Một phương pháp tách cho bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu

Bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu 3 1.1 Tập lồi, hàm lồi.. Một thuật toán tách giải bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu 18 2.1 Một vài thuật toán cơ bản... Lời nói đầuBất đ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Mục lục

Chương 1 Bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu 3

1.1 Tập lồi, hàm lồi 3

1.1.1 Không gian Hilbert 3

1.1.2 Tập lồi 4

1.1.3 Hàm lồi 9

1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu 12

1.2.1 Phát biểu bài toán 12

1.2.2 Toán tử đơn điệu 13

1.2.3 Sự tồn tại nghiệm 15

Chương 2 Một thuật toán tách giải bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu 18 2.1 Một vài thuật toán cơ bản 18

2.1.1 Thuật toán điểm bất động ánh xạ co 18

2.1.2 Thuật toán chiếu 20

2.1.3 Thuật toán điểm gần kề 22

2.2 Một thuật toán tách 23

2.2.1 Mô tả thuật toán 25

2.2.2 Sự hội tụ 26

2.2.3 Ví dụ số 30

Lời nói đầu

Bất đẳng thức biến phân đơn điệu là lớp bài toán nảy sinh từ nhiều vấn đề củatoán học ứng dụng như phương trình vi phân, các bài toán vật lý, toán tối ưu hóa.Bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu có nhiều ứng dụng trong thực tế: trong

y học, cân bằng giao thông đô thị, mô hình cân bằng kinh tế Vì thế, tôi nghiêncứu đề tài này với mục đích tổng hợp lại các kiến thức cơ bản về bài toán bất đẳngthức biến phân và bất đẳng thức biến phân tách Sau đó giới thiệu một phươngpháp tách giải bài toán bất đẳng thức biến phân

Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương

• Chương 1 giới thiệu bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu, tổng hợpkiến thức về không gian Hilbert, tập lồi, hàm lồi

• Chương 2 sẽ trình bày một vài thuật toán cơ bản và tập trung vào một thuậttoán tách

Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại học TháiNguyên và hoàn thành với sự hướng dẫn của GS.TSKH Lê Dũng Mưu (Viện Toánhọc - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam) Tác giả xin được bày tỏlòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình, người

đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn và tận tình giải đápnhững thắc mắc của tác giả trong suốt quá trình làm luận văn

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đạihọc Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán–Tin, cùng các giảng viên đã thamgia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả học tập và nghiên cứu

Tác giả muốn gửi những lời cảm ơn tốt đẹp nhất tới tập thể Lớp B, cao họcToán khóa 8 (2014-2016) đã động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong suốt quátrình học tập.

Nhân dịp này, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo HảiPhòng, Ban Giám hiệu và các đồng nghiệp ở Trường THCS Vạn Sơn, Quận ĐồSơn, Thành phố Hải Phòng đã tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành tốt nhiệm vụhọc tập và công tác của mình

Thái Nguyên, ngày 20 tháng 5 năm 2016

Tác giả

Lương Thị Ánh Dương

Chương 1

Bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu

Trong chương này, chúng ta sẽ nhắc lại kiến thức về không gian Hilbert và giảitích lồi Nội dung trong chương được trích dẫn chủ yếu từ tài liệu tham khảo [1] và[2]

1.1 Tập lồi, hàm lồi

1.1.1 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.1 Cho không gian vector H trên trường số K (K = R hoặc K =

C) Một ánh xạ từ H × H vào K xác định bởi (x, y) 7→ hx, yi được gọi là một tích

vô hướngtrênH nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

(a) hx,xi ≥ 0 với mọi x ∈H ,

hx, xi = 0khi và chỉ khi x = 0;

(b) hy,xi = hx,yi với mọi x, y ∈H ;

(c) hx + x0, yi = hx, yi + hx0, yivới mọi x, x0, y ∈H ;

(d) hλ x,yi = λ hx,yi với mọi x, y ∈H và mọi λ ∈ H

Định nghĩa 1.1.2 Nếu h·,·i là một tích vô hướng trên H thì cặp (H ,h·,·i) được

gọi là một không gian tiền Hilbert Nếu không gian định chuẩn tương ứng đầy đủ

thì ta nói (H ,h·,·i) là một không gian Hilbert

1.1.2 Tập lồi

Định nghĩa 1.1.3 Cho hai điểm y, z ∈ H Tất cả các điểm có dạng

x= λ y + (1 − λ )z = z + λ (y − z) với mọi 0 ≤ λ ≤ 1

được gọi là một đoạn thẳng nối y và z, và được kí hiệu là [y,z] Một tập M ⊆H

được gọi là tập lồi nếu với mọi y, z ∈H ta có [y,z] ⊂ H

Ví dụ 1.1.4 Hình tròn, hình vuông, hình tam giác (bao gồm cả miền trong), là các

tập lồi trong mặt phẳng

Hình 1.1: Tập lồiHình sau đây cho một ví dụ về tập không lồi

(2) Một tập M ⊂H là lồi khi và chỉ khi nó chứa tất cả các tổ hợp lồi của nhữngphần tử thuộc nó.

(3) Nếu A, B và C là các tập lồi, α ∈H thì các tập A + B, αA và A ×C là cáctập lồi

(4) Bao lồi của tập A ⊂H , kí hiệu coA, là giao của tất cả các tập lồi chứa A.Tức là

λixi, λi> 0,

n

∑i=1

λi= 1

)

Có thể chứng minh rằng coA là một tập lồi và là tập lồi bé nhất chứa tậphợp A

Hình 1.3: Bao lồi của một tập hợp

(5) Một tập lồi đóng khác rỗng M ⊂H có điểm cực biên (thường gọi là đỉnh)

khi và chỉ khi nó không chứa trọn một đường thẳng nào Một tập lồi đóng,

bị chặn trong Rn là bao lồi các điểm cực biên của nó

Một ví dụ đơn giản là, hình tam giác và hình vuông (chữ nhật) có lần lượt

ba và bốn điểm cực biên là các đỉnh của chúng Hình tròn có vô số điểm cựcbiên, tập hợp các điểm cực biên này là đường tròn tương ứng

Định nghĩa 1.1.5 Giả sử M ⊂ H (M là một không gian con đóng của H ), với

mỗi x ∈H có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng

x= y + z trong đó y ∈ M, z ∈ M⊥

Hình 1.4: Điểm cực biênVới biểu diễn này, xét toán tử P như sau Xét toán tử

Như vậy kPxk = kyk ≤ kxk nghĩa là P liên tục và kPk ≤ 1 Nếu M 6= {0} ta lấy

y∈ M thì kPyk = kyk nên kPk ≥ 1 Vậy kPk = 1

Mệnh đề 1.1.6 Toán tử chiếu P từ H lên không gian con đóng M là toán tử tự

liên hợp và thỏa mãn đẳng thức P2 = P.

Định nghĩa 1.1.7 Cho C 6= ∅ là tập lồi đóng thuộc không gian H và y ∈ H Đặt

dC(y) = inf kx − yk với mọi x ∈ C

Ta nói dC(y)là khoảng cách từ y đến C Nếu tồn tại π ∈ C sao cho dC(y) = kπ − yk,

thì ta nói π là hình chiếu (hay khoảng cách) của y trên C, và được kí hiệu là

π = PC(y)

Chú ý rằng nếu C 6= ∅ thì dC(y)hữu hạn và

0 ≤ dC(y) ≤ kx − yk, với mọi x ∈ C

Theo định nghĩa ta thấy PC(y)là nghiệm của bài toán tối ưu

min 1

2kx − yk2| x ∈ C



Nói cách khác việc tìm hình chiếu của y trên C có thể đưa về tìm cực tiểu của hàmtoàn phương kx − yk2 trên C

Mệnh đề 1.1.8 Cho C ⊂ H là một tập lồi đóng khác rỗng Khi đó, với mọi y ∈ H

và π ∈ C, hai tính chất sau là tương đương

(1) π = pC(y);

(2) y − π ∈ NC(π), trong đó

NC(π) = {y ∈H ,hy,x − πi ≤ 0, ∀x ∈ C},

nón pháp tuyến ngoài tại π.

Mệnh đề 1.1.9 Cho C ⊂ H là một tập lồi đóng khác rỗng Khi đó, mọi y ∈ H ,

hình chiếu pC(y) của y trên C luôn tồn tại và duy nhất.

Mệnh đề 1.1.10 Cho C ⊂ H là một tập lồi đóng khác rỗng Khi đó nếu y /∈ C thì

hpC(y) − y, x − pC(y)i ≥ 0, với mọi x ∈ C

(2) Tính đồng bức: hpC(x) − pC(y), x − yi ≥ kpC(x) − pC(y)k2.

Ví dụ 1.1.12 Trong một số trường hợp cụ thể thường gặp, tập chiếu là hình hộp

chữ nhật, hình cầu đóng hau không gian con thì điểm chiếu có thể được tính đượcmột cách tường minh

(1) Chiếu xuống hình hộp chữ nhật Khi Clà một hình hộp chữ nhật định nghĩa

bởi

C=x = (x1, , xn)T ∈ Rn| ai≤ xi≤ bi, i = 1, n trong đó a = (a1, , an)T và b = (b1, , bn)T là hai phần tử của Rn Khi

đó hình chiếu của x lên C được xác định như sau

• Nếu x ∈ C thì y ≡ x

• Nếu x /∈ Cthì hình chiếu của x lên C là giao điểm của đường thẳng nối

xvà tâm a của C, kí hiệu là ∆ với mặt cầu

1.1.3 Hàm lồi

Định nghĩa 1.1.13 Cho hàm số f : H → R ∪ {+∞} Hàm số f được gọi là hàm

lồixác định trên tập lồi X ⊆H nếu

Ví dụ 1.1.14 Giả sử C ⊂ Rn là một tập lồi khác rỗng Ta có các hàm số sau là lồi:

• Hàm chuẩn Euclid kxk = phx,xi với mọi x ∈ Rn;

• Hàm khoảng cách từ điểm x ∈ Rntới tập hợp C: dC(x) = infy∈Ckx − yk.Bốn phép toán cơ bản trên các hàm số bảo toàn tính chất lồi của hàm số, màphép chứng minh được suy trực tiếp từ định nghĩa:

(1) Nếu fi:H → H với i = 1,m là các hàm lồi thì hàm số α1f1+ + αmfmlồi với mọi αi> 0 và lồi chặt nếu ít nhất một trong các hàm fi lồi chặt với

αi> 0

(2) Nếu fi:H → H là các hàm lồi với i ∈ I thì hàm f (x) = supi∈I f(x)là mộthàm lồi

(3) Nếu A : H → H là một biến đổi tuyến tính và g : H → H là một hàmlồi thì hàm hợp f (x) = g(Ax) là một hàm lồi.

(4) Nếu g : D ⊆H → H là một hàm lồi và h : H → H là một hàm lồi khônggiảm thì hàm hợp f (x) = h(g(x)) là một hàm lồi

Định lí 1.1.15 Giả sử f : H → [−∞,+∞] là một hàm lồi trên H và α ∈ [−∞,+∞].

Chú ý, chiều đảo lại của định lí trên không đúng

Ta có một số tính chất sau đây của hàm lồi

Tính chất 1.1.2 Cho C là tập lồi, khác rỗng trong H và f : H → H là một hàm

lồi Mọi điểm cực tiểu địa phương của f trên C đều là điểm cực tiểu toàn cục Tậpargminx∈C f(x)là tập con lồi của C

Từ tính chất này, ta có một hệ quả sau:

Hệ quả 1.1.16 Bất cứ điểm cực đại địa phương nào của một hàm lõm trên một

tập lồi cũng là điểm cực đại toàn cục Tập tất cả các điểm cực đại của một hàm lõm trên một tập lồi là lồi.

Ta tiếp tục phát biểu một số tính chất khác của hàm lồi Ta có:

Tính chất 1.1.3 Một hàm lồi chặt f trên một tập lồi C có nhiều nhất một điểm

cực tiểu trên C, nghĩa là tập argminx∈C f(x)gồm nhiều nhất một phần tử

Tính chất 1.1.4 Hàm f (x) với x ∈ H là hàm lồi khi và chỉ khi hàm một biến số

ϕ (λ ) ≡ f (x + λ d)là hàm lồi theo λ > 0 với mỗi x, d ∈H

Trong giải tích lồi và các bài toán tối ưu, một khái niệm then chốt là khái niệm

dưới vi phân Ta có định nghĩa sau đây.

Định nghĩa 1.1.17 Giả sử f : H → H là một hàm lồi Cho vector p ∈ H gọi là

dưới gradientcủa f tại x0 nếu

Hình 1.5: Dưới vi phân của hàm số y = f (x)

Bây giờ, nếu xét hàm số f (x) = kxk (chuẩn Euclid) thì ta có

Định nghĩa 1.1.19 Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x nếu ∂ f (x) 6= 0.

1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu

1.2.1 Phát biểu bài toán

Cho C là không gian con lồi, đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert H Giả sử K là một ánh xạ liên tục

Bài toán bất đẳng thức biến phânđược phát biểu như sau:

Tìm điểm x0∈ C sao cho

hK(x0), x − x0i ≥ 0, với mọi x ∈ C (1.1)

Ta xét ví dụ sau đây để minh họa cho bài toán bất đẳng thức biến phân

Ví dụ 1.2.1 Cho ánh xạ F : R → R xác định bởi F(x) = x − 3 Tìm x0 ∈ R saocho (x0− 3, x − x0) ≥ 0với mọi x ∈ R

Chứng tỏ rằng nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân là {3}

Thật vậy, x0 = 3là một nghiệm của bài toán Nếu x0< 3 thì bài toán chỉ thỏamãn khi x ≤ x0 Tương tự vậy, nếu x0 > 3 thì bài toán chỉ thỏa mãn khi x ≥ x0.Điều này chứng tỏ rằng x0= 3là nghiệm duy nhất của bài toán bất đẳng thức biếnphân

Ví dụ 1.2.2 Xét bài toán tối ưu

Điều này tương đương với

Suy ra f (x) ≥ f (x0)với mọi x ∈ C

Ví dụ 1.2.3 Một công ty sản xuất n loại hàng hóa Gọi x1, x2, , xn là số lượngcác loại hàng C1,C2, mà công ty dự định sản xuất Giả sử rằng số lượng hànghóa phải thỏa mãn điều kiện

xi∈ [ai, bi], i= 1, n

Trong thực tế giá các loại hàng hóa phụ thuộc vào số lượng hàng được sản xuất.Gọi F(x) là chi phí sản xuất theo phương án x Vấn đề đặt ra là công ty phải xácđịnh được phương án sản xuất sao cho lợi nhuận thu được cao nhất Để chuyển bàitập này về bài toán bất đẳng thức biến phân ta chú ý rằng, nêú x∗= (x∗1, x∗2, , x∗n)

là phương án tối ưu của công ty thì F(x∗) = (F1(x1), F2(x2), , Fn(xn)) Tổng chiphí là

hF(x), xi =

n

∑i=1

Fi(xi)xi

Ta có x∗∈ C = C1×C2× ×Cn Suy ra

hF(x∗), x − x∗i ≥ 0 với mọi x ∈ C

1.2.2 Toán tử đơn điệu

Định nghĩa 1.2.4 Toán tử đơn trị K : H → H ∗ (chú ý H = H ∗) được gọi là

một toán tử đơn điệu nếu

hK(x) − K(y), x − yi ≥ 0, với mọi x, y ∈H

Ví dụ 1.2.5 Cho toán tử đơn trị K xác định trên R bởi công thức

K(x) = x, với mọi x ∈ R

Khi đó, K là toán tử đơn điệu vì với mọi x, y ∈ R, ta có

hK(x) − K(y), x − yi = hx − y, x − yi = kx − yk2≥ 0

Định nghĩa 1.2.6 Toán tử đa trị K : H → 2H được gọi là toán tử đơn điệu nếu

ha − b, x − yi ≥ 0, với mọi x, y ∈ domK, a ∈ K(x), b ∈ K(y)

Nhận xét 1.2.7 Một tập con của H × H là đơn điệu nếu nó là đồ thị của một

toán tử đơn điệu

Ví dụ 1.2.8 Cho f : H → R ∪ {+∞} là hàm lồi, chính thường Ánh xạ dưới vi

phân ∂ f :H → 2H của f là toán tử đơn điệu đa trị dom(∂ f )

Thật vậy, với mọi x, y ∈ dom(∂ f ), a ∈ ∂ f (x), b ∈ ∂ f (y) ta có

u∈ ∂ f (x) khi và chỉ khi ha,y − xi ≤ f (y) − f (x),

v∈ ∂ f (y) khi và chỉ khi hb,x − yi ≤ f (x) − f (y)

Cộng vế với vế ta có

hb, x − yi · ha, x − yi ≤ 0

Điều này tương đương với hb − a,x − yi ≤ 0, hay là ha − b,x − yi ≥ 0 Vậy ∂ f làtoán tử đơn điệu đa trị

Định nghĩa 1.2.9 Toán tử đa trị K : H → 2H được gọi là

• đơn điệu ngặtnếu với mọi x, y ∈ domK, với mọi a ∈ K(x), b ∈ K(y) và x 6= y

ta có

ha − b, x − yi > 0

• đơn điệu mạnh với hằng số α > 0 nếu với mọi x, y ∈ domK, với mọi a ∈K(x), b ∈ K(y) ta có

ha − b, x − yi ≥ αkx − yk2

Điều này có nghĩa là toán tử K − αI là đơn điệu

• giả đơn điệu nếu với mọi x, y ∈ domK, với mọi a ∈ K(x), b ∈ K(y) ta có

ha, y − xi ≥ 0 kéo theo hb, y − xi ≥ 0

Nhận xét 1.2.10 Nếu K đơn điệu mạnh thì đơn điệu ngặt, và nếu K đơn điệu ngặt

thì đơn điệu

Ví dụ 1.2.11 Ánh xạ đa trị K : C → 2R2 xác định bởi

K(x, 0) :=(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ x

là đơn điệu trên C = {(x,0) : x ≥ 0} ⊂ R2 Thật vậy, với mọi cặp điểm (x,0), (y,0) ∈

Cvà với mọi (x,a) ∈ K(x,0), (y,b) ∈ K(y,0) ta có:

h(x, a) − (y, b), (x, 0) − (y, 0)i = h((x − y), a − b), (x − y, 0)i = |x − y|2≥ 0

Lại có K là đơn điệu ngặt vì bất đẳng thức trên là ngặt khi (x,0) 6= (y,0)

Ví dụ 1.2.12 Cho M = {(x,0),x ≥ 0} ⊂ R2 và ánh xạ K : M → 2R2 xác định bởiK(x, 0) := {(2x, y) : 0 ≤ y ≤ x} Khi đó K đơn điệu mạnh với α = 1

Thật vậy ta có:

(K − I)(x, 0) = {(x, y) : 0 ≤ y ≤ x} := F(x, 0)

Theo Ví dụ 1.2.11 thì F(x,0) đơn điệu, do vậy M(x,0) là đơn điệu mạnh với

α = 1

1.2.3 Sự tồn tại nghiệm

Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức phụ thuộc vào hàm K và miềnràng buộc C Trong mục này ta chỉ xét hàm K liên tục trên một tập mở chứa C và

Clà tập lồi đóng trong không gian HilbertH

Định lí 1.2.13 (Định lý Brouwer) Cho C ⊆ H là một tập lồi compact và K : C →

C là một ánh xạ liên tục trên C Khi đó tồn tại ít nhất một điểm bất động của ánh

xạ K trên C.

Chứng minh. Lấy ρ đủ lớn sao cho C ⊂ Bρ(0)là hình cầu đóng tâm 0 bán kính ρ.Xét ánh xạ

K◦ PC(·) : Bρ(0) → C ⊂ Bρ(0)

Do K liên tục và PC(·) không giãn nên nên K ◦ PC(·) liên tục từ Bρ(0)vào chính

nó Khi đó tồn tại x0∈ Bρ(0)sao cho

K(PC(x0)) = x0∈ C suy ra PC(x0) = x0⇒ K(x0) = x0

Vậy x0là điểm bất động của ánh xạ K trên C

Định lí 1.2.14 Nếu C ⊆ H là một tập lồi, compact và K liên tục trên C thì bài

toán bất đẳng thức biến phân có nghiệm.

Hệ quả 1.2.15 Nếu x0 là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân (C, K)

x0∈ intC thì K(x0) = 0.

Định nghĩa 1.2.16 Toán tử K : H → H ∗được gọi là toán tử bức nếu

limhK(x), xikxk = ∞, với mọi x ∈H

Định lí 1.2.17 Cho C ⊆ H lồi đóng, K : C → H là ánh xạ liên tục Khi đó bài

toán bất đẳng thức biến phân có nghiệm khi và chỉ tồn tại một hằng số dương M sao cho có một nghiệm xM của bài toán thỏa mãn kxMk < M.

Định lí 1.2.18 Cho C ⊆ H lồi đóng, K : C → H là ánh xạ liên tục và thỏa mãn

điều kiện bức Khi đó bài toán bất đẳng thức biến phân có nghiệm.

Định nghĩa 1.2.19 Cho C ⊆ H lồi đóng, và ánh xạ K : C → H

• Ánh xạ K được gọi là đơn điệu trên C nếu

Định lí 1.2.20 Cho C ⊆ H lồi đóng, và ánh xạ K : C → H đơn điệu liên tục.

Khi đó x0 là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân khi và chỉ khi

hK(x), x − x0i ≥ 0 với mọi x ∈ C.

Chương 2

Một thuật toán tách giải bài toán

bất đẳng thức biến phân đơn điệu

Chương này trình bày hai nội dung chính là một vài thuật toán cơ bản và mộtthuật toán tách để giải bài toán biến phân đơn điệu Nội dung chương này đượctrích dẫn từ các tài liệu [1], [2], [3], [4]

2.1 Một vài thuật toán cơ bản

2.1.1 Thuật toán điểm bất động ánh xạ co

Điểm bất động của ánh xạ đơn trị Trước hết ta nhắc lại các khái niệm về ánh

xạ Lipschitz, ánh xạ co và ánh xạ co yếu

Định nghĩa 2.1.1 Ánh xạ K : H → H được gọi là một ánh xạ Lipschitz nếu tồn

tại một hằng số α không âm sao cho với mọi x, y ∈H ta có

Số α nhỏ nhất thỏa mãn (2.1) được gọi là hằng số Lipschitz của ánh xạ K, và kí

hiệu là α(K)

Ta có một khái niệm mới sau đây

Định nghĩa 2.1.2 Ánh xạ K : H → H được gọi là một ánh xạ co yếu nếu với