Đề tài áp dụng hệ thức vi – et trong giải toán lớp 9

Từ bài toán đơn giản không giải phương trình tính tổng và tích 2 nghiệm của phương trình bậc 2 , học sinh có phương tiện là hệ thức Vi – ét để tính toán . Hệ thức còn giúp học sinh xét dấu 2 nghiệm của phương trình mà khong biết cụ thể mỗi nghiệm là bao nhiêu . Giải và biện luận phương trình bậc 2 có chứa tham số là loại toán khó . Tiếp tục bài toán này thường kèm theo yêu cầu tính giá trị biểu thức , quan hệ giữa 2 nghiệm , các phép tính trên 2 nghiệm ... của phương trình . Việc tính mỗi nghiệm của phương trình theo công thức nghiệm là vô cùng khó khăn vì phương trình đang chứa tham số . Trong trường hợp đó hệ thức Vi – ét là 1 phương tiện hiệu quả giúp học sinh giải loại toán này .

I ) LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Từ bài toán đơn giản không giải phương trình tính tổng và tích 2 nghiệmcủa phương trình bậc 2 , học sinh có phương tiện là hệ thức Vi – ét để tínhtoán Hệ thức còn giúp học sinh xét dấu 2 nghiệm của phương trình màkhong biết cụ thể mỗi nghiệm là bao nhiêu

Giải và biện luận phương trình bậc 2 có chứa tham số là loại toán khó Tiếp tục bài toán này thường kèm theo yêu cầu tính giá trị biểu thức , quan

hệ giữa 2 nghiệm , các phép tính trên 2 nghiệm của phương trình Việctính mỗi nghiệm của phương trình theo công thức nghiệm là vô cùng khókhăn vì phương trình đang chứa tham số Trong trường hợp đó hệ thức Vi– ét là 1 phương tiện hiệu quả giúp học sinh giải loại toán này

Cuối học kỳ 2 lớp 9 , thời gian gấp rút cho ôn thi học kỳ 2 và các kỳ thicuối cấp Các bài toán cần áp dụng hệ thức Vi – ét đa dạng có mặt trongnhiều kỳ thi quan trọng như thi học kỳ 2, thi tuyển sinh vào lớp 10 , thi vàocác trường chuyên lớp chọn Trong bài viết này , tôi hy vọng đóng gópthêm 1 số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh làm quen và tiến tới giải tốt cácbài cần áp dụng hệ thức Vi - ét

II ) NỘI DUNG ĐỀ TÀI

B ) BÀI TẬP ÁP DỤNG VÀ BÀI TẬP PHÁT TRIỂN , NÂNG CAO

1, Loại toán xét dấu nghiệm của phương trình mà không giải phương trình

Vì P > 0 nên 2 nghiệm x1 và x2 cùng dấu

S > 0 nên 2 nghiệm cùng dấu dương

Cho phương trình x2  10x m 2  0 (1)

Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi giá trị của

m  0 Nghiệm mang dấu nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn ?

b) Chứng minh rằng phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu  m

c) Gọi 2 nghiệm của phương trình đã cho là x1, x2

1 17 2

x x

Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu m

c, Gọi 2 nghiệm của phương trình đã cho là x1, x2

Từ kết quả phần b có x1, x2  0 , biểu thức A được xác định với mọi x1, x2

2 2

m m m

* Kết luận : Với m = 1 thì biểu thức A đạt giá trị lớn nhất là - 2

2) Loại toán tính giá trị biểu thức chứa tổng, tích 2 nghiệm

Bài tập 4: Cho phương trình : x2  (m 1)x m 2 m 2 0

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m b) Gọi 2 nghiệm là x1 và x2 tìm giá trị của m để 2 2

tham số m

Theo hệ thức Vi ét P = x x1 2 c m2 m 2 0

a

     do đó 2 nghiệm tráidấu

x x  khi m =2

3

Bài tập 5:

Cho phương trình 2x2  (m2)x 7m2 0

Tìm giá trị dương của m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm

có giá trị tuyệt đối bằng nghịch đảo của nghiệm kia

Giải :

Ta có a = 2 > 0

Phưong trình có 2 nghiệm trái dấu    7 m2    0 7 m 7

Với điều kiện này giả sử x1< 0 ,x2 > 0 theo đề ra ta có

Vì m > 0 nên ta chọn m = 5 ( thoả mãn điều kiện  7 m 7)

Kết luận : Vậy với m = 5 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu vànghiệm âm có giá trị tuyệt đối bằng ngịch đảo của nghiệm kia

x x  x x  x x

Bài tập 6 : ( Đề tuyển sinh lớp 10 năm 2006 – 2007 ) (2 đ)Xét phương trình : x4  2(m2 2) 5 m2 3 0 (1) với m là tham số

1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phương trình (1) luôn có 4nghiệm phân biệt

2) Gọi các nghiệm của phương trình (1) là x x x x Hãy tính theo m1, , ,2 3 4

giá trị của biểu thức M = 2 2 2 2

nên P > 0 với mọi m  Z

nên S > 0  y y1, 2 cùng dấu dương (thoả mãn ĐK y  0)

Vậy phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu dương nên phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt đối nhau từng đôi một

4( 2)

m M

a) Chứng minh : Phương trình đã cho luôn luôn có nghiệm với mọi m

b) Trong trường hợp m > 0 và x x1, 2 là các nghiệm của phương trình nói

trên hãy tìm GTLN của biểu thức

m m m m m m

m m

 

Với m = 1 thoả mãn điều kiện m > 0

m = -1 không thoả mãn điều kiện m > 0

Vậy với m = 1 thì A có GTNN bằng 8

Bài tập 8 : ( đề TS chuyên Hạ Long 2005 - 2006 ) (2 đ)Xét phuương trình mx2+ (2m -1) x + m -2 = 0 (1) với m là tham số

a ) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn

m m

2 2

2 2

Vì n N* nên 1- n Z và n N* => 1

1 n

x n



 là phân số Q

tử n +2 N* và n +1 N* => 2

2 1

n x n

3 ) Loại toán tìm hai số biết tổng và tích của chúng

Bài tập 9 : Tìm hai số x y biết

Ta có x và y là nghiệm của phương trình x2 +7x +12 = 0

Giải phương trình ta được x3 = -3 ; x4= - 4

các cặp số x, y cần tìm là (4 ; 3) ; (3 ; 4) ;(- 4 ; - 3) ; ( -3 ; -4)

4 ) Loại toán tìm biểu thức liên hệ giữa tổng tích 2 nghiệm không phụ thuộc tham số :

Bài tập 11 : Cho phương trình x2- ax + a - 1 = 0 có 2 nghiệm x x1, 2

a) Không giải phương trình hãy tính giá trị biểu thức

P x x 1 2  a 1 (2)

Trừ 2 vế của (1) cho (2) ta có x1x2  x x1 2 1 , đây là biểu thức liên hệ giữa x

1và x2 không phụ thuộc vào a

Bài tập 2 : Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k , phương trình

a) 7 x2+ kx -23 = 0 có 2 nghiệm trái dấu

b) 12 x2+70x + k2+1 = 0 không thể có 2 nghiệm trái dấu

Bài tập 4 : Cho phương trình x2- 2m + m - 4 = 0

a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm đối nhau Tính 2 nghiệm đó

b) Định m để phương trình có 2 nghiệm thực dương

Bài tập 5 : ( đề TS chuyên Hạ Long năm học 2002 -2003 ) (2,5 đ)

Cho phương trình x2 - mx +1 = 0 ( m là tham số )

a) Giải phương trình trên khi m = 5

b) Với m = 5 , giả sử phương trình đã cho khi đó có 2 nghiệm là x x1, 2 Không giải phương trình , hãy tính giá trị của biểu thức

b) Gọi x x1, 2 là nghiệm của phương trình , chứng minh rằng

88

2) Tìm mđể phương trình x2  2mx2m 3 0 có hai nghiệm cùng dấu Khi

đó hai nghiệm cùng dấu âm hay cùng dấu dương ?

P x x x x

Bài tập 10 : ( Đề tuyển sinh chuyên Hạ Long 2005 – 2006)

Xét phương trình mx2 (2m 1)x m  2 0 vói m là tham số

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm là x1, x2thoả mãn 2 2

1 2 1 2 4

x x  x x 

b) Chứng minh rằng nếu m là tích của hai số tự nhiên liên tiếp thì phương trình

có nghiệm hữu tỉ

III) PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH

Trong giờ học chính khoá tôi lồng ghép các bài tập cùng lời giải mẫu, cơ sở giải theo từng phương pháp để học sinh hình thành kỹ năng giải từng loại toán này Cho học sinh thực hành bài tập tương tự ngay tại lớp

Đặc biệt , trong các giờ luyện tập , ôn tập chương giáo viên tiếp tục cho học sinhgiải các bài tập nâng cao , làm thử các đề thi tuyển sinh chuyên chọn Qua đó học sinh thấy được tầm quan trọng của loại toán này , tự rèn luyện tạo kỹ năng cho mình Bằng rèn luyện thực hành giải bài tập , học sinh cách giải các bài tập phức tạp hơn Các em được nâng cao kiến thức , hình thành kỹ năng phản xạ khi gặp các bài toán tương tự

IV) PHẠM VI , ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Học sinh khối lớp 9 trường THPT Hòn Gai

V) TỔNG KẾT VÀ RÚT KINH NGHIỆM

Qua áp dụng vấn đề nêu trên vào giảng dạy ở khối lớp 8 , kết quả thu được là học sinh đã hình thành , định hướng được cách giải loại toán này Bằng phương

phỏp gợi mở nờu vấn đề , cỏc cõu hỏi dẫn dắt , cỏc em tự phỏt hiện ra hướng giảicho từng bài tập Giỏo viờn tạo hứng thỳ , phỏt triển trớ thụng minh sỏng tạo chohọc sinh

CÁC TÀI LIỆUTHAM KHẢO KHI GIẢNG DẠY LOẠI TOÁN CẦN ÁP DỤNG HỆ THỨC VI ẫT

1) SGK và sách giáo viên lớp 9 cải cách

2) “ Bài tập nâng cao và 1 số chuyên đề toán 9” của Bùi Văn Tuyên 3) Báo toán học và tuổi thơ 2” của Bộ Giáo Dục

4) Các đề thi TS và thi chuyên chọn hàng năm của các tỉnh trên toàn quốc

5) “ Bài tập nâng cao Đại số 9” của Vũ Hữu Bình

H¹ Long, ngµy th¸ng n¨m