SKKN Đề tài “Giải toán bất đẳng thức với việc phát triển năng lực tư duy của học sinh

ĐẶT VẤN ĐỀ

Ngày nay cùng với sự phát triển của tất cả các ngành khoa học cơ bảnToán học là một trong số những ngành khoa học đi đầu, có vị trí hết sức quantrọng Chúng ta có thể nhận thấy điều này thông qua ứng dụng của Toán họchầu hết có mặt trong tất cả các lĩnh vực của đời sống xã hội Sự ra đời và pháttriển mạnh mẽ của công nghệ thông tin đã dẫn đến sự bùng nổ các ứng dụngcủa Toán học, đem lại hiệu quả to lớn cho đời sống xã hội.

Toán học có ví trí đặc biệt quan trọng trong việc nâng cao và phát triểndân trí Toán học không chỉ cung cấp cho học sinh (người học Toán) nhữngkỹ năng tính toán cần thiết mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện khả năng tưduy lôgic, một phương pháp luận khoa học.

Trong việc dạy học Toán thì việc tìm ra những phương pháp dạy học vàgiải bài tập Toán đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc hệ thống bài tập,phương pháp dạy học để góp phần hình thành và phát triển tư duy của họcsinh Đồng thời qua việc học Toán học sinh cần được bồi dưỡng, rèn luyện vềphẩm chất đạo đức, các thao tác tư duy để giải các bài tập Toán trong đó loạitoán về bất đẳng thức cũng là một trong những bài toán hay giúp học sinhphát huy cao độ tính tư duy, trí tuệ.

Với suy nghĩ đó bản thân tôi xin mạnh dạn bày tỏ một vài quan điểm,những hiểu biết của bản thân thông qua việc tìm hiểu, sưu tầm, học hỏi,chọn lọc những vấn đề có liên quan đến loại toán về bất đẳng thức đểchúng ta cùng nhau bàn bạc, tham gia góp ý để việc dạy học bất đẳng thứcngày càng hiệu quả hơn.

CƠ SỞ KHOA HỌC

Giải toán bất đẳng thức là loại toán khó vì phạm vì kiến thức vận dụnglà rộng, đặc biệt là với học sinh bậc THCS Qua thực tế giảng dạy ở THCStôi thấy thực trạng khi dạy toán bất đẳng thức đó là:

- Với giáo viên: khi dạy về bất đẳng thức chỉ tập trung vào việc chữabài tập là xong, ít đi sâu tìm hiểu, khai thác, phân tích để mở rộng bài toándẫn đến khi học sinh gặp bài toán khác một chút là khó khăn thậm chí làkhông giải được.

- Với học sinh: thường ngại học toán bất đẳng thức vì kiến thức khôngliền mạch, phương pháp giải hạn chế, các bài toán bất đẳng thức thường khó,phải áp dụng các kiến thức khó như: quy nạp toán học, phản chứng, nên họcsinh hay ngại và học sinh chưa vận dụng được toán bất đẳng thức vào để giảicác bài toán khó như cực trị, hàm số,

- Với sách giáo khoa: việc đề cập đến dạng toán bất đẳng thức cũng đãcó song còn ở dạng đơn giản, chưa tường minh, không sâu, còn làm cho việcnhận thức về vấn đề này còn mơ hồ và đôi khi còn bỏ qua (chủ yếu là đội ngũhọc sinh giỏi)

- Với tài liệu tham khảo: hiện nay tôi thấy có nhiều tài liệu đề cập đếnvấn đề này Tuy nhiên việc trình bày trong những cuốn sách đó phần hệ thốngcòn hạn chế, hoặc quá cao siêu với việc nhận thức của học sinh Thậm chímột số cuốn sách chỉ có lời giải mà không có hình thành phương pháp giải cụthể.

Thông qua đề tài này sẽ góp phần vào việc nâng cao nhận thức về việcdạy và học loại toán về bất đẳng thức Tạo ra cho giáo viên, học sinh cóhứng thú khi giải toán bất đẳng thức, làm bài tập tốt hơn, tự giải quyếtđược các bài tập bất đẳng thức có dạng tương tự, hạn chế được rất nhiềusai lầm khi giải toán bất đẳng thức.

NỘI DUNG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

2 Các tính chất của bất đẳng thức2.1 a > b  b < a.

2.2 Tính chất bắc cầu: a > b, b > c  a > c.

2.3 Tính chất cộng: Cộng cùng một số vào hai vế của bất đẳng thức:

a > b  a + c > b + c.

2.4 Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều được bất đẳng thức mới

cùng chiều với bất đẳng thức đã cho: a > b, c > d  a + c > b + d.

Chú ý: không được trừ từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều.

2.5 Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngược chiều được bất đẳng thức

mới cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ:

2.10 Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức nếu hai vế cùng

Nếu a > b > 0 hoặc a < b < 0 thì 1 1a  b.

 0, -a2

 0 Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0.

3.2 a  0 Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0.

3.3 - a  a  a Dấu đẳng thức xảy ra khi a = 0.

3.4 a b  a + b Xảy ra dấu đẳng thức khi ab  0.

3.5 a b  a - b Xảy ra dấu dẳng thức khi ab  0; a  b (Các điều kiện này còn có thể diễn đạt lại là a  b  0 hoặc a  b 

Chú ý: Một số bất đẳng thức quan trọng:

a/ a2 + b2

 2ab.b/

a b2

e/ (ax + by)2 (a2 + b2).(x2 + y2) (Bất đẳng thức Bunhia - Côpxki)

II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC1 Phương pháp dùng định nghĩa

1.1 Cơ sở toán học

Để chứng minh A > B ta chứng minh A - B > 0.Để chứng minh A < B ta chứng minh A - B < 0.

1.2 Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Chứng minh rằng nếu a và b là các số thực không âm thì:

a b ab2

Dấu “=” xảy ra khi nào?

Xét hiệu: a b2

- ab = a b 2 ab2 

= ( a b)22

 0 luôn đúng a,b 0 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b.

Ví dụ 2: Cho a > 0; b > 0 Chứng minh rằng:

333

Công từng vế của (*) và (**) ta được 2ab 2 0   2ab  2 (***)Cộng từng vế của (**) và (***) ta được: (a2 + b2 ) + 2ab ≤ 4

Lại có (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 = (a2 + b2 ) + 2ab

 a b 2 4 hay a b 2.Nhưng a b a b   nên a b 2. 

 0  a2 - 2ab + b2

 0 (3)

Cộng từng vế của (2) và (3) ta được: 2(a2 + b2) > 1  (a2 + b2) > 21 (4)Bình phương hai vế của (4) ta được: a4 + 2a2b2 + b4 > 41 (5)

4 Khử mẫu mà chưa biết dấu của chúng: ba > dc  ad > bc.

5 Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức mà chưa biết hai vếcó cùng dấu hay không: a > b  a1 > b1

6 Khi làm trội một biểu thức đôi khi phải chia biểu thức thành nhiềunhóm rồi làm trội từng nhóm.

Ta xét ví dụ sau:

Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n  2 thì: 1 + 12 + 31 + + 12

n <n.

1

3 Phương pháp biến đổi tương đương

3.1 Cơ sở toán học

- Để chứng minh bất đẳng thức A  B ta biến đổi tương đương (dựavào các tính chất của bất đẳng thức) A  B  C  D Và cuối cùng đạtdược bất đẳng thức đúng hoặc hiển nhiên là C  D.

Vì các phép biến đổi đều là tương đương nên A  B.

- Để dùng phép biến đổi tương đương ta cần chú ý các hằng đẳng thứcsau:

 = (x + 12 )2 + 43Mà

x y.

Giải

Ta có: (1)  a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 a2x2 + 2abxy + b2y2  a2y2 - 2abxy + b2x2 0  (ay - bx)2 0 (2).Ta thấy bất đẳng thức (2) đúng nên bất đẳng thức (1) đúng.Dấu “=” xảy ra khi ay = bx a b

- Khi sử dụng phép biến đổi tương đương, học sinh thường bỏ qua cácphép biến đổi tương đương có điều kiện dẫn đến không chặt chẽ Vì vậy cầnlưu ý các phép biến đổi tương đương có điều kiện.

4 Phương pháp quy nạp toán học

4.1 Cơ sở toán học

Nội dung của phương pháp này là tiên đề quy nạp toán học.Cho mệnh đề phụ thuộc vào số nguyên dương n: T(n) Nếu:+ Mệnh đề đúng với n = 1.

+ Từ giả thiết đúng với n = k (kN) suy ra được mệnh đề cũng đúngvới n = k + 1 Thì mệnh đề đúng với mọi số nguyên dương.

Như vậy để chứng minh một mệnh đề T(n) đúng với mọi số nguyêndương bằng phương pháp quy nạp toán học ta phải tiến hành theo 3 bước:

- Bước 1: Chứng tỏ mệnh đề T(n0) đúng (Kiểm tra mệnh đề đúng với n0

là giá trị nhỏ nhất của n thường là 0 hoặc 1)

Từ đó suy ra bất đẳng thức phải chứng minh.Dấu đẳng thức xảy ra khi x = 0.

Ví dụ 8 : Chứng minh rằng 1 3 5 2n 1 1 .

 n là số nguyên dương.

+Với n = 1, ta có: 1 1 1

2 3 1 2 bất đẳng thức đúng.+Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1 Tức là:

5 Phương pháp dùng bất đẳng thức dã biết

5.1 Cơ sở toán học

Trong nhiều bài toán để việc chứng minh bất đẳng thức được gọn ta cóthể sử dụng các bất đẳng thức đã được chứng minh, nhất là các bất đẳng thức:Cô si, Bunhia - Côpxki,

  (2) luôn đúng với a;b 0.

Vậy (1) luôn đúng với a;b0.(đpcm)

Bài toán này sai ở chỗ áp dụng bất đẳng thức a b 2b a

3/ Phủ định luận đề rồi suy ra 2 điều trái nhau.

4/ Phủ định luận đề rồi suy ra điều trái với một điều đúng.5/ Phủ định luận đề rồi suy ra kết luận của A B B.

Vậy a + b  2.

Ví dụ 12: Cho 3 số thực a; b; c thoả mãn điều kiện:

a b c 0ab bc ca 0abc 0

  

Vì abc > 0 nên trong 3 số a; b; c phải có một số dương.Giả sử ngược lại cả 3 số đều âm thì abc < 0 Vô lý.Không mất tính tổng quát ta giả sử a > 0.

Mà abc > 0 nên bc > 0.

Nếu b < 0; c < 0 thì b + c < 0.Từ a + b + c > 0

6.3 Chú ý

Với những bài toán chứng minh bất đẳng thức có dạng như trên ta nênsử dụng phương pháp phản chứng Tuy nhiên để sử dụng phương pháp nàycần nắm vững 5 cách chứng minh và các tính chất của bất đẳng thức để biếnđổi, lập luận.

7 Phương pháp đổi biến

7.1 Cơ sở toán học

Bước 1: Đặt biến mới dựa theo biến cũ.

Bước 2: Biến đổi bất đẳng thức theo biến mới, chứng minh bất đẳngthức theo biến mới.

Bước 3: Kết luận và trả lời theo biến cũ.

7.2 Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 13: Cho a + b+ c = 1 Chứng minh rằng: a2 b2 c2 1.3

Ta phải chứng minh: y x x z x y xyz.

* Đặt biến mới theo hệ biến cũ, kèm theo điều kiện của biến mới.

* Nắm chắc được các phép biến đổi, các bất đẳng thức cơ bản để áp dụng.* Đổi về biến cũ.

8 Phương pháp sử dụng tam thức bậc 2

8.1 Cơ sở toán học

Ta có thể dùng định lý về dấu của tam thức bậc 2, dấu của nghiệm của tamthức bậc 2 để chứng minh bất đẳng thức.

Cho tam thức bậc 2: F(x) = ax2 + bx + c với  b2  4ac.

+ Nếu  0 thì a.F(x) > 0 với  x R.

+ Nếu  0 thì a.F(x) > 0 với x ba

   F(x) cùng dấu với a.+ Nếu  0 thì x ;x : x122 x1 Ta có:

- x nằm ngoài khoảng 2 nghiệm: x < x1; x > x2 a.F(x) > 0.- x nằm trong khoảng 2 nghiệm:x <x < x  a.F < 0.

8.2 Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 15: Cho các số: a, b, c, d thảo mãn: a + d = b + c Chứng minh rằng:

Nếu lấy số m sao cho: 2m > ad bc thì với mọi x R ta luôn có:(x - a)(x - b)(x - c)(x - d) + m2  0 (1).

 

Hay (x - a)(x - b)(x - c)(x - d) + m2  0 (đpcm)

8.3 Chú ý: Khi sử dụng tam thức bậc hai cần chú ý:

+Nắm chắc định lý về dấu của tam thức bậc 2.

+ Thường dùng các phép biến đổi tương đương để đưa bất đẳng thức cầnchứng minh về dạng: F(x) 0

F(x) 0

Trong đó F(x) là tam thức bậc 2 đối với biến x.

III MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨCA Một số định lý, bất đẳng thức cần dùng.

1.Mệnh đề 1: Nếu tổng các số thực dương x1; x2; xn bằng một số chotrước thì tích của chúng lớn nhất khi: x1= x2= = xn.

*Định lý 1: Nếu có n số dương x1; x2; xn có tổng bằng S không đổi thì tích P = x1 x2 .xn có giá trị lớn nhất khi: 1 2 n

2 Mệnh đề 2: (Đối ngẫu): Nếu tích của các số dương x1; x2; xn bằngmột số cho trước thì tổng của chúng bé nhất khi x1= x2= = xn.

*Định lý 2: Nếu n số thực dương x1; x2; xn có tích P = x1 x2 .xn khôngđổi thì tổng S = x1 + x2 + + xn có giá trị bé nhất khi 1 2 n

áp dụng bất đẳng thức: a1  a2 a1a2 ta được:y x 1993 1994 x 1    y 1.

Dấu “=” xảy ra  x 1993 x 1994      0 1993 x 1994. Do đó ymin = 1.

2 Tìm điều kiện của tham số để phương trình, hệ phương trình, tamthức bậc 2 thoả mãn điều kiện nào đó.

Ví dụ 17: Cho phương trình a x2 2  2  a x2 2  1 2a 2 1 Tìm giá trị củatham số a để phương trình có đúng 2 nghiệm trên tập hợp số nguyên.

Do đó

22 2

Nếu a0 thì 2 x2 12a

  Để phương trình có 2 nghiệm nguyên trên tập hợpsố nguyên thì x2 chỉ có thể nhận giá trị duy nhất là số chính phương trongkhoảng 2; 12

3 Dùng bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình

Ví dụ 18: Giải phương trình sau: 3x2 12x 16  y2 4y 13 5. 

Ta thấy: 3x2  12x 16  3 x 2  24 2 y2  4y 13  y 2 2 9 3.  3x2  12x 16  y2  4y 13 5. 

Dấu “=” xảy ra

ÁP DỤNG GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TRONG HÌNH HỌC

I.MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC TRONGHÌNH HỌC

1 Một số kí hiệu thường dùng để chỉ các yếu tố của tam giác

1.1 a; b; c tương ứng là độ dài 3 cạnh AB; AC; BC của ABC.1.2 ;; tương ứng là độ lớn các góc tại 3 đỉnh A; B; C.

1.3 ma ; mb ; mc tương ứng là độ dài các đường trung tuyến dựng từ các đỉnhA; B; C.

1.4 ha ; hb ; hc tương ứng là độ dài các đường cao hạ từ các đỉnh A; B; C.

1.5 la ; lb ; lc tương ứng là độ dài các đường phân giác kẻ từ các đỉnh A; B; C.1.6 R và r tương ứng là độ dài các bán kính đường tròn ngoại tiếp và đườngtròn nội tiếp của ABC.

1.7 SABC là diện tích của ABC.

1.8 ra ; rb ; rc tương ứng là độ dài các bán kính đường tròn bàng tiếp trong gócA; B; C của ABC.

2.6 Trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:+ Cung lớn hơn khi và chỉ khi dây trương cung lớn hơn

+ Đường kính là dây cung lớn nhất 2.7 SABC  1

II MỘT SỐ CÁCH CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC1 Sử dụng bất đẳng thức tam giác

Ví dụ 1: Chứng minh rằng trong tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a,

trung tuyến AM = ma ta có: b c a2 

< ma < b c2

Xét ABM có: AM > AB - BMXét ACM có: AM > AC - CM

Cộng từng vế 2 bất đẳng thức trên ta được:2AM > AB + AC - (BM + CM)

A

 2AM > AB + AD - BC

 ma > b c a2 

(2)Từ (1) và (2)  b c a

2 

< m a<b c2

(Mở rộng: Ta có thể chứng minh bất đẳng thức này đối với trung tuyến bất kỳ

trong một tam giác)

KB KC2

4 (đpcm).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: KB = KC Hay K là trung điểm của BC

3 Sử dụng phép đối xứng giải toán bất đẳng thức hình học

Ví dụ 3: Cho ABC bất kỳ Chứng minh rằng: ha  p(p a)Với p là nửa chu vi của ABC, ha là đường cao hạ từ A.

CA

Giải

Qua A kẻ Ax // BC.

Thực hiện phép đối xứng trục Ax ta có: SAx : B  B’

C  C’ Ta có: AB + AC = AB’+ AC  CB’Xét tam giác vuông CC’B’ta có:

CB’ = C'C2 C'B'2  b + c  4h2a a2

 (b + c)2  4ha2 + a2 ha2 1 2 2

4    == 1(b c a)(b c a)

4     = p(p - a)  ha

2  p(p - a)  ha  p(p a)(đpcm).

Ví dụ 4: Gọi a ,b, c là 3 cạnh của một tam giác, các đường cao tương ứng là ha

xB'

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c  ABC là tam giác đều.

AP AH; (Định lý Ta Lét)

; SABC= AH.BC

 OBCABC

S AH AP Tương tự ta có: BOA

Ví dụ 6: Cho tứ giác ABCD Chứng minh rằng:

AB.CD + AD.BC AC.BDDấu “=” xảy ra khi và chỉ khi tứ giác ABCD nội tiếp.

Giải

Vẽ tia Ax sao cho: DAx CBD

Vẽ tia Dy sao cho: ADy BDC

Gọi M là giao điểm của Ax và Dy Xét ADM và BDC có:

CB

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: AM + MC = AC M AC

Từ đó ta có định lý Prôtêmê: Điều kiện cần và đủ để một tứ giác nội

tiếp trong một đường tròn là: Tổng các tích những cạnh đối diện bằng tíchhai đường chéo.

5 Sử dụng một bài toán để chứng minh các bất đẳng thức khác

Ví dụ 7: Cho b1, b2, , bn là các số dương còn a1, a2, , an tuỳ ý Chứng minh taluôn có:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 1 2 n

b b  b .

KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM

Để so sánh hiệu quả của hai phương pháp đã tiến hành thực hiện ở 2

nhóm học sinh lớp 9B mỗi nhóm có 12 học sinh được chia đều (có trình độnhận thức ngang nhau) Dạy theo phương pháp mới (nội dung đề tài đề cập) ởnhóm (I), dạy theo phương pháp cũ ở nhóm (II).

2.Kết quả điểm số như sau:

x = 4.1 5,5.1 6.3 7.2 7,5.1 8.1 9.2 9,5.1 7,04212

x = 3.1 4.2 5.2 5,5.1 6.2 7.2 8.1 8,5.1 5,7512

(4 7,042) (5,5 7,042) (9,5 7,042)

(3 5,75) (4 5,75) (5 5,75) (8,5 5,75)

  

Từ kết quả trên chúng ta có thể dễ dàng nhận thấy:

-Nhóm (I) có điểm trung bình cao hơn và độ lệch tiêu chuẩn thấp hơn -Nhóm (II) có điểm trung bình thấp hơn và độ lệch tiêu chuẩn cao hơn.Chứng tỏ rằng nhóm (I) có kết quả học tập tốt hơn nhóm (II)

Trên đây là kết quả bước đầu của việc nghiên cứu và áp dụng nộidung của đề tài vào thực tiễn quá trình giảng dạy tại Trường THCS TrungLập trong những năm học trước và tại Trường THCS Vĩnh Phong nămhọc 2008 - 2009 Tuy nhiên, với việc áp dụng của cá nhân nên kết quả cóthể mới chỉ dừng lại ở mức độ nào đó Bởi vì, đây là một vấn đề có nộidung mở bao trùm nội dung kiến thức rộng của môn toán Nên việc nghiên