Đề tài Áp dụng định lý Vi - ét trong việc giải một số bài toán

Do đó chỉ đề cập đến một số loại bài toán đó là: a ứng dụng của định lý Viét trong giải toán tìm điều kiện của tham số để bài toán thoả mãn các yêu cầu đặt ra b ứng dụng của định lý tron[r]

áp dụng định lý Vi - ét việc giải số bài toán ================================================================================================================== A PhÇn më ®Çu lý chọn đề tài Trong chương trình sách giáo khoa Toán lớp THCS, học sinh làm quen với phương trình bậc hai: Công thức tính nghiệm phương trình bậc hai, đặc biệt là định lý Viét và ứng dụng nó việc giải toán Song qua việc giảng dạy Toán trường T.H.C.S tôi nhận thấy các em vËn dông hÖ thøc ViÐt vµo gi¶i to¸n ch­a thËt linh ho¹t, ch­a biÕt khai th¸c vµ sö dụng hệ thức Viét vào giải nhiều loại bài toán, đó hệ thức Viét có tính øng dông rÊt réng r·i viÖc gi¶i to¸n Đứng trước vấn đề đó, tôi sâu vào nghiên cứu đề tài: “áp dụng định lý Vi-Ðt viÖc gi¶i mét sè bµi to¸n” víi mong muèn gióp cho häc sinh n¾m v÷ng và sử dụng thành thạo định lý Viét, đồng thời làm tăng khả năng, lực học toán vµ kÝch thÝch høng thó häc tËp cña häc sinh đối tượng và phạm vi nghiên cứu Trong đề tài này, tôi đưa nghiên cứu số ứng dụng định lý Viét việc giải số bài toán thường gặp cấp T.H.C.S Do đó đề cập đến số loại bài toán đó là: a) ứng dụng định lý Viét giải toán tìm điều kiện tham số để bài toán thoả mãn các yêu cầu đặt b) ứng dụng định lý giải bài toán lập phương trình bậc hai ẩn, tìm hệ số phương trình bậc hai ẩn c) ứng dụng định lý Viét giải toán chứng minh d) áp dụng định lý Viét giải phương trình và hệ phương trình e) §Þnh lý ViÐt víi bµi to¸n cùc trÞ 3.tình hình thực tế học sinh lớp trường thcs Ninh Xuân: Đa số học sinh khối là em các gia đình nông nên ngoài thời gian học trên lớp nhiều học sinh là lao động chính gia đình đó các em giành nhiều thời gian cho việc giúp gia đình làm kinh tế nên giành ít thời gian cho viÖc häc =========================================================== Lop8.net áp dụng định lý Vi - ét việc giải số bài toán ================================================================================================================== Mặt khác số học sinh coi nhẹ, xem thường việc học, lười học dẫn đến việc hổng kiến thức các lớp và không nắm vững kiến thức trên lớp Nhiều häc sinh rÊt h¹n chÕ vÒ kh¶ n¨ng sö dông ng«n ng÷ to¸n häc, kh¶ n¨ng tr×nh bµy mét bµi to¸n nh÷ng viÖc lµm cña b¶n th©n Để giúp học sinh nắm vững kiến thức phương trình bậc hai là việc dùng định lý viét, quá trình giảng dạy tôi đã đưa số bài toán việc sử dụng định lý viét dể giải dẫn đến kết nhanh B néi dung §Þnh lý ViÐt: Nếu x1, x2 là hai nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (a  0) thì: b   x1  x   a    x x  c  a  * Hệ quả: (trường hợp đặc biệt) c a tr×nh cã mét nghiÖm lµ: x1 = cßn nghiÖm lµ: x2 = b) Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a  0) có a - b + c = thì phương tr×nh cã mét nghiÖm lµ: x1 = - cßn nghiÖm lµ: x2 = * NÕu cã hai sè u vµ v tho¶ m·n ®iÒu kiÖn thì u, v là hai nghiệm phương trình: x2 – Sx + P  c a u  v  S  u.v  P = điều kiện để có hai số u, v là: S2 – 4P  Sau đây là số ví dụ minh hoạ cho việc ứng dụng định lý Viét giải mét sè d¹ng to¸n =========================================================== Lop8.net áp dụng định lý Vi - ét việc giải số bài toán ================================================================================================================== I ứng dụng định lý viét giải toán tìm điều kiện tham số để bài toán thoả mãn các yêu cầu đặt C¸c vÝ dô: Ví dụ 1: Tìm giá trị m để các nghiệm x1, x2 phương trình 2 mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x1  x  Bµi gi¶i: Điều kiện để phương trình có hai nghiệm (phân biệt nghiệm kép): m  ; ' ≥ ' = (m - 2)2 - m(m - 3) = - m + '   m  Với  m  4, theo định lý Viét, các nghiệm x1; x2 phương trình cã liªn hÖ: x1 + x = m3 2(m  2) ; x1.x2 = m m 4(m  2) 2(m  3) Do đó: = x12  x 22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = m m  m2 = 4m2 - 16m + 16 - 2m2 + 6m  m2 - 10m + 16 =  m = hoÆc m = Gi¸ trÞ m = kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn  m  VËy víi m = th× x12  x 22 = Ví dụ 2: Cho phương trình x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn 1 x1  x2   x1 x2 Bµi gi¶i:  Δ '  ((m  2))2  (m  2m  3)  (1)  (2) Ta ph¶i cã: x1 x   1 x1  x (3) x  x   =========================================================== Lop8.net áp dụng định lý Vi - ét việc giải số bài toán ================================================================================================================== (1)  ' = m2 - 4m + - m2 - 2m + = - 6m + >  m < (2)  m2 + 2m -   (m - 1)(m + 3)   m  1; m  - (3)  x1  x2 x1  x2   ( x1  x2 )(5  x1 x2 )  x1 x2  Trường hợp: x1 + x2 =  x1 = - x2  m = không thoả mãn điều kiện (1)  Trường hợp: - x1.x2 =  x1.x2 = Cho ta: m2 + 2m - =  (m - 2)(m + 4) = m  (lo¹i)  m  4 (tho¶ m·n § K) Vậy với m = - phương trình đã cho có nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn x  x2 1   x1 x Ví dụ 3: Cho phương trình: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = (m là tham số) a) Xác định m để các nghiệm x1; x2 phương trình thoả mãn x1 + 4x2 = b) T×m mét hÖ thøc gi÷a x1; x2 mµ kh«ng phô thuéc vµo m Bµi gi¶i: 2( m  1)   x1  x2  m  m4  x1.x2  a) Ta ph¶i cã:  m  x  x   m       '  ( ( m  1)  m( m  4)  0 Tõ (1) vµ (3) tÝnh ®­îc: x2  Thay vµo (2) ®­îc (1) (2) (3) (4) m2 5m  ; x1  3m 3m (m  2)(5m  8) m    2m2 - 17m + 8=0 m 9m Giải phương trình 2m2 - 17m + = ®­îc m = 8; m = 1 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (4) VËy víi m = hoÆc m = thì các nghiệm phương trình thoả mãn x1 + 4x2 = =========================================================== Lop8.net áp dụng định lý Vi - ét việc giải số bài toán ================================================================================================================== b) Theo hÖ thøc ViÐt: Thay x1 + x = + m x1 + x = - m (*) = x1 + x2 - vµo (*) ®­îc x1x2 = - 2(x1 + x2 - 2) m VËy x1.x2 = - 2(x1 + x2) Ví dụ 4: Với giá trị nào m thì hai phương trình sau có ít nghiệm chung: x2 + 2x + m = (1) x2 + mx + = (2) Bµi gi¶i: Gọi x0 là nghiệm chung nào đó phương trình đó ta có x02  x0  m  x02  mx0   Trừ theo vế hai phương trình ta (m - 2)x0 = m - Nếu m = hai phương trình là x2 + 2x + = vô nghiệm Nếu m  thì x0 = từ đó m = - Víi m = - 3: (1) lµ x2 + 2x – = 0; cã nghiÖm x1 = vµ x2 = - Vµ (2) lµ x2 - 3x + = 0; cã nghiÖp x3 = vµ x4 = Rõ ràng với m = - thì hai phương trình có nghiệm chung x = Bµi tËp: Bài 1: Cho phương trình x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = (1) Tìm giá trị tham số m để phương trình có (1) có nghiệm x1 = 2x2 Bài 2: Cho phương trình mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = a) Tìm m để phương trình có nghiệm =========================================================== Lop8.net áp dụng định lý Vi - ét việc giải số bài toán ================================================================================================================== b) Tìm m để phương trình có nghiệm trái dấu Khi đó hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn? c) Xác định m để các nghiệm x1; x2 phương trình thoả mãn: x1 + 4x2 = d) T×m mét hÖ thøc gi÷a x1, x2 mµ kh«ng phô thuéc vµo m Bµi 3: a) Với giá trị nào m thì hai phương trình sau có ít nhật nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó? x2 - (m + 4)x + m + = (1) x2 - (m + 2)x + m + = (2) b) Tìm giá trị m để nghiệm phương trình (1) là nghiệm phương trình (2) và ngược lại II ứng dụng định lý viét bài toán lập phương trình bậc hai ẩn, tìm hệ số phương trình bậc hai Èn sè C¸c vÝ dô: VÝ dô 1: Cho x1 = 1 ; x2 = 1 Lập phương trình bậc hai có nghiệm là: x1; x2 Ta cã: x1 = 1 Nªn x1.x2 = x1 + x = ; x2 = 1 = 1  1  1   1 1 1 = 2 1 3 1 + = 1 3 Vậy phương trình bậc hai có nghiệm: x1; x2 là x2 - x+ =0 Hay 2x2 - x + = Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 + 5x - = (1) =========================================================== Lop8.net áp dụng định lý Vi - ét việc giải số bài toán ================================================================================================================== Không giải phương trình (1), hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm là luỹ thừa bậc bốn các nghiệm phương trình (1) C¸ch gi¶i: Gọi x1; x2 là các nghiệm phương trình đã cho theo hệ thức viét, ta có: x1 + x2 = -5; x1.x2 = - Gọi y1; y2 là các nghiệm phương trình phải lập, ta có: y1 + y2 = x14  x 24 y1 y2 = x14 x 24 Ta cã: x14  x 24 = (x12 + x22)2 - 2x12.x22 = 729 – = 727 x14 x 24 = (x1.x2)4 = (- 1)4 = Vậy phương trình cần lập là: y2 - 727y + = Ví dụ 3: Tìm các hệ số p và q phương trình: x2 + px + q = cho hai  x1  x  3 x  x  35 nghiệm x1; x2 phương trình thoả mãn hệ:  C¸c gi¶i: §iÒu kiÖn  = p2 - 4q  (*) ta cã: x1 + x2 = -p; x1.x2 = q Tõ ®iÒu kiÖn: x  x 2  25  x1  x     3 2 x  x  35 x  x  x1  x1 x2  x2  35   x  x 2  4x x  25   5 x  x   x1 x2  x1 x2  35   p  q  25   p  q  Gi¶i hÖ nµy t×m ®­îc: p = 1; q = - vµ p = - 1; q = - Cả hai cặp giá trị này thoả mãn (*) 2) Bµi tËp: =========================================================== Lop8.net áp dụng định lý Vi - ét việc giải số bài toán ================================================================================================================== Bài 1: Lập phương trình bậc hai có nghiệm là + và 3 Bài 2: Lập phương trình bậc hai thoả mãn điều kiện: Cã tÝch hai nghiÖm: x1.x2 = vµ x1 x k2 7 + = x1  x2  k 4 Bài 3: Xác định có số m, n phương trình: x2 + mx + n = Sao cho các nghiệm phương trình làm m và n Iii ứng dụng định lý viét giải toán chứng minh C¸c vÝ dô: Ví dụ 1: Cho a, b là nghiệm phương trình: x2 + px + = và b, c là nghiệm phương trình x2 + qx + = Chøng minh: (b - a)(b - c) = pq - Hướng dẫn học sinh giải Đây không phải là bài toán chứng minh đẳng thức thông thường, mà đây là đẳng thức thể liên quan các nghiệm phương trình và hệ số các phương trình đó Vì đòi hỏi chúng ta phải nắm vững định lý Viét và vận dụng định lý Viét vào quá trình biến đổi vế đẳng thức, để suy hai vế C¸ch gi¶i: a,b là nghiệm phương trình: x2 + px + = b,c là nghiệm phương trình: x2 + qx + = Theo định lý viét ta có: a  b  - p b  c  - q vµ   a.b  b.c  Do đó: (b – a)(b – c) = b2 + ac - (1) pq = (- p)(- q) = (a + b)(b + c) = b2 + ac + Suy ra: pq - = b2 + ac +3 – = b2 + ac - (2) Tõ (1) vµ (2) suy (b - a)(b - c) = pq - (®pcm) =========================================================== Lop8.net áp dụng định lý Vi - ét việc giải số bài toán ================================================================================================================== VÝdô 2: Cho c¸c sè a,b,c tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: a+b+c=-2 (1); a2 + b2 + c = Chứng mình số a, b, c thuộc đoạn    ;0 (2) biÓu diÔn trªn trôc sè: C¸ch gi¶i: Bình phương hai vế (1) được: a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = Do (2) nªn: ab + bc + ca = (4 - 2): =  bc = - a(b + c) = - a(- - a) = a2 + 2a + Ta lại có: b + c = - (a + 2), đó b, c là nghiệm phương trình: X2 + (a + 2)X + (a2 + 2a + 1) = (*) §Ó (*) cã nghiÖm th× ta ph¶i cã:  = (a+2)2 - 4(a2+2a+1)   a(3a + 4)   - a0 Chứng minh tương tự ta được: - 4  b  0; -  c  3 Bµi tËp: Bài 1: Gọi a, b là hai nghiệm phương trình bậc hai: x2 + px + = Gọi c, d là hai nghiệm phương trình: y2 + qy + = Chøng minh hÖ thøc: (c-a)(a-b)(b-c)(b-d) = (p-q)2 Bài 2: Chứng minh viết số x = ( 2)200 dạng thập phân, ta chữ số liền trước dấu phẩy là 1, chữ số liền sau dấu phẩy là iii áp dụng định lý viét giải phương trình và hệ phương trình C¸c vÝ dô: Ví dụ 1: Giải phương trình: 5 x 5 x  x  x  =6 x 1   x 1   Hướng dẫn: =========================================================== Lop8.net áp dụng định lý Vi - ét việc giải số bài toán ================================================================================================================== §KX§: {xR  x  - 1} §Æt: 5 x   u  x x   5 x   x  x 1  u    ?   u.  ? Tính: u, v, từ đó tính x Bµi gi¶i: §KX§: {x  R  x  - 1} 5 x  u  x  x  (*) §Æt:  5 x   x  x 1   5 x  5 x  u     x x     x  x   u          x  x      u.   u.   x . x    x 1   x 1   u, v là nghiệm phương trình: x2 - 5x + =  = 25 – 24 = 1 =3 1 x2 = =2 x1 = u = th× v = hoÆc u = th× v = u  th× (*) trë thµnh:   NÕu:  x2 - 2x + = ' = – = - < Phương trình vô nghiệm: u  th× (*) trë thµnh: x2 - 3x + =    NÕu:  Suy ra: x1 = 1; x2 = Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 = Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình: a) x  y  11   xy  31 b)  x  y  yx   xy  x y  12 =========================================================== Lop8.net áp dụng định lý Vi - ét việc giải số bài toán ================================================================================================================== Bµi gi¶i: a) x,y là nghiệm phương trình: x2 - 11x +31 = =(-11)2 - 4.1.31 = 121 – 124 = - < Phương trình vô nghiệm Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm b) §Æt x + y = S vµ xy = P S  P  Ta cã hÖ:   S.P  12 Khi đó S và P là hai nghiệm phương trình: t2 – 7t + 12 = Giải phương trình này t = và t = + Nếu S = thì P = đó x, y là nghiệm phương trình: u2 - 4u + =  u = vµ u = Suy (x = 1; y = 3) vµ (x = 3; y = 1) + Nếu S = thì P = đó x, y là nghiệm phương trình: v2 – 3v + = Phương trình này vô nghiệm vì  = - 16 = - < Vậy hệ đã cho có hai nghiệm số là: (x = 1; y = 3) vµ (x = 3; y =1) Bµi tËp: Bài 1: Giải phương trình: x3 + 9x2 + 18 + 28 = Bài2: Giải các hệ phương trình sau:  xy 9 a)  2 x  y  b)  xy 3  4 x  y  17 V §Þnh lý viÐt víi bµi to¸n cùc trÞ: C¸c vÝ dô: Ví dụ 1: Gọi x1, x2 là các nghiệm phương trình: =========================================================== Lop8.net áp dụng định lý Vi - ét việc giải số bài toán ================================================================================================================== x2 - (2m - 1)x + m – = 2 Tìm m để x1  x2 có giá trị nhỏ Bµi gi¶i: XÐt:  = 4m2 - 4m + - 4m + = 4m2 - 8m + = 4(m - 1)2 + > Nên phương trình đã cho có hai nghiệm với m Theo định lý Viét ta có: x1 + x2 = 2m - 1; x1.x2 = m - 2  x1  x2 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = (2m - 1)2 - 2(m - 2) 11 11 ) +  4 =4m2 - 6m + = (2m DÊu “=” x¶y m = VËy Min(x12 + x22) = 11 m = 4 Ví dụ 2: Gọi x1; x2 là nghiệm phương trình: 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + = T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: A =x1x2 - 2x1 - 2x2 C¸ch gi¶i: Để phương trình đã cho có nghiệm thì: ' = (m + 1)2 - 2(m2 + 4m + 3) = - (m + 1)(m + 5)  -5 m-1 (*) Khi đó theo hệ thức Viét ta có: x1 + x2 = - m - m  4m  x1 x2 = m  8m  Do đó: A =   Ta cã: m2 + 8m + = (m + 1)(m + 7) víi ®iÒu kiÖn (*) th×: (m + 1)(m + 7)  Suy ra: A =  m  8m   (m  4) =  2 DÊu b»ng x¶y (m + 4)2 = hay m = - =========================================================== Lop8.net áp dụng định lý Vi - ét việc giải số bài toán ================================================================================================================== Vậy A đạt giá trị lớn là: m = - 4, gi¸ trÞ nµy tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (*) VÝ dô 3: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña A=(x4 + 1) (y4 + 1), biÕt x, y  0; x + y = 10 C¸ch gi¶i: A = (x4 + 1)(y4 + 1) = x4 + y4 + y4x4 + Ta cã: x + y = 10  x2 + y2 = 10 - 2xy  x4 + y4 + 2y2x2 = 100 - 40xy + 4x2y2  x4 + y4 = 100 - 40xy + 2x2y2 §Æt : xy = t th× x4 + y4 = 100 - 40t + 2t2 Do đó A = 100 - 40t + 2t2 + t4 + = t4 + 2t2 – 40t + 101 a) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt: A = t4 - 8t2 + 16 + 10t2 - 40t + 40 + 45 = (t2 - 4)2 + 10(t - 2)2 + 45  45 Min(A) = 45  t = 2, đó xy = 2; x + y = 10 nªn x vµ y lµ nghiÖm cña phương trình X2 - 10X + = Tøc lµ x = 10  ;y= 10  hoÆc x = 10  ;y= 10  2 b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt: 2 x  y   10   =     t  Ta cã:  xy    =      2 5   2 (1) Viết A dạng: A = t(t3 + 2t - 40) + 101 Do (1) nªn t3  125 125 ; 2t   t3 + 2t - 40  + - 40 < cßn t  nªn 8 A  101 Max(A) = 101 vµ chØ t = tøc lµ x = 0; y = 10 hoÆc x = 10; y = =========================================================== Lop8.net áp dụng định lý Vi - ét việc giải số bài toán ================================================================================================================== Bµi tËp: Bài 1: Gọi x1, x2 là các nghiệm phương trình x2 + 2(m - 2)x - 2m + = Tìm m để x12  x 22 cã gi¸ trÞ nhá nhÊt Bài 2: Cho phương trình: x2 - m + (m - 2)2 = T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = x1x2 + 2x1 + 2x2 Bài 3: Cho phương trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = (m là tham số) Tìm 2 m cho nghiệm x1; x2 phương trình thoả mãn 10x1x2 + x1  x đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị đó C KÕt luËn ứng dụng định lý Viét việc giải toán là vấn đề lớn, đòi hỏi người học phải có tính sáng tạo, có tư tốt và kỹ vận dụng lý thuyết cách linh hoạt Chính vì lẽ đó, quá trình giảng dạy, người giáo viên cần chuẩn bị chu đáo, tỉ mỉ, rõ ràng thể loại bài tập cụ thể để học sinh hiểu sâu chất vµ c¸ch vËn dông X©y dùng cho c¸c em niÒm ®am mª, høng thó häc tËp, t«n trọng suy nghĩ, ý kiến và sáng tạo các em Cần thường xuyên kiểm tra, đánh giá kết học tập, bổ sung thiếu sót kịp thời, dạy sâu, dạy và kết hợp nhuÇn nhuyÔn, l«gic gi÷a c¸c bµi kh¸c Nghiên cứu đề tài “ứng dụng định lý Viét việc giải toán” không chØ gióp cho häc sinh yªu thÝch häc bé m«n to¸n, mµ cßn lµ c¬ së gióp cho b¶n thân có thêm kinh nghiệm giảng dạy Mặc dù đã cố gắng thực đề tµi, song kh«ng thÓ tr¸nh khái thiÕu sãt vÒ cÊu tróc, ng«n ng÷ vµ kiÕn thøc khoa học Vì vậy, tôi mong quan tâm các đồng chí, đồng nghiệp góp ý kiến chân thành để đề tài này hoàn thiện Xin ch©n thµnh c¶m ¬n! Ninh Xu©n, ngµy 16 th¸ng n¨m 2009 Người viết =========================================================== Lop8.net áp dụng định lý Vi - ét việc giải số bài toán ================================================================================================================== TrÇn Danh Lîi =========================================================== Lop8.net