Một phương pháp tách cho bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LƯƠNG THỊ ÁNH DƯƠNG MỘT PHƯƠNG PHÁP TÁCH CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LƯƠNG THỊ ÁNH DƯƠNG MỘT PHƯƠNG PHÁP TÁCH CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU Thái Nguyên - 2016 i Mục lục Lời nói đầu Chương Bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu 1.1 1.2 Tập lồi, hàm lồi 1.1.1 Không gian Hilbert 1.1.2 Tập lồi 1.1.3 Hàm lồi Bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu 12 1.2.1 Phát biểu toán 12 1.2.2 Toán tử đơn điệu 13 1.2.3 Sự tồn nghiệm 15 Chương Một thuật toán tách giải toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu 18 2.1 2.2 Một vài thuật toán 18 2.1.1 Thuật toán điểm bất động ánh xạ co 18 2.1.2 Thuật toán chiếu 20 2.1.3 Thuật toán điểm gần kề 22 Một thuật toán tách 23 2.2.1 Mô tả thuật toán 25 2.2.2 Sự hội tụ 26 2.2.3 Ví dụ số 30 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 Lời nói đầu Bất đẳng thức biến phân đơn điệu lớp toán nảy sinh từ nhiều vấn đề toán học ứng dụng phương trình vi phân, toán vật lý, toán tối ưu hóa Bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu có nhiều ứng dụng thực tế: y học, cân giao thông đô thị, mô hình cân kinh tế Vì thế, nghiên cứu đề tài với mục đích tổng hợp lại kiến thức toán bất đẳng thức biến phân bất đẳng thức biến phân tách Sau giới thiệu phương pháp tách giải toán bất đẳng thức biến phân Nội dung luận văn trình bày hai chương • Chương giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu, tổng hợp kiến thức không gian Hilbert, tập lồi, hàm lồi • Chương trình bày vài thuật toán tập trung vào thuật toán tách Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành với hướng dẫn GS.TSKH Lê Dũng Mưu (Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam) Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán–Tin, giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu Tác giả muốn gửi lời cảm ơn tốt đẹp tới tập thể Lớp B, cao học Toán khóa (2014-2016) động viên giúp đỡ tác giả nhiều suốt trình học tập Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Hải Phòng, Ban Giám hiệu đồng nghiệp Trường THCS Vạn Sơn, Quận Đồ Sơn, Thành phố Hải Phòng tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập công tác Thái Nguyên, ngày 20 tháng năm 2016 Tác giả Lương Thị Ánh Dương Chương Bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu Trong chương này, nhắc lại kiến thức không gian Hilbert giải tích lồi Nội dung chương trích dẫn chủ yếu từ tài liệu tham khảo [1] [2] 1.1 1.1.1 Tập lồi, hàm lồi Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.1 Cho không gian vector H trường số K (K = R K = C) Một ánh xạ từ H × H vào K xác định (x, y) → x, y gọi tích vô hướng H thỏa mãn điều kiện sau: (a) x, x ≥ với x ∈ H , x, x = x = 0; (b) y, x = x, y với x, y ∈ H ; (c) x + x , y = x, y + x , y với x, x , y ∈ H ; (d) λ x, y = λ x, y với x, y ∈ H λ ∈ H Định nghĩa 1.1.2 Nếu ·, · tích vô hướng H cặp (H , ·, · ) gọi không gian tiền Hilbert Nếu không gian định chuẩn tương ứng đầy đủ ta nói (H , ·, · ) không gian Hilbert 1.1.2 Tập lồi Định nghĩa 1.1.3 Cho hai điểm y, z ∈ H Tất điểm có dạng x = λ y + (1 − λ )z = z + λ (y − z) với ≤ λ ≤ gọi đoạn thẳng nối y z, kí hiệu [y, z] Một tập M ⊆ H gọi tập lồi với y, z ∈ H ta có [y, z] ⊂ H Ví dụ 1.1.4 Hình tròn, hình vuông, hình tam giác (bao gồm miền trong), tập lồi mặt phẳng Hình 1.1: Tập lồi Hình sau cho ví dụ tập không lồi Hình 1.2: Tập không lồi Ta có tính chất sau tập lồi: Tính chất 1.1.1 (1) Giao họ tập lồi tập lồi (2) Một tập M ⊂ H lồi chứa tất tổ hợp lồi phần tử thuộc (3) Nếu A, B C tập lồi, α ∈ H tập A + B, αA A ×C tập lồi (4) Bao lồi tập A ⊂ H , kí hiệu co A, giao tất tập lồi chứa A Tức n co A = n x | x = ∑ λi xi , λi > 0, ∑ λi = i=1 i=1 Có thể chứng minh co A tập lồi tập lồi bé chứa tập hợp A Hình 1.3: Bao lồi tập hợp (5) Một tập lồi đóng khác rỗng M ⊂ H có điểm cực biên (thường gọi đỉnh) không chứa trọn đường thẳng Một tập lồi đóng, bị chặn Rn bao lồi điểm cực biên Một ví dụ đơn giản là, hình tam giác hình vuông (chữ nhật) có ba bốn điểm cực biên đỉnh chúng Hình tròn có vô số điểm cực biên, tập hợp điểm cực biên đường tròn tương ứng Định nghĩa 1.1.5 Giả sử M ⊂ H (M không gian đóng H ), với x ∈ H biểu diễn cách dạng x = y+z y ∈ M, z ∈ M ⊥ Hình 1.4: Điểm cực biên Với biểu diễn này, xét toán tử P sau Xét toán tử P:H →H , P(x) = y Dễ thấy P toán tử tuyến tính Ta gọi toán tử chiếu từ H lên không gian đóng M Kí hiệu I toán tử đồng H ta có z = x − y = x − P(x) = (I − P)x nên I − P toán tử chiếu từ H lên M Với x ∈ H có x = y + z y ⊥ z Như Px = y ≤ x nghĩa P liên tục P ≤ Nếu M = {0} ta lấy y ∈ M Py = y nên P ≥ Vậy P = Mệnh đề 1.1.6 Toán tử chiếu P từ H lên không gian đóng M toán tử tự liên hợp thỏa mãn đẳng thức P2 = P Định nghĩa 1.1.7 Cho C = ∅ tập lồi đóng thuộc không gian H y ∈ H Đặt dC (y) = inf x − y với x ∈ C Ta nói dC (y) khoảng cách từ y đến C Nếu tồn π ∈ C cho dC (y) = π − y , ta nói π hình chiếu (hay khoảng cách) y C, kí hiệu π = PC (y) Chú ý C = ∅ dC (y) hữu hạn với x ∈ C ≤ dC (y) ≤ x − y , Theo định nghĩa ta thấy PC (y) nghiệm toán tối ưu x−y 2 |x ∈C Nói cách khác việc tìm hình chiếu y C đưa tìm cực tiểu hàm toàn phương x − y C Mệnh đề 1.1.8 Cho C ⊂ H tập lồi đóng khác rỗng Khi đó, với y ∈ H π ∈ C, hai tính chất sau tương đương (1) π = pC (y); (2) y − π ∈ NC (π), NC (π) = {y ∈ H , y, x − π ≤ 0, ∀x ∈ C} , nón pháp tuyến π Mệnh đề 1.1.9 Cho C ⊂ H tập lồi đóng khác rỗng Khi đó, y ∈ H , hình chiếu pC (y) y C tồn Mệnh đề 1.1.10 Cho C ⊂ H tập lồi đóng khác rỗng Khi y ∈ / C pC (y) − y, x − pC (y) ≥ 0, với x ∈ C pC (y) − y, y − pC (y) < Mệnh đề 1.1.11 Cho C ⊂ H lồi khác rỗng Khi ánh xạ y → pC (y) có tính chất sau (1) Tính không giãn: pC (x) − pC (y) ≤ x − y với x y 19 x, y ∈ H ta có K(x) − K(y) < x − y , với x = y (2.2) Định nghĩa 2.1.3 Một ánh xạ K : H → H gọi ánh xạ (ε, δ )-co với ε > 0, tồn δ > cho với x, y ∈ H ta có ε ≤ x−y < ε +δ K(x) − K(y) < ε (2.3) Từ định nghĩa suy ra, K ánh xạ (ε, δ )-co K ánh xạ co yếu Định lí 2.1.4 (Meir-Keeler, 1969) Giả sử K : H → H ánh xạ (ε, δ )-co M Khi K có điểm bất động u với x0 ∈ H , ta có K n x0 → u n → ∞ Điểm bất động ánh xạ đa trị Trước hết ta trình bày khái niệm khoảng cách Hausdorff sau Định nghĩa 2.1.5 (Khoảng cách Hausdorff) Giả sử X Y hai tập đóng khác rỗng không gian Hilbert H Khoảng cách Hausdorff hai tập X Y xác định ρ(X,Y ) = max{d(X,Y ), d(Y, X)} X −Y = sup inf x − y , x∈X y∈Y X −Y = sup inf x − y y∈Y x∈X Định nghĩa 2.1.6 (Ánh xạ đa trị Lipschitz) Cho C ⊆ H Ánh xạ đa trị K : C → 2H gọi liên tục Lipschitz với số L > C ρ(K(x), K(y)) ≤ L x − y , với x, y ∈ C 20 Nếu L < K gọi ánh xạ co C Trường hợp L = K gọi ánh xạ không giãn C Định lí 2.1.7 (Matkovsho, 1975) Cho ánh xạ K : H → H ánh xạ thỏa mãn K(x) − K(y) ≤ Φ( x − y ), với x, y ∈ H Φ : R+ → R+ hàm số không giảm (không thiết liên tục), cho Φn (t) → với t > Khi K có điểm bất động x K n x0 → x0 với x ∈ H 2.1.2 Thuật toán chiếu Trong mục ta xét thuật toán chiếu dựa cách tiếp cận điểm bất động Giả sử • C ⊂ H tập lồi đóng khác rỗng; • K : C → H liên tục C Ta biết rằng, x∗ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân x∗ − PC [x∗ − tK(x∗ )] = 0, PC phép chiếu từ H lên C t > Tập hợp điểm bất động ánh xạ x → PC [x − tK(x)] tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân C Thuật toán hình chiếu Cho x0 ∈ C Ta có thuật toán sau: Bước Cho k = Bước Nếu xk = PC [xk − tK(xk )], dừng xk nghiệm Bước Trái lại, đặt xk+1 = PC [xk − tK(xk )] cho k := k + quay lại Bước 21 Định lí 2.1.8 Cho C ⊂ H tập lồi đóng Giả sử tồn L > β > cho K(x) − K(y), x − y ≥ β x − y , K(x) − K(y) ≤ L x − y , với x, y ∈ C với x, y ∈ C (ánh xạ K liên tục Lipschitz C với số L) Khi L2 < 2t ánh xạ x → PC [x − tK(x)] từ C vào C ánh xạ co C Vì vậy, dãy {xk } tạo thuật toán chiếu hội tụ đến nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Thuật toán hình chiếu với độ dài bước biến thiên Cho x0 ∈ C t0 > Ta có thuật toán sau: Bước Cho k = Bước Nếu xk = PC [xk − tk K(xk )], dừng, xk nghiệm Bước Trái lại, chọn tk > Cho xk+1 = PC [xk − tk K(xk )] cho k := k + quay lại Bước Sự lựa chọn {tk } yếu tố quan trọng cho hội tụ thuật toán hình chiếu với độ dài bước biến thiên Định lí sau nói rằng, ánh xạ đồng (đơn điệu mạnh ngược), thuật toán chiếu độ dài bước biến thiên hội tụ Ta nói ánh xạ K : C → H gọi đồng C với hệ số ν K(x) − K(y), x − y ≥ ν K(x) − K(y) với x, y ∈ C Từ định nghĩa này, ta thấy K ánh xạ đồng C K liên tục Lipschitz Thật vậy, theo công thức Schwatz ta có K(x) − K(y), x − y ≤ K(x) − K(y) · x − y 22 Nhưng K đồng nên theo định nghĩa ta có K(x) − K(y) ≤ x−y ν Vậy K Lipschitz C với số L = 1/ν Hơn nữa, K đơn điệu mạnh với hệ số β > 0, tức K(x) − K(y), x − y ≥ β x − y K Lipschitz với số L > 0, tức K(x) − K(y) ≤ L x − y Từ tính đơn điệu mạnh suy K(x) − K(y), x − y ≥ β K(x) − K(y) L2 Định lí 2.1.9 Cho C ⊂ H tập lồi đóng Cho K : C → H đồng C Giả sử tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân khác rỗng Nếu < inf tk ≤ sup tk < 2c, k∈N c>0 k∈N thuật toán tạo dãy {xk } hội tụ tới nghiệm toán 2.1.3 Thuật toán điểm gần kề Rockafellar R.T phát triển thuật toán điểm gần kề cho toán tìm không điểm ánh xạ đơn điệu cực đại T không gian Hilbert H Ta xét toán sau: Tìm x∗ ∈ C, ∈ K(x∗ ) (2.4) Khi K(x) = F(x) + NC (x) toán (2.4) toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu Mệnh đề 2.1.10 Giả sử F đơn điệu K(x) = F(x) + NC (x) Khi K ánh xạ đơn điệu cực đại 23 Cho K ánh xạ đơn điệu cực đại, với ci > đặt Pi = (I + ci K)−1 , I ánh xạ đồng Ta biết Pi đơn trị, xác định khắp nơi Khi thuật toán gần kề cho toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu phát biểu sau Bước Chọn dãy {ci } thỏa mãn ci > c > với i = 0, 1, 2, Tìm x0 ∈ C Bước i Với i = 0, 1, 2, , xây dựng xk+1 công thức xi+1 = Pi (xi ) = (I + ci K)−1 (xi ) Trong trường hợp ci > c > C tập lồi đóng khác rỗng, Rockafellar R.T dãy điểm {xi } hội tụ yếu đến x∗ cho ∈ K(x∗ ) Vậy x∗ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Với trường hợp tổng quát, thuật toán khó tính toán xác điểm xi+1 = Pi (xi ) Vì cách tính xấp xỉ với sai số εi ta tính xi+1 mà đảm bảo hội tụ Ta xét thuật toán sau Bước Chọn dãy số dương {ci } thỏa mãn ci > c > với i = 0, 1, 2, cho ∑∞ i=1 εi < +∞ Lấy x0 ∈ C Bước i Chọn điểm yi cho yi − xi ≤ εi với xi+1 = Pi (yi ) = (I + ci K)−1 (yi ) Sự hội tụ thuật toán điểm gần kề phát biểu sau: Định lí 2.1.11 Cho K = F(x) + NC (x) ánh xạ đơn điệu cực đại Khi K có không điểm dãy điểm {x∗ } hội tụ yếu đến x∗ cho thuộc K(x∗ ), K không điểm dãy x∗ không bị chặn 2.2 Một thuật toán tách Trong phần xét thuật toán tách để giải toán bất đẳng thức biến phân trường hợp ánh xạ giá K tổng hai ánh xạ K1 K2 24 Điểm nhấn phương pháp dựa vào phương pháp điểm gần kề giải toán bất đẳng thức biến phân ánh xạ gần kề tách riêng K1 K2 Bài toán bất đẳng thức biến phân phát biểu sau: Tìm x0 ∈ C cho K(x0 ), x − x0 ≥ với x ∈ C (VIP) với K = K1 + K2 thỏa mãn K : dom(Ki ) ⊆ H C ⊆ dom(K1 ) ∩ dom(K2 ) dom Ki = {x ∈ H : K(x) = ∅}, Gr T = {(x, u) ∈ H × H , u ∈ K(x)} Trước tiên nhắc lại tính chất hình chiếu theo bổ đề sau Bổ đề 2.2.1 Cho C tập lồi đóng H Với x, y ∈ H z ∈ C Ta có khẳng định sau: (1) PC (x) − PC (y) ≤ x − y (tính không giãn ánh xạ chiếu) (2) x − PC (x), z − PC (x) ≤ 0, với z ∈ C Tiếp theo giới thiệu định nghĩa hội tụ tựa Fejér tính chất Định nghĩa 2.2.2 Cho C lồi đóng H , dãy {xk } gọi hội tụ tựa Fejér với x ∈ C, tồn số k0 ≥ dãy {δk } ⊂ R cho tổng δk nhỏ +∞ để xk+1 − x ≤ xk − x + δk với k ≥ k0 Ta có mệnh đề sau nói tính chất hội tụ tựa Fejér Mệnh đề 2.2.3 Nếu {xk } hội tụ tựa Fejér C (1) {xk } dãy bị chặn 25 (2) Với x ∈ C, dãy xk − x hội tụ (3) Nếu điểm hội tụ yếu {xk } thuộc C {xk } hội tụ yếu Mệnh đề 2.2.4 Nếu K toán tử đơn điệu cực đại S∗ = {x ∈ C, a, y − x ≥ với y ∈ C, a ∈ K(y)} (2.5) S∗ tập nghiệm toán (VIP) Cuối sử dụng kết dãy số để chứng minh hội tụ thuật toán Mệnh đề 2.2.5 Giả sử {pk } ⊂ H dãy hội tụ mạnh đến p ˜ Lấy dãy số thực không âm ξk, j với k ≥ 0, ≤ j ≤ k với j cho k lim ξk, j = k→∞ ∑ ξk, j = j=0 Khi dãy {xk } xác định k xk = ∑ ξk, j p j j=0 hội tụ đến p ˜ 2.2.1 Mô tả thuật toán Trong phần trình bày thuật toán tách để giải toán bất đẳng thức biến phân Bài toán Tìm x0 ∈ H cho K(x0 ), x − x0 ≥ với x ∈ H Trong thuật toán chọn dãy số dương {αk } thỏa mãn ∞ ∞ ∑ αk = ∞, ∑ αk2 < ∞ k=0 k=0 26 (ví dụ dãy αk = k+1 ) Thuật toán A Thuật toán mô tả sau • Bước khởi đầu Lấy x0 ∈ C Đặt z0 = x0 , σ0 = α0 • Bước lặp thứ k Giả sử có xk , zk , ta tính yk = PC (zk − αk wk1 ), (2.6) zk+1 = PC (yk − αk vk2 ) (2.7) wk1 ∈ K1 (zk ) vk2 ∈ K2 (yk ) Đặt xk+1 , suy xk+1 = − αk+1 k αk+1 k+1 x + z , σk+1 σk+1 (2.8) với σk+1 := σk + αk+1 Tiêu chuẩn dừng Nếu zk+1 = yk = zk dừng lại Để chứng minh hội tụ thuật toán ta có thêm giả thiết K1 , K2 Giả thiết H Tồn số M > thỏa mãn x ≤M 2.2.2 với x ∈ Ki (zk ) ∪ Ki (yk ), i = 1, 2, với k (2.9) Sự hội tụ Ta chuyển qua chứng minh tính đắn hội tụ thuật toán Mệnh đề 2.2.6 Nếu Thuật toán A dừng lại bước k zk nghiệm Chứng minh Nếu zk+1 = yk sử dụng Bổ đề 2.2.1 (2), (2.7) ta có yk − αk vk2 − yk , x − yk ≥ với x ∈ C Như vk , yk − x ≤ Hơn suy zk = yk , tiếp tục sử dụng Bổ đề 2.2.1 (2) (2.6) mà wk1 , yk − x ≤ với x ∈ C vk , x − yk với x ∈ C vk = wk1 + vk2 ∈ T (yk ) với yk ∈ S∗ 27 Trường hợp Thuật toán A kéo dài vô hạn, ta có tính chất sau Mệnh đề 2.2.7 Giả sử {zk } dãy tạo Thuật toán A Với x ∈ C, (x, u) ∈ Gr(K) tồn số L cho zk+1 − x ≤ zk − x + Lαk2 − 2αk u, zk − x (2.10) với k Chứng minh Với x ∈ C, lấy u ∈ K(x) cho u = u1 + u2 với u1 ∈ K1 (x), u2 ∈ K2 (x) Chọn M Giả thiết H ta có zk+1 − x = PC (yk − αk vk2 ) − PC (x) ≤ (yk − αk vk2 ) − x ≤ yk − x ≤ yk − x 2 + M αk2 − 2αk vk2 , yk − x + M αk2 − 2αk u2 , yk − x = PC (zk − αk wk1 ) − PC (x) ≤ zk − x = zk − x ≤ zk − x ≤ zk − x 2 2 2 + 2M αk2 − 2αk + M αk2 − 2αk u2 , yk − x u2 , yk − x + u1 , zk − x + 2M αk2 − 2αk u2 , zk − x − 2αk u1 , yk − zk + 2M αk2 − 2αk u2 , zk − x + 2αk u2 yk − zk + (2M + M u2 )αk2 − 2αk u, zk − x Ta sử dụng Bổ đề 2.2.1 (1) bất đẳng thức đầu tiên, đơn điệu K2 bất đẳng thức thứ ba, Bổ đề Bổ đề 2.2.1 (1) đơn điệu K bất đẳng thức thứ tư bất đẳng thức cuối xuất phát từ yk − zk = PC (zk − αk wk ) − PC (zk ) ≤ αk M (2.11) Sử dụng Giả thiết H Bổ đề 2.2.1 (1) Xác định L := 2M + 2M u2 ta có (2.10) Mệnh đề chứng minh Giả thiết S∗ khác rỗng Ta chứng minh tính chất tựa Fejér dãy {zk } thu từ Thuật toán A 28 Mệnh đề 2.2.8 Dãy {zk } thu từ Thuật toán A hội tụ tựa Fejér S∗ Chứng minh Lấy x¯ ∈ S∗ Như vậy, tồn u¯ ∈ K(u) ¯ cho u, ¯ x − x¯ ≥ với x ∈ C (2.12) Theo Mệnh đề 2.2.7, với x = x¯ u = u, ¯ sử dụng zk ∈ C với k, ta có zk+1 − x¯ 2 ≤ zk − x¯ + Lαk2 − 2αk u, ¯ zk − x¯ ≤ zk − x¯ + Lαk2 Do đó, dãy {zk } hội tụ tựa Fejér S∗ Hệ 2.2.9 Nếu dãy {zk } thu từ Thuật toán A (1) xk = σk ∑ki=0 αi zi với k (2) {xk } bị chặn Chứng minh (1) Ta chứng minh quy nạp cho k Với k = 0, có x0 = z0 định nghĩa Dựa giả thuyết phép quy nạp, giả sử k x = αi zi ∑ σk i=0 (2.13) k Từ σk+1 = σk + αk+1 ta có xk+1 = σk k αk+1 k+1 x + z σk+1 σk+1 Từ (2.13) phương trình trên, ta có xk+1 = k ∑ α + izi + σk+1 i=1 αk+1 k+1 k+1 i z = ∑ αi z σk+1 σk+1 i=0 (2) Sử dụng Mệnh đề 2.2.8 Bổ đề 2.2.1 (1), ta giả sử có tồn R > cho zk ≤ R với k Dựa vào phần trước, ta có xk ≤ k ∑ αi zi ≤ R σk i=0 với k 29 Định lí 2.2.10 Mọi điểm tụ yếu dãy {xk } nghiệm dãy toán (VIP) Chứng minh Lấy x ∈ C u ∈ T (x) Viết lại bất đẳng thức (2.10) Mệnh đề 2.2.7, ta có zi+1 − x − zi − x với i − Lα12 ≤ 2αi u, x − zi (2.14) Cộng tổng (2.14) từ i = tới i = k, chia cho σk , ta có k ∑ σk i=0 i+1 z −x i − z −x − Lαi2 k ≤ u, ∑ αi (x − zi ) σk i=0 Sử dụng Hệ 2.2.9 (1) đặt S := ∑∞ i=0 αi ta có zk+1 − x − z0 − x σk − LS ≤ u, x − xk với k (2.15) Tồn x¯ điểm tụ yếu {xk } theo Hệ 2.2.9 (2) Do dãy {zk } bị chặn limk→∞ σk = ∞, ta lấy giới hạn (2.15), xk hội tụ yếu x, ¯ ta có u, x − x¯ ≥ với x ∈ C u ∈ T (x) Từ Bổ đề 2.2.1, x¯ nghiệm toán Như vậy, tất điểm tụ yếu {xk } nghiệm toán (VIP) Định lí 2.2.11 x∗ := limk→∞ PS∗ (zk ), ta có {xk } hội tụ yếu x∗ Chứng minh Đặt pk := PS∗ (zk ), PS∗ phép chiếu zk S∗ , S∗ đơn điệu, đóng lồi theo Bổ đề 2.2.1 Theo Mệnh đề 2.2.6, {zk } hội tụ tựa Fejér S∗ Như vậy, theo Bổ đề 2.2.1 PS∗ (zk ) hội tụ mạnh Đặt x∗ := lim PS∗ = lim pk k→∞ k→∞ (2.16) Theo Hệ 2.2.9 (2) {xk } bị chặn theo Định lý 2.2.10, điểm tụ yếu {xk } thuộc S∗ Lấy {xik } dãy điểm hội tụ yếu thuộc {xk }, lấy x¯ ∈ S∗ tụ yếu Ta cần x¯ = x∗ Chứng minh hội tụ yếu {xk } Theo Bổ đề 2.2.1 (2), ta có x¯ − p j , z j − p j ≤ với j 30 Lấy ξ = sup0≤ j≤∞ z j − p j Từ {zk } bị chặn Mệnh đề 2.2.8, ta có ξ > ∞ Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz x¯ − x∗ , z j − p j ≤ p j − x∗ , z j − p j ≤ ξ p j − x∗ (2.17) Nhân (2.17) với α j /σk cộng từ j = tới k, có từ Hệ 2.2.9 (1) x¯ − x∗ , xk − k σk ∑ αjpj ≤ j=0 k ξ σk ∑ αj p j − x∗ (2.18) j=0 Đặt ζk, j := αj σk k ≥ 0, ≤ j ≤ k Theo định nghĩa σk mà limk→∞ ζk, j = với j ∑kj=0 ζk, j = với k Sử dụng (2.16) Hệ 2.2.9 với k pk = ∑ ζk, j p j = j=1 σk k ∑ αjpj j=1 ta có k→∞ σk x∗ = lim pk = lim k→∞ lim k→∞ σk k ∑ αj k ∑ α j p j, p j − x∗ = j=1 Lấy giới hạn (2.18) qua dãy ik sử dụng (2.19) (2.20) ta có x¯ − x∗ , x¯ − x∗ ≤ suy x¯ = x∗ 2.2.3 Ví dụ số Ta xét ví dụ với C := [0; 4] × [0; 7] (hình hộp hai chiều) Ta có K = K1 + K2 , K1 (x) = (2x1 , x2 ), (2.19) j=1 (2.20) 31 K2 (x) = ( −1 −2 , ) + x1 + x2 + x1 + 2x2 Chọn dãy αk = k+1 Với k = 0, x0 = (0; 0) z0 = (0; 0) w01 = K1 z0 = (0, 0) σ = α0 = y0 = PC z0 − α0 w01 = PC ((0; 0) − · (0; 0)) = (0; 0) v02 = K2 y0 = (−1; −2) z1 = Pc y0 − α0 v02 = PC ((0; 0) − · (−1; −2)) = PC (1; 2) = (1; 2) Với k = 1, = 2 α1 (0; 0) + (1; 2) = x0 + z1 = − σ1 3 σ1 = σ0 + α1 = + x1 = − α1 σ1 ; 3 z1 = (1; 2) w11 = K1 z1 = (2; 2) y1 = PC z1 − α1 w11 = PC (1; 2) − · (2; 2) = (0; 1) −1 −2 v12 = K2 y1 = ; −1 −2 = PC z2 = Pc y1 − α1 v12 = PC (0; 1) − · ; ; 2 3 11 σ2 = σ1 + α2 = + = 2 26 x2 = − ; + ; = ; 11 3 11 22 33 = ; 32 Kết luận Mục đích luận văn trình bày phương pháp tách (trong tài liệu [4]) để giải toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu Trong ánh xạ giá tổng hai ánh xạ đơn điệu Để đạt mục đích này, luận văn trình bày phần sau: Giới thiệu kiến thức tập lồi, hàm lồi không gian Hilbert kiến thức toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu Trình bày lại số thuật toán để giải toán bất đẳng thức biến phân thuật toán điểm bất động theo nguyên lý ánh xạ co, thuật toán chiếu với độ dài bước không đổi độ dài bước biến thiên thuật toán điểm gần kề cho toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu Trình bày thuật toán tách, gải toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu với ánh xạ giá tổng hai ánh xạ đơn điệu Trong thuật toán này, điểm lặp tính riêng cho ánh xạ Cuối cùng, ví dụ đơn giản tính toán hai bước lặp để minh hoa cho thuật toán Sau kết đạt luận văn, số vấn đề sau cần tiếp tục nghiên cứu: • Xây dựng thuật toán có hội tụ mạnh cho thuật toán tách • Mở rộng cho toán tách tổng quát 33 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Hiền, Lê Dũng Mưu, Nguyễn Hữu Điển (2015), Giáo trình giải tích lồi ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [3] Konnov I (2001), Conbined Relaxation Methods for Variational Inequalities, Springer [4] Cruz B, Millan D (2014), “A direct splitting method for nonsmooth variational inequalities”, Journal of Optimization Theory and Applications 161, pp 218-237 [...]... bản để giải bài toán bất đẳng thức biến phân như các thuật toán điểm bất động theo nguyên lý ánh xạ co, các thuật toán chiếu cơ bản với độ dài bước không đổi và độ dài bước biến thiên và thuật toán điểm gần kề cho bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu 3 Trình bày một thuật toán tách, gải bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu với ánh xạ giá là tổng của hai ánh xạ đơn điệu Trong thuật toán này,... (x) = 0 1.2 1.2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu Phát biểu bài toán Cho C là không gian con lồi, đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert H Giả sử K là một ánh xạ liên tục Bài toán bất đẳng thức biến phân được phát biểu như sau: Tìm điểm x0 ∈ C sao cho K(x0 ), x − x0 ≥ 0, với mọi x ∈ C (1.1) Ta xét ví dụ sau đây để minh họa cho bài toán bất đẳng thức biến phân Ví dụ 1.2.1 Cho ánh xạ F : R... đẳng thức biến phân khi và chỉ khi K(x), x − x0 ≥ 0 với mọi x ∈ C 18 Chương 2 Một thuật toán tách giải bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu Chương này trình bày hai nội dung chính là một vài thuật toán cơ bản và một thuật toán tách để giải bài toán biến phân đơn điệu Nội dung chương này được trích dẫn từ các tài liệu [1], [2], [3], [4] 2.1 2.1.1 Một vài thuật toán cơ bản Thuật toán điểm bất động... trình bày một phương pháp tách (trong tài liệu [4]) để giải bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu Trong đó ánh xạ giá là tổng của hai ánh xạ đơn điệu Để đạt được mục đích này, bản luận văn đã trình bày các phần sau: 1 Giới thiệu các kiến thức cơ bản về tập lồi, hàm lồi trong không gian Hilbert và các kiến thức cơ bản về bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu 2 Trình bày lại một số thuật toán cơ... 3 Tìm x0 ∈ R sao cho (x0 − 3, x − x0 ) ≥ 0 với mọi x ∈ R Chứng tỏ rằng nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân là {3} Thật vậy, x0 = 3 là một nghiệm của bài toán Nếu x0 < 3 thì bài toán chỉ thỏa mãn khi x ≤ x0 Tương tự vậy, nếu x0 > 3 thì bài toán chỉ thỏa mãn khi x ≥ x0 Điều này chứng tỏ rằng x0 = 3 là nghiệm duy nhất của bài toán bất đẳng thức biến phân Ví dụ 1.2.2 Xét bài toán tối ưu min{... mọi x ∈ H Định lí 1.2.17 Cho C ⊆ H lồi đóng, K : C → H là ánh xạ liên tục Khi đó bài toán bất đẳng thức biến phân có nghiệm khi và chỉ tồn tại một hằng số dương M sao cho có một nghiệm xM của bài toán thỏa mãn xM < M 17 Định lí 1.2.18 Cho C ⊆ H lồi đóng, K : C → H là ánh xạ liên tục và thỏa mãn điều kiện bức Khi đó bài toán bất đẳng thức biến phân có nghiệm Định nghĩa 1.2.19 Cho C ⊆ H lồi đóng, và ánh... xét bài toán sau: Tìm x∗ ∈ C, 0 ∈ K(x∗ ) (2.4) Khi K(x) = F(x) + NC (x) thì bài toán (2.4) là bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu Mệnh đề 2.1.10 Giả sử F đơn điệu và K(x) = F(x) + NC (x) Khi đó K là ánh xạ đơn điệu cực đại 23 Cho K là ánh xạ đơn điệu cực đại, với mỗi ci > 0 đặt Pi = (I + ci K)−1 , trong đó I là ánh xạ đồng nhất Ta biết rằng Pi là đơn trị, xác định khắp nơi Khi đó thuật toán. .. L2 2 Định lí 2.1.9 Cho C ⊂ H là tập lồi đóng Cho K : C → H là đồng bức trên C Giả sử tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân khác rỗng Nếu 0 < inf tk ≤ sup tk < 2c, k∈N c>0 k∈N thì thuật toán tạo ra một dãy {xk } hội tụ tới một nghiệm của bài toán 2.1.3 Thuật toán điểm gần kề Rockafellar R.T đã phát triển thuật toán điểm gần kề cho bài toán tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại T trong... đẳng thức biến phân trong trường hợp ánh xạ giá K là tổng của hai ánh xạ K1 và K2 24 Điểm nhấn của phương pháp này là dựa vào phương pháp điểm gần kề giải bài toán bất đẳng thức biến phân nhưng ánh xạ gần kề được tách riêng K1 và K2 Bài toán bất đẳng thức biến phân được phát biểu như sau: Tìm x0 ∈ C sao cho K(x0 ), x − x0 ≥ 0 với mọi x ∈ C (VIP) với K = K1 + K2 thỏa mãn K : dom(Ki ) ⊆ H và C ⊆ dom(K1... ) Sự hội tụ của thuật toán điểm gần kề được phát biểu như sau: Định lí 2.1.11 Cho K = F(x) + NC (x) là một ánh xạ đơn điệu cực đại Khi đó nếu K có không điểm thì dãy điểm {x∗ } hội tụ yếu đến x∗ sao cho 0 thuộc K(x∗ ), nếu K không có không điểm thì dãy x∗ không bị chặn 2.2 Một thuật toán tách Trong phần này chúng ta sẽ xét một thuật toán tách để giải bài toán bất đẳng thức biến phân trong trường hợp ... kiến thức toán bất đẳng thức biến phân bất đẳng thức biến phân tách Sau giới thiệu phương pháp tách giải toán bất đẳng thức biến phân Nội dung luận văn trình bày hai chương • Chương giới thiệu toán. .. Lời nói đầu Bất đẳng thức biến phân đơn điệu lớp toán nảy sinh từ nhiều vấn đề toán học ứng dụng phương trình vi phân, toán vật lý, toán tối ưu hóa Bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu có nhiều... với x ∈ C 18 Chương Một thuật toán tách giải toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu Chương trình bày hai nội dung vài thuật toán thuật toán tách để giải toán biến phân đơn điệu Nội dung chương