Phân loại dạng ứng dụng hệ thức vi ét trong đại số lớp 9 trường THCS đông văn

1 Phần I: MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài: Cơ sở lí luận: Trong giai đoạn nay, mà khoa học, kinh tế, công nghệ thông tin giới phát triển mạnh mẽ, nước ta trọng tìm kiếm nhân tài hệ trẻ, em học sinh phải nổ lực nhiều trong việc tìm kiếm kiến thức, học thật tốt để bổ sung nhân tài cho đất nước Mơn Tốn THCS có vai trị quan trọng, mặt phát triển hệ thống hóa kiến thức, kỹ thái độ mà học sinh lĩnh hội hình thành bậc tiểu học, mặt khác góp phần chuẩn bị kiến thức, kỹ thái độ cần thiết để tiếp tục lên THPT, TH chuyên nghiệp, học nghề vào lĩnh vực lao động sản xuất đòi hỏi hiểu biết định Tốn học Chương trình Tốn THCS khẳng định trình dạy học trình giáo viên tổ chức cho học sinh hoạt động để chiếm lĩnh kiến thức kỹ Mặt khác muốn nâng cao chất lượng cho học sinh, giáo viên cần phải hình thành cho học sinh kiến thức bản, tìm tịi đủ cách để phát huy tính tích cực học sinh, mở rộng tầm suy nghĩ Cơ sở thực tế: Trong vài năm trở lại đây, trường PTTH, PTTH chuyên, sức thi tuyển, chọn lọc học sinh đề thi vào lớp 10 THPT, PTTH chuyên đề thi tuyển học sinh giỏi lớp cấp xuất tốn bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét phổ biến Trong nội dung thời lượng phần sách giáo khoa lại ít, lượng tập chưa đa dang Thế đa số học sinh gặp toán bậc hai, em lại lúng túng khơng giải chương trình học có tiết, nhà em khơng biết cách đọc thêm sách tham khảo nên không ứng dụng hệ thức Vi ét để giải Vì tơi suy nghĩ làm để nâng cao chất lượng học tập cho em học sinh, giúp em biết vận dụng hệ thức Vi-ét để giải tốn bậc hai Góp phần giúp em tự tin kỳ thi tuyển Đó lý chọn đề tài: Phân loại dạng “Ứng dụng hệ thức Vi-ét ” Đại số lớp trường THCS Đơng Văn II Mục đích nghiên cứu: Để nhằm mục đích bổ sung nâng cao kiến thức giải tốn bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét cho em học sinh lớp trường THCS Đông Văn Từ em tự tin làm tốt toán bậc hai kỳ thi học sinh Giỏi, tuyển sinh vào trường PTTH, PTTH chun Kích thích, giúp em biết cách tìm kiến thức nhiều nữa, khơng tốn bậc hai mà dạng toán khác 2 III Đối tượng nghiên cứu, khảo sát thực nghiệm: *Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 9A trường THCS Đông Văn Nghiên cứu ứng dụng hệ thức Vi-ét, môn đại số lớp 9, tìm hiểu tốn bậc hai có ứng dụng thức Vi-ét IV Phương pháp nghiên cứu: Căn vào mục đích nhiệm vụ nghiên cứu, sử dụng phương pháp nghiên cứu sau: - Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Tôi nghiên cứu lựa chọn 11 dạng toán bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét - Phương pháp vấn, điều tra: Tôi hỏi điều tra học sinh sau tiết dạy thực nghiệm với câu hỏi sau: Câu 1: Em thích tốn bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét khơng? Câu 2: Em phân chia dạng tập theo nhóm ứng dụngcủa hệ thức Vi- ét ? Câu 3: Khơng giải phương trình, nhẩm nghiệm phương trình sau: a/ x2 + x – - 1= b/ x2 + 5x + = Câu 4: Cho phương trình: x2 – 3x + m = 0, với m tham số, có hai nghiệm x1 , x2 (x1 > x2) Tính giá trị biểu thức A = (x1- x2) theo m Câu 5: Tìm m để Parbol (P):y = x đường thẳng (d): y = x –m + cắt điểm có tung độ y1 y2 thỏa mãn: y1 + y2 = - Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Sau xếp thành 11 nhóm ứng dụng hệ thức Vi-ét, tơi thực lên lớp hướng dẫn học sinh ứng dụng qua tiết dạy môn “Tự chọn” lớp 9A 3 PHẦN II: NỘI DUNG SKKN I Cơ sở lý luận: Mục tiêu giáo dục THCS “Nhằm giúp học sinh củng cố phát triển kết giáo dục tiểu học, có trình độ học vấn THCS hiểu biết ban đầu kỹ thuật hướng nghiệp, học nghề vào sống lao động” Để khắc phục mục tiêu trên, nội dung chương trình THCS thiết kế theo hướng giảm tính lý thuyết hàn lâm, tăng tính thực tiễn, thực hành bảo đảm vừa sức, khả thi, giảm số tiết học lớp, tăng thời gian tự học hoạt động ngoại khóa Trong chương trình lớp 9, học sinh học tiết hệ thức Vi ét ứng dụng; tiết lý thuyết : học sinh học định lý Vi-ét ứng dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn, lập phương trình bậc hai tìm hai số biết tổng tích chúng, tiết luyện tập: học sinh làm tập củng cố tiết lý thuyết vừa học Theo chương trình trên, học sinh học Định lý Vi-ét khơng có nhiều tiết học sâu khai thác ứng dụng hệ thức Vi-ét nên em nắm vận dụng hệ thức Vi-ét chưa linh hoạt Là giáo viên cần phải bồi dưỡng hướng dẫn học sinh tự học thêm kiến thức phần để tìm phương pháp giải phù hợp với ứng dụng tập II Tình hình thực tế: Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN: Nhiều năm công tác Trường THCS đặc biệt trường nằm địa bàn nông thôn, điều kiện học tập chưa đầy đủ, nhiều em khơng có thời gian học nhà, nhiều gia đình chưa quan tâm đến việc học em, vấn đề xã hội hoá giáo dục chưa ngang tầm với giai đoạn Nên chất lượng học tập chưa cao, số học sinh bị hổng kiến thức cịn nhiều, nhiều em cịn có tâm lý sợ mơn tốn học Phụ huynh học sinh chưa thật quan tâm mức đến việc học tập em theo dõi, kiểm tra, đơn đốc nhắc nhở học tập nhà Các toán hệ thức Vi ét ứng dụng quan trọng nêu phần trước, song qua thực tế giảng dạy nhiều năm thấy với học sinh đại trà em cịn lười làm tập, nhìn thấy đề dài khác chút ngại đọc đề, ngại phân tích đề, đặc biệt với dạng tốn có lời văn Cũng qua việc theo dõi kết kiểm tra, thi HS đa số HS chưa nắm phương pháp giải, chưa vận dụng biến đổi cách linh hoạt sáng tạo vào cụ thể dẫn đến việc áp dụng vào dạng tốn khác cịn gặp nhiều khó khăn, lúng túng Kết thực trạng Từ thực trạng chất lượng học qua kiểm tra 15 phút học kỳ II, năm học 2020-2021 sau: Kết ST T Lớ p 9A Sĩ số 47 Giỏi Khá TB Yếu SL % S L % SL % SL % S L % 6, 14, 26 55,3 10 21,3 2, III GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN Qua thực tế chưa nghiên cứu theo đề tài học sinh gặp nhiều sai sót q trình giải tốn, hay sai cách trình bày lời giải, học sinh lúng túng chưa biết cách biến đổi Vì để rèn kỹ cho em nắm kiến thức q trình dạy tơi phân ứng dụng tương ứng với phần tập Các giải pháp thực 1.1 Hệ thống lại kiến thức lý thuyết Giúp em nắm vững kiến thức khắc sâu phần lý thuyết học 1.2 Phân loại dạng ứng dụng tập - Ứng dụng 1: Khơng giải phương trình tính tổng tích hai nghiệm phương trình bậc hai ẩn(HS luyện qua tiết học thức) - Ứng dụng 2: Dùng hệ thức Vi-ét tìm nghiệm cịn lại phương trình bậc hai ẩn cho biết trước nghiệm - Ứng dụng 3: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn - Ứng dụng 4: Lập phương trình bậc hai - Ứng dụng 5: Tìm hai số biết tổng tích chúng - Ứng dụng 6: Tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm mà khơng giải phương trình - Ứng dụng 7: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình cho hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số - Ứng dụng 8: Tìm giá trị tham số phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm - Ứng dụng 9: Xác định dấu nghiệm phương trình bậc hai - Ứng dụng 10: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức nghiệm 5 - Ứng dụng 11: Một vài ứng dụng khác hệ thức Vi-ét (Các nghiên cứu thêm) Các biện pháp tổ chức thực 2.1 Biện pháp 1: Hệ thống lại kiến thức lý thuyết Để việc dạy học đạt hiệu GV phải vận dụng phương pháp củng cố, kiểm tra đánh giá để kiểm tra mức độ nhớ lý thuyết khả vận dụng học sinh Tôi áp dụng thông qua kiểm tra cũ, làm tập nhà, đưa câu hỏi gợi mở làm tập Ngoài áp dụng tốn khó địi hỏi em phải nhớ số kiến thức học lớp như: Các đẳng thức đáng nhớ, phép biến đổi HỆ THỨC VI-ÉT : Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a≠0)(*)( có x1 + x2 = x1; x2 hai nghiệm ) - Tổng hai nghiệm S : S = x1 x2 = −b a c a - Tích hai nghiệm P : P = 2.2 Biện pháp 2: Phân loại tập ỨNG DỤNG 2: TÌM NGHIỆM CỊN LẠI CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN KHI BIẾT MỘT NGHIỆM CỦA NĨ Dùng hệ thức Vi-ét tìm nghiệm cịn lại phương trình bậc hai ẩn cho biết trước nghiệm(Dạng HS luyện học khóa) Cho phương trình , có hệ số chưa biết, cho trước nghiệm tìm nghiệm cịn lại hệ số phương trình : Ví dụ: a) Phương trình x − px + = Có nghiệm 2, tìm p nghiệm thứ hai b) Phương trình x + x + q = có nghiệm 5, tìm q nghiệm thứ hai c) Cho phương trình : x − x + q = , biết hiệu nghiệm 11 Tìm q hai nghiệm phương trình d) Tìm q hai nghiệm phương trình : x − qx + 50 = , biết phương trình có nghiệm có nghiệm lần nghiệm Bài giải: a) Thay x1 = v phương trình ban đ ầu ta đ ợc : 4−4p +5 = 0⇒ p = x1 x2 = Từ x2 = suy 5 = x1 b) Thay x1 = v phương trình ban đ ầu ta đ ợc 25 + 25 + q = ⇒ q = −50 Từ x2 = x1 x2 = −50 suy −50 −50 = = −10 x1 c) Vì vai trị x1 x2 bình đẳng nên theo đề giả sử theo VI-ÉT ta có x1 + x2 = Suy , ta giải hệ sau:  x1 − x2 = 11  x1 = ⇔   x1 + x2 =  x2 = −2 q = x1 x2 = −18 d) Vì vai trị x1 x2 bình đẳng nên theo đề giả sử VI-ÉT ta có x1 − x2 = 11 x1 x2 = 50 x1 = x2 theo Suy  x2 = −5 x22 = 50 ⇔ x22 = 52 ⇔   x2 = Với Với x2 = −5 x2 = th ì th ì x1 = −10 x1 = 10 ỨNG DỤNG 3: NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH Xét phương trình (*) ta thấy : a) Nếu cho x = ta có (*)  a.12 + b.1 + c =  a + b + c = x2 = x1 = c a Như vây phương trình có nghiệm nghiệm cịn lại − − − − b) Nếu cho x = ta có (*)  a.( 1) + b( 1) + c =  a b + c = Như phương trình có nghiệm −c x2 = a x1 = −1 nghiệm lại Ví dụ: Dùng hệ thức VI-ÉT để nhẩm nghiệm phương trình sau: x2 + 5x + = 1) Ta thấy : (1) Phương trình (1) có dạng a 2) − x + x − 11 = (2) b + c = nên có nghiệm x1 = −1 x2 = −3 x1 = x2 = −11 Phương trình (2) có dạng a + b + c = nên có nghiệm Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm phương trình sau: 35 x − 37 x + = x − 49 x − 50 = x + 500 x − 507 = 2021x + 21x − 2000 = ỨNG DỤNG 4: LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm Ví dụ : Cho x1 = x2 = ; x1 ; x2 lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm Theo hệ thức VI-ÉT ta có trình có dạng:  S = x1 + x2 =   P = x1 x2 = x1 ; x2 nghiệm phương x − Sx + P = ⇔ x − x + = Bài tập áp dụng: x1 = x1 = 3a x1 = 36 x2 = -3 x2 = a x2 = -104 1+ 1− x1 = x2 = Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trình cho trước: Ví dụ: Cho phương trình : x − 3x + = có nghiệm phân biệt x1 ; x2 Không giải phương trình trên, lập phương trình bậc có ẩn y thoả mãn : y1 = x2 + 1 y2 = x1 + x1 x2 Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: S = y1 + y2 = x2 + P = y1 y2 = ( x2 + 1 1 1 x +x + x1 + = ( x1 + x2 ) +  + ÷ = ( x1 + x2 ) + = + = x1 x2 x1 x2 2  x1 x2  1 1 )( x1 + ) = x1 x2 + + + = +1+1+ = x1 x2 x1 x2 2 Vậy phương trình cần lập có dạng: y2 − hay Bài tập áp dụng: y − Sy + P = 9 y + = ⇔ y2 − y + = 2 1/ Cho phương trình 3x + x − = có nghiệm phân biệt x1; x2 Khơng giải phương trình, Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm y2 = x2 + y1 = x1 + x2 x1 y2 + y− =0 6 y2 + y − = (Đáp số: hay ) 2/ Cho phương trình : x − x − = có nghiệm x1; x2 Hãy lập phương trình bậc có ẩn y thoả mãn y1 = x1 y2 = x2 (có nghiệm luỹ thừa bậc nghiệm phương trình cho) (Đáp số : y − 727 y + = ) 2 3/ Cho phương trình bậc hai: x − x − m = có nghiệm x1 ; x2 Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm y1 ; y2 cho : 4 a) y1 = x1 − y2 = x2 − b) y1 = x1 − y2 = x2 − 2 2 a) y − y + − m = b) y − y − (4m − 3) = ỨNG DỤNG 5: TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG Nếu hai số có Tổng S Tích P hai số hai nghiệm phương trình : x − Sx + P = (điều kiện để có hai số S2 − − 4P ≥ ) − Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = tích P = ab = − − Vì a + b = ab = n ên a, b nghiệm phương trình : x + 3x − = x1 = x2 = −4 Giải phương trình ta − Vậy a = b = − a = b = Bài tập áp dụng: Tìm số a b biết Tổng S Tích P S = P=2 − S = P=6 S = P = 20 − S = 2x P = x2 y2 Bài tập nâng cao: Tìm số a b biết a + b = a2 + b2 = 41 − a b = ab = 36 a2 + b2 = 61 v ab = 30 Hướng dẫn: 1) Theo đề biết tổng hai số a b , để áp dụng hệ thức VI- ÉT cần tìm tích a v b 9 a + b = ⇒ ( a + b ) = 81 ⇔ a + 2ab + b = 81 ⇔ ab = 2 Từ = 20 x = x − x + 20 = ⇔   x2 = Suy : a, b nghiệm phương trình có dạng : Vậy: Nếu a = b = a = b = 2) Đã biết tích: ab = 36 cần tìm tổng : a + b − − Cách 1: Đ ặt c = b ta có : a + c = a.c = 36 Suy a,c nghiệm phương trình : − − Do a = c = nên b = 81 − ( a + b )  x1 = −4 x − x − 36 = ⇔   x2 = − a = c = nên b = ( a − b) Cách 2: Từ = ( a + b ) − 4ab ⇒ ( a + b ) = ( a − b ) + 4ab = 169 2  a + b = −13 ⇒ ( a + b ) = 132 ⇒   a + b = 13 *) Với a + b = −13 ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình :  x = −4 x + 13x + 36 = ⇔   x2 = −9 Vậy a = *) Với −4 b = a + b = 13 −9 ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình : x = x − 13x + 36 = ⇔   x2 = Vậy a = b = 3) Đã biết ab = 30, cần tìm a + b: 2 Từ: a + b = 61 *) Nếu a + b = −11 ⇒ ( a + b)  a + b = −11 ⇒ = a + b + 2ab = 61 + 2.30 = 121 = 11  a + b = 11 2 ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình:  x = −5 x + 11x + 30 = ⇔   x2 = −6 Vậy a = −5 b = −6 ; a = −6 b = −5 10 a + b = 11 *) Nếu ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình :  x1 = x − 11x + 30 = ⇔   x2 = Vậy a = b = ; a = b = ỨNG DỤNG 6: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM Đối toán dạng điều quan trọng phải biết biến đổi biểu thức nghiệm cho biểu thức có chứa tổng nghiệm S tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị biểu thức Biến đổi biểu thức để làm xuất : ( Ví dụ x1 + x2 x1 x2 ) x + x = ( x + x1 x2 + x ) − x1 x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 a) 2 2 2 x + x23 = ( x1 + x2 ) ( x12 − x1 x2 + x22 ) = ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 ) − 3x1 x2    b) x14 + x24 = ( x12 )2 + ( x22 )2 = ( x12 + x22 ) − x12 x22 =  ( x1 + x2 ) − x1 x2  − x12 x22 c) d) Ví dụ 2 1 x1 + x2 + = x1 x2 x1 x2 x1 − x2 = ? ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − x1 x2 ⇒ x1 − x2 = ± ( x1 + x2 ) − x1 x2 Ta biết Từ biểu thức biến đổi biến đổi biểu thức sau: x12 − x22 x13 − x23 ( = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) (= (= x +x 6 (= Bài tập áp dụng x −x 6 ( x1 − x2 ) ( x12 + x1 x2 + x22 ) = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) (x x −x =…….) +x 2 )(x −x 2 ) x +x 5 − x1 x2   =…… ) =…… ) ( x ) + ( x ) = ( x + x22 ) ( x14 − x12 x22 + x24 ) 2 x +x 7 = …… ) 1 + x1 − x2 − Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức nghiệm a) Cho phương trình : x − x + 15 = Không giải phương trình, tính 11 x + x (34) 1 + x1 x2 x1 x2 + x x1  34   ÷  15  ( x1 + x2 ) 2 x − 72 x + 64 = 8  ÷  15  (46) b) Cho phương trình : 1 + x1 x2 9  ÷ 8 1 + x x2 1  14   ÷  29  Khơng giải phương trình, tính: (65) 2 x1 + x2 c) Cho phương trình : x − 14 x + 29 = Không giải phương trình, tính: 2 x1 + x2 (138) d) Cho phương trình : x − x + = Khơng giải phương trình, tính: 1 + x x2 1 (3) − x1 − x2 + x x2 (1) 5 x1 x2  ÷ + 6 2 x + x x + x + 1 2 (1) e) Cho phương trình x − x + = có nghiệm x1 ; x2 , khơng giải phương trình, tính Q= Q= HD: x12 + 10 x1 x2 + x22 x1 x23 + x13 x2 x12 + 10 x1 x2 + x22 6( x1 + x2 ) − x1 x2 6.(4 3) − 2.8 17 = = = 3 2 x1 x2 + x1 x2 x1 x2 ( x1 + x2 ) − x1 x2  5.8 (4 3) − 2.8  80   ỨNG DỤNG 7: TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ Để làm toán loại này, ta làm theo bước sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 (thường a ≠ ∆ ≥ 0) - Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S = x1 + x2 v P = x1 x2 theo tham số - Dùng quy tắc cộng để tính tham số theo x1 x2 Từ đưa hệ thức liên hệ nghiệm x1 x2 m − 1) x − 2mx + m − = ( Ví dụ 1: Cho phương trình : có nghiệm Lập hệ thức liên hệ x1 ; x2 cho chúng không phụ thuộc vào m Để phương trình có hai nghiệm x1 x2 : m ≠ m ≠ m − ≠ m ≠  ⇔ ⇔ ⇔  V' ≥ 5m − ≥ m − (m − 1)( m − 4) ≥ m ≥ x1 ; x2 12 Theo hệ thức VI-ÉT ta có : 2m    x1 + x2 = m −  x1 + x2 = + m − (1) ⇔   x x = m −  x x = − (2) 2 m −1 m −1   Rút m từ (1) ta có : 2 = x1 + x2 − ⇔ m − = m −1 x1 + x2 − (3) Rút m từ (2) ta có : 3 = − x1 x2 ⇔ m − = m −1 − x1 x2 (4) Đồng vế (3) (4) ta có: = ⇔ ( − x1 x2 ) = ( x1 + x2 − ) ⇔ ( x1 + x2 ) + x1 x2 − = x1 + x2 − − x1 x2 m − 1) x − mx + m − = Ví dụ 2: Gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình : ( ( ) không phụ thuộc giá trị Chứng minh biểu thức m Để phương trình có nghiệm x1 x2 th ì : A = x + x + 2x x − m ≠ m ≠ m − ≠ m ≠  ⇔ ⇔ ⇔  V' ≥ 5m − ≥ m − (m − 1)(m − 4) ≥ m ≥ Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó : 2m  x + x =  m −1   x x = m −  m − thay vào A ta có: A = ( x1 + x2 ) + x1 x2 − = m ≠1 m≥ 2m m−4 6m + 2m − − 8(m − 1) + −8 = = =0 m −1 m −1 m −1 m −1 Vậy A = với Do biểu thức A khơng phụ thuộc vào m Nhận xét: - Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình cho có nghiệm - Sau dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đồng vế ta biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số Bài tập áp dụng: 13 x − ( m + ) x + ( 2m − 1) = Cho phương trình : có nghiệm x1; x2 Hãy lập hệ thức liên hệ x1; x2 cho x1 ; x2 độc lập m ∆ = ( m + ) − ( 2m − 1) = m − 4m + = ( m − ) + > 2 Hướng dẫn: Dễ thấy phương trình cho ln có nghiệm phân biệt x1 x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có m = x1 + x2 − 2(1)  x1 + x2 = m +  ⇔  x1 x2 +  x1.x2 = 2m − m = (2) Từ (1) (2) ta có: x1 + x2 − = x1 x2 + ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 − = 2 Cho phương trình : x + ( 4m + 1) x + ( m − ) = Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 cho chúng không phụ thuộc vào m ∆ = (4m + 1)2 − 4.2(m − 4) = 16m + 33 > Hướng dẫn: Dễ thấy trình cho ln có nghiệm phân biệt x1 x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có phương  x1 + x2 = −(4 m + 1) 4 m = −( x1 + x2 ) − 1(1) ⇔   x1 x2 = 2( m − 4) 4 m = x1 x2 + 16(2) Từ (1) (2) ta có: −( x1 + x2 ) − = x1 x2 + 16 ⇔ x1 x2 + ( x1 + x2 ) + 17 = ỨNG DỤNG 8: TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN HỆ THỨC CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO Đối với toán dạng này, ta làm sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 (thường a ≠ ∆ ≥ 0) - Từ hệ thức liên hệ nghiệm đề cho, áp dụng hệ thức VIÉT để tìm tham số phương trình - Đối chiếu với điều kiện xác định tham số để xác định giá trị cần tìm Dạng hệ thức liên hệ nghiệm có chứa biểu thức tổng, tích hai nghiệm mx − ( m − 1) x + ( m − 3) = Ví dụ 1: Cho phương trình : Tìm giá trị tham số m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 + x2 = x1.x2 Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó nghiệm x1 x2 l : 14 m ≠ m ≠ ⇔   2 ∆ ' = ( m − 2m + 1) − 9m + 27 ≥ ∆ ' = 3 ( m − 21)  − 9(m − 3)m ≥ m ≠ m ≠ ⇔ ⇔ ∆ ' = ( m − 1) ≥  m ≥ −1 Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó: x1 + x2 = x1 x2 6( m − 1)   x1 + x2 = m   x x = 9(m − 3)  m từ giả thiết: Suy ra: 6(m − 1) 9( m − 3) = ⇔ 6(m − 1) = 9(m − 3) ⇔ 6m − = 9m − 27 ⇔ 3m = 21 ⇔ m = m m (thoả mãn điều kiện xác định ) Vậy với m = phương trình cho có nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 + x2 = x1.x2 2 Ví dụ 2: Cho phương trình : x − ( 2m + 1) x + m + = 3x x − x + x + = Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : ( ) Bài giải: Điều kiện để phương trình có nghiệm x1 & x2 : ∆ ' = (2m + 1) − 4(m + 2) ≥ 2 ⇔ 4m + m + − m − ≥ ⇔ 4m − ≥ ⇔ m ≥ Theo hệ thức VI-ÉT ta có: x1 x2 − ( x1 + x2 ) + =  x1 + x2 = 2m +   x1 x2 = m + từ giả thiết Suy 3(m + 2) − 5(2m + 1) + = ⇔ 3m + − 10m − + =  m = 2(TM ) ⇔ 3m − 10m + = ⇔   m = ( KTM )  Vậy với m = phương trình có nghiệm x1 x2 − ( x1 + x2 ) + = x1 x2 thoả mãn hệ thức : 15 Dạng hệ thức liên hệ nghiệm có chứa biểu thức đối xứng hai nghiệm x + x = ( x1 + x2 ) ( x12 − x1 x2 + x22 ) = ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 ) − 3x1 x2    b) a) x12 + x22 = ( x12 + x1 x2 + x22 ) − x1 x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 x14 + x24 = ( x12 )2 + ( x22 )2 = ( x12 + x22 ) − x12 x22 =  ( x1 + x2 ) − x1 x2  − x12 x22 c) d) 1 x1 + x2 + = x1 x2 x1 x2 Đối với toán dạng này, ta làm sau: Biến đổi biểu thức đối xứng hệ thức cho làm xuất ( x1 + x2 ) x1 x2 sau sử dụng hệ thức Vi-ét để tìm giá trị tham số Dạng hệ thức liên hệ nghiệm phương trình bậc hai x1 x2 ẩn , Đối với toán dạng này, ta làm sau: Kết hợp hệ thức cho với hệ thức tổng hai nghiệm hệ thức Vi-ét để hệ hai phương trình bậc x1 , x2 hai ẩn Giải hệ phương trình để tìm nghiệm hệ phương trình theo tham số thay vào hệ thức tích hai nghiệm để tìm tham số Bài tập áp dụng Cho phương trình : mx + ( m − ) x + m + = x1 x2 x1 − x2 = Tìm m để nghiệm thoả mãn hệ thức : m ≠ 0&m ≤ Giải: - Để phương trình có nghiệm thì: - Theo VI-ÉT: 16 15 −( m − 4)  x + x =  m (1)  m + x x =  m - Kết hợp hệ thức x1 − x2 = với hệ thức x1 + x2 = − (m − 4) m 16 − 2(m − 4) 3m − (m − 4) x2 = 3m x1 = Suy ra: { (2) - Thế (2) vào hệ thức tích ta đưa phương trình sau: m + 127 m − 128 = ⇒ m1 = 1; m2 = −128 (TM) x + ( m − 1) x + 5m − = Cho phương trình : Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức: x1 + 3x2 = Cho phương trình : 3x − ( 3m − ) x − ( 3m + 1) = Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : 3x1 − x2 = Ngoài ta giải dạng theo cách sau + Trong tập biểu thức nghiệm lại khơng cho sẵn tổng tích hai nghiệm, vấn đề đặt làm để từ biểu thức cho x1 + x2 biến đổi biểu thức có chứa tổng nghiệm tích nghiệm vận dụng tương tự cách làm trình bày Ví dụ ví dụ m ≠ 0&m ≤ BT1: - ĐKX Đ: -Theo VI-ÉT: 16 15 −(m − 4)   x1 + x2 = m (1)  x x = m +  m  x1 + x2 = x2 ⇒ 2( x1 + x2 ) = x1 x2  2( x1 + x2 ) = x1 - Từ x1 − x2 = Suy ra: - Thế (1) vào (2) ta đưa phương trình sau: (2) m + 127m − 128 = ⇒ m1 = 1; m2 = −128 BT2: - ĐKXĐ: - Theo VI-ÉT: x1 x2 ∆ = m − 22m + 25 ≥ ⇔ 11 − 96 ≤ m ≤ 11 + 96  x1 + x2 = − m (1)   x1 x2 = 5m − từ 17 - Từ : x1 + 3x2 = Suy ra:  x1 = − 3( x1 + x2 ) ⇒ x1 x2 = [ − 3( x1 + x2 ) ] [ 4( x1 + x2 ) − 1]   x2 = 4( x1 + x2 ) − ⇔ x1 x2 = 7( x1 + x2 ) − 12( x1 + x2 ) − - Thế (1) vào (2) ta có phương trình : ĐKXĐ) (2) m = 12m( m − 1) = ⇔  m = (thoả mãn ∆ = (3m − 2) + 4.3(3m + 1) = 9m + 24m + 16 = (3m + 4) ≥ BT3: - Vì thực m nên phương trình ln có nghiệm phân biệt với số 3m −   x1 + x2 = (1)   x x = −(3m + 1)  - Theo VI-ÉT: - Từ giả thiết: 3x1 − x2 = Suy ra: 8 x1 = 5( x1 + x2 ) + ⇒ 64 x1 x2 = [ 5( x1 + x2 ) + ] [ 3( x1 + x2 ) − ]  8 x2 = 3( x1 + x2 ) − ⇔ 64 x1 x2 = 15( x1 + x2 ) − 12( x1 + x2 ) − 36 - Thế (1) vào (2) ta phương trình: (2) m = m(45m + 96) = ⇔   m = − 32 15  (thoả mãn ) Dạng hệ thức liên hệ nghiệm có chứa dạng phương trình bậc hai ban đầu Đối với toán dạng này, ta làm sau: Sử dụng điều kiện x1 , x2 nghiệm phương trình thay vào hệ thức để tìm tham số phương trình Ví dụ: Cho hương trình: x2 – 2(m-1)x + 2m – = (1)(với m tham số) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt m Tìm m để nghiệm thỏa mãn hệ thứ x1 ; x2 ( x12 − 2mx1 − x2 + 2m − 3)( x22 − 2mx2 − x1 + 2m − 3) = 19 Giải: ∆ ' = (m − 1) − (2m − 5) = m − 4m + = ( m − 2) + > 0, ∀m với giá trị 18 Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 với giá trị m Khi đó; theo định lí Vi-ét ta có: Vì x1 ; x2  x1 + x2 = 2(m − 1)   x1 x2 = 2m − hai nghiệm phương trình (1) nên x12 − 2(m − 1) x1 + 2m − = x − 2(m − 1) x2 + 2m − = 2 x12 − 2mx1 − x2 + 2m − = x12 − 2(m − 1) x1 + 2m − − x1 − x2 + = −2 x1 − x2 + Ta có: = −2( x1 + x2 ) + x2 + = −2.2(m − 1) + x2 + = − 4m + x2 x22 − 2mx2 − x1 + 2m − = x22 − 2(m − 1) x2 + 2m − − x2 − x1 + = −2 x2 − x1 + = −2( x1 + x2 ) + x1 + = −2.2( m − 1) + x1 + = − 4m + x1 Mà theo ta có: ( x12 − 2mx1 − x2 + 2m − 3)( x22 − 2mx2 − x1 + 2m − 3) = 19 (6 − 4m + x2 )(6 − m + x1 ) = 19 nên: ⇔ (6 − 4m)( x1 + x2 ) + (6 − 4m) + x1 x2 = 19 ⇔ 2(m − 1)(6 − 4m) + (6 − 4m) + 2m − = 19 ⇔ 8m − 26m = ⇔ m = 0; m = 13 ỨNG DỤNG 9: XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Cho phương trình: ax + bx + c = (a ≠ 0) Hãy tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: trái dấu, dấu, dương, âm … Ta lập bảng xét dấu sau: Dấu nghiệm x1 x2 trái dấu ± m S = x1 + x2 P = x1 x2 ∆ Điều kiện chung P0 ∆≥0 dương, + + S>0 P>0 ∆≥0 − − âm S0 ∆≥0 Ví dụ: Xác định tham số m cho phương trình: x − ( 3m + 1) x + m − m − = có nghiệm trái dấu Để phương trình có nghiệm trái dấu ∆≥0 ;P>0 ∆≥0 ;P>0;S>0 ∆ ≥ ; P > ; S < 19 ∆ = (3m + 1) − 4.2.( m2 − m − 6) ≥ ∆ ≥  ∆ = (m − 7) ≥ 0∀m   ⇔ ⇔ ⇔ −2 < m <  m −m−6