skkn ứng dụng của hệ thức vi ét trong việc giải một số dạng toán THCS

MỤC LỤC NỘI DUNG Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận 2.2 Thực trạng vấn dề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Một số biện pháp 2.3.2 Các dạng toán vận dụng hệ thức Vi-ét phương pháp giải Dạng tốn Tính tổng tích hai nghiệm phương trình bậc hai ẩn Dạng tốn Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn Dạng tốn Dùng hệ thức Vi-ét tìm nghiệm cịn lại phương trình bậc hai ẩn cho biết trước nghiệm Dạng tốn Tìm hai số biết tổng tích chúng Dạng tốn Tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm mà khơng giải phương trình Dạng tốn Tìm hệ thức liên hệ nghiệm x1 ; x2 khơng phụ thuộc vào tham số Dạng tốn Tìm giá trị tham số để nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước Dạng tốn Bài toán liên quan đến xét dấu nghiệm Dạng tốn Lập phương trình bậc hai biết nghiệm phương trình liên quan đến nghiệm phương trình bậc hai cho trước nghiệm phương trình hai số cho trước 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân đồng nghiệp nhà trường Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị TRANG 1 2 2 3 4 10 11 15 17 17 18 18 19 Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Với hy vọng góp phần hình thành phát triển lực chủ động sáng tạo, có kiến thức khoa học có kỹ giải tốn, có ý chí vươn lên, có lực tự học thói quen học tập suốt đời, có lực vào thực tiễn xã hội góp phần hiệu làm cho dân giàu nước mạnh xã hội cơng bằng, dân chủ văn minh Tốn THCS nói chung tốn phương trình bậc hai nói riêng có nhiều nhiều dạng tập nên học sinh gặp nhiều khó khăn đứng trước tốn Đối với học sinh THCS nói chung đối tượng nghiên cứu học sinh lớp nói riêng, em khơng phải cịn nhỏ khả phân tích, suy luận, để tự tìm lời giải cho tốn cịn nhiều hạn chế đối tượng học sinh học yếu lười học Hơn nữa, đề thi vào lớp 10 trung học phổ thơng tốn phương trình bậc hai có sử dụng tới hệ thức Vi-ét xuất phổ biến Trong nội dung thời lượng phần sách giáo khoa lại ít, lượng tập chưa đa dạng Ta thấy để giải tốn có liên qua đến hệ thức Vi-ét, học sinh cần tích hợp nhiều kiến thức đại số Thơng qua học sinh có cách nhìn tổng qt hai nghiệm phương trình bậc hai với hệ số.Chính nên dạng tốn mơn đại số lớp “Ứng dung hệ thức Vi -ét việc giải số dạng toán THCS” em dạng tốn khó Do việc hướng dẫn giúp em có kỹ ,phương pháp để giải tốn, ngồi việc nắm lý thuyết, em phải biết vận dụng thực hành, từ phát triển khả tư duy, tạo hứng thú cho học sinh học nhằm nâng cao chất lượng học tập Kiến thức mơn tốn rộng, em lĩnh hội nhiều kiến thức, kiến thức lại có mối quan hệ chặt chẽ với Do vậy, học em nắm lý thuyết bản, mà phải biết tự diễn đạt theo ý hiểu mình, từ biết vận dụng để giải loại tốn Thơng qua q trình giảng dạy, qua trình kiểm tra đánh giá tiếp thu vận dụng kiến thức học sinh Tôi nhận thấy học sinh vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải tốn phương trình bậc hai cịn nhiều hạn chế thiếu sót Đặc biệt em lúng túng vận dụng kiến thức học để biện luận phương trình bậc hai cho có hai nghiệm x 1, x2 thoả mãn điều kiện đó… Đây phần kiến thức khó em học sinh lớp Bởi lẽ từ trước đến em quen giải dạng tốn tính giá trị biểu thức giải phương trình cho sẵn, gặp phải toán biện luận theo tham số Mặt khác khả tư em hạn chế, em gặp khó khăn việc phân tích, suy luận, tìm mối liên hệ yếu tố tốn nên khơng định hướng cách giải Làm để giúp em có kiến thức tổng thể có đầy đủ dạng tốn phương trình bậc hai, biết cách giải biện luận dạng tốn phương trình bậc hai theo tham số Chính tơi chọn đề tài “Ứng dụng hệ thức Vi -ét việc giải số dạng tốn THCS ” với mục đích em gặp dạng tốn khơng cịn sợ sệt ham muốn giải gặp dạng tốn nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy 1.2 Mục đích nghiên cứu - Trang bị cho học sinh lớp cách có hệ thống dạng tốn vận dụng hệ thức vi ét, nhằm giúp cho học sinh có khả vận dụng tốt dạng toán - Học sinh có khả làm thành thạo dạng tốn vận dụng hệ thức vi ét - Phát huy khả suy luận, phán đốn va tính linh hoạt học sinh - Thấy vai trò việc vận dụng hệ thức vi ét giải tốn, từ giáo dục ý thức học tập học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Học sinh lớp trường THCS Quảng Thịnh, thành phố Thanh Hóa 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý thuyết: Đọc, xử lý văn bản, tài liệu làm sở lý luận cho đề tài - Phương pháp thử nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy thử, dự giờ, trao đổi với đồng nghiệp nhằm đánh giá hiệu đề tài - Phương pháp điều tra thực tiễn: Quan sát, điều tra, trắc nghiệm - Phương pháp chuyên gia: Xin ý kiến đồng nghiệp có kinh nghiệm q trình xây dựng, hồn thiện đề tài - Tiếp xúc trị chuyện với học sinh để nắm rõ thơng tin phản hồi - Phương pháp kiểm tra: Kiểm tra chất lượng hoạt động, lập bảng thống kê so sánh, đối chiếu kết hoạt động chưa áp dụng áp dụng đề tài Từ kiểm nghiệm lại mức độ thành công đề tài - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm - Sử dụng phương pháp thống kê toán học để xử lý số liệu thu thập Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Dạy học Toán thực chất dạy hoạt động toán học Học sinh- chủ thể hoạt động học cần phải hút vào hoạt động học tập giáo viên tổ chức đạo, thông qua học sinh tự khám phá điều chưa biết thụ động tiếp thu tri thức đặt sẵn Theo tinh thần tiết lên lớp , giáo viên người tổ chức đạo học sinh tiến hành hoạt động học tập, củng cố kiến thức cũ,tìm tịi phát kiến thức Giáo viên không cung cấp, không áp đặt kiến thức có sẵn đến với học sinh mà hướng cho học sinh thông qua hoạt động để phát chiếm lĩnh tri thức Trong hoạt động dạy học theo phương pháp đổi mới, giáo viên giúp học sinh chuyển từ thói quen học tập thụ động sang tự tìm tịi phát kiến thức giúp rèn luyện khả tư duy, nhớ kỹ kiến thức học Loại tốn có vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán khó có nhiều dạng tốn Để làm tốt dạng tốn địi hỏi người dạy học Tốn phải nắm vững dạng toán cách giải cho dạng Việc giới thiệu dạng toán vận dụng hệ thức vi-ét cho học sinh để em giải tốn có liên quan đến việc vận dụng hệ thức vi-ét việc quan trọng cần thiết.Vì khơng giúp học sinh giải tốn phức tạp mà sử dụng phương pháp sách giáo khoa khơng giải được; mà cịn làm cho học sinh hứng thú học tập mơn học hơn, có phương pháp suy luận, ngồi cịn phát triển trí tuệ giáo dục, rèn luyện người học sinh mặt Về mặt lí luận mà nói theo khung phân phối chương trình sách giáo khoa hành tồn kiến thức “ Hệ thức vi-ét ứng dụng” gói gọn tiết với đơn vị kiến thức như: Hệ thức vi ét, nhẩm nghiệm phương trình bậc hai, tìm hai số biết tổng tích Chính mà học sinh thiếu kĩ phương pháp giải gặp tốn khó 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2017 - 2018 nhà trường phân công giảng dạy mơn tốn lớp Qua thực tế dạy học kết hợp với dự kiến tập giáo viên trường, thông qua kỳ thi khảo sát chất lượng kỳ thi học sinh giỏi cấp Tỉnh, kỳ thi vào lớp 10 THPT thân nhận thấy em học sinh chưa có kỹ thành thạo làm dạng tập vận dụng hệ thức vi-ét Vì lý để giải loại tập cần phải có kỹ phân dạng có cách giải cụ thể cho dạng Cụ thể kết kiểm tra dạng toán vận dụng hệ thức vi ét vào giải toán hai lớp 9A, 9B vào trung tuần tháng năm học 2017-2018 thống kê sau sau: Giỏi Khá T Bình Yếu(Kém) Lớp Sĩ số SL % SL % SL % SL % 9A 39 5,1 20,5 15 38,5 14 35,9 9B 41 4,9 10 24,4 17 41,5 12 29,2 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Thông qua kết khảo sát tơi suy nghĩ cần phải có biện pháp thích hợp để giảng dạy, truyền đạt cho học sinh nắm vững yêu cầu trình giải toán vận dụng hệ thức vi-ét Tơi mạnh dạn nêu số dạng tốn vận dụng hệ thức vi-ét biện pháp giải dạng tốn sau : 2.3.1 Một số biện pháp - Giáo viên phải trang bị cho học sinh đơn vị kiến thức * Định lí Vi-ét: (thuận) Nếu x1, x2 hai nghiệm phương trình ax2 + bx + c = ( a �0 ) b � x  x   � � a � c � x1 x  � a Áp dụng: Nhờ định lí Vi-ét, biết trước nghiệm phương trình bậc hai suy nghiệm  Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( a �0 ) có a + b + c = phương c trình có nghiệm x1 = 1, nghiệm x2 = a  Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( a �0 ) có a - b + c = phương c trình có nghiệm x1 = - 1, nghiệm x2 = - a * Định lí Vi-ét: (đảo) uvS � Nếu hai số u, v thỏa mãn � hai số hai nghiệm u.v  P � phương trình x2 – Sx + P = (Điều kiện để có hai số u, v S2 - 4P �0) Các quy tắc, phép tính , phép biến đổi , quy tắc dấu quy tắc dấu ngoặc, thành thạo phép nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức, thuộc vận dụng thành thạo đẳng thức đáng nhớ theo hai chiều ,xác định hệ số a; b (hoặc b’); c.tính  (hoặc '), biến đổi biểu thức có liên quan đến hai nghiệm dạng tổng tích hai nghiệm - Thực đổi việc giảng dạy - Dạy học theo phuơng pháp phát giải vấn đề - Hợp tác nhóm - Đổi qua việc dạy tự chọn (Bám sát, nâng cao) - Đổi qua việc dạy bồi dưỡng học sinh - Đúc rút kinh nghiệm giải toán vận dụng hệ Thức Vi-ét theo dạng , dạng sử dụng phương pháp + Quan sát đặc điểm toán : Nhận xét xem mối quan hệ hệ số phương trình bậc hai ẩn, đặc biệt phần tham số hệ số + Nhận dạng toán : Xét xem toán thuộc dạng Lựa chọn phương pháp giải thích hợp: Từ sở mà ta chọn lựa phương pháp giải phù hợp với toán - Sắp xếp toán theo mức độ tiếp thu học sinh, dạng toán - Xây dựng phương pháp giải dạng toán vận dụng Hệ thức Vi-ét 2.3.2 Các dạng toán vận dụng hệ thức Vi-ét phương pháp giải Dạng tốn 1: Tính tổng tích hai nghiệm phương trình bậc hai ẩn * Phương pháp: Trước áp dụng định lí Vi-ét, ta cần kiểm tra điều kiện xem phương trình bậc hai ẩn có hai nghiệm hay khơng (tức kiểm tra a �0,  �0   ' �0  có thỏa mãn khơng) * Ví dụ 1: Tính tổng tích hai nghiệm phương trình: a) 2x2 - 17x + = b) 25x2 + 10x + = Giải a) 2x - 17x + = (a = �0, b = -17, c = 1) Ta có:    17   4.2.1  281  � Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, b 17 c x2 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1  x    , x1.x   a a b) 25x2 + 10x + = (a = 25 �0, b = 2b’ = 10, c = 1) Ta có:  '  52  25.1  � Phương trình có hai nghiệm x1, x2 b 10 c Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1  x       , x1.x   a 25 a 25 * Ví dụ 2: Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm, tính tổng tích nghiệm theo m: x2 +  m  1 x + m2 = Giải 2 x +  m  1 x + m = (a = �0, b = 2b’ =  m  1 , c = m ) Ta có:  '   m  1  1.m  m  2m   m   2m '  1 2m Để phương trình có nghiệm ���� m Vậy với m � , phương trình có hai nghiệm x1, x2 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: b 2  m  1 c m2 x1  x       m  , x1.x    m2 a a Bài tập áp dụng: Bài 1: Không giải phương trình, dùng hệ thức Vi-ét ,hãy tính tổng tích nghiệm phương trình:(Bài 36 trang 43-Sbt toán tập 2) a.2 x  x   c.5 x  x   d 1, x  x  1,  Bài Đối với phương trình sau, kí hiệu x1 , x2 hai nghiệm (nếu có) b.2 x  x   khơng giải phương trình điền vào chỗ trống (….)(Bài 25 trang 52SGK toán tập 2) a.2 x  x   0,   , x1  x2  ., x1.x2  b.5 x  x  35  0,   , x1  x2  ., x1.x2  c.8 x  x   0,   , x1  x2  ., x1.x2  d 25 x  10 x   0,   , x1  x2  ., x1.x2  Dạng toán 2: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn *Phương pháp: Để thực việc nhẩm nghiệm (nếu có thể) cho phương trình bậc hai ẩn ax2 + bx + c = ( a �0 ), ta áp dụng nhận xét sau: Trường hợp (Trường hợp đặc biệt):  Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( a �0 ) có a + b + c = phương c trình có nghiệm x1 = 1, nghiệm x2 = a  Nếu phương trình ax + bx + c = ( a �0 ) có a - b + c = phương c trình có nghiệm x1 = - 1, nghiệm x2 = - a Chú ý : Nếu a+c=-b ta dùng tổng a+b+c=0 để nhẩm nghiệm phương trình Nếu a+c=b ta dùng tổng a-b+c=0 để nhẩm nghiệm phương trình Trường hợp 2: Cho phương trình x2 + bx + c = Ta thực theo bước: Bước 1: Vận dụng hệ thức Vi-ét để thiết lập hệ phương trình cho nghiệm x b � x  x   b � �1 x2 � �x x  c  c �1 Bước 2: Thực phân tích c thành tích hai thừa số (c = m.n), từ ta tính m + n Khi đó: - Nếu m + n = - b ta chuyển sang bước (kết luận) - Nếu m + n �- b, ta dừng lại kết luận tốn khơng nhẩm nghiệm Bước 3: Kết luận: Phương trình x2 + bx + c = có hai nghiệm x1 = m x2 = n  Chú ý: Thuật tốn có tính dừng hiểu sau: - Nếu tìm cặp (m, n) thỏa mãn điều kiện m + n = - b dừng lại đưa lời kết luận nghiệm - Nếu khơng tìm cặp (m, n) thỏa mãn điều kiện m + n = - b dừng lại trường hợp khơng nhẩm nghiệm * Ví dụ: Tính nhẩm nghiệm phương trình sau: a) 35x2 - 37x + = b) x2 - 49x - 50 = c) x2 + 6x + = Giải a.Nhận thấy phương trình có a + b + c = 35 + (-37) + = Do phương trình c hai nghiệm x1 = 1, x2 =  a 35 b) x - 49x - 50 = Nhận thấy phương trình có a - b + c = - (-49) + (-50) = Do phương trình c  50   50 có nghiệm x1 = - 1, x2 = -   a c) x + 6x + = Ta thấy  '  32  1.8   Do phương trình có hai nghiệm x x2 thỏa � �x1  x  6 �x1  x   2    4  � mãn � � �x1.x    2   4  �x1.x    2   4  Vậy phương trình cho có hai nghiệm x1 = - x2 = - Bài tập áp dụng: Bài 1.Tính nhẩm nghiệm phương trình sau(Bài 37-trang SBT Toán Tập 2) a.7 x  x   c.1975 x  x  1979  b.23x  x  32  d  x   x  10      11 e x  x   f 31,1x  50,9 x  19,8  Bài 2: Tính nhẩm nghiệm phương trình sau(Bài 26-trang 53 SGK Toán 9-Tập2) a.35 x  37 x   a.7 x  500 x  507  b.x  49 x  50  b.4321x  21x  4300  Dạng tốn 3: Dùng hệ thức Vi-ét tìm nghiệm cịn lại phương trình bậc hai ẩn cho biết trước nghiệm * Phương pháp: Giả sử phương trình ax2 + bx + c = ( a �0 ) cho biết nghiệm x1 = m Tìm nghiệm cịn lại x2 ? Ta làm sau: b b TH1 Nếu không chứa tham số ta dùng hệ thức Vi-ét x1  x =  a a b b Thay x1 = m vào hệ thức, ta có x    x1    m a a c c TH2 Nếu không chứa tham số ta dùng hệ thức x1.x  Thay x1 = m a a �c � �c � : x1  � � :m vào hệ thức, ta có x  � � �a � �a � b c , không chứa tham số ta dùng tổng hay tích hệ a a thức vi-ét x1 để tìm x2 TH3 Nếu * Ví dụ: a) Chứng tỏ phương trình 3x2 + 2x - 21 = có nghiệm -3 Hãy tìm nghiệm b) Biết phương trình: 3x2 – 2(m – 3)x + = có nghiệm x1 = tìm nghiệm x2, giá trị m tương ứng Giải a) x1 = - nghiệm phương trình 3x2 + 2x - 21 = Vì 3(-3)2 + 2.(-3) - 21 = 27 – – 21 = Theo hệ thức Vi-ét, ta có: b 2 2 2 x1  x =  = � x2   x1    3    a 3 3 b) 3x – 2(m – 3)x + = Vì phương trình cho có nghiệm nên theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1.x  c  a nên suy ra: 5 x  : x1  :  3 Cũng theo hệ thức Vi-ét, ta có: b  m  3  m  3 x1  x =  = � 5 � 16  2m  � m  11 a 3 Vậy x2 = 5, m = 11 Bài tập áp dụng: Bài 1.a Chứng tỏ phương trình x  24 x  32  có nghiệm Tìm nghiệm b Chứng tỏ phương trình x  3x  115  có nghiệm Tìm nghiệm Bài 2.Dùng hệ thức Vi-ét Tìm nghiệm x2 phương trình tìm giá trị m trường hợp sau ( Bài 40-Trang 44-SBT Tốn tập 2) a Phương trình x  m x -35  , biết nghiệm x1 =7 b Phương trình x -13 x +m  , biết nghiệm x1 =12,5 c Phương trình 4x  x -m +3m  , biết nghiệm x1 =-2 Mà x1 = d Phương trình 3x   m  3 x +5  , biết nghiệm x1 = Dạng tốn 4: Tìm hai số biết tổng tích chúng * Phương pháp: uvS � Nếu hai số u, v thỏa mãn � hai số hai nghiệm u.v  P � phương trình x2 – Sx + P = (1)  Nhận xét: Nếu (1) có hai nghiệm x1, x2 (điều kiện S2 - 4P �0) ta u  x1 u  x2 � � được: � � �v  x �v  x1 * Ví dụ : Tìm hai số u v biết: u + v = 32, u.v = 231; Giải Ta có u + v = 32, u.v = 231 Do u v nghiệm phương trình: x2 - 32x + 231 =    32   4.231  100  �   100  10 32  10 32  10  21; x   11 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1  2 Vậy u = 21, v = 11 u = 11, v = 21 Bài tập áp dụng: Bài Tìm hai số u v trường hợp sau.( Bài 41-trang 44 SBT Toán Tập 2) a u+v=14; u.v=40 b u+v=-7 ;u.v=12 c u+v=-5 ;u.v=-24 d u+v=4; u.v=19 e u- v=10 ;u.v=24 f u  v  85 ;u.v=18 Bài Tìm hai số u v trường hợp sau.( Bài 28-trang 53 SGK Toán Tập 2) a u+v=32; u.v=231 b u+v=-8 ;u.v=-105 c u+v=2 ;u.v=9 Bài Tìm hai số u v trường hợp sau.( Bài 32-trang 54 SGK Toán Tập 2) a u+v=42; u.v=441 b u+v=-42 ;u.v=-400 c u-v=-5 ;u.v=24 Dạng toán 5: Tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm mà khơng giải phương trình * Phương pháp: Biểu thức đối xứng nghiệm x1 x2 phương trình ax2 + bx + c = ( a �0 ) biểu thức có giá trị khơng thay đổi ta hốn vị (đổi chỗ) x1 x2 Ta thực theo bước:  Bước 1: Xét biệt thức   b  4ac  phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (hoặc  '  )  Bước 2: Tìm tổng x1 + x2 = S x1x2 = P phương trình, thay vào biểu thức biến đổi dạng chứa tích tổng nghiêm x x2 Chú ý: Một số phép biến đổi: (1) x12  x 22   x1  x   2x1x  S2  2P (2) x13  x 32   x1  x   3x1x  x1  x   S3  3SP; (3) x14  x 42   x12    x 22    x12  x 22    x1x    S2  2P   2P ; (4) 2 2 1 x1  x S    ; x1 x x1x P 1 x12  x 22 S2  2P (5)    x x  x 1x  P2 * Ví dụ Cho phương trình x2 – 6x + = Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức: 1  ; a) A = x12  x 22 ; b) B = c) C = x12  x 22 x1 x Giải Phương trình x2 – 6x + = có  '   3  1.8     � phương trình có S  x1  x  � hai nghiệm phân biệt x1, x2 Theo định lí Vi-ét ta có: � P  x 1x  � a) A = x12  x 22 =  x1  x   2x1x  S2  2P = 62 – 2.8 = 36 – 16 = 20 Vậy A = 20 10 1 x1  x S      Vậy B = x1 x x1x P 4 2 c) C = x1  x   x1  x   x1  x   S. x1  x   6. x1  x  Mà ta có: 2  x1  x   x12  x 22  2x1x   x1  x   4x1x  S2  4P  62  4.8  b) B = � x1  x  �2 Vậy C = �12 Bài tập áp dụng: Bài gọi x1 ; x2 hai nghiệm phương trình x  x   không giải phương trình tính giá trị biểu thức sau a x1  x2 ; x1.x2 b x 21  x2 c x13  x2 Bài gọi x1 ; x2 hai nghiệm phương trình x  x   khơng giải phương trình tính giá trị biểu thức sau a x1  x2 ; x1.x2 b x 21  x2 c x13  x2 Bài Gọi x1 ; x2 hai nghiệm phương trình x  x   khơng giải phương trình tính giá trị biểu thức A  x1  3x2  x2  3x1 Dạng tốn 6: Tìm hệ thức liên hệ nghiệm x1 ; x2 không phụ thuộc vào tham số * Phương pháp: Ta thực theo bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1, x2 ( a �0,  �0 a �0,  ' �0 a �0;   ) Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét tính S = x1 + x2, P = x1x2 theo tham số Bước 3: Khử m để lập hệ thức S P, từ suy hệ thức hai nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số * Ví dụ Cho phương trình x2 – 2mx + 2m - = (x ẩn) Tìm hệ thức liên hệ gữa x1, x2 không phụ thuộc vào m Giải Phương trình x2 – 2mx + 2m - = có:  '  m  2m    m  1   với m Do phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 S  x1  x  2m (1) � Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: � P  x1x  2m  (2) � Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta S – P = � x1 + x2 - x1x2 = (không phụ thuộc vào m) * Ví dụ Cho phương trình mx2 – (2m + 3)x + m - = (x ẩn) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 Khi tìm hệ thức liên hệ gữa x1, x2 không phụ thuộc vào m Giải Phương trình mx – (2m + 3)x + m - = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 11 m �0 � m �0 m �0 � m �0 � � � � �� �� �� � � 9 0 28m   m 2m   4m m       � � � � � 28 2m  3 12 � � S  x  x    4S   (1) � � � m m �� m Áp dụng hệ thức Vi-ét: � � m  4 12 � � P  x 1x  1 3P   (2) � m m � m Cộng vế theo vế, ta được: 4S + 3P = 11 hay 4(x1 + x2) + 3x1x2 = 11 (Không phụ thuộc vào m) Nhận xét: Ngồi cách cộng vế theo vế, ta m từ hệ thức (1) vào hệ thức (2) để khử m Trong trình làm tránh vội vàng áp dụng hệ thức Vi-ét mà quên bước tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1, x2 Bài tập áp dụng Bài Cho phương trình x2 – (m + 2)x -2 m = (x ẩn) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 Khi tìm hệ thức liên hệ gữa x1, x2 không phụ thuộc vào m Bài 2.Cho phương trình 2x2 +mx + m - = (x ẩn) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 Khi tìm hệ thức liên hệ gữa x1, x2 không phụ thuộc vào m Bài Cho phương trình x2 – (2m + 2)x + m  = (x ẩn) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 Khi tìm hệ thức liên hệ gữa x1, x2 không phụ thuộc vào m Dạng tốn 7: Tìm giá trị tham số để nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước * Phương pháp: Ta thực theo bước sau:  Bước 1: Tìm điều kiện tham số (giả sử tham số m) để phương trình có nghiệm x1, x2 (tức cho a �0 ;  �0 a �0 ;  ' �0 ) �x1  x  S  f (m) (I)  Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta được: � x x  P  g( m ) �1  Bước 3: Biểu diễn điều kiện cho trước thơng qua hệ (I) để tìm m  Bước 4: Kết luận: Chọn giá trị m thích hợp với điều kiện trả lời * Ví dụ Cho phương trình: 7x2 + 2(m – 1)x – m2 = a) Với giá trị m phương trình có nghiệm b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, tính tổng bình phương hai nghiệm phương trình theo m Giải a) Phương trình có nghiệm �  ' �0 �  m  1  7m �0 (đúng với m) Vậy với giá trị m phương trình ln có nghiệm b) Gọi x1 x2 nghiệm phương trình 12 � 2  m x1  x  S  � � (I) Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: � �x x  P  m � � Theo ta có hệ thức: x12  x 22 =  x1  x   2x1x (II) Thay (I) vào (II), ta �   m  � �m � 6m  8m  có: x  x  � � 2.� � 7 49 � � � � Ví dụ Cho phương trình x - 6x + m = Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện sau 1  1 a x1  x  b x1  2x c x1  3x  d x1 x 2 2 e x12  x 22  f x13  x  36 Giải a.Phương trình có hai nghiệm x1, x2 khi: �0 � a �0 � � � ��� m m � � 2 �  �   m �   � � Với m �9 phương trình cho có nghiệm nên (1) �x1  x  Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: � �x1x  m (2) Theo bài: x1  x  (3) x  10 �x1  x2  � �x  �x1  �� � �1 �  x2  �x2  �x1  x2  �x1  x2  � Từ (1) (3), ta hệ phương trình � Thay x1 = 5, x2 = vào (2), ta có: 5.1 = m � m = (thỏa mãn điều kiện) Vậy với m = phương trình có hai nghiệm x 1, x2 thỏa mãn điều kiện x1  x  b Phương trình có hai nghiệm x1, x2 khi: �0 � a �0 � � � ��� m m � � �  �0 �  3  m �0 � Với m �9 phương trình cho có nghiệm nên (1) �x1  x  Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: � �x1x  m (2) Theo bài: x1  2x � x1  2x  (3) Từ (1) (3), ta hệ phương trình 3x  �x1  x2  � �x  �x2  �� � �2 � � �x1  x2  �x1  x2  �2  x1  �x1  Thay x1 = 4, x2 = vào (2), ta có: 4.2 = m � m = (thỏa mãn điều kiện) 13 Vậy với m = phương trình có hai nghiệm x 1, x2 thỏa mãn điều kiện x1  2x c Phương trình có hai nghiệm x1, x2 khi: �0 � a �0 � � � ��� m m � � �  �   m �   � � Với m �9 phương trình cho có nghiệm nên (1) �x1  x  Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: � �x1x  m (2) Theo bài: x1  3x  (3) Từ (1) (3), ta hệ phương trình x  4 �x1  x2  � �x  2 �x2  2 �� � �2 � � 2  x1  �x1  �x1  x2  �x1  x2  � Thay x1 = 8, x2 = -2 vào (2), ta có: 8.(-2) = m � m = -16 (thỏa mãn điều kiện) Vậy với m = -16 phương trình có hai nghiệm x 1, x2 thỏa mãn điều kiện x1  3x  d Phương trình có hai nghiệm x1, x2 khi: �0 � a �0 � � � ��� m m � � �  �0 �  3  m �0 � Với m �9 phương trình cho có nghiệm nên (1) �x1  x  Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: � �x1x  m (2) 1 x  x1  1�  (3) Theo bài: x1 x x1.x Thay (1) ; (2) vào ta có phương trình  � m  (thỏa mãn điều kiện) m Vậy với m = phương trình có hai nghiệm x 1, x2 thỏa mãn điều kiện 1  1 x1 x e.Phương trình có hai nghiệm x1, x2 khi: �0 � a �0 � � � ��� m m � � 2  �0 �  3  m �0 � Với m �9 phương trình cho có nghiệm nên (1) �x1  x  Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: � �x1x  m (2) Theo ta có : x12  x 22  40 �  x1  x   2x1x  40 (3) Thay (1) (2) vào (3) ta có 62  2m  40 � 2m  � m  2 (thỏa mãn điều kiện) 14 Vậy với m = phương trình có hai nghiệm x 1, x2 thỏa mãn điều kiện x  x 22  40 f Phương trình có hai nghiệm x1, x2 khi: �0 � a �0 � � � ��� m m � � �  �0 �  3  m �0 � Với m �9 phương trình cho có nghiệm nên (1) �x1  x  Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: � �x1x  m (2) Theo bài: x13  x 23  36 �  x1  x    x1  x  x1x  36 (3) Thay (1) (2) vào (3) ta có 63  3.6.m  36 � m  10 ( không thỏa mãn điều kiện) Vậy khơng có giá trị m thỏa mãn u cầu tốn * Ví dụ Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – = (có ẩn số x) a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình cho Tìm giá trị nhỏ y = x12  x 22 Giải 2 a) Ta có  '   m  1   2m    m  2m   2m    m     với m Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt b)Vì phương trình cho có nghiệm với m nên theo hệ thức Vi-ét, ta có: �x1  x  2(m 1)  2m  (1) � (2) �x1 x  2m  Theo bài: y = x12  x 22 =  x1  x   2x1x (3) Thay (1) (2) vào (3), ta có: 2 y =  2m     2m    4m  12m  12   2m    Vì  2m  3 �0 với m nên suy y =  2m  3  �3 3 Dấu “=” xảy � 2m   � m  Vậy ymin = � m  2 Bài tập vận dụng : Bài1 Cho phương trình x  3x  m  Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện 1 a x1  x  b) x1  x2 c) x1  x2  d)   x1 x2 e x12  x 22 =40 f x13  x23 =36 g 1  8 x1 x2 h x13  x23  ( x12  x 22 )=26 Bài 2: Cho phương trình x  mx  m   Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1  x  x1.x2 15 Bài Cho phương trình x  (2m  2) x  m   Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cho nghiệm gấp đôi nghiệm Bài Cho phương trình x  12 x  m  4m   Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cho nghiệm bình phương nghiệm Bài Cho phương trình x  mx   Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 độ dài hai cạnh tam giác vng có cạnh huyền Bài Cho phương trình x  x  ( m2  3m)  (1) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn hệ thức sau: a) x 21  x 2  10 b) x 21  x 2  4( x1  x2 ) c) x 31  x32  72 Bài Cho phương trình x  2( m  1) x  m   (1) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 cho x12  x2 đạt giá trị nhỏ Bài Cho phương trình x  mx  m   (2)Xác định m để 2x1x2  phương trình có hai nghiệm x1; x2 cho E  2 đạt giá trị lớn x1  x2  2(1  x1x2 ) Dạng toán 8: Bài toán liên quan đến xét dấu nghiệm * Phương pháp: Dùng hệ thức Vi-ét ta xét dấu nghiệm x 1, x2 phương trình ax2 + bx + c = ( a �0 ) dựa kết quả: c - Phương trình có hai nghiệm trái dấu x1   x � P   a �  �0   ' �0  - Phương trình có hai nghiệm dấu � � P0 �  �0   ' �0  � � P0 - Phương trình có hai nghiệm dương � � � S0 �  �0   ' �0  � � P0 - Phương trình có hai nghiệm âm � � � S0 � * Ví dụ Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x – m + = Xác định m để phương trình: a) Có hai nghiệm trái dấu b) Có hai nghiệm dương phân biệt Giải c a) Để phương trình có hai nghiệm trái dấu � P    m  � m  a Vậy với m > phương trình có hai nghiệm trái dấu b) Để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt  x1  x 16 �� m  3 �� � m0 '  m  3m  �� � � � � �� P0 �� 1 m  � m  �  m  � � S0 m  1  m  1  � � � � � � Vậy với < m < phương trình có hai nghiệm dương phân biệt * Ví dụ Cho phương trình mx2 - 6x + m = Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm Giải Để phương trình có hai nghiệm âm x1 �x  m �0 � � a �0 m �0 �  m �0 � � � �  ' �0 3 �m �3 � � � �� � �m  �� � 3 �m  P   m � � � � � � S  m0 � � � 0 �m Vậy với 3 �m  phương trình có hai nghiệm âm Bài tập áp dụng: Bài 1.Tìm m để phương trình sau có nghiệm dương a x +4x + m -2 = b x2 + mx + = Bài 2.Tìm m để phương trình sau có nghiệm âm a x -3x + m = b x2 + 3x + m-3 = Bài Cho phương trình x2 -   m  m  x + m = a Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt m �0 b Chứng minh với m phương trình có hai nghiệm dương phân biệt Bài Cho phương trình x2 -2  a   x + 2a+ = a Giải phương trình với a=-1 b Tìm a để phương trình có hai nghiệm trái dấu c Tìm a để phương trình có nghiệm kép Bài Cho phương trình x  x  m  (1) a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương x1 x2  �2 c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x2 x1 2 �x � �x � d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn � � � � �x2 � �x1 � 17 Dạng toán 9: Lập phương trình bậc hai biết nghiệm phương trình liên quan đến nghiệm phương trình bậc hai cho trước nghiệm phương trình hai số cho trước Phương pháp: Muốn lập phương trình thỏa mãn u cầu tốn ta phải tính tổng (S) tích (P) hai nghiệm phương trinh cần lập Từ suy phương trình cần lập x2 -Sx +P= Ví dụ Gọi x1: x2 hai nghiệm phương trình bậc hai x2 -2x - 1= Lập phương trình bậc hai ẩn X có hai nghiệm X  x1  x2 ; X  x2  x1 Giải : Theo định lý Vi-ét ta có x1  x2  2; x1.x2  1 Ta có X  X = x1  x2  x2  x1  x1  x2  ; X X  (2 x1  x2 )(2 x2  x1 )  x1 x2  x 21  x 2  x1 x2  2( x 21  x 2 )  x1.x2  � ( x1  x )2  x1 x2 � � � 5  2(4  2)  17 Vậy phương trình cần lập X  X  17  Ví dụ Gọi x1: x2 hai nghiệm phương trình bậc hai x2 -2x - 1= Lập phương trình bậc hai ẩn X có hai nghiệm X  x1  3x2 ; X  x2  3x1 Giải : Theo định lý Vi-ét ta có x1  x2  2; x1.x2  1 Ta có X  X = x1  3x2  x2  3x1  ( x1  x2 )  2 ; X X  (2 x1  x2 )(2 x2  x1 )  13 x1 x2  x 21  x 2  13 x1 x2  6( x 21  x 2 )  13 x1 x2  � ( x1  x )  x1.x2 � � � 13  6(4  2)  61 Vậy phương trình cần lập X  X  61  Ví dụ 3: Cho x1   3; x2   lập phương trình bậc hai ẩn x nhận x1 ; x2 làm nghiêm Giải Ta có x1  x2 =     ; x1.x2  = (2  3)(2  3)  => phương trình bậc hai ẩn x nhận x1 ; x2 làm nghiêm x  x   Bài tập áp dụng Bài Cho x1   3; x2   lập phương trình bậc hai ẩn x nhận x1 ; x2 làm nghiêm Bài Cho y1  2  3; y2   lập phương trình bậc hai ẩn y nhận y1 ; y2 làm nghiêm Bài Gọi x1: x2 hai nghiệm phương trình bậc hai x2 -3x +2= Lập phương trình bậc hai ẩn X có hai nghiệm X  3x1  x2 ; X  3x2  x1 Bài 4.Gọi x1: x2 hai nghiệm phương trình bậc hai x2 +5x - 6= Lập phương trình bậc hai ẩn X có hai nghiệm X  x1  x2 ; X  x2  x1 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy trường THCS Quảng Thịnh năm học 2017- 2018 thu kết khả quan 18 Học sinh nắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ cách giải toán dạng tập Kinh nghiệm giúp học sinh trung bình, học sinh yếu nắm vững cách vận dụng hệ thức Vi –ét việc giải toán chương trình học, học rèn luyện kĩ thực hành theo hướng tích cực hố hoạt động nhận thức mức độ khác thông qua chuỗi tập Bên cạnh cịn giúp cho học sinh giỏi có điều kiện tìm hiểu thêm số phương pháp giải khác, dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm phát huy tài toán học, phát huy tính tự học, tìm tịi, sáng tạo học sinh học toán.Kết học tập học sinh nâng lên rõ rệt qua học, qua kỳ thi, đặc biệt em hứng thú học toán hơn, sử dụng thành thạo thủ thuật, phép biến đổi để làm dạng tốn có liên quan đến việc vận dung hệ thức Vi-ét đạt kết tốt 100% em học sinh biết làm dạng tốn thơng thường cách thành thạo, 90% em học sinh có kỹ nắm vững dạng toán nêu sáng kiến kinh nghiệm Bên cạnh phương pháp em dễ dàng tiếp cận với dạng toán khó kiến thức việc hình thành số kỹ trình học tập giải tốn học mơn tốn Kết áp dụng kĩ góp phần nâng cao chất lượng học tập môn học sinh đại trà Áp dụng giải pháp Lần 1: Kiểm tra tiết Lớp Sĩ số 9A 9B 39 41 Giỏi SL % 20,5 17,1 Khá SL % 11 28,2 13 31,7 T Bình SL % 15 38,5 16 39,0 Yếu(Kém) SL % 12,8 12,2 Giỏi SL % 20,5 19,5 Khá SL % 14 35,9 13 31,7 T Bình SL % `13 33,3 16 39,0 Yếu(Kém) SL % 10,3 9,8 Lần 2: Kiểm tra tiết Lớp Sĩ số 9A 9B 39 41 Kết luận, kiến nghị 3.1.Kết luận Thông qua việc nghiên cứu đề tài kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy, cho phép rút số kinh nghiệm sau: * Đối với giáo viên: Giáo viên thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu vận dụng học sinh trình cung cấp thơng tin có liên quan chương trình đại số đề cập Giáo viên phải định hướng vạch dạng toán mà học sinh phải liên hệ nghĩ đến để tìm hướng giải hợp lý đề cập, giúp học sinh nắm vững dạng toán rèn luyện kĩ giải dạng toán cách tường minh Từ dạng tập cụ thể biết áp dụng phát triển nhanh tập tổng hợp, kĩ vận dụng dạng toán cách đa dạng giải toán 19 Đồng thời tạo điều kiện để học sinh phát triển tư cách toàn diện, gợi say mê hứng thú học tập, tìm tịi sáng tạo, kích thích khơi dậy khả tự học học sinh, chủ động học tập học tốn * Đối với học sinh giỏi: Ngồi việc nắm dạng toán liên quan đến hệ thức Vi-ét , ta cần cho học sinh tìm hiểu thêm dạng tốn nâng cao khác, tập dạng mở rộng giúp em biết mở rộng vấn đề, cụ thể hoá vấn đề, tương tự hoá vấn đề để việc giải toán liên quan đến hệ thức Vi-ét tốt Qua tập cho học sinh thói quen tự học, tự tìm tịi sáng tạo, khai thác cách giải, khai thác toán khác nhằm phát triển tư cách toàn diện cho trình tự nghiên cứu em * Đối với học sinh đại trà: Giáo viên cần ý cho học sinh nắm kiến thức bản, kĩ biến đổi biểu thức đơn giản , kĩ thực hành việc vận dụng dạng tốn có câu hỏi cụ thể ,rõ ràng ,luyện tập khả tự học, gợi say mê hứng thú học, kích thích khơi dậy óc tìm tịi, chủ động chiếm lĩnh kiến thức * Đối với học sinh yếu kém: Là trình liên tục củng cố sửa chữa sai lầm, cần rèn luyện kỹ để học sinh có khả nắm dạng toán , vận dụng tốt dạng toán vào giải toán, cho học sinh thực hành theo mẫu với tập tương tự, tập từ đơn giản nâng dần đến phức tạp, không nên dẫn em xa nội dung SGK Nhờ việc vận dụng kết nghiên cứu đề tài vào giảng dạy, thu số kết định trình giảng dạy.Tuy nhiên, đề tài nhiều hạn chế, cần tiếp tục nghiên cứu bổ sung Vì tơi mong góp ý, giúp đỡ thầy giáo, bạn đồng nghiệp để tơi tiếp tục nghiên cứu vận dụng đề tài để đạt kết tốt giảng dạy 3.2.Kiến nghị Đổi phương pháp dạy học nhằm tạo hứng thú cho học sinh trình học tập cần thiết cho công việc giảng dạy giáo viên việc học tập học sinh, mong cấp lãnh đạo quan tâm * Đối với trường THCS Quảng Thịnh: - Mua sắm thêm tài liệu tham khảo, đầu tư sở vật chất đồ dùng dạy học - Tổ chức thảo luận chuyên đề đổi phương pháp dạy học cho tất giáo viên thường xuyên đợt, năm để ngày nâng cao chất lượng dạy học - Nhà trường nên tập trung xây dựng kế hoạch bồi dưỡng, chọn lọc qua năm đạo tổ chuyên môn, giáo viên xây dựng kế hoạch bồi dưỡng cụ thể, có tính chất tạo nguồn cho năm 20 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VI Thanh Hóa, ngày 14 tháng năm 2018 (Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác) Người viết Đàm Trang Anh 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO - Sách giáo khoa, sách giáo viên, tập Đại số – Nhà xuất Giáo dục - Sách Nâng cao phát triển Toán 9– Nhà xuất Giáo dục - Sách Nâng cao chuyên đề Đại số – Nhà xuất Giáo dục - Các dạng toán phương pháp giải Toán 9– Nhà xuất Giáo dục - Sách ôn luyện thi vào lớp 10 mơn Tốn - Nhà xuất Giáo dục - Nguồn internet - Tài liệu hội thảo tập huấn : Đổi nội dung phương pháp dạy Toán - Lý luận dạy học Toán 22 ... cách giải cho dạng Vi? ??c giới thiệu dạng toán vận dụng hệ thức vi- ét cho học sinh để em giải tốn có liên quan đến vi? ??c vận dụng hệ thức vi- ét vi? ??c quan trọng cần thiết.Vì khơng giúp học sinh giải. .. với hệ số. Chính nên dạng tốn mơn đại số lớp ? ?Ứng dung hệ thức Vi -ét vi? ??c giải số dạng toán THCS? ?? em dạng tốn khó Do vi? ??c hướng dẫn giúp em có kỹ ,phương pháp để giải tốn, ngồi vi? ??c nắm lý thuyết,... trình giải tốn vận dụng hệ thức vi- ét Tôi mạnh dạn nêu số dạng toán vận dụng hệ thức vi- ét biện pháp giải dạng tốn sau : 2.3.1 Một số biện pháp - Giáo vi? ?n phải trang bị cho học sinh đơn vị kiến thức