Một vài kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng hệ thức vi ét để giải các dạng bài tập liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai

A PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Tốn học mơn khoa học có khả ứng dụng rộng rãi, tốn học hình thành cho học sinh tính xác, tính hệ thống, tính khoa học tính logic… chất lượng dạy học tốn nâng cao có nghĩa tiếp cận với kinh tế tri thức khoa học đại, giàu tính nhân văn nhân loại Trong tốn học, mơn Đại số nói riêng khơng cung cấp kiến thức đại số mà cịn có tác dụng to lớn việc rèn luyện lực tư sáng tạo cho học sinh Các tốn liên quan đến nghiệm phương trình bậc có chứa tham số loại tốn khó, tốn thường u cầu tính giá trị biểu thức, quan hệ nghiệm, phép tính nghiệm phương trình Việc tính nghiệm phương trình theo cơng thức nghiệm vơ khó khăn phương trình chứa tham số Trong trường hợp định lí Vi-ét phương tiện hiệu giúp học sinh giải loại toán Ở lớp 9, em học sinh học đầy đủ phương trình bậc Đối với tốn liên quan đến nghiệm phương trình bậc có chứa tham số phần mở rộng có trọng tâm chương trình tốn nhằm giúp học sinh học sâu lớp Đặc biệt dạng tốn ln với số dạng toán khác đưa vào đề thi tuyển chọn vào trường THPT Những năm trước đây, học sinh ngại gặp loại tốn Có nhiều em bỏ qua không làm làm chiếu lệ Nhiều giáo viên thấy học sinh không hứng thú với loại tốn nên đề cập đến Là giáo viên dạy tốn, tơi thấy băn khoăn, trăn trở Làm để dạng toán trở nên dễ giải hơn? Học sinh có hứng thú học? Câu hỏi động lực khiến tơi phải tìm câu trả lời Đã trải qua nhiều năm giảng dạy mơn tốn lớp 9, tơi xin mạnh dạn chia sẻ đôi điều suy nghĩ đôi việc làm qua đề tài: “Một vài kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng hệ thức Vi-ét để giải dạng tập liên quan đến nghiệm phương trình bậc hai.” nhằm giúp bạn đồng nghiệp có thêm kinh nghiệm nhỏ việc giảng dạy mơn tốn, giúp em học sinh có hứng thú học tập góp phần đưa chất lượng giáo dục nhà trường lên cao Mục đích nghiên cứu Giúp học sinh định hướng giải vấn đề có số phương pháp để giải dạng tập liên quan đến nghiệm phương trình bậc Đối tượng nghiên cứu Các dạng toán liên quan đến nghiệm phương trình bậc hai Phạm vi giới hạn nghiên cứu - Phạm vi nghiên cứu: Đề tài xây dựng, nghiên cứu triển khai chương trình tốn đại số -Giới hạn nghiên cứu: Phương trình bậc hai chứa tham số Một số phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận: nghiên cứu tài liệu tốn học có liên quan tới dạng tốn nghiệm phương trình - Phương pháp điều tra viết: Dùng phiếu điều tra để khảo sát học sinh giáo viên trường giáo viên trường lân cận - Phương pháp toạ đàm: Trò chuyện với HS trường, với đồng nghiệp - Phương pháp thực nghiệm: Thực nghiệm số phương pháp vận dụng định lí Vi-et giải tốn liên quan đến nghiệm phương trình bậc ẩn số có chứa tham số Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm A PHẦN MỞ ĐẦU: Lý định hướng nghiên cứu B PHẦN NỘI DUNG I Cơ sở lí luận vấn đề nghiên cứu II Tthực trạng việc hướng dẫn học sinh vận dụng hệ thức vi-ét để giải dạng tập liên quan đến nghiệm phương trình bậc hai III Các biện pháp tổ chức thực hiện: IV Một số kết đạt C PHẦN KẾT LUẬN - Phụ lục tài liệu tham khảo - Mục lục B PHẦN NỘI DUNG I CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Một số khái niệm đề tài - Kinh nghiệm trải nghiệm người việc đó, mà qua họ rút học, cách thức làm phù hợp - Hướng dẫn bảo,dẫn dắt cho biết cách thức tiến hành hoạt động Mục tiêu, ý nghĩa, vị trí, vai trị việc vận dụng định lí Vi-ét giải tốn liên quan đến nghiệm phương trình bậc hai có chứa tham số - Hệ thức Viét nội dung quan trọng chương trình Đại số Các tốn cần áp dụng định lí Vi-ét đa dạng ln có mặt kỳ thi vào lớp 10 THPT hay vào trường chuyên lớp chọn Đặc biệt năm gần ln xuất tốn có liên quan đến nghiệm phương trình bậc hai có chứa tham số kì thi vào lớp 10 thành phố với số điểm từ 0,5 đến 1điểm - Các tốn liên quan đến nghiệm phương trình bậc có chứa tham số loại tốn khó, tốn thường yêu cầu tính giá trị biểu thức, quan hệ nghiệm, phép tính nghiệm phương trình Việc tính nghiệm phương trình theo cơng thức nghiệm vơ khó khăn phương trình chứa tham số Trong trường hợp định lí Vi-ét phương tiện hiệu giúp học sinh giải loại tốn này, mà có vai trị quan trọng trình lĩnh hội kiến thức học sinh, thể số đặc điểm sau: - Rèn luyện cho học sinh thao tác tư duy, đặc biệt tư trừu tượng hoá, khái quát hố thơng qua ví dụ cụ thể - Rèn luyện khả tính tốn, tỉ mỉ khả suy luận học sinh - Giúp học sinh sáng tạo giải toán - Giúp học sinh biết phối kết hợp, liên kết nhiều kiến thức toán học với nhau, tạo logic, chặt chẽ tư cho học sinh II THỰC TRẠNG VIỆC HƯỚNG DẪN HỌC SINH VẬN DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT ĐỂ GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Thực trạng việc giáo viên hướng dẫn học sinh vận dụng định lí Vi-et giải tốn liên quan đến nghiệm phương trình bậc Để tìm hiểu xem giáo viên có hướng dẫn học sinh vận dụng định lí Vi-et giải tốn liên quan đến nghiệm phương trình bậc Tôi phát phiếu điều tra cho 10 giáo viên tổ Toán trường với câu hỏi: Anh (Chị) có hướng dẫn học sinh vận dụng định lí Vi-et giải toán liên quan đến nghiệm phương trình bậc dạng chuyên đề, hay hướng dẫn gặp các tập có dạng câu hỏi đó? Kết thu sau: TT Mức độ Số lượng % Dạy theo chuyên đề 60.00 Dạy gặp tập 40.00 Qua bảng cho thấy số lượng giáo viên thường đưa toán liên quan đến nghiệm phương trình bậc có chứa tham số vào tiết dạy học sinh tiếp cận chưa nhiều Một số giáo viên đưa dạng toán với đối tượng học sinh giỏi, học sinh trung bình, yếu, khơng tiếp cận giáo viên nhiều thời gian, công sức mà học sinh hiểu Một số giáo viên lại thường đưa dạng toán vào cuối bài, mà thời gian cịn nên thường giải qua loa giải nhanh nên học sinh khó nắm bắt kịp… Nguyên nhân thực trạng Tơi sâu phân tích ngun nhân tình trạng do: - Do thời lượng phân bố cho phần hạn chế, tập dạng tốn có SGK nên số giáo viên đưa dạng toán với đối tượng học sinh giỏi, học sinh trung bình, yếu, khơng tiếp cận giáo viên nhiều thời gian, công sức mà học sinh hiểu Một số giáo viên lại thường đưa dạng toán vào cuối bài, mà thời gian cịn nên thường giải qua loa giải nhanh nên học sinh khó nắm bắt kịp… - Nhiều giáo viên chưa thực đổi phương pháp dẫn đến giảng thiếu sinh động, chưa thấy tầm quan trọng việc vận dụng định lí Viét để giải tốn liên quan đến nghiệm phương trình bậc hai có chứa tham số, chưa có sửa sai kịp thời thấy học sinh mắc lỗi q trình giải tốn - Nhiều giáo viên thiếu kinh nghiệm giảng dạy chưa phân loại dạng tập - Giáo viên chưa bồi dưỡng cho học sinh thành thạo kĩ trình lời giải toán cách cẩn thận III MỘT SỐ BIỆN PHÁP HƯỚNG DẪN HỌC SINH VẬN DỤNG ĐỊNH LÍ VI-ET GIẢI CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC Biện pháp 1: Khắc phục sai sót vận dụng định lí Vi-ét giải toán liên quan đến nghiệm phương trình bậc có chứa tham số 1.1 Mục tiêu Học sinh tính tốn, trình bày cẩn thận xác làm 1.2 Tổ chức thực - Chỉ rõ cho học sinh sai sót thường gặp vận dụng định lí Vi-et giải tốn liên quan đến nghiệm phương trình bậc có chứa tham số q trình làm tập + Khi vận dụng định lí Vi-ét nhiều học sinh khơng tìm điều kiện để phương trình có nghiệm + Khi tìm giá trị tham số khơng đối chiếu với điều kiện có nghiệm phương trình + Không biết biến đổi biểu thức chứa nghiệm dạng tổng tích nghiệm khơng nắm cách biến đổi + Khơng biết phân loại để có cách giải cụ thể với loại - Thường xuyên hướng dẫn, kiểm tra nhắc nhở để học sinh tính tốn, trình bày cẩn thận Biện pháp 2: Cho học sinh ghi nhớ kiến thức mở rộng thường áp dụng giải toán liên quan đến nghiệm phương trình bậc 2.1 Mục tiêu Hướng dẫn học sinh vận dụng kiến thức liên quan vào tập cách xác 2.2 Tổ chức thực - Cho học sinh ghi nhớ kiến thức mở rộng cần vận dụng a) Dấu nghiệm phương trình bậc hai Theo hệ thức Vi-ét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a ≠ ) có b a nghiệm x1, x2 S = x1 + x2 = − , P = x1.x2 = c a Do điều kiện để phương trình bậc hai ∆ ≥ P > 1) Có nghiệm dấu  ∆ ≥  2) Có nghiệm dương  P > S >  ∆ ≥  3) Có nghiệm âm  P > S <  4) Có nghiệm trái dấu P < ( Khi hiển nhiên ∆ > ) b) Một số hệ thức nghiệm phương trình bậc hai thường gặp 1) x12 + x22 = ( x1 + x2 )2 − x1 x2 2) ( x1 – x2 ) = ( x1 + x2 ) – x1 x2 3) x1 – x2 = ( x1 + x2 ) – x1 x2 4) x13 + x23 = ( x1 + x2 )3 − 3x1 x2 ( x1 + x2 ) 3 5) x1 − x2 = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) − x1 x2  6) x14 + x24 = ( x12 + x22 ) − x12 x22 7) x14 − x24 = ( x12 + x22 )( x1 − x2 )( x1 + x2 ) 1 x +x 8) x + x = x x 2 x1 x2 x12 + x22 ( x1 + x2 )2 − x1 x2 = 9) + = x2 x1 x1 x2 x1 x2 - Kiểm tra thường xuyên kiến thức trình làm tập Biện pháp 3: Hướng dẫn học sinh phân loại, chia nhỏ thành dạng toán 3.1 Mục tiêu: Học sinh định dạng dạng bài, làm cho toán trở nên quen thuộc hơn, từ biết sử dụng kiến thức liên quan hợp lý 3.2 Tổ chức thực Hướng dẫn học sinh chia loại toán: Dạng 1: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn Dạng 2: Tìm hai số biết tổng tích chúng Dạng 3: Tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm mà khơng giải phương trình Dạng 4: Tìm giá trị tham số để nghiệm phương trình thoả mãn hệ thức cho trước Dạng 5: Tìm điều kiện tham số biết nghiệm phương trình cho x = x1 cho trước Tìm nghiệm thứ Dạng 6: Xét dấu nghiệm phương trình bậc hai Dạng 7: So sánh nghiệm phương trình bậc hai với số α cho trước Dạng 8: Tìm hệ thức nghiệm phương trình bậc hai ẩn độc lập với tham số Dạng 9: Lập phương trình bậc hai biết nghiệm số Dạng 10: Tìm giá trị tham số chứa parabol đường thẳng để chúng có vị trí tương đối xác định xác định tính chất, vị trí giao điểm Biện pháp 4: Tìm phương pháp giải tổng quát dạng 4.1.Mục tiêu: - Học sinh thấy dễ dàng giải loại toán - Học sinh thấy tự tin hơn, thúc đẩy vươn lên học tập 4.2 Tổ chức thực hiện: - Hướng dẫn học sinh tìm phương pháp giải dạng tốn thông qua tập cụ thể, học sinh nắm bước giải dạng - Phân chia kiểu câu hỏi tập dạng tốn (nếu có thể) - Cho học sinh làm tập dạng học sinh ghi nhớ cách làm - Cung cấp kiến thức liên quan để giải dạng toán - Giáo viên lưu ý cho học sinh áp dụng linh hoạt bước giải vào toán cụ thể, đọc kĩ đề bài,tránh áp dụng rập khn máy móc Dạng 1: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn - Phương pháp: Để thực việc nhẩm nghiệm (nếu có thể) cho phương trình bậc hai ẩn ax2 + bx + c = ( a ≠ ), ta áp dụng nhận xét sau: Trường hợp (Trường hợp đặc biệt): 1) Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ ) có a + b + c = phương trình c a 2) Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ ) có a - b + c = phương trình có có nghiệm x1 = 1, nghiệm x2 = c a Trường hợp 2: Cho phương trình x2 + bx + c = Ta thực theo bước: Bước 1: Vận dụng hệ thức Vi-ét để thiết lập cho nghiệm x x2 nghiệm x1 = - 1, nghiệm x2 = -  x1 + x = − b   x1.x = c Bước 2: Thực phân tích c thành tích hai thừa số (c = m.n), từ ta tính m + n Khi đó: - Nếu m + n = - b ta chuyển sang bước (kết luận) - Nếu m + n ≠ - b, ta chuyển sang bước Bước 3: Kết luận: Phương trình x2 + bx + c = có hai nghiệm x1 = m x2 = n - Chú ý: Thuật toán có tính dừng hiểu sau: - Nếu tìm cặp (m, n) thỏa mãn điều kiện m + n = - b dừng lại đưa lời kết luận nghiệm - Nếu khơng tìm cặp (m, n) thỏa mãn điều kiện m + n = - b dừng lại trường hợp khơng nhẩm nghiệm - Ví dụ: Tính nhẩm nghiệm phương trình sau: a) 35x2 - 37x + = b) x2 + 6x + = Giải a) 35x - 37x + = Nhận thấy phương trình có a + b + c = 35 + (-37) + = Do phương trình có nghiệm x1 = 1, x2 = c = a 35 b) x2 + 6x + = Ta thấy ∆ ' = 32 − 1.8 = > Do phương trình có hai nghiệm x x2 thỏa  x1 + x = ( −2 ) + ( −4 )  x1 + x = −6 ⇔ mãn    x1.x = = ( −2 ) ( −4 )  x1.x = = ( −2 ) ( −4 ) Vậy phương trình cho có hai nghiệm x1 = - x2 = - Dạng 2: Tìm hai số biết tổng tích chúng u + v = S - Phương pháp: Nếu hai số u, v thỏa mãn:  hai số hai u.v = P  nghiệm phương trình x2 – Sx + P = (1) - Nhận xét: Nếu (1) có hai nghiệm x 1, x2 (điều kiện S2 - 4P ≥ 0) ta được:  u = x1 u = x   v = x  v = x1 - Ví dụ : Tìm hai số a, b biết: a - b = a.b = 36 Hướng dẫn: Đã biết tích: ab = 36 cần tìm tổng: a + b Đặt c = -b ta có: a + c = a.c = -36  x = −4 x = Suy ra: a, c nghiệm phương trình: x − x − 36 = ⇔  Do đó: Nếu a = - c = nên b = -9 Nếu a = c = - nên b = Dạng 3: Tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm mà không giải phương trình - Phương pháp Bước 1:Kiểm tra điều kiện có nghiệm phương trình Bước 2: Áp dụng định lý Vi-ét tính tổng tích nghiệm Bước 3: Biểu diễn biểu thức cho theo tổng tích nghiệm thay giá trị tổng tích nghiệm vào - Ví dụ Cho phương trình x2 – 6x + = Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức: a) A= 1 + ; x1 x b) B = x12 − x 22 Giải Phương trình x2 – 6x + = có ∆ ' = ( −3) − 1.8 = − = > ⇒ phương trình có S = x1 + x = hai nghiệm phân biệt x1, x2 Theo định lí Vi-ét ta có:   P = x1 x = a) A = 1 x1 + x S + = = = = Vậy B = x1 x x 1x P 4 2 b) B = x1 − x = ( x1 + x ) ( x1 − x ) = S.( x1 − x ) = 6.( x1 − x ) Mà ta có: ( x1 − x ) = x12 + x 22 − 2x1x = ( x1 + x ) − 4x1x = S2 − 4P = 62 − 4.8 = ⇒ x − x = ±2 Vậy C = ±12 Dạng 4: Tìm giá trị tham số để nghiệm phương trình thoả mãn hệ thức cho trước 1.1 Biểu thức chứa nghiệm viết dạng tổng tích nghiệm - Phương pháp Bước 1:Tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm Bước 2: Áp dụng định lý Vi-ét tính tổng tích nghiệm Bước 3: Biểu diễn biểu thức cho theo tổng tích nghiệm thay giá trị tổng tích nghiệm vào để biểu thức chứa tham số sau giải theo yêu cầu đề để xác định giá trị tham số Bước 4: Đối chiếu giá trị tham số vừa tìm với điều kiện tham số bước 1để đưa kết luận - Ví dụ : Tìm a để phương trình ( a − ) x − ( a − ) x − = (1) có nghiệm ,nghiệm gấp đôi nghiệm Giải Nếu phương trình (1) có nghiệm ,nghiệm gấp đơi nghiệm ⇒ x1 =2 x2 x2 = x1 ⇔ x1 -2 x2 = x2 − x1 ⇔ ( x1 -2 x2 ) ( x2 − x1 ) = a−4   x1 + x2 = a − Ta có   x x = −2  a − ⇒ ( x1 -2 x2 ) ( x2 − x1 ) = x1 x2 − x12 − x2 + x1 x2 = x1 x2 − ( x1 + x2 ) 2 −2.9 −2 a − a + a−4 = − 2 = ÷ a−2 a−2 ( a − 2) Phương trình (1) có nghiệm, nghiệm gấp đơi nghiệm   a − ≠ a ≠ a =   ⇔ ∆ > ⇔ a > ⇔  a = −2  x -2 x x − x =  −2 a − a + 2) ( 1) (  =0  ( a − ) Vậy a = 1;a= -2 * Nhận xét - Như số trường hợp nhẩm nghiệm phương trình ta tìm nghiệm sau thay trực điều kiện đề để tìm giá trị tham số - Nếu phương trình (1) có nghiệm, nghiệm gấp n lần nghiệm cách giải tương tự 1.2 Biểu thức chứa nghiệm khơng viết dạng tổng tích nghiệm - Phương pháp: Bước 1: Tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm Bước 2: Áp dụng định lý Vi-ét tính tổng tích nghiệm Bước 3: Kết hợp giả thiết với hệ thức Vi-ét để hệ phương trình nhận x1; x2 nghiệm - Giải hệ phương trình tìm x1; x2 từ xác định giá trị tham số Bước 4: Đối chiếu giá trị tham số vừa tìm với điều kiện tham số bước 1để đưa kết luận - Ví dụ : Cho phương trình: mx2 +2 (m - 4)x + m + =0 (1) Tìm m để nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức: x1 − x2 = Hướng dẫn: + Trong tập tổng tích hai nghiệm chứa tham số nên áp dụng cách giải ví dụ 5, vấn đề đặt làm để từ biểu thức cho biến đổi biểu thức có chứa tổng tích nghiệm từ vận dụng tương tự cách làm trình bày VD dạng 1.1 Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm m ≠ 0; m ≤ 16 15  − ( m − 4) m  S = x1 + x2 = m ( 1) Theo hệ thức Vi-ét,Ta có:  m +  P = x x =  m Theo đề ta có: x1 − x2 = ⇔ x1 = x2 ⇔ x1 + x2 = x2 ⇔ ( x1 + x2 ) = x2 ⇔ ( x1 + x2 ) = 3x1  x1 + x2 = x2 ⇒ ( x1 + x2 ) = x1 x2 ( )  ( x1 + x2 ) = x1 Suy ra:  Thế (1) vào (2) ta đưa phương trình: m2 + 127m - 128 = ⇒ m1 = ; m2 = -128 Dạng 5: Tìm điều kiện tham số biết nghiệm phương trình cho x = x1 cho trước Tìm nghiệm thứ - Phương pháp Cách Bước 1: Thay x = x1 vào phương trình cho ,tìm giá trị tham số Bước 2: Vận dụng hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm cịn lại Cách (Áp dụng với phương trình có S P không chứa tham số) Bước 1: Vận dụng hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm cịn lại Bước 2: Tìm giá trị tham số nhờ S P - Ví dụ: Cho phương trình 2x2 - px + = Biết phương trình có nghiệm Tìm p tìm nghiệm cịn lại Giải Cách 1: Thay x = vào phương trình ta p = x1x2 = 13 theo hệ thức Viét ta có 5 mà x1= nên x2 = Cách 2: Vì phương trình có nghiệm nên theo hệ thức Viét ta có 5 mà x1 = nên x2 = p p 13 Mặt khác x1+ x2 = ⇒ =2+ ⇒ p= 2 x1 x2 = Dạng 6: Xét dấu nghiệm phương trình bậc hai ax2+bx+c = 0(a ≠ ) - Phương pháp b a Bước 1: Tính ∆ , S = x1 + x2 = − , P = x1.x2 = c a Bước 2: Áp dụng điều kiện dấu nghiệm phương trình bậc hai để giải theo yêu cầu đề Bước 3:Kết luận - Ví dụ: Cho phương trình (m - 4)x2 – 2(m-2)x + m – = Tìm m để phương trình: a) Có nghiệm dương b) Có nghiệm dương c) Có nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn Giải a Xét trường hợp: – Trường hợp: m – = ⇔ m = phương trình trở thành: -4x + = ⇔ x = > ⇒ nhận m = 4 - Trường hợp: m – ≠ ⇔ m ≠ phương trình (1) phương trình bậc hai ẩn x cần xét khả để phương trình (1) có nghiệm dương TH 1: x1; x2 trái dấu ⇔ ( m − ) ( m − 1) < ⇔ < m < TH 2: x1; x2 dương  m ≥ ∆ ' ≥  0 ≤ m <   m −1 >0 ⇔ P > ⇔  m > S > m −   2( m − 2)  m − > TH 3: x1=0; x2 > ∆ ' >  P = S >  (có nghiệm 0) (có nghiệm dương)  ⇒m m > 0=  ⇔ m =1 ⇒ m =  2(m − 2)  >0  m−4 Trong TH thay x=0 vào phương trình,tìm m sau giải phương trình với m vừa tìm được, xét nghiệm x 1, x2 thỏa mãn u cầu đề từ tìm m Kết hợp lại ta có 0≤ m ≤ phương trình có nghiệm dương b Ta giải câu b nhiên TH thay điều kiện x1=x2 >0 (phương trình có nghiệm kép) ∆ ' =   b − 2a > (nghiệm kép dương) ⇒m = Kết hợp lại ta có 1≤ m ≤ m = phương trình có nghiệm dương Chú ý: 1) Tương tự để phương trình bậc hai: 1.1 Có nghiệm trái dấu, nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn Điều kiện: P <  S > 1.2 Có nghiệm trái dấu, giá trị tuyệt đối chúng nhau: P < S = Điều kiện  2) Phân biệt cho học sinh khác câu hỏi phương trình có nghiệm dương phương trình có nghiệm dương Dạng 7: So sánh nghiệm phương trình bậc hai với số α cho trước - Phương pháp Để giải loại tốn ta thực theo hai bước sau Bước 1: Lập phương trình ẩn y xác định y = x − α cách thay x = y + α vào phương trình cho Bước 2: So sánh nghiệm phương trình với dựa vào việc xét dấu nghiệm (Đưa dạng 3) -Ví dụ: Tìm k để phương trình x2 +kx -1 =0 (1)có nghiệm lớn hay Giải Đặt x – = y Thay x = y + vào (1) rút gọn ta được: y2 + (k + 4)y +2k + = (2) Cần tìm m để phương trình (2) có có nghiệm khơng âm Trước hết ta tìm điều kiện để phương trình (2) có hai nghiệm (phân biệt nghiệm kép ) âm Điều kiện là: k + ≥  k + − k + ≥ ( ) ( ) ∆ ≥  −3 −3    ⇔ k > ⇔k>  P > ⇔  2k + > 2 S <  −(k + 4) <     k > −4 Vậy với k ≤ −3 phương trình (1) có nghiệm khơng âm tức (1) có nghiệm lớn hay Dạng 8: Tìm hệ thức nghiệm phương trình bậc hai ẩn độc lập với tham số - Phương pháp Bước 1: Tìm điều kiện tham số để phương trình bậc có nghiệm: ∆ ≥ Bước 2: Áp dụng định lý Vi-ét tính tổng tích nghiệm (Tính S, P) Bước 3: Khử tham số để lập hệ thức S P từ ta suy hệ thức hai nghiệm không phụ thuộc tham số - Ví dụ : Cho phương trình x2 – mx + 2m – = Tìm hệ thức nghiệm phương trình khơng phụ thuộc vào m Giải Xét phương trình: x – mx + 2m – = (1) (a = 1; b = - m ; c = 2m - 3) Vì a = ≠ nên phương trình (1) phương trình bậc ẩn x có: ∆ = m2 – 4(2m - 3) = m2 – 8m + 12 Phương trình (1) có nghiệm: ⇔∆ ≥ ⇔ m2 – 8m + 12 ≥ ⇔ m2 – 8m + 16 ≥ ⇔ (m - 4)2 ≥ m − ≥ m ≥ ⇔ ⇔ /m – 4/ ≥ ⇔   m − ≤ −2 m ≤ m ≥ Với  phương trình (1) có nghiệm x1, x2 theo định lí Viét m ≤  x1 + x2 = m 2( x1 + x2 ) = 2m ⇔ ⇒ 2( x1 + x2 ) − x1 x2 = Ta có:  x x = m − x x = m − 2   Dạng 9: Lập phương trình bậc hai biết nghiệm số - Phương pháp Bước 1: Tìm tổng S tích P hai nghiệm phương trình bậc hai muốn lập Bước 2: Áp dụng định lí Vi-ét đảo lập phương trình dạng X2 – SX + P = - Ví dụ: Gọi x1, x2 nghiệm phương trình x2 – 3x + = Khơng giải phương trình trên, lập phương trình bậc hai ẩn y có nghiệm: 1 y1 = x + ; y = x1 + x1 x2 Giải Phương trình x2 – 3x + = có ∆ = ( −3) − 4.1.2 = − = > Suy phương trình có hai nghiệm phân biệt  x1 + x = Theo định lí Vi-ét, ta có:   x1x = 1  x + x2   Ta có: y1 + y = ( x + x1 ) +  + ÷ = ( x + x1 ) +  ÷= + = 2  x1 x   x1x     1 y1y =  x + ÷ x1 + ÷ = x x1 + +2=2+ +2= x1  x2  x 1x 2  9 Vậy phương trình bậc hai cần lập y2 - y + = hay 2y2 – 9y + = 2 Nhận xét: Mặc dù tốn có nói x1, x2 nghiệm phương trình cho trước Tuy nhiên ta phải tính biệt thức ∆ ∆ ' để khẳng định phương trình cho trước có hai nghiệm, từ áp dụng định lí Vi-ét Dạng 10: Tìm giá trị tham số chứa parabol đường thẳng để chúng có vị trí tương đối xác định xác định tính chất, vị trí giao điểm - Phương pháp Bước 1: Lập phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng parabol Bước 2: Tìm giá trị tham số để nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm thoả mãn hệ thức cho trước( đưa dạng 1) - Ví dụ : Cho parabol (P) : y = x2 đường thẳng (d): y = 2mx – 2m + (m tham số Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt Gọi y1 , y tung độ giao điểm (P) (d), tìm m để y1 + y2 = Giải Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) là: x = 2mx – 2m + ⇔ x − 2mx + 2m -3= (1) Có ∆ ' = m – 2m + = ( m − 1) + > 0∀ m Nên phương trình (1) có nghiệm phân biệt với m => đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt với m Gọi tọa độ giao điểm (P) (d) ( x1; y1 ) ; ( x2 ; y2 ) ta có x1,x2 nghiệm (1)  x1 + x2 = − 2m y1 = x12 ; y2 = x2 x x = m −  Nên  ⇒ y1 + y2 = x12 + x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 4m − 4m + ⇒ y1 + y2 = ⇔ 4m − 4m + = ⇔ 4m2 − 4m − = (2) Giải phương trình (2) m = −1 ;m = 2 IV Một số kết đạt Sau thực số biện pháp hướng dẫn HS lớp vận dụng định lí Viet giải tốn liên quan đến nghiệm phương trình bậc hai có chứa tham số với dạng có phương pháp giải cụ thể cho dạng bài, thấy học sinh hiểu vận dụng giải toán tốt Cụ thể: Nếu không chia thành dạng có 40% học sinh giải dạng toán 1, 2, 3, 6, 7; 20% số học sinh giỏi giải dạng toán 4, 5, 8, Sau dạy chuyên đề có 75 – 80% số học sinh vận dụng tốt dạng toán 1, 2, 3, 6, 7; 40 – 45% số học sinh giỏi vận dụng tốt dạng toán 4, 5, 8, Từ ta thấy chia thành dạng tốn có phương pháp giải cho dạng giúp học sinh nhận biết giải toán dạng Phương pháp giúp cho đồng nghiệp dễ dàng vận dụng giảng dạy tốt hơn, học trị thích thú ham học Chất lượng học mơn Tốn ngày nâng lên Kết kiểm tra chương Thời gian Giỏi Khá TB Yếu K Số HS S S S S S Lớp L % L % L % L % L % Năm 17-18 (Trước áp dụng SKKN) 9A2 33 24,2 10 30,3 13 39,4 6,1 0 Năm 18-19 (Sau áp dụng SKKN) 9A2 38 15 39,5 13 34,2 10 26,3 0 0 PHẦN III: KẾT LUẬN - Người giáo viên phải thực tâm huyết với nghề Biết lắng nghe, quan tâm tới em học sinh Biết nhìn lỗi học sinh hay mắc phải kịp thời uốn nắn, khắc phục - Giáo viên phải thường xuyên đổi phương pháp, tạo khơng khí sơi nổi, hứng thú học mơn Tốn - Thấy việc vận dụng định lí Vi -ét giải toán liên quan đến nghiệm phương trình bậc hai có chứa tham số tập cần thiết, bỏ qua - Giáo viên phải có chuẩn bị tốt cho giảng, kiến thức SGK phải nghiên cứu tìm tịi loại sách tham khảo để phân loại dạng tập có phương pháp dạy phù hợp - Ngoài ra, giáo viên cần giúp học sinh biết cách trình bày dạng tốn từ hình thành thói quen tư lập luận lơgic giải tốn PHỤ LỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Báo toán tuổi thơ Báo toán tuổi trẻ Toán chọn lọc cấp II Đề thi vào lớp 10 Nâng cao phát triển toán Tác giả: Vũ Hữu Bình (NXB Giáo dục) Chuyên đề: Bồi dưỡng hoc sinh giỏi toán THCS Phương trình bậc số ứng dụng Tác giả: Nguyễn Đức Tấn – Vũ Đức Toàn – Trần Đức Long (NXB Giáo dục) Và số tài liệu tham khảo khác MỤC LỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM A PHẦN MỞ ĐẦU II Tthực trạng việc hướng dẫn học sinh vận dụng hệ thức vi-ét để giải dạng tập liên quan đến nghiệm phương trình bậc hai B PHẦN NỘI DUNG I CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Một số khái niệm đề tài .3 - Kinh nghiệm trải nghiệm người việc đó, mà qua họ rút học, cách thức làm phù hợp Mục tiêu, ý nghĩa, vị trí, vai trị việc vận dụng định lí Vi-ét giải tốn liên quan đến nghiệm phương trình bậc hai có chứa tham số II THỰC TRẠNG VIỆC HƯỚNG DẪN HỌC SINH VẬN DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT ĐỂ GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Thực trạng việc giáo viên hướng dẫn học sinh vận dụng định lí Vi-et giải tốn liên quan đến nghiệm phương trình bậc Nguyên nhân thực trạng III MỘT SỐ BIỆN PHÁP HƯỚNG DẪN HỌC SINH VẬN DỤNG ĐỊNH LÍ VI-ET GIẢI CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC Biện pháp 1: Khắc phục sai sót vận dụng định lí Vi-ét giải toán liên quan đến nghiệm phương trình bậc có chứa tham số .5 Biện pháp 2: Cho học sinh ghi nhớ kiến thức mở rộng thường áp dụng giải toán liên quan đến nghiệm phương trình bậc Biện pháp 3: Hướng dẫn học sinh phân loại, chia nhỏ thành dạng tốn Biện pháp 4: Tìm phương pháp giải tổng quát dạng PHẦN III: KẾT LUẬN 16 MỤC LỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 18 ... SINH VẬN DỤNG HỆ THỨC VI- ÉT ĐỂ GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Thực trạng vi? ??c giáo vi? ?n hướng dẫn học sinh vận dụng định lí Vi- et giải tốn liên quan đến nghiệm. .. trình bậc hai có chứa tham số II THỰC TRẠNG VI? ??C HƯỚNG DẪN HỌC SINH VẬN DỤNG HỆ THỨC VI- ÉT ĐỂ GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Thực trạng vi? ??c giáo vi? ?n hướng. .. Giúp học sinh định hướng giải vấn đề có số phương pháp để giải dạng tập liên quan đến nghiệm phương trình bậc Đối tượng nghiên cứu Các dạng toán liên quan đến nghiệm phương trình bậc hai Phạm vi