v trc Hi ng chm lun ỏn cp Trng hp ti Trng i hc S phm H Ni vo hi gi ngy thỏng nm Cú th tỡm hiu lun ỏn ti th vin: Th vin Quc Gia, H Ni hoc Th vin Trng i hc S phm H Ni M U Lch s v lớ chn ti Lớ thuyt phng trỡnh vi phõn o hm riờng c nghiờn cu u tiờn cỏc cụng trỡnh ca J DAlembert (1717 - 1783), L Euler (1707 - 1783), D Bernoulli (1700 - 1782), J Lagrange (1736 - 1813), P Laplace (1749 - 1827), S Poisson (1781 - 1840) v J Fourier (1768 1830), nh l mt cụng c chớnh mụ t c hc cng nh mụ hỡnh gii tớch ca Vt lớ Vo gia th k XIX vi s xut hin cỏc cụng trỡnh ca Riemann, lớ thuyt phng trỡnh vi phõn o hm riờng ó chng t l mt cụng c thit yu ca nhiu ngnh toỏn hc Cui th k XIX, H Poincarộ ó ch mi quan h bin chng gia lớ thuyt phng trỡnh vi phõn o hm riờng v cỏc ngnh toỏn hc khỏc Sang th k XX, lớ thuyt phng trỡnh vi phõn o hm riờng phỏt trin vụ cựng mnh m nh cú cụng c gii tớch hm, c bit l t xut hin lớ thuyt hm suy rng S L Sobolev v L Schwartz xõy dng Nghiờn cu cỏc phng trỡnh v h phng trỡnh elliptic tng quỏt ó úng vai trũ rt quan trng lớ thuyt phng trỡnh vi phõn Hin cỏc kt qu theo hng ny ó tng i hon chnh Cựng vi s phỏt trin khụng ngng ca toỏn hc cng nh khoa hc cụng ngh nhiu bi toỏn liờn quan ti trn ca nghim cỏc phng trỡnh v h phng trỡnh khụng elliptic ó xut hin Cú mt s lp phng trỡnh, ú cú lp phng trỡnh elliptic suy bin, mt khớa cnh no ú cng cú mt s tớnh cht ging vi phng trỡnh elliptic Cỏc nghiờn cu v phng trỡnh elliptic ó c cp khỏ nhiu cỏc cụng trỡnh: Friedman (1958), L Hăormander (1966), H Brezis v L Nirenberg (1983), B Helffer v J Nourrigat (1985) v cỏc trớch dn thờm ú Gn õy mt s cỏc chuyờn gia ngoi nc chuyn sang nghiờn cu phng trỡnh elliptic suy bin phi tuyn cỏc cụng trỡnh D S Jerison v J M Lee (1987), V V Grushin (1970, 1971), T Bieske (2002), A E Kogoj, E Lanconelli v S Sonner(2000, 2012 - 2016), C.J Xu (1992) v cỏc trớch dn ú Mt s tỏc gi nc cng t c cỏc kt qu sõu sc vic nghiờn cu cỏc phng trỡnh, h cỏc phng trỡnh elliptic suy bin phi tuyn v cỏc phng trỡnh liờn quan nh: N M Chng, N M Trớ, P T Thy, N T C Thuy, C T Anh, T D K v cỏc trớch dn thờm ú ó t c cỏc kt qu v trn, tớnh gii tớch, tớnh chớnh qui Gevrey ca nghim ca cỏc lp phng trỡnh na phi tuyn kiu Gilioli Treves, phng trỡnh m phn chớnh ca nú l ly tha ca toỏn t Mizohata, phng trỡnh na tuyn tớnh kiu Kohn Laplace trờn nhúm Heisenberg, phng trỡnh na tuyn tớnh kiu Grushin, v cỏc kt qu v s tn ti v khụng tn ti nghim ca bi toỏn biờn cho phng trỡnh elliptic suy bin, s tn ti nghim v dỏng iu tim cn nghim ca phng trỡnh parabolic suy bin, s tn ti nghim v dỏng iu tim cn nghim ca phng trỡnh hyperbolic suy bin Tuy nhiờn cỏc kt qu t c cho cỏc phng trỡnh elliptic, phng trỡnh hyperbolic suy bin cũn ớt, cha y Vi cỏc lớ nờu trờn chỳng tụi ó chn ti nghiờn cu cho lun ỏn ca mỡnh l V mt s phng trỡnh elliptic v hyperbolic phi tuyn suy bin Mc ớch nghiờn cu Ni dung : Nghiờn cu bi toỏn biờn elliptic suy bin cha toỏn t vi cỏc ni dung sau: - Nghiờn cu s tn ti nghim yu ca bi toỏn; - Tớnh chớnh quy ca nghim yu Ni dung : Nghiờn cu phng trỡnh hyperbolic tt dn cha toỏn t elliptic suy bin mnh b chn vi cỏc ni dung sau: - Nghiờn cu s tn ti v nht nghim tớch phõn; - Nghiờn cu s tn ti hỳt ton cc; - ỏnh giỏ s chiu fractal ca hỳt ton cc Ni dung : Nghiờn cu phng trỡnh hyperbolic tt dn cha toỏn t Grushin ton khụng gian vi cỏc ni dung sau: - Nghiờn cu s tn ti v nht nghim tớch phõn; - Nghiờn cu s tn ti hỳt ton cc i tng v phm vi nghiờn cu i tng nghiờn cu ca lun ỏn l xột bi toỏn biờn v bi toỏn biờn giỏ tr ban u cú cha toỏn t elliptic suy bin N = j=1 xj j2 xj Phng phỏp nghiờn cu nghiờn cu s tn ti nghim yu ca bi toỏn chỳng tụi s dng phng phỏp bin phõn nghiờn cu tớnh trn ca nghim chỳng tụi s dng nh lớ nhỳng kiu Sobolev v mt s bt ng thc nghiờn cu s tn ti nht nghim, chỳng tụi s dng cỏc phng phỏp v cụng c ca gii tớch hm phi tuyn: phng phỏp na nhúm nghiờn cu dỏng iu tim cn ca nghim, chỳng tụi s dng cỏc cụng c v phng phỏp ca lớ thuyt h ng lc vụ hn chiu núi riờng l phng phỏp ỏnh giỏ tiờn nghim tim cn v phng phỏp ỏnh giỏ phn uụi ca nghim ỏnh giỏ s chiu fractal ca hỳt ton cc chỳng tụi s dng lớ thuyt qu o Cỏc kt qu t c v ý ngha ca ti Lun ỏn ó t c nhng kt qu chớnh sau õy: i vi bi toỏn biờn elliptic suy bin a v chng minh c s tn ti nghim yu ca bi toỏn vi mt s iu kin ca s hng phi tuyn.V cng chng minh c tớnh chớnh quy ca nghim õy l ni dung ca Chng i vi phng trỡnh hyperbolic tt dn cha toỏn t elliptic suy bin mnh b chn: Chng minh c s tn ti v nht ca nghim tớch phõn Chng minh c s tn ti ca hỳt ton cc v ỏnh giỏ c s chiu fractal ca hỳt õy l ni dung ca Chng i vi phng trỡnh hyperbolic tt dn cha toỏn t Grushin ton khụng gian: Chng minh c s tn ti v nht ca nghim tớch phõn Chng minh c s tn ti ca hỳt ton cc õy l ni dung ca Chng Cỏc kt qu ca lun ỏn l mi, cú ý ngha khoa hc, v gúp phn vo vic hon thin vic nghiờn cu s tn ti ca nghim yu, tớnh trn ca nghim ca bi toỏn biờn elliptic suy bin, v dỏng iu tim cn nghim ca cỏc phng trỡnh hyperbolic tt dn cha toỏn t elliptic suy bin Cu trỳc lun ỏn Ngoi cỏc phn m u, tng quan, kt lun, kin ngh, danh mc cỏc cụng trỡnh c cụng b v danh mc ti liu tham kho, lun ỏn bao gm chng: Chng 1: Mt s kin thc chun b Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh by mt s kin thc chun b, bao gm: Khỏi nim toỏn t , mt s khụng gian hm, cỏc tớnh cht quan trng s dng lun ỏn, cỏc kt qu tng quỏt v lớ thuyt hỳt ton cc v mt s kt qu b tr c dựng cho cỏc chng sau Chng 2: S tn ti nghim v tớnh chớnh quy ca nghim ca bi toỏn biờn i vi phng trỡnh elliptic suy bin Trong chng ny, chỳng tụi nghiờn cu mt lp bi toỏn biờn elliptic cha toỏn t vi mt s iu kin ca s hng phi tuyn v kt qu chỳng tụi t c l cỏc nh lớ v s tn ti ca nghim yu khụng tm thng, nh lớ v tớnh chớnh quy ca nghim Chng 3: Tp hỳt ton cc i vi phng trỡnh hyperbolic tt dn cha toỏn t elliptic suy bin mnh b chn Trong chng ny, chỳng tụi nghiờn cu mt lp bi toỏn hyperbolic tt dn cha toỏn t elliptic suy bin mnh trờn b chn RN , vi s hng phi tuyn tng trng kiu a thc Chỳng tụi s chng minh s tn ti nghim tớch phõn ca bi toỏn, s tn ti hỳt ton cc khụng ()ìL2 () v chng minh s chiu fractal ca hỳt ton gian S(k ,k2 ),0 cc l hu hn Chng 4: Tp hỳt ton cc i vi phng trỡnh hyperbolic tt dn cha toỏn t Grushin trờn ton khụng gian Trong chng ny, chỳng tụi tip tc nghiờn cu bi toỏn hyperbolic tt dn trờn ton khụng gian RN , N Khi ú cỏc phộp nhỳng cn thit khụng cũn compact, ú S(t) khụng cũn l na nhúm compact na v iu ú gõy nhng khú khn ln nghiờn cu khc phc iu ú chỳng tụi ó a khong cỏch suy bin tng ng v s dng phng phỏp c lng uụi nghim chng minh s tn ti hỳt ton cc ca na nhúm sinh bi bi toỏn khụng gian Sk2 (RN ) ì L2 (RN ) Chng MT S KIN THC CHUN B Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh by mt s kin thc chun b, bao gm: Khỏi nim toỏn t , mt s khụng gian hm, cỏc tớnh cht quan trng s dng lun ỏn, cỏc kt qu tng quỏt v lớ thuyt hỳt ton cc v mt s kt qu b tr c dựng cho cỏc chng sau Toỏn t v mt s khụng gian hm 1.1 1.1.1 Toỏn t Gi s l mt b chn cú biờn trn khụng gian RN , N Chỳng ta nh ngha toỏn t: N xj j2 xj , xj = = j=1 , j = 1, 2, , N, xj ú hm j : RN R l cỏc hm liờn tc v tha j > 0, j = 1, 2, , N RN \, vi := X = (x1 , x2 , , xN ) RN : N j=1 xj = Hn na, chỳng ta gi s j (X) tha cỏc tớnh cht: i) (X) 1, j (X) = j (x1 , x2 , , xj1 ) , j = 2, , N ; ii) Vi mi X RN ta cú j (X) = j (X ) , j = 1, 2, , N, ú X = (|x1 | , , |xN |) nu X = (x1 , x2 , , xN ); iii) Tn ti hng s cho: xk xk j (X) j (X) , k {1, 2, , j 1} , j = 2, , N, N vi mi X R+ := (x1 , , xN ) RN : xj 0, j = 1, 2, , N ; iv) Tn ti na nhúm {t }t>0 tha món: t : RN R (x1 , , xN ) t (x1 , , xN ) = (t1 x1 , , tN xN ) vi = ã ã ã N , cho j l t thun nht bc j 1, tc l j (t (X)) = tj j (X) , X RN , t > 0, j = 1, , N Chỳng ta nh ngha N l s chiu thun nht ca RN cựng vi na nhúm {t }t>0 , tc l N := + + ã ã ã + N 1.1.2 Mt s khụng gian hm nh ngha 1.1.1 Vi p < , ta nh ngha tt c cỏc hm u Lp () cho j xj u Lp () vi mi j = 1, 2, , N, l khụng gian Sp () Chun Sp () c nh ngha l u Sp () = N |u|p + j=1 p p j xj u dx Nu p = chỳng ta nh ngha tớch vụ hng S2 () nh sau: N (u, v)S2 () = (u, v)L2 () + j xj u, j xj v L2 () j=1 p Khụng gian S,0 () nh ngha nh l bao úng ca C01 () khụng gian Sp () vi C01 () l cỏc hm C () cú giỏ compact p () l cỏc khụng gian Banach, D dng chng minh c Sp () v S,0 cỏc khụng gian S2 () v S,0 () l cỏc khụng gian Hilbert t N u := (1 x1 u, x2 u, , N xN u) , | u| := j xj u 2 j=1 Nu Sk,0 () := = (1, 1, , 1, |x|k , , |x|k ), thỡ chỳng ta kớ hiu N1 s S,0 (), k := , s v Nk := N = N1 + (1 + k)N2 N2 Nu = ( 1, 1, , , |x|k1 |y|k2 , , |x|k1 |y|k2 ), thỡ chỳng ta kớ hiu () S(k ,k2 ),0 (N1 +N2 ) s := S,0 (), k1 ,k2 s := , v Nk1 ,k2 := N = N1 + N2 + (1 + N3 k1 + k2 )N3 nh ngha 1.1.2 Chỳng ta nh ngha khụng gian Sk2 (RN ) l bao úng ca khụng gian C0 (RN ) vi chun u Sk2 (RN ) = |u|2 + |k u|2 dX RN Khi ú khụng gian Sk2 (RN ) l khụng gian Hilbert vi tớch vụ hng nh sau: (u, v)Sk2 (RN ) = (u, v)L2 (RN ) + (k u, k v)L2 (RN ) 1.1.3 Mt s tớnh cht Trong mc ny, chỳng tụi nhc li nh lớ nhỳng kiu Sobolev b chn, nh lớ nhỳng kiu Sobolev cho ton khụng gian, nh lớ v s tn ti im cc tiu ca phim hm trờn mt úng yu trờn yu v phng phỏp bin phõn chỳng ta cú kt qu sau: nh lớ 2.1.1 Cho N > Gi s u (X) S2 () l nghim di yu, u (X) S2 () l nghim trờn yu ca bi toỏn (2.1) v cỏc hng s c, c R tha < c u (X) u (X) c < + hu khp ni , v f (X, ) tha iu kin |f (X, )| a(X) + b||p ú p a(X) L p1 (), < p < N +2 N , b R+ Khi ú tn ti nghim yu u (X) S2 () ca (2.1), tha iu kin u (X) u (X) u (X) hu khp ni H qu 2.1.2 Gi s cỏc iu kin ca nh lớ 2.1.1 l tha Khi ú tn ti nghim yu ca bi toỏn (2.1) khụng gian L () H qu 2.1.3 Gi s f (X, ) = k(X)||q2 ||p2 , ú < k(X) C < , C l hng s v q < p < 2N N Khi ú bi toỏn u + f (X, u) = , u = u0 trờn , ú u0 l hng s v u0 1, luụn cú nghim yu khụng gian L () 2.1.2 nh lớ v s tn ti nghim yu khụng õm Trong mc ny chỳng ta xột bi toỏn biờn sau: p2 , u + u = u|u| u0 , u=0 trờn , (2.2) ú l b chn RN , vi biờn trn v , p l hng s cho trc 11 nh lớ 2.1.4 Gi s N > 2, p 2, N2N v l giỏ tr riờng ca toỏn t vi iu kin biờn Dirichlet thun nht Khi ú, vi mi > bi toỏn (2.2) luụn cú nghim yu khụng tm thng 2.2 Tớnh chớnh quy ca nghim ca bi toỏn biờn elliptic suy bin Trong mc ny chỳng ta xột bi toỏn biờn sau: u + f (X, u) = , (2.3) u = trờn , ú l b chn RN , vi biờn trn Kt qu mc ny l nh lớ sau: nh lớ 2.2.1 Cho l b chn RN cựng vi biờn trn Gi s f : ì R R tha f (., s) o c trờn vi mi s R c nh, f (X, ) liờn tc trờn R vi hu khp X v N 2 () Gi s u S,loc () l |f (X, )| a(X) (1 + ||) , a(X) Lloc nghim yu ca bi toỏn (2.3) Khi ú u Lqloc () vi mi q < N () v a(X) L () thỡ u Lq () vi mi Hn na, nu u S,0 q < nh lớ 2.2.2 Gi s f (X, ) = f () tha iu kin 0, 1) f () Cloc (R) ú (0, 1] 2) |f ()| C(1 + ||m ) vi C l hng s dng v < m < N +2 N p Khi ú nu u(X) l nghim yu ca bi toỏn (2.3) thỡ u(X) L () vi mi p < T nh lớ 2.2.1 v nh lớ N M Tri (1998) chỳng ta cú: H qu 2.2.3 Gi s f () tha cỏc iu kin ca nh lớ 2.2.1 v 12 1) f () = o() 2) Tn ti hng s A v [0, 21 ) tha F () àf () vi mi || A, ú F () = f (x)dx Khi ú bi toỏn (2.3) luụn cú nghim yu khụng tm thng thuc khụng gian Lp () vi mi p < 13 Chng TP HT TON CC I VI PHNG TRèNH HYPERBOLIC TT DN CHA TON T ELLIPTIC SUY BIN MNH TRONG MIN B CHN Trong chng ny, chỳng tụi nghiờn cu mt lp bi toỏn hyperbolic tt dn cha toỏn t elliptic suy bin mnh trờn b chn RN , vi s hng phi tuyn tng trng kiu a thc Chỳng tụi s chng minh s tn ti nghim tớch phõn ca bi toỏn, s tn ti hỳt ton () ì L2 () v ỏnh giỏ s chiu fractal cc khụng gian S(k ,k2 ),0 ca hỳt ton cc Chng ny gm ba phn: - Phn th nht: Trỡnh by s tn ti v nht ca nghim tớch phõn - Phn th hai: Trỡnh by s tn ti ca hỳt ton cc () ì L2 () khụng gian S(k ,k2 ),0 - Phn th ba: Trỡnh by tớnh hu ca s chiu fractal ca hỳt ton cc Ni dung ca chng ny da trờn cỏc bi bỏo [3] Danh mc cụng trỡnh khoa hc ca tỏc gi liờn quan n lun ỏn 3.1 S tn ti v nht ca nghim tớch phõn 3.1.1 t bi toỏn Trong chng ny chỳng ta nghiờn cu bi toỏn sau: utt + ut = Pk1 ,k2 u + f (X, u), X , t > 0, u(X, t) = 0, X , t > 0, u(X, 0) = u (X), u (X, 0) = u (X), t 14 (3.1) ú l mt b chn vi biờn trn RN1 ì RN2 ì RN3 = RN (N1 , N2 , N3 1), l hng s dng, X = (x, y, z), k2 k1 N N 2u u , utt = , |x|2k1 = ut = x2i , |y|2k2 = yj2 t t i=1 j=1 Chỳng ta gi s f (X, ) : ì R R tha f (., ) o c trờn vi mi R c nh, f (X, ) liờn tc trờn R vi mi X v |f (X, ) f (X, )| C|1 | g(X) + |1 | + |2 | , vi Nk1 ,k2 , Nk1 ,k2 (3.2) = N1 + N2 + (1 + k1 + k2 )N3 > 2, f (X, 0) = h(X) L2 (), (3.3) f (X, )d g1 (X) + g2 (X) , (3.4) f (X, ) g3 (X) + g4 (X) , (3.5) F (X, ) = ú , C > l cỏc hng s, v cỏc hm tha Nk ,k Nk ,k g1 (X), g3 (X) L1 (), g2 (X) L (), g4 (X) L (), 1 Nk ,k g2 Nk1 ,k2 < , g < , 2C (2k1 ,k2 , ) C (2k1 ,k2 , ) L () L () õy 2k1 ,k2 = 2Nk1 ,k2 , C(2k1 ,k2 , ) l hng s tt nht bt ng Nk1 ,k2 thc Sobolev u k1 ,k2 () L C(2k1 ,k2 , ) u S(k ,k2 ),0 () , v g(X) l hm khụng õm tha món, g(X) LNk1 ,k2 () nu = 0, v g(X) L k1 ,k2 () nu = t U= u v ,A = 15 Pk1 ,k2 Id , v(X) + f (X, u(X)) f (U )(X) = , U0 = u0 u1 Khi ú bi toỏn (3.1) tr thnh bi toỏn sau: dU = AU + f (U ), t > 0, dt U (0) = U (3.6) Chỳng ta t H = S(k () ì L2 () Khi ú H l khụng gian Hilbert ,k2 ),0 cựng vi tớch vụ hng sau (U, U )H = ( 3.1.2 u v , u v ) = (k1 ,k2 u, k1 ,k2 u)L2 () + (v, v)L2 () S tn ti v nht ca nghim tớch phõn Chỳng ta chng minh c A l toỏn t liờn hp lch nờn theo nh lớ Stone chỳng ta cú A sinh mt C0 na nhúm eAt trờn H nh ngha 3.1.1 Gi s T > 0, T R Mt ỏnh x liờn tc U : [0, T ) H c gi l nghim tớch phõn ca bi toỏn (3.1) nu nú l nghim ca phng trỡnh tớch phõn t eA(ts) f (U (s))ds, U (t) = eAt U0 + t [0, T ) Nu U kh vi hu khp ni trờn [0, T ) cựng vi Ut v AU thuc khụng gian L1loc ([0, T ), H) v tha phng trỡnh vi phõn dU = AU +f (U ), hu khp ni trờn (0, T ), v U (0) = U0 , U (t) D(A), dt ú U c gi l nghim mnh ca bi toỏn (3.1) S dng tớch cht ca C0 na nhúm v cỏc iu kin ca ỏnh x f chỳng ta cú nh lớ sau 16 nh lớ 3.1.2 Gi s f (X, u) tha cỏc iu kin (3.2)-(3.4) v U0 H Khi ú bi toỏn (3.1) tn ti nghim ton cc nht U C([0, ); H) Hn na, vi mi t c nh ỏnh x U0 S(t)U0 := U (t) l liờn tc trờn H 3.2 S tn ti hỳt ton cc S(k () ì L2 () ,k2 ),0 T nh lớ 3.1.2, chỳng ta nh ngha na nhúm liờn tc S(t) : H H nh sau S(t)U0 := U (t), ú U (t) l nghim nht ca bi toỏn (3.1), vi iu kin ban u U0 S dng phng phỏp phng trỡnh nng lng c a bi J M Ball nm 2004 chỳng tụi chng minh c nh lớ sau: nh lớ 3.2.1 Gi s f (X, u) tha cỏc iu kin (3.2)-(3.5) Khi ú na nhúm S(t) cú mt hỳt ton cc liờn thụng compact A = W u (E) H nh lớ 3.2.2 Gi s f (X, u) tha iu kin (3.2)-(3.5) Khi ú na nhúm S(t) xỏc nh bi bi toỏn 3.1, cú hỳt cc tiu ton cc M khụng gian H, tc l, vi mi (u0 , u1 ) H nghim tng ng (u(t), ut (t)) = S(t)(u0 , u1 ) dn ti E ca cỏc im cõn bng H t + 3.3 ỏnh giỏ s chiu fractal ca hỳt ton cc Trong mc ny chỳng tụi chng minh s chiu fractal ca hỳt ton cc A ca bi (3.1) l hu hn Phng phỏp m chỳng tụi s dng õy l phng phỏp qu o c a bi D Prazỏk nm 2002 v kt qu m chỳng tụi t c l: 17 nh lớ 3.3.1 Gi s f (X, u) tha cỏc iu kin (3.2)-(3.5) vi Khi ú s chiu fractal ca hỳt ton cc A l 0 0, sinh bi bi toỏn l mt na nhúm (phi tuyn) compact, tc l S(t) l toỏn t compact vi mi t > (iu ny suy t () L2 () Trong chng ny, tớnh compact ca phộp nhỳng S(k ,k2 ),0 chỳng tụi tip tc nghiờn cu bi toỏn trờn ton khụng gian RN , N Khi ú cỏc phộp nhỳng cn thit khụng cũn compact, ú S(t) khụng cũn l na nhúm compact na v iu ú gõy nhng khú khn ln nghiờn cu khc phc iu ú chỳng tụi ó a khong cỏch suy bin tng ng v s dng phng phỏp c lng uụi nghim chng minh s tn ti hỳt ton cc ca na nhúm sinh bi bi toỏn khụng gian Sk2 (RN ) ì L2 (RN ) Chng ny gm hai phn: - Phn th nht: Trỡnh by s tn ti v nht ca nghim tớch phõn - Phn th hai: Trỡnh by s tn ti ca hỳt ton cc khụng gian Sk2 (RN ) ì L2 (RN ) Ni dung ca chng ny da trờn cỏc bi bỏo [4] Danh mc cụng trỡnh khoa hc ca tỏc gi liờn quan n lun ỏn 19 4.1 S tn ti nht ca nghim tớch phõn 4.1.1 t bi toỏn Trong chng ny chỳng tụi nghiờn cu bi toỏn sau: utt + ut + u = Gk u + f (X, u), t > 0, X = (x, y) RN1 ì RN2 := RN , u(X, 0) = u (X), u (X, 0) = u (X), t (4.1) ú l hng s dng, u0 (X) Sk2 (RN ), u1 (X) L2 (RN ) v u 2u ut = , utt = , |x|2k = t t k N1 x2i , Gk u = x u + |x|2k y u i=1 Chỳng ta gi s f (X, ) : RN ì R R l hm liờn tc tha |f (X, ) f (X, )| C1 |1 | (g(X) + |1 | + |2 | ) vi , Nk = N1 + (1 + k)N2 > 2, Nk f (X, 0) = h(X) L2 (RN ), (4.3) F (X, ) C2 f (X, ) + g1 (X), vi mi X RN , R, (4.4) F (X, u(X))dX 0, vi mi u(X) Sk2 (RN ), (4.5) (4.2) RN Nk õy , C1 , C2 l cỏc hng s dng, v g(X) LNk (RN ) L (RN ), N g1 (X) L (R ), F (X, ) = f (X, )d Chỳng ta t U= f (U )(X) = u v Id Gk Id ,A = v(X) + f (X, u(X)) 20 , , U0 = u0 u1 , Khi ú bi toỏn (4.1) tr thnh bi toỏn dU = AU + f (U ), dt U (0) = U t > 0, (4.6) t H = Sk2 (RN ) ì L2 (RN ) Khi ú H l khụng gian Hilbert vi tớch vụ hng (U, U )H = 4.1.2 u v , u v = (u, u)Sk2 (RN ) + (v, v)L2 (RN ) S tn ti v nht ca nghim tớch phõn Chỳng ta chng minh c A l toỏn t liờn hp lch nờn theo nh lớ Stone chỳng ta cú A sinh mt C0 na nhúm eAt trờn H Khi ú chỳng ta cú nh lớ sau nh lớ 4.1.1 Gi s f (X, u) tha cỏc iu kin (4.2)-(4.5) v U0 H Khi ú bi toỏn (4.6) cú nghim nht ton cc U C([0, ); H) Hn na, vi mi t c nh ỏnh x U0 S(t)U0 := U (t) l liờn tc trờn H 4.2 S tn ti hỳt ton cc Sk2 (RN ) ì L2 (RN ) T nh lớ 4.1.1, chỳng ta nh ngha na nhúm liờn tc S(t) : H H nh sau S(t)U0 := U (t), ú U (t) l nghim nht ca bi toỏn (4.6), vi iu kin ban u U0 chng minh tớnh compact tim cn ca S(t) H chỳng ta chng minh c b quan sau: B 4.2.1 Gi s f (X, u) tha iu kin (4.2)-(4.5) v U0 B Khi ú vi mi > 0, tn ti hng s dng T ( ) v R( ) tha |u|2 + |ut |2 + |k u|2 dX , |X|k R 21 t T ( ), R R( ), (4.7) ú 2(1+k) |X|k = |x| 2 + (1 + k) |y| 2(1+k) , v U (t) l nghim ca bi toỏn (4.6) vi iu kin ban u U0 S dng k thut c lng uụi nghim v phng phỏp chng minh na nhúm l compact tim cn lớ thuyt h ng lc chỳng ta cú nh lớ sau: nh lớ 4.2.2 Gi s f (X, u) tha cỏc iu kin (4.2)-(4.5) Khi ú {S(t)}t0 l compact tim cn H, ngha l, vi mi dóy b chn {Un } n=1 H v mi dóy khụng õm {tn }n=1 tha tn + n +, ú {S(tn )Un } n=1 cú mt dóy hi t H Kt qu v s tn ti hỳt ton cc c trỡnh by nh lớ sau nh lớ 4.2.3 Gi s f (X, u) tha iu kin (4.2)-(4.5) Khi ú na nhúm S(t) sinh bi bi toỏn (4.1) cú mt hỳt ton cc AH H 22 KT LUN V KIN NGH Cỏc kt qu t c Trong lun ỏn ny, chỳng tụi nghiờn cu s tn ti nghim, tớnh chớnh quy ca nghim ca bi toỏn biờn cú cha phng trỡnh elliptic suy bin b chn cú biờn trn v s tn ti nghim, nghim ton cc, hỳt ton cc ca bi toỏn biờn giỏ tr ban u i vi phng trỡnh hyperbolic tt dn cú cha toỏn t elliptic suy bin Cỏc kt qu chớnh t c lun ỏn bao gm: i vi bi toỏn biờn elliptic suy bin a v chng minh c s tn ti nghim yu ca bi toỏn vi mt s iu kin ca s hng phi tuyn, v tớnh chớnh quy ca nghim i vi phng trỡnh hyperbolic tt dn cha toỏn t elliptic suy bin mnh b chn: Chng minh c s tn ti v nht ca nghim tớch phõn Chng minh c s tn ti ca hỳt () ì L2 () ton cc liờn thụng compact khụng gian S(k ,k2 ),0 v chng minh c s chiu fractal ca hỳt l hu hn i vi phng trỡnh hyperbolic tt dn cha toỏn t Grushin ton khụng gian: Chng minh c s tn ti v nht ca nghim tớch phõn Chng minh c s tn ti ca hỳt ton cc khụng gian Sk2 (RN ) ì L2 (RN ) Kin ngh mt s nghiờn cu tip theo Bờn cnh cỏc kt qu t c lun ỏn, mt s m liờn quan cn c tip tc nghiờn cu nh: Nghiờn cu iu kin tn ti nghim ca cỏc bi toỏn biờn núi trờn khụng b chn, b chn vi iu kin biờn Dirichlet khụng thun nht 23 Nghiờn cu s tn ti hỳt hm phi tuyn ph thuc thi gian nh hỳt lựi, hỳt u v cỏc tớnh cht ca hỳt Nghiờn cu s tn ti nghim v dỏng iu tim cn nghim ca cỏc phng trỡnh hyperbolic suy bin vi cỏc iu kin biờn khỏc nhau, chng hn iu kin biờn khụng thun nht, iu kin biờn Neumann, iu kin biờn hn hp, iu kin biờn phi tuyn, lm c iu ny cn xõy dng c khụng gian cú trng tng ng, nh lớ nhỳng kiu Sobolev Nghiờn cu cỏc mụ hỡnh ng dng thc t 24 DANH MC CễNG TRèNH KHOA HC CA TC GI LIấN QUAN N LUN N D T Luyen and N M Tri (2012), On boundary value problem for semilinear degenerate elliptic differential equations, AIP Conf Proc 1450, 1317 D T Luyen and N M Tri (2015), Existence of solutions to boundary value problems for semilinear differential equations, Mathematical Notes, Vol 97, No 1, 7384 D T Luyen and N M Tri (2016), Large - time behavior of solutions to damped hyperbolic equation involving strongly degenerate elliptic differential operators, Siberian Mathematical Journal, Vol 57, No 4, 632649 D T Luyen and N M Tri (2016), Global attractor of the Cauchy problem for a semilinear degenerate damped hyperbolic equation involving the Grushin operator, Annales Polonici Mathematici, Vol 117, 141161 Cỏc kt qu ca lun ỏn ó c bỏo cỏo ti: Xờmina ca B mụn Gii tớch, Khoa Toỏn - Tin, Trng i hc S phm H Ni; Xờmina ca phũng Phng trỡnh vi phõn, Vin Toỏn hc, Vin Hn lõm Khoa hc v Cụng ngh Vit Nam; Hi ngh quc t ln th V v nghiờn cu v giỏo dc Toỏn hc, Indonesia, 2012 25 ... phng trỡnh elliptic, phng trỡnh hyperbolic suy bin cũn ớt, cha y Vi cỏc lớ nờu trờn chỳng tụi ó chn ti nghiờn cu cho lun ỏn ca mỡnh l V mt s phng trỡnh elliptic v hyperbolic phi tuyn suy bin Mc... trỡnh hyperbolic tt dn cha toỏn t elliptic suy bin mnh b chn Trong chng ny, chỳng tụi nghiờn cu mt lp bi toỏn hyperbolic tt dn cha toỏn t elliptic suy bin mnh trờn b chn RN , vi s hng phi tuyn... TRèNH HYPERBOLIC TT DN CHA TON T ELLIPTIC SUY BIN MNH TRONG MIN B CHN Trong chng ny, chỳng tụi nghiờn cu mt lp bi toỏn hyperbolic tt dn cha toỏn t elliptic suy bin mnh trờn b chn RN , vi s hng phi