Bất đẳng thức jensen có trọng và ứng dụng trong đánh giá mũ các hệ có trễ

Luận văn thạc sĩ toán học về Bất đẳng thức jensen có trọng và ứng dụng trong đánh giá mũ các hệ có trễ Kèm file nguồn Tex cho các bạn dễ dàng tham khảo cách gõ cũng như cách trình bày luận văn bắng Latex

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Lê Văn Hiện

HÀ NỘI-2016

MỤC LỤC

Mở đầu .2

Một số kí hiệu 6

Chương 1 Một số kết quả bổ trợ 7

1.1 Hệ phương trình vi phân hàm 7

1.2 Phương pháp hàm Lyapunov–Krasovskii 8

1.3 Một số kiến thức bổ trợ 15

Chương 2 Bất đẳng thức tích phân Jesen có trọng 17

2.1 Mở đầu 17

2.2 Bất đẳng thức tích phân Jensen 20

2.3 Bất đẳng thức tích phân có trọng 23

Kết luận chương 2 27

Chương 3 Tính ổn định mũ của một số lớp hệ tuyến tính có trễ 28 3.1 Hệ có trễ phân phối và rời rạc 29

3.2 Hệ có trễ biến thiên 31

3.3 Ví dụ minh họa 36

Kết luận chương 3 40

Kết luận chung 42

Tài liệu tham khảo 44

MỞ ĐẦU

Nghiên cứu tính ổn định của các hệ phương trình vi phân có trễ là mộttrong những chủ đề nghiên cứu có tính thời sự trong vài thập kỉ qua Xuấtphát từ thực tế rằng, nhiều lớp hệ trong các mô hình ứng dụng, từ khoa họcđời sống, kinh tế, môi trường đến các mô hình sinh học và mô hình kĩ thuậttrong vật lí, hóa học, cơ học, điều khiển tự động v.v thường xuất hiện các độtrễ thời gian [1,2] Sự xuất hiện của các độ trễ này ảnh hưởng đến dáng điệucủa hệ cũng như ảnh hưởng đến tính ổn định, một trong những tính chất phổdụng của các hệ kĩ thuật Vì vậy bài toán nghiên cứu tính ổn định của các

hệ phương trình vi phân có trễ và ứng dụng nó trong các mô hình điều khiển

đã và đang thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều tác giả trong và ngoàinước trong vài thập kỉ gần đây [3–7]

Trong các kết quả nghiên cứu đã được công bố gần đây về tính ổn địnhcủa các hệ vi phân có trễ, phương pháp hàm Lyapunov–Krasovskii (LKF) vàcác biến thể của nó (chẳng hạn Định lí Lyapunov–Razumikhin) là một công

cụ chính được sử dụng rộng rãi trong việc thiết lập các lớp điều kiện đảm bảotính ổn định của hệ [2] Mặc dù cho đến nay chưa có một phương pháp thốngnhất nào trong việc xây dựng LKFs, nhưng dựa trên các định lí ổn định dạngtrừu tượng, đối với rất nhiều lớp hệ có ứng dụng quan trọng (hệ điều khiểntuyến tính, hệ không chắc chắn, hệ đa diện, hệ nơ-ron v.v) các tác giả đã đềxuất được các hàm LKFs để thiết lập các điều kiện tương ứng Thông quaviệc xây dựng các hàm LKFs phù hợp, các điều kiện đủ cho tính ổn định của

hệ được thiết lập thông qua các bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMIs).Các điều kiện ổn định đó có thể chia thành hai loại: (i) các điều kiện ổn địnhđộc lập với độ trễ và (ii) các điều kiện ổn định phụ thuộc độ trễ Các điều

kiện loại (ii) sử dụng cả các thông tin về tham số của hệ lẫn độ lớn của trễtrong đánh giá tính ổn định của hệ Thực tế cho thấy các hệ có trễ thường chỉ

ổn định với một độ trễ nhất định, vì vậy các tiêu chuẩn ổn định phụ thuộc

độ trễ có nhiều ứng dụng và được quan tâm nghiên cứu, phát triển mạnh mẽtrong những năm gần đây [5] Thông thường, tính bảo thủ của các tiêu chuẩn

ổn định phụ thuộc không chỉ vào việc xây dựng các hàm LKFs mà còn phụthuộc rất nhiều vào các kĩ thuật đánh giá đạo hàm các phiếm hàm đó [8].Hơn nữa, việc xây dựng các hàm LKFs phức tạp có thể không cải thiện nhiều

về độ trễ mà dẫn tới độ phức tạp tính toán quá lớn

Nhằm mục đích giảm tính bảo thủ của các điều kiện ổn định, ba phươngpháp thường được các tác giả sử dụng, bao gồm: (i) Xây dựng các phiếm hàmLKFs mới; (ii) cải tiến các kĩ thuật ước lượng đạo hàm của LKFs; và (iii) sửdụng thêm các biến phụ, biến đổi mô hình hay phân hoạch đoạn trễ Nhờ bấtđẳng thức tích phân Jensen [3], nhiều kết quả quan trọng về tính ổn định củacác hệ có trễ, đặc biệt các hệ ô-tô-nôm đã được công bố Tuy nhiên, như đãđược thảo luận trong [8], bất đẳng thức Jensen thường tạo ra tính bảo thủ(ngặt) của các điều kiện ổn định tương ứng Cải tiến bất đẳng thức này làmột vấn đề quan trọng và vẫn là vấn đề có tính mở mà nhiều tác giả quantâm nghiên cứu tìm các giải pháp hiệu quả hơn Gần đây, trong [8], dựa trênmột bất đẳng thức trong giải tích Fourier, bất đẳng thức Wirtinger, các tácgiả đã tìm được một cải tiến thực sự của bất đẳng thức tích phân Jensen, gọitắt là WBI (Wirtinger-based integral inequality) Nhiều kết quả nghiên cứu

áp dụng WBI đã được công bố gần đây thể hiện tính vượt trội của WBI Rấtgần đây, đã đề xuất một số dạng bất đẳng thức Jensen cải tiến mà bất đắngthức Jensen cổ điển và WBI là những dạng đặc biệt Bằng một kĩ thuật hiệuchỉnh đặc biệt, các tác giả trong [5] thu được một cải tiến mới của bất đẳngthức Jensen Kết quả trong [5] bao hàm kết quả trong [8] như một trường

hợp riêng.

Mặt khác, ta biết rằng tính ổn định tiệm cận của hệ đảm bảo quỹ đạonghiệm với các điều kiện đầu khác nhau (trong thực tiễn thường là khôngbiết) sẽ hội tụ về điểm cân bằng Do đó các trạng thái của hệ sẽ nằm trongmột lân cận của điểm cân bằng sau khoảng thời gian đủ lớn Tuy nhiên, tính

ổn định tiệm cận không cho một ước lượng thời điểm để trạng thái của hệ ởtrong một lân cận cho trước của điểm cân bằng Vì vậy, bài toán nghiên cứutính ổn định mũ với chỉ số mũ cho trước đóng vai trò quan trọng trong thiết

kế và điều khiển hệ thống Cách tiếp cận được sử dụng rộng rãi là phươngpháp hàm LKF có trọng [7,9,10] Tuy nhiên, trong các kết quả đã biết, việcước lượng tách rời giữa hàm trọng và trạng thái (xem [10]) sẽ đưa đến cácđiều kiện bảo thủ, đặc biệt là chỉ số mũ Mới đây, trong [6], các tác giả đềxuất một cách tiếp cận mới là đánh giá trực tiếp hàm trọng và trạng tháibằng một bất đẳng thức mới gọi là bất đẳng thức tích phân Jensen có trọng(WII) và một số dạng cải tiến

Nội dung chính của Luận văn này là trình bày một số kết quả nghiên cứumới trong bài báo [6] của người hướng dẫn và cộng sự Trong bài báo đó, cáctác giả xem lại khả năng ứng dụng của bất đẳng thức Jensen trong nghiêncứu tính ổn định mũ của các hệ có trễ Bằng một kỹ thuật hiệu chỉnh rất đặcbiệt, các tác giả đề xuất một số bất đẳng thức có trọng và các làm mịn của

nó Trong trường hợp tới hạn, khi chỉ số mũ dần tới không các tác giả thuđược cả bất đẳng thức tích phân Jensen [3] và WBI [8]

Nội dung của luận văn được trình bày trong 3 chương Chương 1 trình bàymột số kết quả liên quan, ở đó chúng tôi nhắc lại Định lí Lyapunov–Krasovskiicho tính ổn định tiệm cận và ổn định mũ và một số kiến thức liên quan vềgiải tích ma trận dùng trong trình bày nội dung các chương sau Chương 2

trình bày các dạng cơ bản của các bất đẳng thức tích phân Jensen, bất đẳngthức Jensen có trọng và dạng cải tiến của nó Chương 3 trình bày một số kếtquả về tính ổn định mũ của hai lớp hệ tuyến tính có trễ bao gồm hệ tuyếntính có trễ hỗn hợp dạng phân phối và rời rạc và hệ có trễ biến thiên trênmột đoạn dựa trên nội dung bài báo [6].

Luận văn được hoàn thành tại Bộ môn Giải tích, Khoa Toán-Tin, TrườngĐại học Sư phạm Hà Nội dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Lê Văn Hiện QuaLuận văn này, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy cô trong Bộmôn Giải tích, các thầy cô trong Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm

Hà Nội nói chung, và đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầyPGS TS Lê Văn Hiện, người đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và giúp đỡ emtrong quá trình nghiên cứu và hoàn thành Luận văn này

Rn×r Tập hợp các ma trận kích thướcn × r.

A ⊤ Ma trận chuyển vị của ma trận A

λ(A) Tập tất cả các giá trị riêng của A

λ max (A) = max{Reλ j (A) : λ j (A) ∈ λ(A)}

λ min (A) = min{Reλ j (A) : λ j (A) ∈ λ(A)}.

S+n Tập các ma trận đối xứng xác định dươngn × n chiều

C([a, b],Rn) Tập các hàm liên tục trên [a, b] với chuẩn

kxk = supt∈[a,b]kx(t)k.

LMIs Bất đẳng thức ma trận tuyến tính

A ⊗ B Tích Kronecker của ma trận A và B

Chương 1 MỘT SỐ KẾT QUẢ BỔ TRỢ

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về phương trình hàm,phương pháp hàm Lyapunov–Krasovskii (LKF) trong nghiên cứu tính ổnđịnh tiệm cận và ổn định mũ của hệ phương trình vi phân hàm và một sốkiến thức liên quan bổ trợ cho việc trình bày kết quả trong các chương sau

(1.1)

ở đó f : D = [t 0 , ∞) × C →Rn và φ ∈ C là hàm ban đầu

Định lí sau đây về sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán (1.1)

Định lí 1.1.1 (xem [1]) Giả sử f : D →Rn là hàm liên tục, thỏa mãn điềukiện Lipschitz địa phương theo biến thứ hai trên D Khi đó, với mỗi φ ∈ C,tồn tại tφ = tφ,t0,f ∈ (t 0 , ∞] sao cho

(i) Bài toán (1.1) có nghiệm x(t, φ) trên khoảng [t 0 , t φ )

(ii) Trên mọi đoạn [t 0 , t 1 ] ⊂ [t 0 , t φ ), nghiệm x(t, φ) là duy nhất

(iii) [t 0 , tφ) là khoảng tồn tại cực đại của nghiệm x(t, φ).

(iv) Nghiệm x(t, φ) phụ thuộc liên tục vào φ, f

Trong Định lí 1.1.1, nếu hàm f thỏa mãn thêm điều kiện tăng trưởng kiểudưới tuyến tính, tức là

kf (t, φ)k ≤ Ăt)kφk + B(t), (1.2)

ở đó Ặ), B(.) ∈ C[t 0 , ∞) thì nghiệm x(t, φ) tồn tại toàn cục, tức là t φ = ∞

(xem [1]) Tổng quát hơn, nếu hàm f thỏa mãn điều kiện dạng Nagumo

kf (t, φ)k ≤ Φ(t, kφk), ∀(t, φ) ∈ D, (1.3)

ở đó Φ : [t 0 , ∞) ×R+ → (0, ∞) là hàm liên tục, không giảm theo t, thỏa mãnđiều kiện

Z ∞ 0

ds Φ(t, s) = ∞, t ≥ t0,

thì khi đó nghiệm x(t, φ) tồn tại toàn cục

1.2 Phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii

Trong mục này, hàmf (t, φ) được giả thiết thỏa mãn điều kiện sao cho với mỗi

t 0 ∈ [0, ∞), φ ∈ ([−h, 0],Rn), bài toán (1.1) có nghiệm duy nhất xác định trên

[t 0 , ∞) Hơn nữa, giả sử rằng f (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0 Khi đó (1.1) có nghiệm x = 0.Định nghĩa 1.2.1 ( [2]) Nghiệm x = 0 của (1.1) được gọi là:

(i) Ổn định nếu với mọi t 0 ∈ R+, ε > 0, tồn tại δ = δ(t 0 , ε) > 0 sao cho, vớibất kì nghiệm x(t, φ) của (1.1), nếu kφk < δ thì kx(t, φ)k < ε, ∀t ≥ t 0;(ii) Ổn định đều nếu số δ nói trên không phụ thuộc t 0, tức là với mọiǫ > 0

tồn tại δ(ǫ) > 0 sao cho kφk < δ(ǫ) kéo theo kx(t, φ)k < ǫ, ∀t ≥ t

Định nghĩa 1.2.2 ( [2]) Nghiệm x = 0 của (1.1) được gọi là:

(i) Ổn định tiệm cận (AS) nếu nó ổn định và với mỗi t 0 ≥ 0 tồn tạiδ(t 0 ) > 0

sao cho lim t→∞ kx(t, φ)k = 0 với mọi φ thỏa mãn kφk < δ(t 0 ); nghiệm

x = 0 là ổn định tiệm cận toàn cục (GAS) nếu số δ(t 0 ) lớn tùy ý;

(ii) Ổn định tiệm cận đều (UAS) nếu nó ổn định đều và tồn tại δ a > 0 saocho với mọi η > 0 tồn tại T (δ a , η) > 0 sao cho

kφk < δ a ⇒ kx(t, φ)k < η, ∀t ≥ t 0 + T (δ a , η);

(iii) Ổn định tiệm cận toàn cục đều (GUAS) nếu số δ a nói trên lớn tùy ý;(iv) Ổn định mũ toàn cục (sau này ta nói gọn là ổn định mũ GES) nếu tồntại các số dươngα, β sao mọi nghiệm x(t, φ) của (1.1) thỏa mãn đánh giá

kx(t, φ)k ≤ βkφke−α(t−t0 ) , ∀t ≥ t 0 (1.4)Hơn nữa, nếu sốα > 0cho trước và mọi nghiệm của (1.1) thỏa mãn (1.4)thì ta nói hệ (1.1) là α-ổn định mũ

Hệ (1.1) là GAS, GUAS, GES nếu nghiệm x = 0 là GAS, GUAS, GES

nên mọi nghiệm x(t, φ) của (1.5) thỏa mãn |x(t, φ)| ≤ kφk Với mọi ǫ > 0, chọn

δ = ǫ, khi đó kφk < δ kéo theo |x(t, φ)| < ǫ, ∀t ≥ 0

Hơn nữa (1.5) ổn định tiệm cận toàn cục Thật vậy, cho x(t) = x(t, φ) làmột nghiệm bất kì của (1.5) Giả sử lim inf t→∞ |x(t)| > 0 Khi đó tồn tại η > 0

Nhận xét 1.2.1 Trong việc xét tính ổn định của (1.5), phiếm hàmV (x) = x2

đóng vai trò quan trọng Hàm V (x) như trên là hàm Lyapunov đối với (1.5)

Ta thấyV (x) = x2 thỏa mãn các tính chất: (i) λ 1 x2 ≤ V (x) ≤ λ 2 x2, ở đó λ 1 , λ 2

là các hằng số tùy ý thỏa mãn 0 < λ 1 < 1 < λ 2; và (ii) đạo hàm theo (1.5)

Do |b| < a nên tồn tại số α > 0 đủ nhỏ sao cho

từ (1.7) ta có đánh giá mũ

|x(t)| ≤p1 + |b|hkφke−αt.

Vậy phương trình (1.6) là GES

Giả sử V :R+× C →R là hàm liên tục vàx(t, φ) là một nghiệm của (1.1) điqua (t 0 , φ) Đạo hàm của hàm V (t, φ) dọc theo nghiệm x(t, φ) được xác địnhbởi

˙

V (t, φ) = lim sup

s→0 +

1 s

h

V (t + s, x t+s (t, φ)) − V (t, φ)i.

Định lí 1.2.1 (Định lí Lyapunov–Krasovskii [2]) Giả sử f : R+× C → Rnbiến mỗi tập bị chặn trong R+ × C thành tập bị chặn trong Rn và tồn tại hàm

liên tục V : R+× C → R, các hàm u, v, w : R+ → R+ liên tục, không giảm,

u(s), v(s) > 0, với mọi s > 0 và u(0) = v(0) = 0 thỏa mãn các điều kiện sau(i) u(|φ(0)|) ≤ V (t, φ) ≤ v(kφk);

Định lí 1.2.2 (Định lí ổn định mũ [7]) Giả sử tồn tại một hàm liên tục

V :R+× C →R và các số dương λ 1 , λ 2 và λ 3 thỏa mãn các điều kiện sau(i) λ 1 kx(t)k2 ≤ V (t, φ) ≤ λ 2 kx t k2;

V (x t ) = 1/2αx4(t) + β

Z t

x6(s)ds, α, β > 0.

Ta có

1/2α|x(t)|4 ≤ V (x t ) ≤ α/2kx t k4+ βhkx t k6

nên V (x t ) thỏa mãn điều kiện (i) của Định lí 1.2.1

Bây giờ ta tính đạo hàm của V (x t ) dọc theo quỹ đạo nghiệm x(t, φ) của(1.9) Ta có

ta tìm được α = 0.8167 và β = 0.7709 thỏa mãn (1.10) Theo Định lí 1.2.1,phương trình (1.9) là GUAS

Ví dụ 1.2.4 Trở lại với Ví dụ 1.2.2 Câu hỏi đặt ra là cho trước số α > 0.Với điều kiện nào của a, bthì phương trình (1.6) ổn định mũ với chỉ số mũ α?Tương tự cách tiếp cận đã trình bày trong Ví dụ 1.2.2 (xem thêm [7]), ta xéthàm LKF sau

V (t) = px2(t) + q

Z t t−h

e2α(s−t)x2(s)ds,

ở đó p, q là các hằng số dương sẽ được xác định sau Rõ ràng điều kiện (i)trong Định lí 1.2.2 thỏa mãn với λ 1 = p và λ 2 = p + hq.

Bằng một số đánh giá tương tự trong Ví dụ 1.2.2, ta có

ổn định mũ α > 0 cho trước Để minh họa, chúng tôi cho a = 2, b = 1 Với

α = 0.25, sử dụng gói LMI toolbox trong Matlab để giải (1.13) chúng tôi thuđược độ trễ cực đại h = 2.2384 Với h = 2.2384, nghiệm p, q của (1.13) đượccho bởi p = 18.8007 vàq = 32.9018 Vậy phương trình (1.6) là ổn định mũ vớichỉ số mũ α = 0.25

Nhận xét 1.2.2 Các ví dụ trên minh họa cho một phương pháp thông dụngtrong việc xét tính ổn định, ổn định mũ của các hệ có trễ dựa trên phươngpháp hàm Lyapunov–Krasovskii và cách tiếp cận bằng bất đẳng thức ma trậntuyến tính (linear matrix inequalities LMIs) Trong chương sau chúng tôi đisâu phân tích các kĩ thuật áp dụng của phương pháp này và ứng dụng nghiêncứu tính ổn định của một số lớp hệ có trễ

1.3 Một số kiến thức bổ trợ

Mục này giới thiệu một số khái niệm và kết quả cơ bản về phép tính ma trậnđược sử dụng trong trình bày các kết quả trong các chương tiếp theo

Cho ma trận A = (a ij ) ∈ Rn×m Ma trận chuyển vị của A, kí hiệu bởi A⊤

xác định bởiA ⊤ = (a ji ) ∈Rm×n Với mọi ma trậnA, B có số chiều thích hợp,

ta có

(A + B)⊤ = A⊤+ B⊤, (cA)⊤ = cA⊤, c ∈R, (AB)⊤ = B⊤A⊤, (A−1)⊤ = (A⊤)−1.

Ma trận A ∈ Rn là ma trận đối xứng nếu A = A ⊤ Ma trận đối xứng A lànửa xác định dương, viết A ≥ 0, nếu x ⊤ Ax ≥ 0, ∀x ∈ Rn, và A là xác địnhdương, viết A > 0, nếu x ⊤ Ax > 0 với mọi x ∈Rn, x 6= 0 Kí hiệu Sn, S+

n là tậpcác ma trận đối xứng và ma trận đối xứng xác định dương trong Rn×n.Một số tính chất của ma trận đối xứng, xác định dương:

• Nếu A ∈Sn thì λ(A) ⊂R Tức là mọi giá trị riêng của ma trận đối xứngđều thực

• Ma trận A ∈S+n khi và chỉ khi mọi giá trị riêng λ j (A) > 0

• Ma trận A ∈Sn xác định dương khi và chỉ khi mọi định thức con chính

Dk(A) > 0, ở đó Dk là định thức con chính cấp k của A (điều kiệnSylvester)

• Nếu A ∈S+n thì (bất đẳng thức Rayleigh)

λ min (A)kxk2 ≤ xTAx ≤ λ max kxk2, ∀x ∈Rn.

• Nếu A ∈ S+n thì tồn tại ma trận Q ∈ S+n sao cho Q⊤Q = A Ma trận Q

gọi là căn bậc hai của ma trận dương A, viết Q = A12

Tích Kronecker

Cho A, B tương ứng là các ma trận cỡ (m, n) và cỡ (p, q) Tích KroneckercủaA và B là một ma trận cỡ (mp, qq), ký hiệu bởi A ⊗ B, được xác định nhưsau:

Chương 2

BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN JENSEN CÓ TRỌNG

Mục đích chính của chương này là trình bày một số kết quả nghiên cứugần đây về một số dạng cải tiến của bất đẳng thức tích phân Jensen và bấtđẳng thức tích phân Jensen có trọng từ kết quả của bài báo [6] Đây là mộtcông cụ quan trọng trong việc ước lượng đạo hàm các phiếm hàm LKFs đểtìm các điều kiện ổn định dạng LMIs phụ thuộc độ trễ

2.1 Mở đầu

Để bắt đầu, chúng tôi xét lớp hệ điều khiển tuyến tính (LTI) sau

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t), t ≥ 0, y(t) = Cx(t),

(2.1)

ở đó x(t) ∈Rn là vectơ trạng thái của hệ, u(t) ∈Rm là điều khiển đầu vào và

y(t) ∈ Rp là tín hiệu đo được đầu ra của hệ, A ∈ Rn×n, B ∈Rn×m, C ∈ Rp×n

là các ma trận cho trước

Ta biết rằng hệ mở của (2.1) (không có điều khiển) là GAS khi và chỉ khitập các giá trị riêng của A nằm trên nửa mặt phẳng mở bên trái của mặtphẳng phức,λ(A) ⊂C− [12] Một điều kiện tương đương là LMI sau có nghiệm

P ∈S+n

A⊤P + P A < 0. (2.2)LMI (2.2) là bất đẳng thức Lyapunov cổ điển Chú ý rằng (2.2) có thể thiếtlập bằng hàm Lyapunov toàn phương V (x) = x ⊤ P x Ứng dụng cho bài toán

ổn định hóa hệ (2.1) với điều khiển ngược theo trạng thái, ta cần tìm ma trận

K ∈ Rm×n sao cho với điều khiển u(t) = Kx(t), hệ đóng ˙x(t) = (A + BK)x(t)

là GAS Lời giải của bài toán này cho bởi LMI sau:

đó tín hiệu điều khiển có dạng u(t) = Ly(t − τ sc ) (xem Hình 2.1)

ݕ(ݐ) ݑ(ݐ)

Delay ߬ ௦௖

ݔሶ(ݐ) = ܣݔ(ݐ) + ܤݑ(ݐ) System

Hình 2.1: Mô hình hệ điều khiển có trễ

Hệ đóng (closed-loop system) của (2.1) trở thành

tụ về điểm cân bằng (và do đó nằm trong lân cận của điểm cân bằng khi thời

gian đủ lớn) Vấn đề đặt ra là làm sao có thể ước lượng được thời gian Tb để

từ đó trở đi quỹ đạo nghiệm nằm trong một lân cận cho trước của điểm cânbằng? Với tính chất ổn định mũ, thời gian T b có thể xác định được thông quachỉ số mũ α Do đó bài toán nghiên cứu tính chất α-ổn định mũ (chỉ số mũ

α > 0 cho trước tùy theo mục đích ứng dụng) có ý nghĩa quan trọng trongcác ứng dụng cho các mô hình điều khiển

Để tìm các đánh giá mũ cho hệ (2.4), một số phương pháp đã được đề xuấtnhư phương pháp dùng lý thuyết độ đo ma trận, phương pháp đổi biến dạng

ξ(t) = eαtx(t) và tìm các điều kiện để nghiệm của hệ đối với ξ(t) là bị chặn(xem các phân tích trong [6]) Tuy nhiên, các phương pháp nói trên thườngđưa đến các điều kiện rất bảo thủ (ngặt) và không hiệu quả đối với các hệ cótrễ biến thiên hoặc không biết trước (trong thực tiễn, chẳng hạn hệ truyềntín hiệu bằng cáp quang, độ trễ thường là cục bộ và có tính ngẫu nhiên).Một phương pháp được nhiều tác giả đề xuất sử dụng là phương pháp hàmLyapunov–Krasovskii có trọng, thường được gọi là hàm LKF dạng Kharitonov(xem [7]) Đối với (2.4), một hàm LKF có trọng cơ bản được chọn dạng

V (x t ) = x⊤(t)P x(t) +

Z t t−τ sc

đó, các phiếm hàm LKFs thường được xây dựng từ các dạng toàn phương

x ⊤ (t)P x(t) và một số dạng tích phân đơn, bội hai hoặc bội ba [4] Chẳng hạn,phiếm hàm sau đây đã được chỉ ra hiệu quả trong việc thiết lập điều kiện ổnđịnh phụ thuộc độ trễ [6]

V (x t ) =

Z 0

−τ

Z t t+s

e2α(u−t)˙x⊤(u)R ˙x(u)duds (2.6)

e2α(s−t)˙x⊤(s)R ˙x(s)ds − 2αV (x t ). (2.7)Vấn đề ở đây là (2.7) không trực tiếp tạo ra các điều kiện LMIs [5] Do đó

để thu được các điều kiện LMIs, một đánh giá cho số hạng tích phân trong(2.7) là yêu cầu bắt buộc Từ đó nảy sinh bài toán tìm một cận dưới của các

số hạng tích phân của dạng toàn phương sau

IRq(ϕ) =

Z b a

ϕT(s)Rϕ(s)ds, (2.8a)

I w (ϕ, α) =

Z b a

Chứng minh Chúng tôi giới thiệu một chứng minh ngắn như sau: Từ Bổ đề



ϕ ⊤ (s)Rϕ(s) ϕ ⊤ (s) ϕ(s) R−1

ϕ(s)ds

⊤

R

Z ba

ϕ(s)ds



là độ lệch của (2.9) Như thảo luận trong [8], độ lệch này thường tạo ra tínhbảo thủ trong các điều kiện ổn định Bổ đề 2.2.1 cho JRg(ϕ) ≥ 0 Một cách tựnhiên, giảm độ lệch này, hay nói cách khác tìm một cận dưới dương của JRg(ϕ)

sẽ cho những điều kiện ổn định mới bớt ngặt hơn

Một cải tiến quan trọng của (2.9) dựa trên bất đẳng thức Wirtinger, gọi làWBI, được đề xuất trong [8]

Bổ đề 2.2.2 (WBI [8]) Với ma trận cho trước R ∈S+n và một hàm liên tục

ϕ ∈ C([a, b],Rn), bất đẳng thức sau đúng

JRg(ϕ) ≥ 3

b − a

Z ba

ϕ(s)ds − 2

b − a

Z b a

Z s a

ϕ(s)ds − 2

b − a

Z b a

Z s a

ϕ(u)duds. (2.10)Nhận xét 2.2.1 Bất đẳng thức (2.10) suy ra (2.9) do một số hạng không

âm được thêm vào ở vế phải Điều này cho phép WBI tạo ra các điều kiệnbớt bảo thủ hơn các tiêu chuẩn ổn định dùng bất đẳng thức Jensen

Trong một công bố gần đây [5], bằng một phương pháp hiệu chỉnh đặc biệtcác tác giả trong [5] làm mịn bất đẳng thức Jensen cho trong Bổ đề 2.2.1 vàđưa ra một đánh giá mới cho JRg(ϕ).

Bổ đề 2.2.3 (Refined Jensen-based inequality [5]) Với ma trận cho trước

Z s a

Z s a

ϕ(u)duds + 12

b − a2

Z b a

Z s a

Z u a

độ trễ liên quan đến các tích phân bội của trạng thái

Hệ quả sau cho một công cụ đánh giá đạo hàm các hàm LKFs kiểu (2.6)

Hệ quả 2.2.1 Với ma trận R ∈S+n và hàm ω ∈ C1([a, b],Rn), bất đẳng thứcsau đúng

3 ] ⊤, ζ 1 = ω(b) − ω(a), ζ 2 = ω(b) + ω(a) − b−a2 Rabω(s)ds và

ζ 3 = ω(b) − ω(a) + b−a6 Rabω(s)ds −(b−a)12 2

Rb a

Rb

s ω(u)duds