(SKKN 2022) ứng dụng hệ thức vi et để ôn luyện thi vào 10 cho học sinh 9 ở trường THCS công chính

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NÔNG CỐNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI - ÉT ĐỂ ÔN LUYỆN THI VÀO 10 CHO HỌC SINH LỚP TRƯỜNG THCS CƠNG CHÍNH Người thực hiện: Phạm Hồng Nghĩa Chức vụ: Giáo viên Đơn vị cơng tác: Trường THCS Cơng Chính SKKN thuộc mơn: Tốn NƠNG CỐNG, NĂM 2022 MỤC LỤC: Tt 11 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 Tên mục I PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu: 3.2 Phạm vi nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu II PHẦN NỘI DUNG Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Thực trạng 2.2 Kết thực trạng Các giải pháp giải vấn đề Ứng dụng 1: Tính nhẩm nghiệm phương trình bậc hai Ứng dụng 2: Tìm giá trị tham số biết nghiệm phương trình cho tìm nghiệm cịn lại Ứng dụng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử Ứng dụng 4: Tìm điều kiện tham số để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức Ứng dụng 5: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số Ứng dụng 6: Lập phương trình bậc hai Ứng dụng 7: Tìm điều kiện tham số để biểu thức chứa hai nghiệm phương trình đạt giá trị cực trị Ứng dụng 8: Phương trình đường thẳng (d): y = ax + b(a ≠ 0) với Parabol (P):y = mx2 (m ≠ 0) Hiệu sáng kiến kinh nghiệm III PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Kiến nghị Trang 3 4 4 5 6 10 13 14 17 18 20 21 21 I PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài: Xuất phát từ mục tiêu Giáo dục giai đoạn phải đào tạo người có trí tuệ phát triển, giầu tính sáng tạo có tính nhân văn cao Để đào tạo lớp người phải bồi dưỡng cho học sinh lực tư sáng tạo, lực tự học, tự giải vấn đề, từ tác động đến tình cảm đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh Dạy học giải toán vấn đề trọng tâm dạy học mơn Tốn trường THCS Đối với học sinh giải toán hoạt động chủ yếu việc học tập mơn Tốn Do việc rèn luyện kỹ năng, phương pháp giải toán cho học sinh việc làm cần thiết Trong trường THCS mơn tốn xem mơn cơng cụ có tác dụng rèn luyện phát triển tư duy, đặt móng có hỗ trợ nhiều cho môn học khác Một mặt phát triển, hệ thống hóa kiến thức, kỹ thái độ mà học sinh lĩnh hội hình thành bậc tiểu học, mặt khác góp phần chuẩn bị kiến thức, kỹ thái độ cần thiết để tiếp tục lên THPT, TH chuyên nghiệp, học nghề vào lĩnh vực lao động sản xuất đòi hỏi hiểu biết định toán học Trong nhiều năm trở lại đề khảo sát cuối năm, đề thi vào lớp 10 mơn tốn tỉnh Thanh Hóa số tỉnh thành khác năm gần đề thi tuyển học sinh giỏi lớp có tốn phương trình bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét phổ biến Trong nội dung thời lượng phần sách giáo khoa lại ít, lượng tập chưa đa dạng Vì đa số học sinh gặp tốn có vận dụng hệ thức Vi-ét lúng túng khơng giải chương trình học có tiết, nhà em cách đọc thêm sách tham khảo nên việc áp dụng hệ thức Vi-ét nhiều hạn chế Bản thân giáo viên nhiều năm giảng dạy môn toán khối 9, tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi lớp ôn tập nâng cao kiến thức cho học sinh thi tuyển vào lớp 10 Vì tơi suy nghĩ làm để nâng cao chất lượng học tập cho em học sinh, giúp em biết vận dụng hệ thức Vi-ét để giải tốn phương trình bậc hai Góp phần giúp em tự tin kỳ thi tuyển Đó lý tơi chọn đề tài này: “ Ứng dụng hệ thức Vi-ét để ôn luyện thi vào 10 cho học sinh lớp trường THCS Cơng Chính” Mục đích nghiên cứu Thơng qua kiến thức ứng dụng định lí Vi-ét giúp học sinh vận dụng thành thạo ứng dụng hệ thức Vi-ét giải phương trình bậc hai, gây hứng thú cho học sinh làm tập SGK, sách tham khảo, giúp em giải số tập nâng cao Trang bị cho học sinh số kiến thức ứng dụng định lí Vi-ét nhằm nâng cao lực học mơn toán, giúp em tiếp thu cách chủ động sáng tạo sử dụng kiến thức học để công cụ giải tập có liên quan Từ em làm tốt tốn phương trình bậc hai kỳ thi tuyển, đặc biệt kỳ thi vào 10 THPT tới Kích thích, giúp em biết cách tìm kiến thức nhiều nữa, khơng phương trình bậc hai mà dạng tốn khác Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu: Khảo sát mức độ vận dụng hệ thức Vi-ét học sinh lớp 9A trường THCS Công Chính năm học 2021-2022 trước sau tổ chức hướng dẫn cho học sinh học hệ thức Vi-ét ứng dụng 3.2 Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu ứng dụng hệ thức Vi-ét, môn đại số lớp 9, tìm hiểu tốn phương trình bậc hai có ứng dụng thức Vi-ét Phương pháp nghiên cứu  Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Tơi đọc chọn tốn bậc có ứng dụng thức Vi-ét, xếp thành nhóm ứng dụng sau: Sau học sinh nắm nội dung hệ thức Vi-ét, giáo viên chia tập ứng dụng hệ thức Vi-ét thành dạng cụ thể sau: Ứng dụng 1: Tính nhẩm nghiệm phương trình bậc hai Ứng dụng 2: Tìm giá trị tham số biết nghiệm phương trình cho tìm nghiệm cịn lại Ứng dụng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử Ứng dụng 4: Tìm điều kiện tham số để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức Ứng dụng 5: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số Ứng dụng 6: Lập phương trình bậc hai Ứng dụng 7: Tìm điều kiện tham số để biểu thức chứa hai nghiệm phương trình đạt giá trị cực trị Ứng dụng 8: Phương trình đường thẳng (d): y = ax + b(a ≠ 0) với Parabol (P):y = mx2 (m ≠ 0)  Phương pháp vấn, điều tra: Tôi hỏi điều tra 10 học sinh sau tiết dạy thực nghiệm với câu hỏi sau: Câu 1: Em có muốn nâng cao kiến thức khơng ? Câu 2: Em thích tốn phương trình bậc hai có sử dụng hệ thức Vi-ét khơng? Câu 3: Em có thích đọc nhiều sách tham khảo nội dung hệ thức không ? Câu 4: Em đọc lại định lý Vi-ét Hãy nhẩm nghiệm phương trình sau: a/ 4321x2 + 21x – 4300 = b/ x2 + 7x + 12 = Câu 5: Cho phương trình: x2 – 3x + m = 0, với m tham số, có hai nghiệm x , x2 (x1 > x2) Tính giá trị biểu thức P = x13 x2 − x1 x23 theo m  Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Sau xếp thành nhóm ứng dụng hệ thức Vi-ét, tơi thực lên lớp hướng dẫn học sinh ứng dụng Có kèm theo giáo án dạy sau II PHẦN NỘI DUNG Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Mục tiêu giáo dục THCS theo điều 23 Luật giáo dục “Giúp học sinh phát triển toàn diện đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ kỹ bản, phát triển lực cá nhân, tính động sáng tạo, hình thành nhân cách người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách trách nhiệm công dân, chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên vào sống lao động, tham gia xây dựng bảo vệ Tổ quốc” Để thực mục tiêu trên, nội dung chương trình THCS thiết kế theo hướng giảm tính lý thuyết, tăng tính thực tiễn, thực hành bảo đảm vừa sức, khả thi, giảm số tiết học lớp, tăng thời gian tự học hoạt động ngoại khóa Nội dung hệ thức Vi-ét ứng dụng hệ thức Vi-ét : Hệ thức Vi-ét: Nếu x1 x2 hai nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) thì: b   x1 + x2 = − a   x x = c  a Ứng dụng : + Nhẩm nghiệm: Phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) c a c Nếu a - b + c = phương trình có nghiệm: x1 = -1, x2 = a S = u + v  + Nếu có hai số u v thỗ mãn:  u v hai nghiệm  P = u.v Nếu a + b + c = phương trình có nghiệm: x1 = 1, x2 = phương trình: x2 – Sx + P = Điều kiện để có hai số u v là: S2 – 4P ≥ Nội dung hệ thức Vi-ét ứng dụng hệ thức Vi-ét nằm chương IV phần đại số 9, tiết 58 + 59 có: + Tiết lý thuyết: Học sinh học định lí Vi-ét ứng dụng hệ thức Viét để nhẩm nghiệm phương trình bậc hai tìm hai số biết tổng tích chúng + Tiết Luyện tập : Học sinh làm tập củng cố tiết lý thuyết vừa học Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Thực trạng Thuận lợi: - Phần lớn em học sinh lóp 9A có ý thức học tập tốt, nắm kiến thức chương trình THCS - Bản thân giáo viên có nhiều năm tham gia dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9, ôn tập cho học sinh thi vào 10 THPT - Công tác bồi dưỡng, phụ đạo cho học sinh làm thường xuyên góp phần nâng cao kiến thức cho học sinh Khó khăn Thời lượng phân bố tiết cho phần hạn chế, chưa khai thác hết ứng dụng hệ thức Vi-ét Bên cạnh tác động xã hội làm số học sinh khơng làm chủ nên đua địi, ham chơi, khơng tâm vào học tập mà dẫn thân vào tệ nạn xã hội chơi game, bi da, Một số gia đình có điều kiện cịn lo làm kinh tế, khơng có thời gian quan tâm đến việc học hành em dẫn đến em có kết học tập không tốt Số lượng học sinh tự học, tìm tịi thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,…để nâng cao kiến thức chưa nhiều, nên khả học môn Tốn em lớp học khơng đồng Bên cạnh phận khơng nhỏ học sinh yếu kỹ biến đổi biểu thức cho dạng tổng tích hai nghiệm phương trình bậc hai Vì găp số tốn dạng: Tìm giá trị tham số để phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước lập hệ thức hai nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số, với học sinh đại trà, đa số em thường tỏ lúng túng, cách giải 2.2 Kết thực trạng Trong thực tế giảng dạy toán trường THCS Cơng Chính, việc ứng dụng hệ thức Vi-ét học sinh cịn nhiều khó khăn Nhiều em không định hướng cách làm, kỹ vận dụng yếu Kết kiểm tra liên quan đến việc ứng dụng hệ thức Vi-ét năm học 2021 - 2022 lớp 9A chưa áp dụng nội dung chuyên đề: Giỏi Khá TB Yếu Kém Lớp TS SL % SL % SL % SL % SL % 9A 39 5.1 7.7 14 36 16 41 10.2 Các giải pháp giải vấn đề Trang bị cho em dạng toán bản, thường gặp Đưa tập tương tự, tập nâng cao Rèn kỹ nhận dạng đề phương pháp giải thích hợp trường hợp cụ thể Kiểm tra, đánh giá mức độ nhận thức học sinh thông qua kiểm tra qua kịp thời điều chỉnh nội dung phương pháp giảng dạy Tạo hứng thú qua dạng toán áp dụng hệ thức giải toán phương trình bậc hai thơng qua tốn có tính tư duy, giúp học sinh có tư linh hoạt sáng tạo Cho phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) (*) Ứng dụng 1: Tính nhẩm nghiệm phương trình bậc hai Trường hợp 1: Phương trình bậc hai có hệ số có quan hệ đặc biệt: Xét phương trình (*) ta thấy : a) Nếu a + b + c = ⇒ phương trình (*) có nghiệm x1 = x2 = c a −c b) Nếu a − b + c = ⇒ phương trình (*) có nghiệm x1 = −1 x2 = a Ví dụ 1(Bài 26/53 Sgk Tốn 9_tập 2): Khơng giải phương trình, nhẩm nghiệm phương trình sau: a) 35x2 - 37x + = ; c) x2 - 49 x - 50 = Giải: a) Phương trình: 35x2 - 37x + = Ta có a + b + c = 35 + (- 37) + = 0, nên phương trình có hai nghiệm: c = a 35 x1 = 1, x2 = c) Phương trình: x2 - 49 x - 50 = Ta có a - b + c = - 49 - 50 = 0, nên phương trình có hai nghiệm: x1= -1; x2 = − c = 50 a Lưu ý : Đối với câu a, HS thường hay nhầm lẫm phương trình có hệ số a - b + c = Vì trước hết giáo viên phải yêu cầu HS xác định rõ hệ số, đối chiếu xem thuộc trường hợp nào? Ví dụ 2(Bài 31/54 Sgk Tốn 9_tập 2): Khơng giải phương trình, nhẩm nghiệm phương trình sau: b) 3x − − x − = ; d) ( m − 1) x − ( 2m + 3) x + m + = ( m ≠ 1) Giải: b) Phương trình: 3x − ( − ) x − = ( ) ( ) Ta có a − b + c = + − − = , nên phương trình có hai nghiệm: x1= -1; x2 = − c = = a 3 d) Phương trình: ( m − 1) x − ( 2m + 3) x + m + = ( m ≠ 1) Phương trình cho phương trình bậc hai (do m ≠ 0) Ta có a + b + c = m − − ( 2m + 3) + m + = , nên phương trình có hai nghiệm: c a x1= 1; x2 = = m+4 m −1 Trường hợp 2: Phương trình bậc hai có nghiệm nguyên đơn giản, ta nhẩm nghiệm sau: Phương pháp: - b c x1.x2 = a a b c Bước 2: Nếu − ∈ Z ∈ Z ta dễ dàng tìm nghiệm a a Bước 1: Tính x1 + x2 = − phương trình Ví dụ 3(Bài 31/54 Sgk Tốn 9_tập 2) Nhẩm nghiệm phương trình sau: a) x2 - 7x + 12 = Giải: a) Ta có: + = ; b) x2 + 7x + 12 = −b c = 3.4 = = 12 a a Vậy ta nhẩm hai nghiệm x1= 3, x2 = b) Tương tự câu a) ta có -3 + (-4) = -7 (-3)(-4) = 12 Ta nhẩm hai nghiệm x1 = −3; x2 = −4 Bài tập vận dụng: Hãy nhẩm nghiệm phương trình sau: x + 500 x − 507 = 1,5 x − 1, x + 0,1 = ( − ) x + 3x − ( + ) = Ứng dụng 2: Tìm giá trị tham số biết nghiệm phương trình cho tìm nghiệm lại Phương pháp: + Cách 1: Thay giá trị nghiệm biết vào phương trình để tìm tham số, sau kết hợp với hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm lại + Cách 2: Thay giá trị nghiệm biết vào hai hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm cịn lại, sau kết hợp với hệ thức Vi-ét cịn lại để tìm giá trị tham số Ví dụ 1:(Bài 40/57SBT , Tốn 9_tập 2) Dùng hệ thức Vi – ét để tìm nghiệm x phương trình tìm giá trị m trường hợp sau: a) Phương trình x2 + mx - 35 = (1), biết nghiệm x1=7 b) Phương trình x2 - 13x + m = (2), biết nghiệm x1=12,5 Giải: a) Phương trình x2 + mx - 35 = (1) Cách 1: Thay x1 = vào phương trình (1) ta m = −2 Theo hệ thức Vi-ét, ta có : x1.x2 = −35 Mà x1= nên x2 = −5 Cách 2: Vì phương trình có nghiệm nên theo hệ thức Vi-ét, ta có : x1.x2 = − 35 Mà x1 = nên x2 = −5 Mặt khác x1 + x2 = − m ⇒ m = −2 Đáp số : x2 = 0,5 , m = 6, 25 Chú ý : Đối với ví dụ cách giải nhanh gọn Tuy nhiên với ví dụ cách lại nhanh Vì gặp dạng tốn tùy vào vị trí tham số mà ta chọn cách giải cho phù hợp Bài tập vận dụng: (Bài 40/57SBT , Toán 9_tập 2) a) Phương trình x + 3x − m + 3m = , biết nghiệm x1 = −2 2 b) Phương trình x − ( m − 3) x + = , biết nghiệm x1 = Hướng dẫn: Theo hệ thức Vi-ét: −2 + x2 = −3 ⇒ x2 = 4 Mà x1 x2 = − m + 3m −m + 3m − = ⇔ m − 3m − 10 = hay 4 Suy m1 = −2; m2 = Đáp số : x2 = , m = 11 Ứng dụng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử Phương pháp: Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có nghiệm x1 x2 tam thức ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) Ví dụ : (Bài 33/54 SGK Tốn 9_tập 2) Phân tích đa thức thành nhân tử a) 2x2 – 5x + ; b) 3x2 + 8x + Giải: a) Phương trình 2x2 – 5x + = có hai nghiệm x1 = 1, x2 = 3  ⇒ x – x + = ( x − 1)  x − ÷ = ( x − 1) ( x − 3) 2  b) Phương trình 3x2 + 8x +2 = có hai nghiệm x1 = − + 10 − − 10 , x2 = 3  − 10   + 10  ⇒ x + x + =  x + x + ÷ ÷ ÷ ÷ 3    Bài tập áp dụng: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x2 – 6x + ; b) 2x2 + 5x + Ứng dụng 4: Tìm điều kiện tham số để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức 4.1 Tính giá trị biểu thức chứa nghiệm phương trình bậc hai cho Phương pháp: Biến đổi biểu thức dạng chứa tổng tích hai nghiệm, áp dụng hệ thức Vi-ét ta tính giá trị biểu thức chứa nghiệm Ví dụ Cho phương trình x - 5x + = Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức sau: 1 a) A = x + x Giải: ; b) B = x12 + x22 ; c) C = x13 + x23 Vì phương trình có nghiệm x1, x2 nên theo hệ thức Vi-ét ta có: 1 x +x S   x1 + x2 = 5     x1.x2 = a) A = x + x = x x = P = 2 b) B = x12 +x2  = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 52 – 2.3 = 19 c) C = x13 + x23 = ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 ( x1 + x2 ) = 53 − 3.5.3 = 80 1 Mở rộng toán: d) D = x14 + x2 ; e) E = x + x ; f) F = x1 − x2 d) D = x14 + x24 = ( x12 + x22 ) − x12 x22 = (S − 2P )2 − 2P =  52 − 2.3 − 2.32 = 343 e) E= 1 x12 + x22 S − P 52 − 2.3 19 + = 2 = = = x12 x22 x1 x2 P2 32 f) F = x1 − x2 = ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − x1 x2   = 52 − 4.3  = 13  4.2 Tìm điều kiện tham số để hai nghiệm phương trình thỏa mãn đẳng thức bất bẳng thức: Phương pháp: - Tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm (hoặc nhận thấy phương trình ln có nghiệm chứng minh điều đó) +Sử dụng số hệ thức thường gặp: Theo hệ thức Vi-ét ta có:   S = x1 + x2       P = x1.x2 x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − x1x2 = S − 2P ; x13 + x23 = ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 ( x1 + x2 ) = S − 3PS ( ) x14 + x24 = x12 + x22 − x12 x22 = (S − P )2 − P ; 1 x12 + x22 S − P + = 2 = x12 x22 x1 x2 P2 ; x1 − x2 = 1 x + x2 S + = = x1 x2 x1 x2 P ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − x1 x2   = S − P    + Sử dụng hệ thức biến đổi hệ thức chứa nghiệm dạng chứa tổng tích hai nghiệm, từ áp dụng hệ thức Vi-ét ta phương trình có ẩn tham số Giải phương trình vừa lập ta tìm giá trị tham số + Đối chiếu giá trị tìm tham số với điều kiện có nghiệm phương trình cho kết luận Các ví dụ: Ví dụ 1: Tìm m để phương trình x2 + 2x + m = (m tham số) (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn : 1 2 b) x + x = ; c) x1 + x2 − x1 x2 = 2 Giải: Phương trình x + 2x + m = phương trình bậc hai ẩn x nên ta a) x12 + x22 = ; có ∆ ' = − m Để phương trình (1) có nghiệm ∆' ≥ ⇔ − m ≥ ⇔ m ≤  x1 + x2 = −2  x1 x2 = m Theo hệ thức Vi-ét ta có:  a) Ta có : x12 + x22 = (x1+ x2)2 - 2x1x2 = - 2m Để x12 + x22 = ⇔ - 2m = ⇔ m = -2 (thoả mãn điều kiện) Vậy phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn x12 + x22 = ⇔ m = -2 x + x2 −2 1 + = = b) Ta có x1 x2 x1 x2 m 10 Để 1 −2 −2 + =3⇔ =3⇔ m= (thoả mãn điều kiện) x1 x2 m 1 −2 Vậy phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn x + x = ⇔ m = c Ta có: x12 + x22 − x1 x2 = ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = ⇔ ( −2 ) − 7m = ⇔ m = ⇔ m = (t/m) 2 Vậy phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 + x2 − x1 x2 = ⇔ m =1 Nhận xét: Nếu thay đẳng thức hai ví dụ thành bất đăng thức, ta biến đổi phần giải bất phương trình Đối với loại hệ thức bậc hai nghiệm (dạng ax ± bx2 = p) dạng hiệu luỹ thừa hai nghiệm (dạng x a – xb = p ) ta thường kết hợp với hai hệ thức Vi-ét để hệ phương trình Giải hệ phương trình ta tìm hai nghiệm, thay vào hệ thức cịn lại Vi-ét ta tìm giá trị tham số Ví dụ 2: Tìm m để phương trình x2 + 2x + m = (m tham số) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn : a) 3x1 + 2x2 = ; b) x12 - x22 = Giải: Phương trình x2 + 2x + m = phương trình bậc hai ẩn x nên ta có ∆ ' = − m Để phương trình có nghiệm ∆' ≥ ⇔ − m ≥ ⇔ m ≤ 2  x1 + x2 = −2  x1 x2 = m Theo hệ thức Vi-ét ta có:   x1 + x2 = −2 (1)  a) Kết hợp giả thiết với hệ thức Vi-ét ta có hệ: 3x1 + x2 = (2)  xx =m (3)  Giải hệ (1), (2) ta x1= 5; x2= -7 Thay vào (3) ta m = -35 (thoả mãn điều kiện)  x12 − x22 = (1)  b) Kết hợp giả thiết với hệ thức Vi-ét ta có hệ:  x1 + x2 = −2 (2) x x = m (3)  Giải hệ (1), (2) ta x1= − 5 ; x2 = Thay vào (3) ta m = 2 (thoả mãn điều kiện) Ví dụ 3: Cho phương trình : x2 + 5x +m-2 = ( m tham số) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn hệ thức : 1 ( x1 − 1) + ( x − 1) = (Đề thi vào 10 mơn tốn tỉnh Thanh Hóa năm học 2020 - 2021) Giải: Ta có ∆ = 52 - 4.(m-2) = 25 – 4m + = 33 – 4m Để phương trình có hai nghiệm phân biệt ∆ ⇔ 33 – 4m > 11 ⇔ m < 33  x1 + x2 = −5 Khi theo hệ thức Viet ta có  x.x = m −  1 Theo đề ta có ( x − 1) + ( x − 1) = ⇔ ( x2 − 1)2 + ( x1 − 1)2 = ( x2 − 1) ( x1 − 1) 2 ⇔ x22 − x2 + + x12 − x1 + = ( x1 x2 − x1 − x2 + 1) ⇔ x22 + x12 − 2( x1 + x2 ) + = [x1 x2 − ( x1 + x2 ) + 1]2 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 − 2( x1 + x2 ) + = [x1 x2 − ( x1 + x2 ) + 1]2 ⇔ (-5)2 – (m - 2) – 2.(-5) +2 =[(m -2) -2.(-5) +1]2 ⇔ m2 + 10m – 25 = (*) Giải pt (*) ta m1 = - + (t/m) ; m2 = - - (t/m) Vậy có hai giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán : m1 = - + m2 = - - Bài tập áp dụng: Bài tập 2: Cho phương trình x2 – (m-2)x – = (m tham số) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm x1; x2 với m Tìm m để nghiệm thỏa mãn hệ thức: x 21 + 2018 − x1 = x 2 + 2018 + x (Đề thi vào 10 mơn tốn tỉnh Thanh Hóa năm học 2018 - 2019) Bài tập 3: Cho phương trình x2 – 2(m-1)x+2m – = (m tham số) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 với m Tìm m để nghiệm thỏa mãn hệ thức: (x12 − 2mx1 − x + 2m − 3)(x 22 − 2mx − x1 + 2m − 3) = 19 (Đề thi vào 10 mơn tốn tỉnh Thanh Hóa năm học 2019 - 2020) Ứng dụng 5: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số Phương pháp: + Với dạng cách giải chung theo hệ thức Vi-ét ta có hai hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình Từ hai hệ thức ta biểu diễn tham số theo hai nghiệm, sau vào hệ thức cịn lại ta hệ thức cần tìm + Hoặc dùng quy tắc cộng để khử tham số từ hai hệ thức (Cần ý đến điều kiện có hai nghiệm phương trình) Các ví dụ: Ví dụ : Cho phương trình x2 - 2(m + 1) x + m = (1).Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m Giải: Ta có 2 ∆' = ( m + 1) − = m + m + =  m + ÷ + 2  2 1 1   Vì  m + ÷ ≥ 0∀m ⇒  m + ÷ + > 0∀m hay ∆' > ∀m 2 2   Phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt với m 12  x1 + x2 = 2(m + 1) (1) (2)  x1 x2 = m Theo hệ thức Vi-ét ta có  Từ (1) (2) ta x1 + x2 = ( x1 x2 + 1) hệ thức liên hệ hai nghiệm khơng phụ thuộc vào m Ví dụ 2: Cho phương trình mx2 - 2(m - 3)x + m+ = (m tham số ) Biết phương trình ln có hai nghiệm, tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm khơng phụ thuộc vào m Giải : Phương trình cho ln có hai nghiệm nên phương trình bậc hai, m ≠ Theo giả thiết phương trình ln có hai nghiệm nên theo hệ thức Vi-ét ta có: 2(m − 3)   x1 + x2 = m = − m (1)   x x = m + = 1+ (2)  m m Ta có (2) ⇔ 6x1x2 = + (3) m Cộng vế với vế (1) (3) ta x1 + x2 + 6x1x2 = Vậy hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m là: x1 + x2 + 6x1x2 = Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Cho phương trình: x2 – (m + 2)x + (2m - 1) =0 có nghiệm x x2 Hãy lập hệ thức liên hệ hai nghiệm x x2 phương trình cho x1 x2 độc lập m Bài tập 2: Cho phương trình: x2 + (4m + 1) x + 2(m - 4) =0 có nghiệm x x2 Hãy tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm x x2 phương trình cho x1 x2 không phụ thuộc giá trị m Bài tập 3: Cho phương trình: x2 – (m + 1)x + (2m - 3) =0 a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm x , x2 phương trình cho hệ thức khơng phụ thuộc vào m (Đề thi vào lớp 10 THPT tỉnh Thanh Hóa năm học 2004-2005) Ứng dụng 6: Lập phương trình bậc hai: S = u + v  P = u.v Phương pháp: Nếu có hai số u v thỗ mãn:  u v hai nghiệm phương trình: x2 – Sx + P = (1) Điều kiện để có hai số u v là: S2 – 4P ≥ 6.1 Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x1, x2: Phương pháp: - Tính tổng tích nghiệm đề yêu cầu - Sử dụng ứng dụng (1) để lập phương trình Ví dụ 1: Tìm u ,v biết: u + v = uv = Giải: 13 S = u + v = Vậy u; v nghiệm phương  P = uv = Theo hệ thức Vi-ét, ta có :  trình có dạng: x – Sx + P = hay x – x + = Giải phương trình ta tìm u = 3, v = u = , v = Ví dụ 2(Bài 5/53 Sách hướng dẫn học toán 9_Tập 2, Nhà xuất GD) Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm a) – b) c) − + Giải:  S = −3 + = ⇒ (– 3) nghiệm phương trình có dạng:  P = −3.7 = −21 Ta có :  x – Sx + P = ⇔ x – x − 21 = 2 b) Đáp số: x − x + = 3 S = − + + =  c) Ta có :   P = − + = − ( )( phương trình: x − 3x + ( + 1) = ) ( ) +1 ⇒ − + nghiệm Bài tập áp dụng: Cho hai số x1 = - , x2 = + a Tính x1 + x2 x1x2 b Lập phương trình bậc hai ẩn x nhận x1, x2 hai nghiệm (Đề thi vào 10 mơn tốn tỉnh Thanh Hóa 2008 -2009) 6.2 Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trình cho trước Ví dụ (Bài 7/53 Sách hướng dẫn học toán 9_Tập 2, Nhà xuất GD) Cho phương trình x − x − 15 = có nghiệm x1, x2 Khơng giải phương trình, lập phương trình có hai nghiệm hai số cho trường hợp sau: 1 a) ; b) + x1 + x2 x1 x2 Giải: Phương trình x − x − 15 = có nghiệm x1, x2 nên theo hệ thức Vi-ét 15 x1 x2 = − 2 1 x1 + x2 −1 1 −2 a) Ta có: x + x = x x = 15 ; x x = x x = 15 2 2 ta có: x1 + x2 = 1 Vậy x , x hai nghiệm phương trình: x + x − = hay 15 x + x − = 15 15 2 −1 43 ( + x1 ) ( + x2 ) = + ( x1 + x2 ) + x1.x2 = + + = 15 30 b) Ta có: ( + x1 ) + ( + x2 ) = + ( x1 + x2 ) = + = 14 2 Vậy + x1 + x2 hai nghiệm phương trình: x − x + 43 =0 30 Bài tập áp dụng: Cho phương trình 3x2 + 5x - = có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 Khơng giải phương trình trên, lập phương trình bậc hai có ẩn y thỏa mãn: y1 = x1 + 1 y2 = x2 + x2 x1 6.3 Giải hệ phương trình: Ứng dụng (1) thường sử dụng vào giải hệ phương trình đối xứng hai  f ( x, y ) =  f ( y, x) = ⇔  g ( x, y ) =  g ( y, x) = ẩn có dạng:  Để giải loại hệ ta tiến hành sau: Biểu diễn phương trình qua x + y xy Đặt S = x + y P = xy, ta hệ chứa hai ẩn S P Giải hệ để tìm S P Các số cần tìm nghiệm phương trình t − St + P = Theo yêu cầu mà giải phương trình tìm t biện luận phương trình chứa t để rút kết luận mà đề đặt Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:  x+ y =3 2 x + y = a)   x− y =2 2  x + y = 34 b)  Giải: a) Đặt S = x + y; P = xy , ta có hệ phương trình:  S =3 S =  ⇔  S − 2P = P = x + y =  xy = Do ta có:  Suy x, y nghiệm phương trình X2 - 3X + = Giải phương trình ta X1 = 1; X2 = Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm : ( x1 ; y1 ) = ( 1; ) , ( x2 ; y2 ) = ( 2;1) b) Đặt S = x - y; P = xy ta có hệ phương trình: S =2  S =2 ⇔   S + P = 34  P = 15 x − y =  xy = 15 Do ta có:  Suy x + (-y) = x(-y) = -15 hay x (-y) nghiệm phương trình X2 - 2X - 15 = 0, giải ta X1 = 3; X2 = -5 Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm : ( x1 ; y1 ) = ( 3;5 ) , ( x2 ; y2 ) = ( 5;3) Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:  x + xy + y = a)   x + xy + y =  xy ( x + 1)( y − 2) = −2 2  x + x + y − 2y =1 b)  Giải: 15 S − P = a) Đặt S = x + y; P = xy ta có hệ phương trình :  S+P=2 ⇔ S = , P = S = -3; P = x + y =  x + y = −3 Do ta có:    xy =  xy = Suy x, y nghiệm phương trình X2 - 2X = (1) X2 + 3X + = (2) Giải (1) được: X1 = 0; X2 = Giải (2): ∆ = 32 − 4.1.5 = −11 < ⇒ phương trình (2) vơ nghiệm Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm : ( x1 ; y1 ) = ( 0; ) , ( x2 ; y2 ) = ( 2;0 ) b) Đặt x2 + x = S; y2 - 2y = P ta đưa hệ đối xứng hai ẩn sau:  SP = −2  S + P = Suy S, P nghiệm phương trình X2 - X - = S = −1 S =  P =  P = −1  x +x=2 (II)   y − y = −1 Giải ta X1= -1; X2 = Vậy   x + x = −1 Từ ta có (I)  y − 2y = Hệ (I) vơ nghiệm Hệ (II) có hai nghiệm là: ( x1 ; y1 ) = ( 1;1) , ( x2 ; y2 ) = ( −2;1) Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm là: ( x1 ; y1 ) = ( 1;1) , ( x2 ; y2 ) = ( −2;1) Bài tập áp dụng ( Đề thi HSG tỉnh Đăklăk năm học 2010 – 2011)  xy − x + y = Giải hệ phương trình :  2  x + y + x − y = 11 (I) Hướng dẫn:  ( x +1) ( y −1) =   ( x +1) + ( y −1) =13 Hệ phương trình (I) ⇔  ( u + v ) = 25 Đặt u = x+1; v = y-1 Ta có  uv = Có hai trường hợp : u + v = u = u = x = x = ⇔ ∨ ⇔ ∨ uv = v = v = y = y = +Trường hợp 1:  u + v = −5 u = −3 u = −2  x = −4  x = −3 ⇔ ∨ ⇔ ∨ uv =  v = −2  v = −  y = −1  y = −2 + Trường hợp 2:  Ứng dụng 7: Tìm điều kiện tham số để biểu thức chứa hai nghiệm phương trình đạt giá trị cực trị: Phương pháp: +Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm 16 + Biến đổi biểu thức dạng chứa tổng tích hai nghiệm, từ vận dụng hệ thức Vi-ét đưa biểu thức dạng chứa tham số Từ sử dụng phương pháp tìm cực trị, phương pháp chứng minh bất đẳng thức ta giải tốn (chú ý điều kiện có nghiệm) Ví dụ: Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + m - = (m tham số) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình Với giá trị m biểu thức: 2 a) A = x1 + x2 đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ 2 b) B = x1 x2 − x1 − x2 đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn  15  Giải: Ta có ∆ ' = ( m − 1) − ( m − ) = m − 3m + =  m − ÷ + > , nên phương 2  2 trình ln có nghiệm với giá trị m Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1+ x2 = 2(m - 1) x1x2 = m - Ta có: A = x12+ x22 = (x1+x2)2 - 2x1x2 = 4(m - 1)2 - 2(m - 5)  31  = 4m - 10m +14 =  2m − ÷ + 2  5  31 31  (2 m − ) ≥ ∀ m m − Vì , nên  ÷ + ≥ 2 4  5 Dấu “=” xảy 2m − = ⇔ m = (t/m) Vậy Amin = Ta có: B = x1 x2 − x12 − x22 = 3x1 x2 − ( x1 + x2 ) 31 m = 4 ⇒ B = ( m − ) − ( m − 1) = −4m + 11m − 19 = −4( m − 11 183 ) − 16 11 11 183 183 ≤− ) ≤ 0∀m , nên −4(m − ) − 16 16 11 11 Dấu “=” xảy m − = ⇔ m = (t/m) 8 −183 11 ⇔m= Vậy BMa x = 16 Vì −4(m − Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Cho phương trình: x2 - 2(m - 4)x + m2 – = Xác định m nghiệm x1 x2 thỏa mãn điều kiện : a/ A = x1 + x2 − 3x1 x2 đạt giá trị lớn b/ B = x12 + x2 − x1 x2 đạt giá trị nhỏ Bài tập 2: Cho phương trình: x2 - (2m - 1)x + m(m-1) = (1) a) Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình (1) (với x1< x2) Chứng minh x12 − x2 + ≥ (Đề thi vào lớp 10 THPT tỉnh Thanh Hóa năm học 2011-2012) 17 Ứng dụng 8: Phương trình đường thẳng (d): y = ax + b(a ≠ 0) với Parabol (P):y = mx2 (m ≠ 0): 8.1 Lập phương trình đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) qua điểm A (xA; yA); B (xB; yB) thuộc Parabol y = mx2 (m ≠ 0) Cơ sở lý luận: Do đường thẳng Parabol có giao điểm nên hồnh độ giao điểm nghiệm phương trình: mx2 = ax + b ⇔ mx2 - ax - b = Theo hệ thức Vi-et, ta có: a   x A + x B = m   x x = − b  A B m (*) Từ (*) tìm a b ⇒ Phương trình (d) Ví dụ 1: Cho Parabol (P) có phương trình (P): y = x Gọi A B điểm thuộc (P) có hồnh độ xA = - ; xB = Lập phương trình đường thẳng qua A B Giải: Giả sử phương trình đường thẳng (AB): y = ax + b (a ≠ 0) Phương trình hồnh độ giao điểm (AB) (P) : x = ax + b ⇔ x2 - ax – b =0 (*) Ta có: xA = - ; xB = nghiệm phương trình (*) x A + xB = a a = Theo hệ thức Vi- et, ta có:  ⇔  b =  x A x B = −b Vậy phương trình đường thẳng (AB) là: y = x + 8.2 Lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với Parabol (P) điểm M(xM; yM) Cơ sở lý luận : Do (d) (P) có giao điểm nên phương trình: mx2 - ax - b = có nghiệm kép: x1 = x2 Vận dụng hệ thức Vi-et, ta có:  x1 + x = a   −b  x1 x = m ⇒ a b ⇒ phương trình tiếp tuyến Ví dụ 2: Cho (P): y= x2 ; A ∈ (P) có hồnh độ xA = lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) A Giải : Giả sử phương trình tiếp tuyến A (d) : y = ax + b Phương x2 trình hồnh độ giao điểm (d) (P) : = ax + b ⇔ x2 - 4ax - 4b = (*) Ta có: xA = nghiệm kép (*): x1 = x2 =  x1 + x2 = 4a a = ⇒  x1 x2 = −4b b = −1 Theo Viet ta có:  Vậy phương trình tiếp tuyến (d) là: y = x - 8.3 Lập phương trình đường thẳng (d): y = ax + b (a ≠ 0) Parabol y = mx (m ≠ 0) 18 Cơ sở lý luận: Hoành độ giao điểm (d) parabol nghiệm phương trình: mx2 = ax + b ⇔ mx2 - ax - b = Theo hệ thức Vi-et, ta có: a  x + xB =  A m  − b  x x =  A B m (*) … => giá trị tham số cần tìm Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = x − n + parabol (P): y = x Tìm n để đường thẳng (d) qua điểm A(2;0) Tìm n để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn: x12 − x2 + x1 x2 = 16 (Đề thi vào lớp 10 THPT tỉnh Thanh Hóa năm học 2017-2018) Giải : Hồnh độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình: ' x = x − n + ⇔ x − x + n − = Ta có ∆ = − (n − 3) = − n Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ' > ⇔ − n > ⇔ n < (*) (1)  x1 + x2 = Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:  (2)  x1.x2 = n − x12 − x2 + x1 x2 = 16 (3) Thay x2 = − x1 (1) vào (3) ta có: x12 − ( − x1 ) + x1 ( − x1 ) = 16 ⇔ x12 − + x1 + x1 − x12 = 16 ⇔ x1 = 20 ⇔ x1 = ⇒ x2 = − = −3 Thay x1 = 5; x2 = −3 vào (2) ta có: 5.(−3) = n − ⇔ n = −12 (TMĐK) Vậy với n = -12 (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn: x12 − x2 + x1x2 = 16 Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng (d): y = nx – parabol (p) y = x2 Tìm n để đường thẳng (d) qua điểm B(1; 0) Tìm n để (d) cắt (p) hai điểm phân biệt có hồnh độ x 1, x2 thoả mãn x1 − x2 = (Đề thi vào lớp 10 THPT tỉnh Thanh Hóa năm học 2014-2015) Bài tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = x + m Parabol (P): y = x2 a Tìm m để đường thẳng (d) qua điểm A(0;1) 19 b Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) hai điểm phân biệt có 1 +  x1 x hồnh độ x1, x2 thỏa mãn điều kiện: 4   − x1 x + =  (Đề thi vào lớp 10 THPT tỉnh Thanh Hóa năm học 2015-2016) Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Sau dạy xong cho học sinh phần kiến thức kết hợp với việc rèn luyện giải số tập nhận thấy: + Học sinh biết vận dụng kiến thức học vào giải toán đạt hiệu cao học sinh trung bình Đối tượng học sinh giỏi biết vận dụng linh hoạt kiến thức ứng dụng định lý Vi-ét để giải tốn khó, đề thi + Đã cải thiện lớn lực giải phương trình bậc hai bậc ba học sinh + Học sinh tiếp thu nhanh dễ hiểu hơn, hứng thú tích cực học tập u thích mơn tốn + Học sinh tránh sai sót hay gặp phải q trình giải tốn liên quan đến ứng dụng hệ thức Vi-ét + Học sinh làm trình bày khoa học, lập luận chặt chẽ Kết kiểm tra học 39 sinh lớp 9A năm học 2021-2022 sau ứng dụng sau Giỏi Khá TB Yếu Kém Lớp TS SL % SL % SL % SL % SL % 9A 39 10.2 14 20.4 17 46.2 23.2 0 III PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ: Kết luận: Qua nghiên cứu lý luận áp dụng giải pháp làm THCS Cơng Chính tơi tự rút kết luận sau đây: Đa số em học sinh khá, giỏi muốn mở rộng, nâng cao kiến thức em cách nào, đọc sách tốt sách tham khảo nhiều loại Vì giáo viên cần nghiên cứu tìm cách hướng dẫn học sinh cách tự học nhà, tự chọn sách tham khảo,… Tạo cho học sinh niềm say mê hứng thú học tập, yêu thích mơn tốn Xây dựng kế hoạch tổ chức bồi dưỡng học sinh giỏi, phụ đạo học sinh yếu tiết dạy khóa ngồi Làm tốt cơng tác biểu dương khen thưởng học sinh có nhiều tiến học tập Cần nâng cao nhận thức cho giáo viên, học sinh, phụ huynh mục đích, ý nghĩa, vai trị mơn tốn nội dung chương trình THCS Mong đề tài: “Ứng dụng hệ thức Vi-ét để ôn luyện thi vào 10 cho học sinh lớp trường THCS Cơng Chính” góp phần giúp em thêm kiến 20 thức, biết ứng dụng hệ thức Vi-ét vào giải tốn phương trình bậc hai để em thêm tự tin kỳ thi tuyển, đặc biệt kỳ thi vào lớp 10 tới Kiến nghị: Giáo viên có chương trình hướng dẫn, định hướng cho học sinh chọn mua sách tham khảo tất môn học Nhà trường tiếp tục tổ chức học tăng tiết cho học sinh lớp để em ơn tập, mở rộng kiến thức Phịng GD & ĐT Nơng Cống nên tổ chức nhiều buổi chuyên đề mảng kiến thức khó để giáo viên chia sẻ, học tập lẫn khơng ngừng nâng cao trình độ chun mơn, nghiệp vụ Sở GD&ĐT nên phổ biến sáng kiến kinh nghiệm hay cấp tỉnh thành chuyên đề để giáo viên chúng tơi học tập, góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy XÁC NHẬN CỦA NHÀ TRƯỜNG Nông Cống, ngày 20 tháng năm 2022 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Phạm Hồng Nghĩa 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO: 1) Sách giáo khoa, sách tập toán 2) Hướng dẫn thực chuẩn kiến thức, kĩ mơn Tốn trung học sở 3) Sách Hướng dẫn giải dạng tập từ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 ( Tác giả: Trần Thị Vân Anh) Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội 4) Bồi dưỡng học sinh giỏi toán ( Nhóm tác giả: Nguyễn Đức Tân, Nguyễn Anh Hồng, Nguyễn Đồn Vũ, Phan Bá Trình, Nguyễn Văn Danh, Đỗ Quang Thanh…) Nhã xuất Đại học quốc gia Hà Nội 5) Sách 50 đề toán thi vào lớp 10 chuyên chọn ( Tác giả: Minh Tân ) Nhà xuất Tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh 6) Sách Bài tập thực hành toán 9, tập hai ( Tác giả: Quách Tú Chương, Nguyễn Đức Tấn, Nguyễn Anh Hoàng) Nhà xuất giáo dục Việt Nam 7) Các tài liệu tham khảo hệ thức Vi-ét Internet, 22 ... vận dụng hệ thức Vi- ét học sinh lớp 9A trường THCS Cơng Chính năm học 2021-2022 trước sau tổ chức hướng dẫn cho học sinh học hệ thức Vi- ét ứng dụng 3.2 Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu ứng dụng hệ. .. thức Vi- ét để giải tốn phương trình bậc hai Góp phần giúp em tự tin kỳ thi tuyển Đó lý tơi chọn đề tài này: “ Ứng dụng hệ thức Vi- ét để ôn luyện thi vào 10 cho học sinh lớp trường THCS Công Chính? ??... để có hai số u v là: S2 – 4P ≥ Nội dung hệ thức Vi- ét ứng dụng hệ thức Vi- ét nằm chương IV phần đại số 9, tiết 58 + 59 có: + Tiết lý thuyết: Học sinh học định lí Vi- ét ứng dụng hệ thức Vi? ?t để