SKKN ứng dụng hệ thức vi ét để giải quyết một số dạng toán về PT bậc hai một ẩn cho HS lớp 9

Ta cũng thấy để giải được các bài toán có liên qua đến hệ thức Vi-ét, họcsinh cần tích hợp nhiều kiến thức về đại số, thông qua đó học sinh có cáchnhìn tổng quát hơn về hai nghiệm của ph

Mục lục

PHẦN 1: ĐẶT VẤN ĐỀ 2

1 Lý do chọn đề tài nghiên cứu 2

2 Mục đích nghiên cứu: 3

3 Nội dung nghiên cứu 3

4 Đối tượng nghiên cứu, khách thể nghiên cứu 3

5 Thành phần tham gia nghiên cứu 4

6 Phương pháp nghiên cứu: 4

7 Kế hoạch nghiên cứu 5

PHẦN 2: NHỮNG BIỆN PHÁP ĐỔI MỚI HOẶC CẢI TIẾN 6

1 Cơ sở lí luận 6

2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu (cơ sở thực tiễn) 6

3 Mô tả, phân tích các giải pháp hoặc cải tiến mới 7

A CƠ SỞ LÝ THUYẾT 7

B CÁC DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 9 8

C KẾT QUẢ: 21

PHẦN 3: KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 23

1 Kết luận: 23

2 Khuyến nghị: 23

PHẦN 1: ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lý do chọn đề tài nghiên cứu

Dạy như thế nào để học sinh không những nắm chắc kiến thức cơ bảnmột cách có hệ thống mà phải được nâng cao để các em có hứng thú, say mêhọc tập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình Toánhọc nói chung, toán THCS nói riêng có rất nhiều loại, nhiều dạng bài tập nênhọc sinh gặp rất nhiều khó khăn khi đứng trước một bài toán mới

Đối với lứa tuổi học sinh THCS nói chung và đối tượng nghiên cứu làhọc sinh lớp 9 nói riêng, mặc dù tuổi các em không phải còn nhỏ nhưng khảnăng phân tích, suy luận, tự mình tìm ra lời giải cho một bài toán còn rấtnhiều hạn chế nhất là đối với đối tượng học sinh học yếu và lười học Mặtkhác trong các đề thi vào lớp 10 trung học phổ thông, các bài toán vềphương trình bậc hai có sử dụng tới hệ thức Vi-ét xuất hiện khá phổ biến.Trong khi đó nội dung và thời lượng về phần này trong sách giáo khoa lại rất

ít, lượng bài tập chưa đa dạng

Ta cũng thấy để giải được các bài toán có liên qua đến hệ thức Vi-ét, họcsinh cần tích hợp nhiều kiến thức về đại số, thông qua đó học sinh có cáchnhìn tổng quát hơn về hai nghiệm của phương trình bậc hai với các hệ số.Chính vì vậy nên trong những dạng toán của môn đại số lớp 9 thì “vận dụng

hệ thức Vi-ét và ứng dụng để giải các bài tập có liên quan” đối với các em làdạng toán khó Đối với dạng toán này nhiều em nắm được lý thuyết rất chắcchắn nhưng khi áp dụng giải thì còn mắc phải nhiều sai sót

Thông qua quá trình giảng dạy, đồng thời qua quá trình kiểm tra đánh giá

sự tiếp thu và sự vận dụng kiến thức của học sinh Tôi nhận thấy học sinhvận dụng hệ thức Vi-ét vào giải các bài toán phương trình bậc hai còn nhiềuhạn chế và thiếu sót Đặc biệt là các em rất lúng túng khi vận dụng các kiếnthức đã học để biện luận phương trình bậc hai đã cho có hai nghiệm x1, x2thoả mãn một điều kiện nào đó… Đây là một phần kiến thức rất khó đối vớicác em học sinh lớp 9 Bởi lẽ từ trước đến nay các em chỉ quen giải nhữngdạng toán về tính giá trị của biểu thức hoặc giải những phương trình cho sẵn,

ít gặp phải những bài toán biện luận theo tham số Mặt khác do khả năng tưduy của các em còn hạn chế, các em gặp khó khăn trong việc phân tích đềtoán, suy luận, tìm mối liên hệ giữa các yếu tố trong bài toán nên không địnhhướng được cách giải

Do vậy việc hướng dẫn giúp các em có kỹ năng để giải toán, ngoài việcnắm lý thuyết, thì các em phải biết vận dụng thực hành, từ đó phát triển khả

năng tư duy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh khi học nhằm nâng caochất lượng học tập

Vì thế tôi đã suy nghĩ làm thế nào để nâng cao chất lượng học tập chocác em học sinh, giúp các em biết vận dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài toán

về phương trình bậc hai một ẩn, góp phần giúp các em tự tin hơn trong các

kỳ thi Đó là lý do tôi chọn sáng kiến kinh nghiệm “Ứng dụng hệ thức Vi-ét

để giải quyết một số dạng toán về phương trình bậc hai một ẩn cho HS lớp9”

2 Mục đích nghiên cứu:

Để nhằm mục đích bổ sung nâng cao kiến thức giải các bài toán bậc hai

có ứng dụng hệ thức Vi-ét cho các em học sinh THCS Từ đó các em có thểlàm tốt các bài toán về phương trình bậc hai một ẩn trong các kỳ thi Giúpcác em hiểu được tầm quan trọng của hệ thức Vi-ét trong việc giải các bàitoán phương trình bậc hai

Giúp các em có được sự hiểu biết và phương pháp biện luận nghiệm biểuthức chứa nghiệm của một phương trình bậc hai theo hệ số Kích thích, giúpcác em biết cách tìm kiến thức nhiều hơn nữa, không chỉ bài toán bậc hai mà

cả các dạng toán khác Rèn luyện cho học sinh tính tư duy logic, sự sáng tạotrong toán; sự say mê và yêu thích học môn toán hơn

Việc nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm giúp tôi có một tài liệu mangtính hệ thống về định lí Vi-et phục vụ cho công tác giảng dạy của mình Quanghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm giúp tôi tự tin hơn trong công tác giảngdạy

3 Nội dung nghiên cứu

Quá trình nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm để bản thân trau dồi kiếnthức chuyên môn và nghiệp vụ Giúp học sinh cải tiến phương pháp học tập.Biết quan tâm tới bản chất toán học trong mỗi phát biểu Đưa tới cho họcsinh một số dạng bài tập có tính ứng dụng cao trong các kì thi, giúp các em

có kết quả tốt hơn

Để nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đã đề ra các nhiệm vụ sau:

- Nghiên cứu các bài toán về phương trình bậc hai một ẩn có liên quan đến

hệ thức Vi-ét, tìm phương pháp truyền đạt, hướng dẫn học sinh tiếp thukiến thức để các em biết cách tìm kiếm nâng cao kiến thức, kĩ năng chomình

- Giúp học sinh nắm vững hơn về các ứng dụng của định lí Vi-ét, làm tốt

hơn các dạng bài tập mà trước còn lúng túng, bế tắc

4 Đối tượng nghiên cứu, khách thể nghiên cứu

- Sáng kiến kinh nghiệm nghiên cứu trong phạm vi học sinh lớp 9 ở trường

THCS đang công tác, năm học 2016 - 2017

- Sáng kiến kinh nghiệm nghiên cứu một số dạng bài ứng dụng hệ thức

Viét theo đúng nội dung ôn thi vào lớp 10 THPT bao gồm cả kiến thức cơbản và nâng cao đáp ứng nhu cầu học tập của học sinh muốn đạt điểmcao khi thi vào các trường THPT công lập và THPT chuyên trên toànquốc

5 Thành phần tham gia nghiên cứu

- Nghiên cứu 50 học sinh đang học lớp 9 ở trường THCS đang giảng dạy.

- Nghiên cứu các ứng dụng của hệ thức Vi-ét, trong môn đại số lớp 9, tìm

hiểu các bài toán về phương trình bậc hai một ẩn có ứng dụng hệ thức Vi-ét

6 Phương pháp nghiên cứu:

Căn cứ vào mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu, tôi sử dụng các phương phápnghiên cứu sau:

a) Phương pháp nghiên cứu, tham khảo tài liệu.

Tôi đọc và chọn ra các bài toán bậc 2 có ứng dụng hệ thức Vi-ét, sắp xếpthành 12 nhóm ứng dụng sau:

nghiệm x = x1 cho trước, tìm nghiệm thứ hai

hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số

nghiệm

tương đương

với Parabol y = mx2 với m ≠ 0

b) Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.

c) Phương pháp tìm hiểu tình hình học tập của học sinh.

Kiểm tra 50 học sinh lớp 9 về việc ứng dụng hệ thức Vi-ét trong giải toánvới nội dung như sau:

Câu 1: Em hãy nêu định lý Vi-ét Áp dụng nhẩm nghiệm của các phương trìnhsau:

a/ 2014x2 + 14x – 2028 = 0

b/ x2 + 7x + 12 = 0

Câu 2: Cho phương trình

với m là tham số

a) CMR: phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b) Xác định giá trị của m dể phương trình có tích hai nghiệm bằng 5,

từ đó hãy tính tổng hai nghiệm của phương trình

c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.d) Tìm m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức:

7 Kế hoạch nghiên cứu

Trong năm học 2016 - 2017

PHẦN 2: NHỮNG BIỆN PHÁP ĐỔI MỚI HOẶC CẢI TIẾN

1 Cơ sở lí luận.

Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán lớp 9, căn cứ vào thực tếdạy và học, hệ thống bài tập về ứng dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán củachương trình đại số lớp 9 tôi thấy hệ thống bài tập trong SGK, sách bài tập

do Bộ giáo dục - đào tạo ấn hành ở dạng cơ bản đơn giản, trên thực tế bài tập

về ứng dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán rất đa dạng, phong phú và là một thểloại toán phổ biến của đại số THCS

Trong chương trình sách giáo khoa mới toán lớp 9 THCS, học sinh đượclàm quen với phương trình bậc hai: Công thức tính nghiệm của phương trìnhbậc hai, đặc biệt là định lý Vi-ét và ứng dụng của nó trong việc giải toán:

- Trong tiết lý thuyết: học sinh được học định lý Vi-ét và ứng dụng hệ thứcVi-ét để nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, lập phương trìnhbậc hai và tìm hai số biết tổng và tích của chúng

- Trong tiết luyện tập: học sinh được làm các bài tập củng cố tiết lý thuyếtvừa học

Qua việc giảng dạy Toán 9 tại trường THCS tôi nhận thấy các em vậndụng hệ thức Vi-ét vào giải toán chưa thật linh hoạt, chưa biết khai thác và

sử dụng hệ thức Vi-ét vào giải nhiều loại bài toán, trong khi đó hệ thức Vi-ét

có ứng dụng rất rộng rãi trong việc giải toán

Đứng trước vấn đề đó, người giáo viên cần phải bồi dưỡng và hướng dẫnhọc sinh tự học thêm kiến thức phần này, vì vậy tôi đi sâu vào nghiên cứusáng kiến kinh nghiệm:

“Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải quyết một số dạng toán về phương trìnhbậc hai một ẩn cho HS lớp 9” với mong muốn của tôi giúp cho học sinh nắmvững và thành thạo định lý Vi-ét, đồng thời làm tăng khả năng, năng lực họctoán và kích thích năng lực hứng thú học tập môn toán của học sinh Khi tôidạy phần kiến thức này, nhất là đối với học sinh khá, học sinh giỏi đòi hỏigiáo viên phải biên soạn, sưu tầm lựa chọn, nội dung kiến thức cho mỗi dạngtoán để bài dạy phong phú và đạt hiệu quả cao nhất

2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu (cơ sở thực tiễn)

a) Thuận lợi:

Giáo viên truyền đạt nhiệt tình đủ kiến thức trong chương trình Họcsinh nắm được kiến thức cơ bản và đã hoàn thành THCS Giáo viên dạybồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 hằng năm đã có học sinh đạt giải mônToán Nhà trường có tổ chức dạy phụ đạo cho học sinh yếu, kém

Tôi đã được trực tiếp đứng lớp giảng dạy môn Toán khối 9, bồidưỡng học sinh giỏi lớp 9 và ôn tập, nâng cao kiến thức cho học sinh thivào lớp 10 nên tôi mong muốn có thế giúp học sinh giải quyết tốt việcgiải các bài toán về phương trình bậc hai một ẩn điển hình nhờ ứng dụng

hệ thức Vi-ét

Tôi được các đồng nghiệp góp ý kiến trong giảng dạy

Đa số học sinh khá, giỏi đều mong muốn được nâng cao kiến thức

b) Khó khăn:

Thời lượng phân bố tiết cho phần này không nhiều, cụ thể ở chươngtrình lớp 9 chỉ có 2 tiết (1 tiết lý thuyết, 1 tiết luyện tập) Do vậy chưakhai thác hết các ứng dụng của hệ thức Vi-ét, các em ít được chú trọngnâng cao kiến thức

Số học sinh tự học tập thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,… để nângcao kiến thức chưa nhiều nên số lượng học sinh giỏi Toán còn rất hạnchế

Từ những thuận lợi và khó khăn trên, với sáng kiến kinh nghiệm nàytôi mong giáo viên sẽ giúp các em có thêm kiến thức để tự tin hơn tronghọc tập

3 Mô tả, phân tích các giải pháp hoặc cải tiến mới

Nếu   0 thì phương trình (1) vô nghiệm.

Nếu   0 thì phương trình (1) có nghiệm kép 1 2

3 Định lý Vi-et – Dấu các nghiệm.

Định lý: Nếu phương trình bậc hai ẩn x R� : ax 2   bx c 0 1  a� 0 có hai

Ngược lại nếu có hai số x x1 , 2 thỏa mãn S = x 1 + x 2 và P = x 1 x 2 thì hai số đó

là hai nghiệm của phương trình: x 2 – Sx + P = 0 (đk: S 2 - 4P ≥ 0)

Dấu các nghiệm:

Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu � P 0

Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu

0 0

P S

P S

Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của hai số đó nhỏ nhất khihai số bằng nhau

Giả sử x x1 , 2  0và x x1 2 Pkhông đổi, còn x1  x2 Sthay đổi

Do điều kiện S2 – 4P � � 0 ( S - 2 P)(S + 2 P) � � 0 S - 2 P � 0

� S �2 P

Vậy S đạt GTNN là 2 P khi và chỉ khi x1 x2  P

B CÁC DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 9

1 Dạng 1 Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn:

 Phương pháp

Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0)

 Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 = 1, x2 =

 Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 = -1, x2 = -

 Nếu x1 + x2 = m + n, x1x2 = mn và thì phương trình có nghiệm x1 = m, x2 = n hoặc x1 = n, x2 = m

c a





b) có a – b + c = 3 3 1 6 3 3 3 1    = 0

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = -1, x2= -

2 Dạng 2 Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có một nghiệm x = x 1 cho trước, tìm nghiệm thứ hai

- Lập điều kiện để phương trình bậc 2 đã cho có hai nghiệm: (hoặc ) (*)

- Thay x = x1 vào phương trình đã cho, tìm được giá trị của tham số

- Đối chiếu giá trị vừa tìm được của tham số với điều kiện (*) để kết luận

* Để tìm nghiệm thứ hai ta có thể chọn một trong các cách làm sau:

 Thay giá trị của tham số tìm được vào phương trình rồi giải phương trình

 Thay giá trị của tham số tìm được vào công thức tổng hai nghiệm sẽ tìm được nghiệm thứ hai

 Thay giá trị của tham số tìm được vào công thức tích hai nghiệm, từ đó tìm được nghiệm thứ hai

Cho phương trình: mx2 – 2(m-2)x + m – 3 = 0 (1) với m là tham số

Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3 Tìm nghiệm thứ hai

Nên a, b là hai nghiệm của phương trình: x2 + 3x – 4 = 0

giải phương trình trên ta được x1= 1 và x2= - 4

Vậy: nếu a = 1 thì b = - 4

nếu a = - 4 thì b = 1

3.3 Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước.

 Ví dụ:

Cho phương trình 2x2 – 7x + 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2.Không giải phương trình để tìm x1; x2 Hãy lập phương trình bậc hai cóhai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau:

1 Điều kiện để phương trình có hai nghiệm:

2 Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện: x1 +x2 và x1 x2

Một số biểu thức thường gặp và cách biến đổi để đưa về dạng biểu thức chứa tổng và tích các nghiệm:

Với

25 12

3 3

(thỏa mãn đk (*))

5 Dạng 5: Liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình

5.1 Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số:

- Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm:

- Tính tổng S, tích P của hai nghiệm x và x.

- Tìm điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm

- Biến đổi biểu thức đã cho xuất hiện x1+x2, x1.x2

- Thay giá trị (tính theo m).

- Rút gọn biểu thức có giá trị là một hằng số.

Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình: (m - 1)x2 – 2mx + m - 4 = 0.Chứng minh rằng biểu thức A = 3(x1 + x2 ) + 2 x1 x2 - 8 không phụ thuộcgiá trị của m

1

m

m m

m�

Do đó biểu thức A không phụ thuộc giá trị của m

6 Dạng 6 Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm:

- Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm

- Tính tổng S và tích P của hai nghiệm x và x.

- Kết hợp đẳng thức của giả thiết lập hệ phương trình gồm 3 phương trình

- Giải tìm tham số.

- Đối chiếu điều kiện, thử lại, kết luận.

Ví dụ 1:

Cho phương trình: mx2 – 6(m - 1) x + 9(m – 3) = 0 Tìm giá trị của tham

số m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức:

hệ thức: x1  x2 x x1 2

Ví dụ 2:

Cho phương trình: x2 – (2m + 1) x + m2 + 2 = 0 Tìm giá trị của tham

số m để hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: 3x x1 2  5x1 x2  7 0

m

m m

7 Dạng 7 Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:

Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) Hãy tìm điều kiện để phương

trình có hai nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm,…

Xác định m sao cho phương trình: x2 – (3m + 1) x + m2 – m – 6 = 0

có hai nghiệm trái dấu

Giải:

Để phương trình trên có hai nghiệm trái dấu thì:

Vậy với    2 m 3 thì phương trình trên có hai nghiệm trái dấu.

8 Dạng 8 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm:

Ví dụ 1:

Cho phương trình: x2 + (2m - 1) x + m = 0 Gọi x1 và x2 là các nghiệmcủa phương trình Tìm m để: A = x12x22 6x x1 2 có giá trị nhỏ nhất.Giải:

Cho phương trình: x2 – 2( m + 1) x + m – 4 = 0 (1) (m là tham số)

a) Giải phương trình (1) với m = -5

b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1, x2 phân biệt với mọi m

c) Tìm m để đạt giá trị nhỏ nhất (x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) nói trong phần b.)

Giải

a) Với m = - 5 phương trình (1) trở thành x2 + 8x – 9 = 0 và có hai nghiệm là x1 = 1, x2 = - 9

b) Có = (m + 1)2 – (m – 4) = m2 + 2m + 1 – m + 4 = m2 + m + 5 = m2 + 2.m + + = (m + )2 + > 0 với mọi m

Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2

c) Vì phương trình có nghiệm với mọi m, theo hệ thức Viét ta có:x1 + x2 = 2( m + 1) và x1x2 = m – 4

Ta có (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 4( m + 1)2 – 4 (m – 4)

= 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m + )2 + ]

=> = 2 = khi m + = 0 m = -

Vậy đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi m = -

9 Dạng 9 Nghiệm chung của hai hay nhiều phương trình, hai phương trình tương đương.

9.1 Chứng minh ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm