Tài liệu nghiên cứu với mục đích bổ sung nâng cao kiến thức giải các bài toán bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét cho các em học sinh THCS đặc biệt là học sinh lớp 9.
UBng QUẬN HOÀNG MAI TRƯƠNG THCS THỊNH LIỆT TIN BÀI: Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải dạng tập Phần I: ĐẶT VẤN ĐỀ I Lý chọn để tài: Cơ sở lí luận: Trong giai đọạn nay, mà khoa học, kinh tế, công nghệ thông tin trện giới phát triến mạnh mẽ, nước ta Vẫn trọng tìm kiếm nhân tài hệ trẻ, em học sinh phải nỗ lực nhiều trong việc tìm kiếm kiến thửc, học thật giỏi để bổ sung nhân tài cho đất nước Mơn Tọán THCS có vai trị quan trọng, mặt phát triến hệ thống hóa kiến thức, kỹ Và thái độ mà học sinh lĩnh hội hình thành bậc tiếu học, mặt khác góp phần chuẩn bị kiến thức, kỹ thái độ cần thiết để tiếp tục lện THPT, TH chuyên nghiệp, học nghề vào lĩnh Vực lao động sản xuất đòi hỏi hiếu biết định Tốn học Chương trình Tọán THCS khẳng định trình dạy học trình giáo Viện tổ chửc cho học sinh họạt động để chiếm lĩnh kiến thức kỹ Mặt khác muốn nâng cao chất lượng cho học sinh, giáo viện cần phải hình thành cho học sinh kiến thửc bản, tìm tịi đủ cách giải tốn để phát huy tính tích cực học sinh, mở rộng tầm suy nghĩ Cơ sở thực tế: Trong vài năm trở lại đây, trường PTTH, PTTH chuyên… sửc thi tuyến, chọn lọc học sinh đề thi vào lớp 10 THPT, PTTH chuyện đề thi tuyến học sinh giỏi lớp cấp xuất tốn bậc hai có ứng dụng hệ thửc Vi-ét phổ biến Trong nội dung thời lượng phần sách giáo khoa lại ít, lượng tập chưa đa dang Thế đa số học sinh gặp toán bậc hai, em lại lúng túng không giải chương trình học có tiết, nhà em cách đọc thêm sách tham khảo nên không ứng dụng hệ thửc Vi ét để giải Vì tơi suy nghĩ làm để nâng cao chất lượng học tập cho em học sinh, giúp em biết Vận dụng hệ thức Vi-e’t để giải tọán bậc hai Góp phần giúp em tự tin trọng kỳ thi tuyển Đó lý tơi chọn để tài: “Ứng dụng hệ thức Vi-ét đễ giãi dạng tập” II Mục đích nghiên cứu: Để nhằm mục đích bổ sung nâng cao kiến thức giải tọán bậc hai có ửng dụng hệ thức Vi-ét cho em học sinh THCS đặc biệt học sinh lớp Từ em tự tin làm tốt tọán bậc hai trọng kỳ thi học sinh Giỏi, tuyền sinh vào trường PTTH, PTTH chuyền Kích thích, giúp em biết cách tìm kiến thửc nhiều hớn nữa, không tọán bậc hai mà dạng tọán khác III Đối tượng nghiên cứu, khảo sát thực nghiệm: Nghiền cửu học sinh học lớp trường THCS Nghiên cửu ửng dụng hệ thửc Vi-ét, trọng môn đại số lớp 9, tìm hiều tọán bậc hai có ửng dụng hệ thửc Vi-ét IV Phương pháp nghiên cứu: Căn vào mục đích nhiệm vụ nghiên cửu, tơi sử dụng phương pháp nghiên cửu sau: - Phươngpháp nghỉên cứu tài lỉệu: Tôi nghiên cửu lựa chọn 11 dạng tốn bậc có ửng dụng hệ thửc Vi-ét - Phương pháp vấn, đỉều tra: Tôi hỏi điều tra học sinh sau tiết dạy thực nghiệm với câu hỏi sau: @: Em thích tọán bậc hai có ửng dụng hệ thửc Vi-ét không? @: Em phân chia dạng tập theo nhóm ửng dụngcủa hệ thửc Vi ét ? ủ: Tìm m để Parbol (P):y = x2 đường thẳng (d): y = x —m + cắt điềm có tung độ yi y; thỏa mãn: yi2 + yz2 = %: Khơng giải phương trình, nhấm nghiệm phương trình sau: a/x²+ Jỉx—Jỉ -1=0 b/ x² + 5x + = @: Cho phướng trình: x2 — 3x + m = 0, với m tham số, có hai nghiệm xi , x; (x1 > x2) Tính giá trị biếu thức A = (xl- x2)² theo m - Phươngpháp thực nghỉệm sưphạm: Sau xếp thành 11 nhóm ứng dụng hệ thức Vi-ét, tơi thực lện lớp hướng dẫn học sinh ứng dụng PHẨN 11: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Cơ sở lý luận: Mục tiêu giáo dục THCS “Nhằm giúp học sinh củng cố phát triển kết giáo dục tiểu học, có trình độ học vấn THCS hiều biết ban đầu kỹ thuật hướng nghiệp, học nghề họặc vào sống lao động” Để khắc phục mục tiêu trện, nội dung chương trình THCS thiết kế theo hướng giảm chương tính lý thuyết hàm luân, tăng tính thực tiễn, thực hành bảo đảm vừa sửc, khả thi, giảm số tiết học trện lớp, tăng thời gian tự học hoạt động ngoại khóa Trong chương trình lớp 9, học sinh học tiết hệ thửc Vi ét ửng dung; tiết lý thuyết : học sinh học đinh lý Vi-ét ửng dung hệ thửc Vi-ét đề nhấm nghiệm phương trình bậc hai ấn, lập phướng trình bậc hai tìm hai số biết tổng tích chúngl tiết luyện tập: học sinh làm tập củng cố tiết lý thuyết vừa học Theo chương trình trện, học sinh học Đinh lý Vi-ét khơng có nhiều tiết học sâu khai thác ửng dung hệ thửc Vi-ét nện em nắm vận dung hệ thức Vi-ét chưa linh hoạt Là giáo viện cần phải bồi dưỡng hướng dẫn học sinh tự học thệm kiến thửc phần đề tìm phướng pháp giải phù hợp với ửng dung tập II Tình hình thực tế: Thực trạng : Nhiều năm cộng tác Trường THCS đặc biệt trường nằm địa bàn kinh tế cịn nhiều khó khăn, điều kiện học tập chưa đầy đủ, nhiều em khơng có thời gian học nhà, nhiều gia đình chưa quan tâm đến việc học em, vấn đề Xã hội hoá giáo duc chưa ngang tầm với giai đoạn Nên chất lượng học tập chưa cao, số học sinh bị hổng kiến thửc cịn nhiều, nhiều em cịn có tâm lý sợ mơn toán học Phụ huynh học sinh chưa thật quan tâm mửc đến việc học tập em theo dõi, kiểm tra, đơn đốc nhắc nhở học tập nhà Các toán hệ thửc Vi ét ửng dụng quan trọng nệu phần trước, song qua thực tế giảng dạy nhiều năm tội thấy với học sinh đại trả em cịn lười làm tập, nhìn thấy để dài khác chút ngại đọc đề, ngại phân tích đề, đặc biệt với dạng tốn có lời văn Cũng qua việc theo dõi kết kiếm tra, thi HS đa số HS chưa nắm phương pháp giải, chưa vận dụng biến đỗi cách linh hoạt sáng tạo vào cụ thể dẫn đến việc áp dụng vào dạng tốn khác cịn gặp nhiều khó khăn, lúng túng Kết thực trạng Từ thực trạng trện chất lượng học qua kiểm tra 15 phút học kỳ II năm học 2017— 2018 sau: Sĩ STT Lớp , A Kết Giỏi , Khá TB “’ SL% SL% SL% 9C 36 5,6 22,2 10 27,8 III GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN Yêu SL% 15 41,7 SL% 2,7 Qua thực tế chưa nghiên cứu theo đề tài học sinh gặp nhiều sai sót q trình giải tốn, hay sai cách trình bày lời giải, học sinh lúng túng chưa biết cách biến đổi Vì để rèn kỹ cho em nắm kiến thửc trình dạy tội phân ửng dung tương ửng với phần tập Các giải pháp thực 1.1 Hệ thống lại kiến thức lý thuyết Giúp em nắm vững kiến thửc khắc sâu phần lý thuyết học 1.2 Phân loại dạng ứng dụng tập - Ứng dung 1: Tính tổng tích hai nghiệm phượng trình bậc hai - Ứng dung 2: Dùng hệ thửc Vi-ét tìm nghiệm cịn lại phương trình bậc hai ấn cho biết trước nghiệm - Ứng dung 3: Nhấm nghiệm phượng trình bậc hai ấn - Ứng dung 4: Lập phượng trình bậc hai - Ứng dụng 5: Tìm hai số biết tổng tích chúng - Ứng dụng 6: Tính giá trị biều thửc đối Xửng nghiệm mà khơng giải phương trình - Ứng dụng 7: Tìm hệ thửc liện hệ hai nghiệm phương trình cho hai nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số - Ứng dụng 8: Tìm giá trị tham số phướng trình thỏa mãn biểu thửc chửa nghiệm - Ứng dung 9: Xác đinh dấu nghiệm phương trình bậc hai - Ứng dụng 10: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thửc nghiệm - Ứng dung 11: Một vài ửng dung khác hệ thức Vi-ét Các biện pháp tổ chức thực 2.1 Biện pháp 1: Hệ thổng lại kiến thức lý thuyết Để việc dạy học đạt hiệu GV phải vận dụng phượng pháp củng cố, kiếm tra đánh giá để kiếm tra mửc độ nhớ lý thuyết khả vận dụng học sinh Tôi áp dụng thông qua kiềm tra cũ, làm tập nhà, đưa câu hỏi gợi mở làm tập Ngoài áp dụng tốn khó hợn địi hỏi em phải nhớ số kiến thức học lớp như: Các hẳng đẳng thức đáng nhớ, phép biến đổi Định lí Vì-ét: Nếu xl, X2 hai nghỉệm cúa phương trình ax2 + bx + c = ( x1 + x2 =- ầ a a #0) XIXZ _— a Áp dụng: * Nhờ đinh lí Vi-ét, biết trước nghiệm phướng trình bậc hai suy nghiệm * Nếu phướng trình ax² + bx + c = (a 7²0) có a + b + c = phương trình có c , … ` ` … mọt nghiem la X1 = 1, nghiem la X; = — a * Nếu phướng trình ax² + bx + c = (a 7²0) có a - b + c = phướng trình có mọt nghiem la X1 = - 1, nghiem la X; = - — ' A \ \ ' A ' \ c a Ả ~ Á '7 ~ * Neu hai so u, v thoa man u + V IS u.v = + ~ Á ! \ ~ ~ A ’7 thi hai so đo la hai nghiem cua phướng trình x² — sx + P = (Điều kiện để có hai số u, v s² - 4P 0) 2.2 Biện pháp 2: Phân loại tập Ứng dụng 1: Tính tổng tích hai nghiệm phương trình bậc hai Trước áp dụng đinh lí Vi-ét, ta cần kiềm tra điều kiện xem phương trình bậc hai ấn có hai nghiệm hay không (Tức kiếm tra a +0, A 20 ( A' zo) có thỏa mãn khơng) Ví du (Bài 25/SGK-Trang 52): Tính tổng tích hai nghiệm phương trình: a) 2X2- 17x+1=0 b) 25x²+10x+1=0 @ a)2x²- 17x+ =O(a=2 =0,b=-17,c=1) Ta có: A =( - 17)² - 4.2.1 =281> Phương trình có nghiệm phân biệt x1, x; b 17 c Theo hệ thức Vi-ét, ta có: X1 + X2 =- - =-, Xl.X2 =- =- a a b)25x²+10x+1=0(a=25 i0,b=2b’ =10,c=1) Ta có: Ạ' =5² - 25.1 =0 ² Phương trình có hai nghiệm xl, x; Theo hệ thửc Vi-ét, ta có: X1 + X2 =- Ê =- E =- 3, Xl.X2 =Ệ =L ' a 25 a 25 Ví du (Bài 30/SGK-Trang 54): Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm, rội tính tổng tích nghiệm theo m: a)x²-2x+m=O b)x²+2im-l)x+mz=O Giãi a) x²—2x+m=O(a=l =O,b=2b’ =-2,c=m) Ta có: A'=(-1)2 - l.m =1- m Đề phương trình có nghiệm Do phượng trình có hai nghiệm xi Xz xl+x2 =-6 thỏa mãn 1X1~X2 28 :(-2).(- 4) Ýg+X2 =1-21+1-41 C) x,.x, =8 =( -2).(-4) Vậy phướng trình cho có hai nghiệm xt = - x; = - Nhận xét: Đối với phương trình có dạng ví dụ giải phương trình nhấm nghiệm nhanh gọn hớn việc vận dung cộng thửc nghiệm (cộng thức nghiệm thu gọn) Ứng dụng 4: Lập phương trình bậc hai Lập phương trình bậc hai biểt hai nghiệm xl;x2 Ví dul: Cho xl 23; x2 =2 lập phương trình bậc hai chửa hai nghiệm S =x1 + x2 =5 Theo hệ thửc Vi-et ta có P =xlx2 =6 xl;x2 nghiệm phướng trình có dạng: x²- Sx+P =0hayx²- 5x+6=0 , _ _Jẩ+l _; \V1du ChOXI—Ỹ, X2—l+J ẫ Hãy lập phượng trình bậc hai có nghiệm: xi; x; , GiaiTaco : _ Xt— JỂ+1 _Jẩ+l Nen xl.xZ— _ 2 _ _ , X2_1+J3_ _32«|_ -1 11+JỂ11-Ỉ 3—1 1+ l 7-3 _ = l _«/3+1 l _ JỂ+l X1+Xz——2 +1+JỂ — + JỄ'1 _ _JỂ Vậy phướng trình có hai nghiệm xl; x; là: x2 -JỂ x +ẳ = hay 2x²-2JỂ x+1 = Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thửc chứa hai nghiệm phương trình cho trước: V í du : Cho phướng trình : x² - 3x + =0 có nghiệm phân biệt xl;x2, Khơng giải phương trình trện, lập phượng trình bậc có ấn y thoả mãn : y1=x2 +_ 3²2 le +— x1 x2 Cách 1: + Tính trực tỉếp ylạyọ cách: Tìm nghỉệm xl:,x2 cúa phương trình cho thay vào bỉểu thức tỉnh yl ;yg Phương trình x² — 3x+2 =O có a+b+c =l+C- 3)+2 =0 nện phượng trình có hai nghiệm xl =lgx2 =2 Tacóyt -x+L z xt -2+l1 -3yz -x+L lxz -l+l— -ẫ + LậPPhưong trình bậc hai bỉết hai nghỉệm y, ;y2 (dạng 2:14 S =yl + y2 =3+-—2 P= JÌ1JÌ2 =3.—= — + A A , 9 Phương trinh can lạp co dạng: y² - Sy +P =0 hay Ý - ỉy +Ĩ =O (hoặc 2y2 - 9y+9 =0) Cách 2: Không tỉnh yi ;y2 mà áp dụng Định lí Vỉ-et tínhS =yt +y2;P =ytyg sau lập phương trình bậc hai có nghỉệm ytặyọ Theo đinh lí Vi-et ta có: (x2 +L).(xl+ị)lex2 +1+1+ =2+1+1+lzẵ x1 x2 xle 2 1 1 x +x ` S =yt +yz =sz +—+xt +=(xt +xz)+ —+— =(xt +xz)+ể =3+—=-Phương trinh xl x2 xl x2 xlx2 2 A A , 9 can lạp co dạng: y² - Sy+P =0 hay Ý - ỉy +Ĩ =O (hoặc 2y2 - 9y+9 =0) Nhận xét: Cách thích hợp phương trình ban đầu có nghiệm xlặxg hữu tỉ cịn cách tính tốn cho trường hợp - Ứng dụng 5: Tìm hai số biết tổng tích chúng Ví dụ (Bài 28/SGK-Trang 53): @ a) Ta có u+v= 32, u.v =231 b) u + v = 2, u.v = Do u v nghiệm phướng trình: x2 - 32x + 231 = A =(-32)² - 4.231 =100›0:› JẨ =J1oo =10 Phượng trình có hai nghiệm phân biệt: X1 = 32+1o_ _32-10_ ịXg— 11 Vậyu=21,v= 11 hoặcu=ll,v=2l b) Tacóu+v=2,uv=9 Do u v nghiệm phướng trình: x2 - 2x + = A =( - 2)2 - 49 =- 32 < => Phương trình vơ nghiệm Vậy khơng tồn cặp u, v thỏa mãn điều kiện trện Ví dụ 2: Tìm cạnh hình chữ nhật, biết chu vi 30m diện tích hình chữ nhật 54m² @ Gọi độ dài hai cạnh hình chữ nhật u v, (cm; u, v > 0) Vì chu vi hình chữ nhật 30m, nện ta có phương trình: 2.(u+v)=30 ® u+v= 15 (1) Vì diện tích hình chữ nhật 54m², nện ta có phương trình: u.v = 54 (2) u+v=15 Từ (1) (2), ta có hệ phướng trình: 1uv _54 Do u, v nghiệm phương trình bậc hai: x² -15x + 54 = Ta có Ạ =(-15)2 - 4.54 =9 › o ² phướng trình có nghiệm XI 16; X; ²9 Vậy hình chữ nhật có hai cạnh ơm 9m Ví dụ Giải hệ phướng trình sau: x-y=lO b) xy =24 x²+y² =12 xy =-4 Gỉáỉ x-y210 a) xy =24 X+(-y) I10 = x.( - y) =- 24 Do x (-y) nghiệm phương trình: t² — lOt - 24 = Ta có Ạ =(-10)² - 4.(-24) =196 >o=› JẨ =14 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: ti = 12; t2 = -2 Suyrax=l2,-y=-2 ²x=l2,y=2 hoặcx=-2,-y=lZ ² x=-2,y=-12 Vậy hệ phượng trình có hai nghiệm (12; 2); (-2; -12) 2_ b){X +y4—12{(X+y) X ° y 2“ xy _ 2_ 2xy-lZỘ{(x+y) :-4 Vớix+y=2,tklcó hệ: xy X+y=2 xy X+yIZ _4 :-4 x+Y=-Z xy=-4 =«x,ylà nghiệm phương trình: t²—2t-4=O=>tl=l+JỉtZII-JỄ =>x=l+J5,y=1-J5hoặcx=l-Jỉy=l+Jẵ ° X+y=-2 Vớix+y=-2, có hệ: xy ='x,ylàngh1ệmcủaphươngtrình: t²+2t-4=o = t3 =-1+J5,t4 =-1- Jẫ => x=-l+JỂ,y=-l- J5 hoặcx=-l- J5,y=-I+Jẵ Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm: (l+Jẫảl’Jẫ);11'Jẫịl’fJẫ);i’l+Jẫặ’l-Jẫ);1’l’Jẫệ’l+Jẫ) Nhân xét: Trong ví dụ trện ta chuyển đội việc giải hệ phương trình sang giải phượng trình bậc hai ấn; bến cạnh ta cần sử dụng thệm phép biến đổi tương đương cho hệ phương trình kết hợp sử dụng hẳng đẳng thửc A2 +B2 =(A + B)2 - 2AB Ngoài nhiều trường hợp cần sử dụng tới ấn phụ ví dụ phần a) hay ví dụ sau minh họa cho điều * Lưu ý: khơng phải lúc ta tìm hai số thỏa mãn yêu cầu đề - Ứng dụng 6: Tính giá trị cũa biễu thức đối xứng nghiệm mà khơng giải phương trình Điều quan trọng toán dạng phải biết biến đổi biếu thửc nghiệm cho biều thửc có chửa tổng hai nghiệm S tích hai nghiệm P để áp dung hệ thức Vi-ét tính giá trị biếu thửc Ví du 1: Biến đổi biếu thức để làm xuất hiện: x1 + x; XL x; a/ x12 +x22 =1xf +2xlx2 +x221- 2x1x2 =(xl +x2)2 - 2x1x2 b/x13 +x23 I(xl +x2)1x12 ' xlx2 +x22) =(xl +x2)1(x1 +x2)2 ' 3xlx2 c/ 1 xl + x2 _ + _ 2— xl x2 xlx2 d/ (xl - x2)2 =xl2 - 2xlx2 +x22 =(xf +2xlx2 +x221- 4xlx2 =(xl +x2)2 - 4x1x2 xl- x2 =iJ(xl +x2)2- 4xlx2 Ví du 2: Cho phương trình x² — 6x + = Khơng giải phương trình, tính giá trị biều thửc: a)A=x12 +x,, l b)B=—+—; XI c)C=x12 - x,2 X2 đ)D=lx,- le Gz'áz' Phượng trình x² — 6x + = có & =(- 3)2 - 1.8 =9- =1› = phương trình có hai nghiệm phân biệt xt, Xz Theo đinh lí Vi-ét ta có: SIXI+XZ 26 P=xlx2 =8 a)A= Xf+xẳ = (x1 +x,)²- 2x1x2 =s²- 2P =6²—28=36—16=20 b )B_ L+L_Xt+xz_ẵ_Ể—ẫ , B 4“Vạy “ XI X2 X1X2 P c) C= xỉ - xẳ =(xl +x2)(xl- x2) =S.(xl - x2) =6.(x1- x2)_ (x1 - x2)2 IxĨ +xị - 2xlx2 =(xl +x2)2 - 4xlx2 =s² - 4P =6² - 4.8 =4 => xl - x2 =ĩ2 Vậy C = i12 d)D = |x1 - x2| zffl =J4 =2 Ví du 3: Cho phượng trình 2x2 — 7x + = 0, gọi hai nghiệm xi Xz Khơng giải phượng trình, tinh giá trị biêu thức sau: a) xi + Xz ; X1.Xz Giải b) x13 + xf c) Jx—l + JỆ Phương trình 2x² — 7x + = có A =(- 7)2 - 4.2.4 =17 > = phương trình có hai nghiem phan biet xi, x; Theo đinh 11 V1-et: S =x1 + X2 IỆ’P =xlxz =2 a)xt+x;=S= Ệ,X1.XZIPIZ b) XĨ+XỄ =(Xt+Xz)ẵ- 3xlxz(xl+xz) =Sẵ- 3SP= — ›JxĩJĩ doS=xl+x2 Iẫ>O›PIX1X2 =2>0=> xl,x2>0, _ C_J—+ JX—ZI 7_+4J3 - Ứng dụng 7: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình cho hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số Đế làm toán loại này, ta làm theo bước sau: - Đặt điều kiện cho tham số đề phướng trình cho có hai nghiệm x1 xg (thường a # A O) - Áp dung hệ thửc Vi-et viết S = xi + x; v P = xi xa theo tham số - Dùng quy tắc cộng thể đề tính tham số theo xi xz Từ đưa hệ thửc liện hệ nghiệm xi X2 Ví du 1: Cho phướng trình : (m- l)x² - 2mx+m- ²0 có nghiệm xlịxọ Lập hệ thửc liện hệ xlệxg cho chúng không phụ thuộc vào m Đề phương trình trện có nghiệm x1 x; th i : (m-liO A'20 @ {m =1 m²-(m-l)(m-4)2O CID (m =1 mịl «= 5m-420 m2Ể4 xl+x2 _2_m Theo hệ thức Vi- etta có : mIĨ1Ịll ² xl.x2 Iỉ Rútmtừ(l)tacó: xl+x2 =2+ xl.x2 =l- ỉ(2) (1) _l Ắle+x2-2Ộm-1IỆ Rútmtùz(2)tacó:ỉĩl'xtxz®m'lĩl_x1 (3) (4) Động (3) (4) ta có: ị = xl+x2- 1- xlx2 2(1- xlx2) =3(xl +x2- 2) 3(x1 +x2) +2x1x2- =0 ~ ~ + J ~ Ă J A A \ Vậy A = với mọ1 m =1 va m Zg Do đo bieu thưc A khong phu thuoc vao m Nhân xét:- Lưu ý điều kiện cho tham số đề phướng trình cho có nghiệm - Sau dựa vào hệ thửc Vi-et rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau động ta biều thửc chửa nghiệm không phụ thuộc vào tham số - Ứng dụng 8: Tìm giá trị tham số cũa phương trình thỏa mãn biễu thức chứa nghiệm - Đặt điều kiện cho tham số đề phướng trình cho có nghiệm xị x; (thường a $ A2 O) - Từ biều thức nghiệm cho, áp dung hệ thức Vi-ét để giải phương trình (có ấn tham số) - Đối chiếu với điều kiện xác định tham số để xác định giá trị cần tìm Ví du Cho phướng trình: x²— (2m + 1) x + m2 + = Tìm giá trị tham số m để nghiệm xị x;thỏa mãn hệ thức: 3xịxz - Síxị + x2) +7 =0 Giải: Đề phượng trình trện có hai nghiệm xị x; thì: Ạ' zẠ' =(2m +1)2 - 4(m² +2) zo =› m zẵ _ S=xl+x2 =2m+1 Theo hệ thửc Vi-ét,Ta có: P =xl.x2 =m2 +2 Vì 3x,x,-s(xl+xz)+7=o (giảthiết) m =2(TM) ^ m²+2 ) -5(2m+1)+7=0= m=ẳ(KTM) Nen Vậy với m = phương trình có nghiệm xị x; thỏa mãn hệ thửc: 3xlx2 - 5(xl +x21+7 =0 Ví du 2: Cho phương trình x2 - 6x + m = Tính giá trị m, biết phương trình có hai nghiệm xị, x; thỏa mãn điều kiện XI - X2 14 @ Phượng trình có hai nghiệm xị, X2 khi: Ạ'20=› (-3)²- m=9- m20=› mí9 , Xi + X2 26 Ap dụng hệ thức Vi-ét, ta có: 1XịXz =m (2) (D Theo bài: Xị - X2 ²4 (3) Giá hệ gộm (1) (3), ta được: 2Xị :10 © Xị ²5 ² X2 ²6 - Xị I6 - 11 Thay xi = 5, x; = vào (2), ta có: 51 = m ² m = (thỏa mãn đỉều kỉện) Vậyvớim= 5thì Xị - X2 14 Nhận xét: Ngoài việc phải kết hợp Vcị điều kiện phướng trình có nghiệm để chọn giá trị m cần ý trường hợp tốn cịn có điều kiện ràng buộc khác ta cững cần đối chiếu giá trị m để loại bỏ giá trị khơng thích hợp - Ứng dụng 9: Xác định dấu nghiệm phương trình bậc hai Cho phương trình: ax² +bx +c =O (a # O) Ta lập bảng xét dấu sau: Dấu nghiệm x; x; S = x; + P=xlxg A Điều kiện chung PO A 20 Ạ zo A 20;P0 P>O P>O Ạ20 Ạ20 ẠZO;P>O,S>O ẠZO;P>O,SO S