Trong việc dạy học Toán thì việc tìm ra những phương pháp dạy học và giải bài tập Toán đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc, hệ thống bài tập, sử dụng đúng phương pháp dạy học để góp phần hình thành và phát triển tư duy của học sinh. Đồng thời qua việc học Toán học sinh cần được bồi dưỡng, rèn luyện về phẩm chất đạo đức, các thao tác tư duy để giải các bài tập Toán trong đó có các bài toán về bất đẳng thức cũng là một trong những bài toán hay giúp học sinh phát huy cao độ tính tư duy, trí tuệ cho học sinh. Tuy nhiên giải toán bất đẳng thức là bài toán khó vì phạm vì kiến thức rộng đặc biệt là với học sinh T.H.C.S.
A. MỞ ĐẦU 1) Lý do chọn đề tài. Ngày nay sự phát triển của tất cả các ngành khoa học cơ bản cũng như ứng dụng vào tất cả các ngành công nghiệp then chốt như: dầu khí, viễn thông, hàng không, đều không thể thiếu Toán học và càng gắn bó với Toán học. Sự ra đời và phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin đã dẫn đến sự bùng nổ các ứng dụng của Toán học, đưa lại hiệu quả to lớn cho đời sống xã hội. Toán học có vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển dân trí. Toán học không chỉ cung cấp cho học sinh (người học Toán) những kỹ năng tính toán cần thiết mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện khả năng tư duy lôgic, một phương pháp luận khoa học. Trong việc dạy học Toán thì việc tìm ra những phương pháp dạy học và giải bài tập Toán đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc, hệ thống bài tập, sử dụng đúng phương pháp dạy học để góp phần hình thành và phát triển tư duy của học sinh. Đồng thời qua việc học Toán học sinh cần được bồi dưỡng, rèn luyện về phẩm chất đạo đức, các thao tác tư duy để giải các bài tập Toán trong đó có các bài toán về bất đẳng thức cũng là một trong những bài toán hay giúp học sinh phát huy cao độ tính tư duy, trí tuệ cho học sinh. Tuy nhiên giải toán bất đẳng thức là bài toán khó vì phạm vì kiến thức rộng đặc biệt là với học sinh T.H.C.S. Là giáo viên dạy ở THCS tôi thấy thực trạng khi dạy toán bất đẳng thức đó là: - Giáo viên khi dạy về bất đẳng thức chỉ chữa bài tập là xong, ít khai thác, phân tích đề tài mở rộng bài toán mới dẫn đến khi học sinh gặp bài toán khác một chút là không giải được. - Học sinh thường ngại học toán bất đẳng thức vì kiến thức không liền mạch, phương pháp giải hạn chế, các bài toán bất đẳng thức thường khó, phải áp dụng các kiến thức khó như: quy nạp toán học, phản chứng, nên học sinh hay ngại và học sinh chưa vận dụng được toán bất đẳng thức vào để giải các bài toán khó như cực trị, hàm số, - Vì vậy: Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc giải toán bất đẳng thức là cần thiết. Trong những năm giảng dạy thực tế ở trường phổ thông tôi đã tích luỹ được một số kiến thức về toán bất đẳng thức xin được trình bày dưới góc độ nhỏ. B NỘI DUNG Phần I: ÁP DỤNG GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐẠI SỐ Ở TRƯỜNG THCS. I/ MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC. 1. Định nghĩa: Cho 2 số a và b ta nói: a lớn hơn b, kí hiệu: a > b ⇔ a - b > 0. a nhỏ hơn b, kí hiệu: a < b ⇔ a - b < 0. 2. Các tính chất của bất đẳng thức: 2.1. a > b ⇔ b < a. 2.2. Tính chất bắc cầu: a > b, b > c ⇒ a > c. 2.3. Tính chất đơn điệu của phép cộng: Cộng cùng một số vào hai vế của bất đẳng thức: a > b ⇒ a + c > b + c. 2.4. Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho: a > b, c > d ⇒ a + c > b + d. Chú ý: không được trừ từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều. 2.5. Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngược chiều được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ. Nếu a > b, c > d thì a - c > b - d 2.6. Tính chất đơn điệu của phép nhân: a) Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương. a > b, c > 0 ⇒ a.c > b.c b) Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm. a > b, c < 0 ⇒ a.c < b.c 2.7. Nhân từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm Nếu a > b ≥ 0, c > d ≥ 0 thì ac > bd. 2.8. Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên dương hai vế của bất đẳng thức a > b > 0 ⇒ a n > b n . - a > b ⇒ a n > b n với n = 2k ( k ∈ Z). 2.9. So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số với số mũ nguyên dương Với m > n > 0: - Nếu a > 1 thì a m > a n . - Nếu a = 1 thì a m = a n . - Nếu 0 < a < 1 thì a m < a n . 2.10. Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức nếu hai vế cùng dấu Nếu a > b > 0 hoặc a < b < 0 thì < a 1 b 1 Chú ý: Ngoài các bất đẳng thức chặt (a > b) ta còn gặp các bất đẳng thức không chặt (a ≥ b) tức là a > b hoặc a = b. Trong các tính chất nêu trên nhiều tính chất dấu “>” (hoặc dấu “ <”) có thể thay bởi dấu “ ≥ ” ( hoặc dấu “ ≤ ”) 3. Các bất đẳng thức cần nhớ. 3.1. a 2 ≤ 0, -a 2 ≤ 0. Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0. 3.2. a ≥ 0. Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0. 3.3. - a ≤ a ≤ a . Dấu đẳng thức xảy ra khi a = 0. 3.4. ba + ≤ a + b . Xảy ra dấu đẳng thức khhi ab ≥ 0. 3.5. ba − ≥ a - b . Xảy ra dấu dẳng thức khhi ab ≥ 0; a ≥ b . (Các điều kiện này còn có thể diễn đạt lại là a ≥ b ≥ 0 hoặc a ≤ b ≤ 0). Chú ý: Một số bất đẳng thức quan trọng: a/ a 2 + b 2 ≥ 2ab. b/ ( 2 ba + ) 2 ≥ ab hay (a + b) 2 ≥ 4ab (Bất đẳng thức Cô si). c/ a 1 + b 1 ≥ ba + 1 với a; b > 0. d/ b a + a b ≥ 2 với ab > 0. e/ (ax + by) 2 ≥ (a 2 + b 2 ).(x 2 + y 2 ). (Bất đẳng thức Bunhia - Côpxki) II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐẠI SỐ 1. Phương pháp dùng định nghĩa 1.1 Cơ sở toán học: Để chứng minh A > B ta chứng minh A - B > 0. Để chứng minh A < B ta chứng minh A - B < 0. 1.2 Ví dụ minh hoạ. - Ví dụ 1: Chứng minh rằng (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) ≥ -1. Giải Xét hiệu: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) - (-1) = [(x-1)(x-2)].[(x-2)(x-3)] = (x 2 -5x+4)(x 2 -5x+6) + 1. Đặt (x 2 -5x+5) = y, biểu thức trên được viết lại như sau: (y-1)(y+1) + 1 = y 2 -1+1 = y 2 ≥ 0. ⇒ (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) - (-1) ≥ 0 hay (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) ≥ -1. Ví dụ 2: Chứng minh: 2(x 2 + y 2 ) ≥ (x + y) 2 . Giải Xét hiệu 2 vế: 2(x 2 + y 2 ) - (x + y) 2 = 2x 2 + 2y 2 - x 2 - 2xy - y 2 = x 2 - 2xy + y 2 = (x + y) 2 ≥ 0. Vậy 2(x 2 + y 2 ) ≥ (x + y) 2 . Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu a và b là các số thực không âm thì: 2 ba + ≥ ab . Giải Xét hiệu: 2 ba + - ab = 2 abba −+ = 2 )( 2 ba + ≥ 0. Đúng với mọi a; b ≥ 0. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. Ví dụ 4: Cho a > 0; b > 0. Chứng minh rằng: . 22 2 33 + ≥ + baba Giải Xét hiệu: A = ( ) ( ) ( ) 8222 3 22 2 33 babababababa + − −−+ = + − + ( )( ) . 8 3 4 2444 2 4 2 2 2 2222 22 22 baba bababababa baba baba ba −+= −−−+−+ = ++ −+− + = Vì a > 0; b > 0; (a - b) 2 ≥ 0 nên A ≥ 0. - Vậy . 22 2 33 + ≥ + baba 1.3. Bài tập tự giải. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1/ . 22 2 22 + ≥ + baba 2/ x 3 + 4x + 1 > 3x 2 với x ≥ 3. 3/ Cho a + b = c + d. Chứng minh rằng: c 2 + d 2 + cd ≥ 3ab. 4/ Với 1 ≥≥ ba thì . 1 2 1 1 1 1 22 ab ba + ≥ + + + 2. Phương pháp dùng các tính chất của bất đẳng thức. 2.1. Cơ sở toán học. - Xuất phát từ các bất đẳng thức đã biết vận dụng các tính chất của bất đẳng thức để suy ra bất đẳng thức phải chứng minh. - Thường là áp dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức. (Đã nêu ở phần trên) 2.2 Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Cho a + b > 1. Chứng minh a 4 + b 4 > 8 1 . Giải Ta có a + b > 1 > 0. (1) Bình phương 2 vế của (1) ta được: (a + b) 2 > 1 ⇒ a 2 + 2ab + b 2 > 1. (2) Mặt khác: (a - b ) 2 ≥ 0 ⇔ a 2 - 2ab + b 2 ≥ 0. (3) Cộng từng vế của (2) và (3) ta được: 2(a 2 + b 2 ) > 1 ⇒ (a 2 + b 2 ) > 2 1 . (4) Bình phương hai vế của (4) ta được: a 4 + 2a 2 b 2 + b 4 > 4 1 . (5) Mặt khác: (a 2 - b 2 ) 2 ≥ 0 ⇔ a 4 - 2a 2 b 2 + b 4 ≥ 0. (6) Cộng từng vế của (5) và (6) ta được: 2(a 4 + b 4 ) > 4 1 . Hay a 4 + b 4 > 8 1 . Ví dụ 2: Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: cba −+ 1 + acb −+ 1 + bac −+ 1 ≥ a 1 + b 1 + c 1 . Giải - Xét cba −+ 1 + acb −+ 1 với a + b - c > 0; b + c - a > 0. Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho x; y > 0, ta có: x 1 + y 1 ≥ xy 1 ≥ yx + 4 . Vì vậy ta được: cba −+ 1 + acb −+ 1 ≥ b2 4 = b 2 Tương tự ta có: acb −+ 1 + bac −+ 1 ≥ c 2 bac −+ 1 + cba −+ 1 ≥ a 2 Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức rồi chia cả hai vế cho 2 ta được: cba −+ 1 + acb −+ 1 + bac −+ 1 ≥ a 1 + b 1 + c 1 . Dấu bằng xảy ra khi a = b = c. Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu 2 22 ≤+ ba thì .2≤+ ba Giải Ta có: ( ) .2020 2222 2 abbabababa ≥+⇒≥+−⇔≥− Từ .22 2222 −≥−−⇒≤+ baba Suy ra 022 ≤−ab hay 2ab ≤ 2. Mặt khác (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (1) 22 ≤ab (2) 2 22 ≤+ ba (3) Từ (1), (2), (3) suy ra ( ) 4 2 ≤+ ba hay .2≤+ ba Nhưng baba +≥+ nên .2 ≤+ ba 2.3. Chú ý: Khi sử dụng các bất đẳng thức ta cần tránh những sai lầm sau: 1. a > b; c > d ⇒ a - c > b - d. 2. a > b; c > d ⇒ ac > bd. (Nhân vế với vế của hai bất đẳng thức mà chưa biết hai vế có không âm hay không) 3. Bình phương hai vế của một bất đẳng thức mà chưa biết hai vế không âm: a > b ⇒ a 2 > b 2 . 4. Khử mẫu mà chưa biết dấu của chúng: b a > d c ⇒ ad > bc. - 5. Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức mà chưa biết hai vế có cùng dấu hay không: a > b ⇒ a 1 > b 1 . 6. Khi làm trội một biểu thức đôi khi phải chia biểu thức thành nhiều nhóm rồi làm trội từng nhóm. Ta xét ví dụ sau: Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n ≥ 2 thì: 1 + 2 1 + 3 1 + + 12 1 − n < n. Gọi vế trái của bất đẳng thức là A, ta có: A = 1 + ( 2 1 + 3 1 ) + ( 2 2 1 + + 7 1 ) + ( 3 2 1 + + 15 1 ) + + ( 1 2 1 −n + 12 1 − n ). Ở mỗi nhóm ta làm trội bằng cách thay các phân số nhỏ hơn trong nhóm bằng phân số lớn nhất trong nhóm ta được: A < 1 + 2 1 .2 + 2 2 1 .4 + 3 2 1 .8 + + 1 2 1 −n .2 n-1 = n 1 11 +++ = n. 2.4 Bài tập tự giải: Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1/ ba 11 + ≥ ba + 4 (a > 0; b > 0). 2/ a 2 + b 2 + c 2 + d 2 abcd4≥ . 3/ Cho a + b =1. Chứng minh rằng: a 4 + b 4 ≥ 8 1 . 4/ 2 2 1 + 2 3 1 + + 2 1 n < n n 1+ . 3. Phương pháp biến đổi tương đương. 3.1. Cơ sở toán học. - Để chứng minh bất đẳng thức A ≥ B ta biến đổi tương đương (dựa vào các tính chất của bất đẳng thức) A ≥ B ⇔ C ≥ D. Và cuối cùng đạt dược bất đẳng thức đúng hoặc hiển nhiên là C ≥ D. Vì các phép biến đổi đều là tương đương nên A ≥ B. - Để dùng phép biến đổi tương đương ta cần chú ý các hằng đẳng thức sau: (A 222 2) BABAB +±=± . - (A + B + C) 2 = A 2 + B 2 + C 2 + 2AB + 2BC + 2CA. 3.2. Các ví dụ minh hoạ. Ví dụ 1: Chứng minnh x 2 + x + 1 > 0 với x∀ . Giải Ta có: x 2 + x + 1 = (x 2 + 2.x.1 + 4 3 ) 4 1 + = (x + 2 1 ) 2 + 4 3 > 0 với x ∀ .(Điều phải chứng minh). Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Với mọi a, b, c, d, e ∈ R thì: a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 ≥ a(b + c + d + e) (1) Giải Nhân cả hai vế của bất đẳng thức (1) với 4 ta được: 4a 2 + 4b 2 + 4c 2 + 4d 2 + 4e 2 ≥ 4a(b + c + d + e). ⇔ (a 2 - 4ab + 4b 2 ) + (a 2 - 4ac + 4c 2 ) + (a 2 - 4ad + 4d 2 ) + (a 2 - 4ae + 4e 2 ) ≥ 0 ⇔ (a - 2b) 2 + (a - 2c) 2 + (a - 2d) 2 + (a - 2e) 2 ≥ 0 (2) Vì (a - 2b) 2 ≥ 0 Rba ∈∀ ; . (a - 2c) 2 ≥ 0 Rca ∈∀ ; . (a - 2d) 2 ≥ 0 Rda ∈∀ ; . (a - 2e) 2 ≥ 0 Rea ∈∀ ; . ⇒ Bất đẳng thức (2) đúng với Redcba ∈∀ ;;;; . Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh. Ví dụ 3: Chứng minh rằng với 4 số bất kì a; b; x; y ta có: (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) ≥ (ax + by) 2 . (1) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi y b x a = . Giải Ta có: (1) ⇔ a 2 x 2 + a 2 y 2 + b 2 x 2 + b 2 y 2 ≥ a 2 x 2 + 2abxy + b 2 y 2 . ⇔ a 2 y 2 - 2abxy + b 2 x 2 ≥ 0 ⇔ (ay - bx) 2 ≥ 0 (2). Ta thấy bất đẳng thức (2) đúng nên bất đẳng thức (1) đúng. 3.3 Chú ý. - Sẽ mắc sai lầm nếu trong lời giải trên thay các dấu “ ⇔ ” bằng các dấu “ ⇒ ”. - Thật vậy, nếu (1) ⇒ (2) mà bất đẳng thức (2) không đúng thì chưa thể kết luận được bất đẳng thức (1) có đúng hay không. - Khi sử dụng phép biến đổi tương đương, học sinh thường bỏ qua các phép biến đổi tương đương có điều kiện dẫn đến không chặt chẽ. Vì vậy cần lưu ý các phép biến đổi tương đương có điều kiện. 3.4 Bài tập tự giải 1/ Bài 1: So sánh 2 số A = 333 − và B = 122 − . 2/ Bài 2: Chứng minh rằng với x > 1 ta có: 2 1 ≥ −x x . 3/ Bài 3: Chứng minh rằng: Rcba ∈∀ ;; ta có: a/ a 4 + b 4 ≥ a 3 b + ab 3 . b/ a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca. 4/ Bài 4: Cho a ≥ 0. Chứng minh rằng: a 5 - a 2 - 3a + 5 > 0. 4. Phương pháp quy nạp toán học 4.1 Cơ sở toán học. Nội dung của phương pháp này là tiên đề quy nạp toán học. Cho mệnh đề phụ thuộc vào số nguyên dương n. Nếu: + Mệnh đề đúng với n = 1. + Từ giả thiết đúng với n = k (k ∈ N) suy ra được mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Thế thì mệnh đề đúng với mọi số nguyên dương. Như vậy để chứng minh một mệnh đề T đúng với mọi số nguyên dương bằng phương pháp quy nạp toán học ta phải tiến hành theo 3 bước: - Bước 1: Chứng minh mệnh đề T(1) đúng. (Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1) - Bước 2: Giả sử mệnh đề T(k) đúng. Ta phải chứng minh mệnh đề T(k+1) cũng đúng. - Bước 3: Kết luận mệnh đề đúng với mọi số nguyên dương n. 4.2 Một số ví dụ minh hoạ. - Ví dụ 1: Chứng minh rằng: Với x > -1 thì ( 1 + x) n ≥ 1 + nx, trong đó n là số nguyên dương bất kì. Giải + Với n = 1, ta có bất đẳng thức đúng 1 + x ≥ 1 + x. + Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k tức là (1 + x) k ≥ 1 + kx. Ta phải chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với n = k + 1. Tức là phải chứng minh (1 + x) k+1 ≥ 1 + (k + 1)x. Thật vậy, theo giả thiết : 1 + x > 0. Ta có (1 + x) k (1 + x) ≥ (1 + kx)(1 + x) ⇔ (1 + x) k+1 ≥ 1 + (k + 1)x + kx 2 . Mà kx 2 > 0 nên 1 + (k + 1)x + kx 2 ≥ 1 + (k + 1)x. Từ đó suy ra bất đẳng thức phải chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi x = 0. Ví dụ 2: Cho a; b là 2 số dương. Chứng minh rằng: 2, 22 ≥∀ + ≥ + n baba n nn . Giải + Với n = 2 ta dễ dàng chứng minh được 2 22 22 + ≥ + baba . + Giả sử bài toán đúng với n = k ta có: . 22 k kk baba + ≥ + (1) + Ta phải chứng minh 1 11 22 + ++ + ≥ + k kk baba . (2) Thật vậy: Nhân hai vế của (1) với 2 ba + ta được: + 2 ba . . 22 k kk baba + ≥ + + 2 ba . Hay + 2 ba . . 22 1+ + ≥ + k kk baba Để có (2) ta phải chứng minh: k kkk bababa 222 11 + + ≥ + ++ . (3) ⇔ a k+1 + b k+1 ab k + a k b. Thật vậy, ta có: a k+1 + b k+1 - ab k - a k b = a k (a - b) - b k (a - b) - [...]... 2 Giải ? Em có nhận xét gì về + Mỗi thừa số là áp dụng bất đẳng thức Côsi cho từng cặp tổng hai số không hai dơng số ta đợc: mỗi thừa số ở vế trái ? Với những số không âm a + b ab (a + b)2 4ab âm ta thờng áp dụng bất + Bất đẳng thức Tơng tự ta có: Côsi đẳng thức nào? - ? Bình phơng bất đẳng thức (*) ta đợc bất đẳng thức nào? + HS cả lớp áp dụng bất đẳng ? Muốn chứng minh bất thức Côsi để làm đẳng. .. đẳng thức nào? + HS cả lớp áp dụng bất đẳng ? Muốn chứng minh bất thức Côsi để làm đẳng thức này ta phải có bài tập 2 bất đẳng thức phụ nào? - Gọi 1 hs lên bảng trình + Ta có: (a + b)2 bày, hs cả lớp cùng làm 4ab (b + c)2 4bc (c + a)2 4ac b + c 2 bc (b + c)2 4bc c + a 2 ca (c + a)2 4ca Nhân từng vế 3 bất đẳng thức trên ta đợc: (a + b)2(b + c)2(c + a)2 64a2b2c2 (a + b)(b + c)(c + a) 8abc + HS... kớnh ng trũn bng tip trong gúc A; B; C ca ABC 1.9 Kớ hiu gúc l: 2 Mt s kin thc c bn cn dựng A 2.1 Vi 3 im bt kỡ A; B; C ta cú AB AC + BC Du = xy ra khi v ch khi C nm gia 2 im A v B 2.2 Trong mt tam giỏc gúc i din vi cnh ln hn l gúc ln hn Cnh i din vi gúc ln hn l cnh ln hn AB AC BC C B A A B 2.3 Trong tam giỏc vuụng cnh huyn - C ln hn mi cnh gúc vuụng CA> AB> BC B C 2.4 Trong mt tam giỏc gúc... vuụng CA> AB> BC B C 2.4 Trong mt tam giỏc gúc i din vi cnh A nh nht l gúc ln nht 2.5 Trong hai ng xiờn k t mt im n mt ng thng, ng no cú hỡnh chiu ln hn thỡ ln hn v ngc li AB AC BH HC B 2.6 Trong tam giỏc ABC cú: H C A AB - AC < BC < AB + AC AB - BC < AC < AB + BC AC - BC < AB < AC + BC B C 2.7 Trong mt ng trũn hay trong hai ng trũn bng nhau: + Cung ln hn khi v ch khi dõy trng cung ln hn C + ng kớnh... so vi ton b chuyờn v bt ng thc Vic ỏp dng mt s phng phỏp gii toỏn bt ng thc vo chng trỡnh toỏn THCS l mt vn rng, l ni dung phong phỳ v a dng Nhng trờn tụi ch trỡnh by c mt s phng phỏp, mt s bi tp c bn nht trong chng trỡnh toỏn THCS Chc chn rng õy l cun t liu cú th giỳp tụi hiu mt cỏch sõu sc hn, c bn hn trong vic gii toỏn bt ng thc Hy vng õy cng l mt cun tham kho nh cho ng nghip Qua vic lm ti tụi... 1 2 p a + p b + p c 4 a + b + c 1 1 1 1 1 1 + + 2 + + Do ú: pa p b p c a b c ? Hóy tho lun nhúm trong 2 phỳt tỡm iu kin xy ra du =? Sau khi cỏc nhúm bỏo cỏo kt qu, GV nhn xột v cho im Tho lun nhúm trong 2 phỳt sau ú i din cỏc nhúm trỡnh by kt qu Du = xy ra khi v ch khi du = trong cỏc bt ng thc (1), (2), (3) ng thi xy ra ngha l: p a = p b p b = p c p a = p b = p c a = b = c... y 2 1 x 1 1 x 1 (**) T (*) v (**) x = -1 Thay x = -1 vo (2) ta cú: y2 2y + 1 = 0 y = 1 Vy h phng trỡnh cú nghim duy nht (x = -1; y = 1) Phn II: P DNG GII TON BT NG THC TRONG HèNH HC I.MT S KIN THC C BN V BT NG THC TRONG HèNH HC 1 Mt s kớ hiu thng dựng ch cỏc yu t ca tam giỏc 1.1 a; b; c tngn ng l di 3 cnh AB; AC; BC ca ABC 1.2 ; ; tng ng l ln cỏc gúc ti 3 nh A; B; C 1.3 ma; mb; mc tng... 4b2 Du = xy ra khi v ch khi 2b a 3 a = 1; b = -1 = 2 3 Vớ d 3: Chng minh bt ng thc Becnuli i vi a R + ;1 < q Q thỡ: (1 + a)q > 1 + q.a Gii m Do q Q v q > 1 nờn q = trong ú m > n, m; n N n p dng bt ng thc Cụ si cho m s ta cú: nsốhạ ng mốhạ ng (1 + qa ) + + (1 + qa ) + 1 + + 1 m (1 + qa ) n 1m n n (Khụng xy ra du = vỡ 1 + qa > 1) Hay n(1 + qa ) + ( m n ).1 > m (1 + qa ) n n + nqa... Bt ng thc c: dng bt ng thc Bunhiacụpxki khụng? Hóy ch ra tng tha s trong bt ng thc ny? Nh vt bi toỏn cú th gi theo bt ng thc Bunhiacụpski c hay khụng? + GV cho HS c lp suy ngh ớt phỳt ri gi mt HS khỏ lờn bng lm (1) cú dng bt ng thc Cỏch 3: Dựng bt ng thc Bunhiacụpxki v Bunhiacụpxki cú cỏc tha s [ c ( a c ) + c (b c ) ] 2 Ta cú: trong bt ng thc l: [( c ) 2 + ( b c ) 2 ][( c ) 2 + ( a c ) 2 ] =... P = x1 x2 .xn cú giỏ tr ln nht khi: m = m = = m 1 2 n Trong ú mi l cỏc s hu t dng 2 Mnh 2: (i ngu): Nu tớch ca cỏc s dng x 1; x2; xn bng mt s cho trc thỡ tng ca chỳng bộ nht khi x1= x2= = xn *nh lớ 2: Nu n s thc dng x1; x2; xn cú tớch P = x1 x2 .xn khụng i thỡ x x x 1 2 n tng S = x1 + x2 + + xn cú giỏ tr bộ nht khi m = m = = m 1 2 n Trong ú mi (i = 1; 2; ; n) l cỏc s hu t dng cho trc 3 Mnh . −≥− B. ÁP DỤNG 1. Tìm cực trị của hàn số. Biểu thức đại số. Bài 1: Tìm GTNN của hàm số: ( ) ( ) . 199 4 199 3 22 −+−= xxy Giải - . có: ++ ++ ++= + + +=++ 222 222 222 3 2 9 1 3 2 9 1 3 2 9 1 3 1 3 1 3 1 zzyyxxzyxcba ( ) . 3 1 3 1 3 2 3 1 222222 ≥+++=++++++= zyxzyxzyx - Xảy. đúng. 5.4. Bài tập tự giải. - 1/ Chứng minh rằng nếu các số dươnng a; b; c có tổng a + b + c = 1 thì: .9 111 ≥++ cba 2/ Cho 0;,; ≥∈ yxRyx và 1 22 =+ yx . Chứng minh rằng: .1 2 1 33 ≤+≤ yx 3 Cho .1;1