PT BẬC HAI VÀ ÁP DỤNG HỆ THỨC VI ET TRONG GIẢI TOÁN

A: Phần mở đầu I/ Vai trò tập toán trờng phổ thông: - Môn toán môn học công cụ. Đặc điểm toán học định vị trí môn toán nhà trờng phổ thông. Phân tích ta thấy toán học có tính trừu tợng cao độ, có tính thực tiễn phổ dụng tri thức phơng pháp toán học xâm nhập đợc nhiều khoa học khác vào thực tiễn. Ngời ta thờng dùng ngôn ngữ toán học để diễn tả nhiều kiện lĩnh vực khác nhau. - Trong nhà trờng tri thức phơng pháp giúp học sinh học tốt môn khác, tính công cụ môn toán việc học môn khác trở nên rõ ràng, đời sống hàng ngày kỹ tính toán, vẽ hình, đọc vẽ biểu đồ, đo đạc, ớc lợng, khái niệm sử dụng dụng cụ toán học, máy tính điện tử điều kiện cần có để tiến hành hoạt động ngời lao động đời sống công nghiệp hoá, đại hoá. - Ngoài môn toán có tiềm phát triển lực, trí tuệ hình thành phẩm chất trí tuệ. Là môn học mang sẵn phơng pháp quy nạp thực nghiệm mà phơng pháp suy diễn logic. Môn toán nói chung tập toán nói riêng tạo hội cho ngời học rèn luyện khả suy đoán tởng tợng. Vị trí không tách rời ngôn ngữ nên học toán có điều kiện rèn luyện ngôn ngữ xác sáng. Bên cạnh tập toán có tiềm phát triển phẩm chất đạo đức học sinh, tạo điều kiện hình thành hoàn thiện dần nét nhân cách. II/ Căn lý luận: - Mỗi chuyên đề toán học có đặc thù riêng. Bên cạnh chuyên đề Phơng trình bậc hai áp dụng hệ thức vi-ét giải toán chuyên đề trọng tâm chơng trình đại số lớp 9. Để giảng dạy có hiệu chuyên đề trớc hết giáo viên phải đặt mục tiêu đề là: Học sinh phải nắm vững lí thuyết, phải hiểu sâu chất toán xuất phát từ kiến thức trọng tâm là: Công thức nghiệm phơng trình bậc hai định lí viet phơng trình bậc hai. - Để đạt đợc mục tiêu cách có hiệu hết học sinh phải hiểu đợc lý thuyết cách sâu sắc biết vận dụng thành thạo, kết hợp với khả phân tích, tổng hợp toán phải có kỹ trình bày, xét khả xảy với toán. Vì học sinh đợc cọ sát với dạng toán với toán chứa tham số toán nghiệm phơng trình bậc hai. Đồng thời đợc tiếp xúc nhiều với dạng toán khả đợc phát huy tốt hơn, điều tốt phơng pháp học toán học môn khoa học khác. III/ Căn thực tiễn: - Trong thực tiễn dạy học toán tập toán học đợc sử dụng với dụng ý khác nhau. Một toán dùng để tạo tiền đề xuất phát để gợi động cơ, để làm việc với nội dung mới, để củng cố kiểm tra. Tất nhiên việc dạy giải toán cụ thể không nhằm vào dụng ý đơn giản mà thờng bao hàm nhiều ý đồ. Do học em thờng hay chủ quan với toán, với kiến thức bản, khả lập luận logic, cha hiểu sâu sắc chất vấn đề. - Do dạy chuyên đề Phơng trình bậc hai áp dụng hệ thức vi-ét giải toán giáo viên cần giúp học sinh nắm lí thuyết, giải thành thạo ph1 ơng trình bậc hai làm tốt toán có chứa tham số để củng cố lý thuyết phát huy t logic khả biện luận trờng hợp xảy tập có chứa tham số. Từ toán đơn giản không giải phơng trình tính tổng tích nghiệm phơng trình bậc , học sinh có phơng tiện hệ thức Vi- ét để tính toán . Hệ thức giúp học sinh xét dấu nghiệm phơng trình mà cụ thể nghiệm . - Giải biện luận phơng trình bậc có chứa tham số loại toán khó . Tiếp tục toán thờng kèm theo yêu cầu tính giá trị biểu thức , quan hệ nghiệm , phép tính nghiệm . phơng trình . Việc tính nghiệm phơng trình theo công thức nghiệm vô khó khăn phơng trình chứa tham số . Trong trờng hợp hệ thức Vi- ét phơng tiện hiệu giúp học sinh giải loại toán . - Cuối học kỳ lớp , thời gian gấp rút cho ôn thi học kỳ kỳ thi cuối cấp . Các toán cần áp dụng hệ thức Vi- ét đa dạng có mặt nhiều kỳ thi quan trọng nh thi học kỳ 2, thi tuyển sinh vào lớp 10 , thi vào trờng chuyên lớp chọn .Trong viết , hy vọng đóng góp thêm số kinh nghiệm hớng dẫn học sinh làm quen tiến tới giải tốt cần áp dụng hệ thức Vi - ét B: Nội dung Phơng trình bậc hai áp dụng hệ thức vi-ét giải toán - Các toán phơng trình bậc hai phong phú đa dạng. Để giải đợc toán phải khéo léo kết hợp việc vận dụng lý thuyết kết biết phơng trình bậc hai đặc biệt định lí viet với đặc thù riêng phơng trình cho mà biến đổi cho phù hợp. Cách giải phơng trình bậc hai. - Nếu phơng trình bậc hai có dạng: ax2 + bx = (1) ta nên đa phơng trình dạng tích: (1) x (ax + b) = x = x = b ax + b = x = a - Nếu phơng trình bậc hai có dạng: ax + c = (2) không nên sử dụng công thức nghiệm để giải. (2) ax2 = -c x2 = c a + Nếu c < phơng trình vô nghiệm a + Nếu c > phơng trình có nghiệm x = c . a a - Nếu phơng trình có dạng ax2 + bx + c = (3) (a 0) sử dụng công thức nghiệm để giải. Công thức tổng quát Công thức nghiệm thu gọn Tính: - Nếu - Nếu = b2 4ac. < Pt vô nghiệm = Pt có nghiệm kép b x1 = x = 2a - Nếu > Pt có nghiệm phân biệt x1 = b + ; x2 = b 2a Tính: ' = b, ac (b = 2b, ) Nếu , < Pt vô nghiệm Nếu , = Pt có nghiệm kép ' x1 = x = b a - Nếu > Pt có nghiệm phân biệt , ' ' ' ' x1 = b + ; x2 = b . 2a a a - Ngoài việc ứng dụng định lí vi-ét để nhẩm nghiệm phơng trình bậc hai cách ngắn gọn hay mà học sinh thờng hay không ý tới. - Định lí vi-ét: Nếu phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a 0) (3) có nghiệm x1; x2 thì: x1+ x2 = b a x1x2 = c a c a c Nếu pt (3) a - b + c = pt có hai nghiệm: x1 = -1; x2 = a Nếu pt (3) a + b + c = pt có hai nghiệm: x1 = 1; x2 = - Muốn tìm hai số biết tổng chúng S tích chúng P ta cần giải pt: x2 - Sx + P = 0. Nếu pt có nghiệm hai số cần tìm nghiệm phơng trình này. Nếu pt vô nghiệm toán lời giải. I/ Dạng 1: Giải biện luận phơng trình bậc hai. 1) Bài tập 1: Giải phơng trình bậc hai sau: a) ( - ) x2 2x + + = (1) b) x2 5x + = (4) *Phân tích tìm lời giải: - Khi giải phơng trình bậc hai học sinh thờng ý đến ứng dụng định lí viet hay sử dụng công thức nghiệm để giải. Phơng trình (1). Rõ ràng sử dụng công thức nghiệm để giải phơng trình (1) dài. Nếu ta ý ứng dụng định lí vi-ét việc giải pt (2) đơn giản: Lời giải: a) ( 1- )x2 - 2x + + = Ta có a + b + c = - - + + = Vậy pt có hai nghiệm x1 = 1; x2 = +1 = ( + 1) (1 2) (1 + ) = ( + 1) = ( + 1) - Có thể sử dụng công thức nghiệm để giải biến đổi phơng trình tích. 2) Bài tập 2: Giải phơng trình sau: x + 99 x x + 99 x + 99 x x + 99 x x + 99 x x 99 x + + = + + 99 98 97 96 95 94 *Phân tích tìm lời giải: - Hạng tử cao phơng trình có bậc 2. Nếu quy đồng để biến đổi phơng trình dạng tắc phép tính cồng kềnh. Để ý đến đặc thù phơng trình ta biến đổi nh sau: x + 99 x x + 99 x x + 99 x x + 99 x x + 99 x x + 99 x 1+ 1+ = 1+ + 99 98 97 96 95 94 x + 99 x 100 x + 99 x 100 x + 99 x 100 x + 99 x 100 x + 99 x 100 x + 99 x 100 + + = + + 99 98 97 96 95 94 1 1 1 (x2 + 99x 100) ( + + ) = 99 98 97 96 95 94 x2 + 99x 100 = Vì a + b + c = + 99 - 100 = Phơng trình có nghiệm x1 = 1; x2 = -100. * Khai thác toán: * Từ lời giải toán ta đa giải toán tơng tự nh giải phơng trình sau: 2 2 Bài tập: x + ax + 10 + x + ax + = x + ax + + x + ax + 11 12 13 14 Với đặc điểm phơng trình ta cộng phân thức hai vế với làm tơng tự nh toán ta đợc phơng trình x2 + ax + 21 = 0. 3) Bài tập 3: Giải biện luận phơng trình sau: a) x2 mx 3(m + 3) = (1) b) mx2 2(m + 2)x + m + = (2) * Phân tích tìm lời giải: - Trớc hết xét phơng trình (1) phơng trình bậc hai (a 0). = (-m)2 + 4.3 (m + 3) = m2 + 12m + 36 = (m + 6)2; = ( m + 6) = m + - Nếu = (m+ 6)2 = m+ = m = - phơng trình có nghiệm kép x1 = x2 = m = -3. - Nếu > hay m > -6 phơng trình có nghiệm phân biệt. x1 = m+ m+6 ; x2 = m m+6 - Ta xét phơng trình (2). Vì hệ số a x có chứa tham số. Vì ta xét trờng hợp xảy phơng trình (2). Nếu m = phơng trình (2) phơng trình bậc nhất. Nếu m phơng trình (2) phơng trình bậc hai. Vậy ta xét trờng hợp xảy nh sau: - Nếu m = Phơng trình (2) - 4x + = x = Vậy m =0 pt có nghiệm x = - Nếu m . Ta có = (m+2)2 m(m+5) = m2 + 4m + m2- 5m = m - Nừu < m < pt vô nghiệm m+2 - Nếu = m = . Vậy pt có nghiệm kép x1 = x2 = = m - Nếu > a > a < pt có hai nghiệm phân biệt x1 = m + + m x2 = m + m m m 4+2 = *Khai thác toán : Qua việc giải tập ta thấy giải biện luận phơng trình dạng ax2 + bx + c = hệ số a có chứa tham số ý xét hai tr ờng hợp xảy a a = a trình biện luận. Ta đa tập tơng tự Bài tập : Giải biện luận pt sau ( với m tham số) a/ x2 + 2(1 + 3m)x m2 b/ 2m2x2 3x = c/ mx2 2(m + 1)x 2m = d/ (m-1)x2 + 2(m+1)x + m-3 = II> Dạng II : Chứng minh ( tìm điều kiện) để pt bậc hai có nghiệm - Một toán nhìn nhiều góc độ khác nhau, cách nhìn cho ta cách giải khác nhau. Việc tìm nhiều lời giải cho toán giúp cho học sinh tái đợc nhiều kiến thức, cách giải ứng với kiến thức nhiều mục khác nhau. Cần nhiều cách giải cho toán giúp học sinh khắc sâu kiến thức, hệ thống kiến thức, nhớ tập lâu tiền đề giúp cho ta giải toán khác. Dựa vào công thức nghiệm tổng quát thu gọn muốn chứng minh pt bậc hai có nghiệm ta có hai cách: - Cách 1: CM - Cách : CM tích a.c < ( Vì a.c < chắn > > 0). Chú ý a.c > cha kết luận đợc điều dấu - Cách : ứng dụng định lí Viét: c a c Nếu a b + c = pt có nghiệm x1 = -1 ; x2 = a Nếu : a + b + c = pt có nghiệm x1 = ; x2 = 1)Bài tập : CMR pt sau có nghiệm với m a/ x2 + (m+1) + m = (1) b/ m2x2 + 10x = (2) Phân tích tìm lời giải: - Ta nhận thấy pt (1) pt bậc hai ( a ). Vậy để chứng minh pt (1) có nghiệm ta phải chứng minh với giá trị m Ta có = (m+1)2 4m = m2 + 2m +1 4m = m2 + 2m + = (m-1)2 với m Vậy với giá trị m. Chứng tỏ pt có nghiệm với m - Tuy nhiên pt (2) có chứa tham số m hệ số a x 2. Vì để CM pt có nghiệm với m ta phải xét hai trờng hợp với m = m Nếu m2 = m= pt 10x = x = Vậy m = pt có nghiệm x = 10 10 Nếu m2 m ta có = 52 m2 (-1) = + m2 > với m Vậy với m pt có nghiệm KL : Vậy với pt có nghiệm với m *Khai thác toán: - Qua toán ta thấy học sinh thờng quên không xét trờng hợp m = 0. Vì dậy giáo viên cần phải nhấn mạnh, khắc sâu cho học sinh ý pt có tham số m hệ số a x2 ta phải xét trờng hợp xảy ra. Từ đa thêm toán tơng tự cho học sinh tự giải rèn kỹ năng. Bài tập : CMR pt sau có no với m a/ x2 mx + m 1= b/ x2 2mx + 2m 1= c/ 2m2x2 3x 1= d/ mx2 2(m+1)x 2m = Bài tập 2: CMR pt x2 + (a + b)x (a2 ab + b2) = có nghiệm * Phân tích tìm lời giải: - Đôi để CM pt có nghiệm ta nên sử dụng cách việc CM đơn giản mà không dài dòng. 2 Ta xét tích a.c = [ (a2 ab - + b2) ] = -2 [ (a ab + b ) + 3b ] = -2 [ (a b 3b ) + ] 0. Do với a,b. Vậy phơng trình có nghiệm. * Khai thác toán: - Từ lời giải toán ta đa toán tơng tự để học sinh vận dụng. Bài tập: Chứng minh phơng trình sau có nghiệm với m. a) x2 (10 m)x (m2 + 1) = 0. b) -2x2 + (m 1)x + m2 + = 0. c) x2 (m + 1) (m2 + m + ) = 0. III/ Dạng III: So sánh nghiệm phơng trình bậc hai với số cho trớc. 1) So sánh nghiệm phơng trình bậc hai với số 0. Trong nhiều trờng hợp ta cần so sánh nghiệm phơng trình bậc hai với số cho trớc mà không giải phơng trình đó. Theo định lí viet ta biết phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a 0) có nghiệm x1; x2 thì: x1 + x2 = x1.x2 = b a c a Do điều kiện để phơng trình bậc hai: + Có hai nghiệm trái dấu a.c < + Có hai nghiệm dơng: + Có hai nghiệm âm : x1.x2 > x + x > x1.x2 > x + x < - Nhiều toán đòi hỏi tìm điều kiện để phơng trình bậc hai (a 0) có nghiệm không âm. Thờng ta có hai cách giải: Cách 1: Xét biểu thức P = c phơng trình có nghiệm không âm nếu: a + Có P < (trờng hợp có nghiệm dơng, nghiệm âm). + Hoặc P = (trờng hợp có nghiệm 0). + Hoặc: x1.x2 > x + x > (trờng hợp có hai nghiệm dơng). Cách 2: Xét biểu thức s = b . Trớc hết ta có 0. Khi phơng trình có a nghiệm không âm nếu: + S > (trờng hợp tồn nghiệm dơng) + S = (trờng hợp tồn nghiệm không âm). + S < 0; P (trờng hợp có nghiệm không âm, nghiệm âm). Tuỳ theo đầu mà ta chọn cách xét biểu thức trớc. Bài tập 1: Cho phơng trình x2 (m + 2)x + m + = (1) a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt dơng. b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu. Phân tích tìm lời giải: a) Từ điều kiện trên. Để phơng trình có nghiệm phân biệt dơng (m + 2)2 (m + 1) > ' > x1.x2 > m+1>0 x1 + x > (m + 2) > m2 + 4m + m > m > -1 m > -2 m2 + 3m + > m > -1 m > -2 3 ) + >0 m > -1 m > -1 (m + m > -2 Vậy m > -1 phơng trình có nghiệm phân biệt dơng. m < -1 b) Phơng trình có nghiệm trái dấu a.c < m +1 < Vậy m > -1 phơng trình có hai nghiệm trái dấu. Khai thác toán: Từ kết toán ta khai thác triệt để tìm thêm kết để giúp học sinh hiểu sâu toán nắm toán. Bài tập 1: Cho phơng trình: x2 (m 1)x m = a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dơng. b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm âm. Bài tập 2: Cho phơng trình x2 + 2(m + 1)x + 2m -11 = a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu. b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dơng c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm đối d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm âm. Bài tập 3: Tìm k để phơng trình sau có nghiệm phân biệt. x4 2kx2 + 2k = (1) Phân tích tìm lời giải: - Phơng trình (1) ta đặt ẩn phụ để đa phơng trình bậc hai. Đặt x2 = t(t 0) ta có t2 2k.t + 2k = (2) Vậy để phơng trình (1) có nghiệm phân biệt phơng trình (2) có hai nghiệm phân biệt dơng. Do ta có: (k 1) + > k + 2k + > > 3 k > k> t1.t2 > 2k > 2 t + t > 2k > k > phân biệt dơng. Khai thác toán : Vậy k > pt (1) có nghiệm - Từ lời giải ta toán tơng tự : Tìm m để pt sau có nghiệm phân biệt : x4 4x3 + 8x m = có nghiệm phân biệt. -Ta thay đổi số yếu tổ toán, thay đổi số kiên, thay đổi vài điều phải tìm, phải chứng minh để tìm toán ban đầu, để sử dụng bồi dỡng học sinh giỏi. Ta có toán sau: Bài tập : Cho pt (x2 1)( x + 3)(x + 5) = m (1) Tìm m để pt có nghiệm phân biệt thoả mãn 1 1 + + + = -1 x1 x x3 x Phân tích tìm lời giải: Trớc hết ta biến đổi pt đặt ẩn phụ để đợc pt bậc hai (x - 1)(x+1)(x+3)(x+) = m (x2 + 4x 5)(x2 + 4x + 3) = m Đặt x2 + 4x + = t (t 0) Ta có pt : ( t 9)(t 1) = m t2 10t + m = (2) Để pt (1) có nghiệm phân biệt pt (2) có nghiệm phân biệt dơng. , > 16 + m > m > 16 16 < m < Do ta có : t1.t2 > m > m < t + t > 10 > Khi ta có pt x2 + 4x + t1 = có hai nghiệm x1, x2 Pt x2 + 4x + t2 = có hai nghiệm x3, x4 x1 + x2 = x + x = x1. x2 = t1 x3. x4 = t2 Theo vi-ét ta có: 1 1 + + + =m x1 x x3 x 4 x + x x3 + x + + =m =m t1 t x1 x x3 x -4 (4 t2) = m (4 t1)(4 t2) -16 + 4t2 16 + 4t1 = m(16 4t2 4t1 + t1t2) (t1 + t2) 32 = m [ t1t2 (t1 + t2) + 16 ] Mặt khác: Mà t1+ t2 = 10 t1t2 = 9m thay vào ta giải tiếp đợc m = -7 (t/m) Khai thác toán: - Từ lời giải toán ta đa toán tơng tự. Bài tập 1: Tìm m để phơng trình: (x2 + 2x + 1)2 + x2 + 2x + m = có nghiệm phân biệt thoả mãn: 1 1 + + + = 1. x1 x x3 x Bài tập : Tìm m để pt :x4 10mx2 + m + = có nghiệm phân biệt thoả mãn x4 x3 = x3 x2 = x2 x1 với x1 < x2 < x3 < x4. Bài tập : Tìm m để pt (x 7)(x 6)(x + 2)(x + 3) = m có nghiệm phân biệt x , x2 , x3 , x4 thoả mãn 1 1 + + + = 4. x1 x x3 x 2- So sánh nghiệm pt bậc hai với số khác 0. - Để so sánh nghiệm pt bậc hai với số cho trớc ta dùng định lí đảo dấu tam thức bậc hai sử dụng công thức nghiệm để tìm nghiệm so sánh. Bài tập : Tìm m để pt x2 + (m + 1)x + 2m 11 = 0. a) Có nghiệm lớn nghiệm nhỏ 1. b) Có nghiệm lớn 2. Phân tích tìm lời giải: Xét , = (m + 1)2 (2m 11) = m2 + 12 > với m. Vậy pt có nghiệm phân biệt x1; x2. a) Giả sử phơng trình có nghiệm x1; x2 cho: x1 < x > x2 > x2 < x1 < x > x2 > x2 < (x1 1) (x2 1) < x1x2 (x1 + x2) + < 0. x1 + x2 = 2m thay vào ta có: x1.x2 = 2m 11 2m 11 (-2m 2) + < 2m 11 + 2m +2 + < m < 2. Theo viet Vậy m < phơng trình có nghiệm lớn nghiệm nhỏ 1. b) Giả sử pt có nghiệm x1; x2 cho x1 > x > ( x 2)( x 2) > x x 2( x1 + x ) + > 1. x2 > x2 > x1 + x > x1 + x > 2m 11 2(2m 2) + > 6m > m > m > m > m < Hệ vô nghiệm. Vậy giá trị m để pt có nghiệm lớn 2. Khai thác toán: Với cách giải học sinh làm đợc nhiều tập tơng tự. Bài tập 1: Tìm m để pt x2 + x + m = có hai nghiệm lớn m. Bài tập 2: Tìm m để pt x2 + mx = có nghiệm nhỏ 2. Bài tập 3: Tìm m để pt (m 1)x2 (m 5)x + m = có nghiệm phân biệt lớn -1. Bài tập 4: Tìm m để pt x2 + mx có nghiệm lớn 2. Bài tập 5: Tìm m để pt x - x = m có nghiệm nhất. IV/ Dạng IV: Quan hệ nghiệm hai pt bậc hai. Bài tập 1: Tìm giá trị a để hai pt sau có nghiệm chung: x2 + ax + = (1) x2 + x + a = (2) Phân tích tìm lời giải: Để giải toán ta sử dụng cách sau: Cách 1: Giả sử x = x0 nghiệm chung hai pt. Khi ta có: x20 + ax0 + = x02 + x0 + a = 0. x0 (a 1) = a (*) - Nếu a = thay vào pt cho ta có x + x + = 0; x2 + x + = hai pt vô nghiệm. a = 1. Thay x = vào (1) ta có a = -2. a Cách 2: Hai pt có nghiệm chung hệ sau có nghiệm: x2 + ax + = x (a 1) = a - Nếu a (*) x = x2 + x + a = x2 + x + a = 0. đến ta giải nh cách 1. Cách 3: Ta thấy x = không nghiệm phơng trình. Vậy xét x ta có: x2 + ax + = x2 + x + a = a = x x a = -x2 x . -x2 x = x x x2 + = x3 + x2. x3 = x = 1. Thay x = ta có a = -2. Khai thác toán: - Qua tập giáo viên cho học sinh tìm giả thiết a để hai pt tơng đơng. Dễ dàng ta thấy a = hai pt tơng đơng a = hai pt vô nghiệm nên hai pt tơng đơng. Còn hai pt có nghiệm mà tơng đơng trớc hết chúng phải có nghiệm chung, a = -2. Tuy nhiên a = -2 hai pt có nghiệm chung nên không tơng đơng. Từ ta đa giải toán tơng tự. Bài tập: Tìm m để hai pt sau tơng đơng. a) x2 (m + 4)x + m + = x2 (m + 2)x + m + = b) x2 + mx + = x2 + 2x + m = c) 2x2 (3m + 2) x + 12 = 4x2 (9m 2)x + 36 = 0. d) x2 mx + 2m + = mx2 (2m + 1)x = e) x2 + (m 2)x + = 2x2 + mx + m + = 0. * Trong số trờng hợp để tạo toán phơng pháp tơng tự ta giữ nguyên giữ kiện giả thiết toán thay đổi kết luận (hay câu hỏi) toán đó. Chỉ làm đợc điều ta khai thác kết toán cho nghiên cứu toán theo hớng khác. Bài toán với toán ban đầu giúp học sinh xem xét vấn đề toán học dới góc độ khác biết cách khai thác kết khác giúp học sinh nắm vững kiến thức sâu phát huy t phân tích, tổng hợp cho học sinh. Ta có toán sau: Bài tập 2: Tìm giá trị a để hai pt sau tơng đơng: x2 + x + a = (1) x2 + ax + = (2) Phân tích tìm lời giải: Từ khái niệm hai pt tơng đơng hai pt có tập nghiệm. Vì gọi N1 tập hợp nghiệm pt (1) N2 tập hợp nghiệm pt (2). Vậy ta cần tìm a để N = N2. Do cần phải xét trờng hợp xảy ra. Hai pt vô nghiệm. TH1: N1 = N2 = 4a < a < TH2: N1 = N2 a > / (a 2)(a + 2) < a > / < a < m = x1.x2 + thay vào (1) ta có x1.x2 = 2(x1.x2 + 1) x1 + x2 = 2(x1.x2 + 2) Vậy hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m : x1 + x2 = 2(x1.x2 + 2) d) Để có hai nghiệm cho nghiệm gấp hai lần nghiệm x1 = 2x2 x2 = 2x1 x1 2x2 = x2 - 2x1 = (x1 2x2 )( x2 - 2x1) = x1.x2 - 2x12 2x22 +4x1x2 = 5x1.x2 - 2(x12 + x22) = 5x1.x2 - [ ( x1 + x ) - 2x1.x2 ] = 9x1.x2 - 2(x1 + x2)2 = x1 + x2 = 2(m 1) x1.x2 = m Thay vào ta có: 9(m 3) - [ 2(m 1) ] = 9m 27 8(m2 2m + 1) = 9m 27 8m2 + 16m = 8m2 25m + 35 = Ta có : = ( -25)2 4.8.35 = 625 1200 = - 495 < Vậy pt vô nghiệm giả thiết m để pt có nghiệm gấp lần nghiệm kia. e) Ta có A = x12 + x22 = 4m2 10m + 10 15 ) + với m 15 15 15 Vậy giả trị nhỏ A 2m - = m = 4 = ( 2m - Khai thác toán : Qua lời giải toán ta đa loạt toán có tính chất tơng tự nh : Bài tập : Gọi x1 x2 nghiệm phơng trình x2 + 5x + = 0. Tính giá trị biểu thức: a) A = x12 + x22 b) B = x13 + x23 c) C = x14 + x24 12 d) D = x12.x23 + x13.x22 e) E = x1 x2 VI Dạng VI : Lập phơng trình bậc hai biết hai nghiệm Nếu x; y thỏa mãn x + y = S x.y = P x, y hai nghiệm cuả phơng trình : X2 - S X + P = Bài toán 1: Lập phơng trình bậc hai có nghiệm là: x1 = + x2 = 3+ Phân tích tìm lời giải: Ta sử dụng tìm hai số biết tổng tích ta lập đợc phơng trình bậc hai nhận hai số nghiệm. Ta có x1 + x2 = + + x1.x2 = ( + ). = 3+ 3+ + = =1 3+ Vậy x1 , x2 hai nghiệm phơng trình x2- x + = Khai thác toán : Để phát huy tính tích cực học sinh, giáo viên thay đổi thêm số yếu tố khác để làm cho toán dễ hay khó đi, phù hợp với mức độ học sinh. Vì ta có toán sau: Bài toán 2: Cho phơng trình: ax2 + bx + c = (1) ( a; c 0) có nghiệm x1; x2 a, Lập phơng trình bậc hai nhận 1 nghiệm x1 x2 b, Tìm hệ thức a, b, c để x 12 + x22 + x32 + x42 = ( x3 , x4 hai nghiệm phơng trình vừa lập đợc ) Phân tích tìm lời giải: a, Ta thấy mức độ toán khó hơn. Vì đòi hỏi học sinh phải có đào sâu suy nghĩ để giải toán trên. b c Ta có : x1 + x2 = - a ; x1.x2 = ( x1 ; x2 hai nghiệm phơng trình (1) a Mặt khác Vậy 1 x +x b a b + = 2= . = x1 x2 x1.x2 a c c 1 b a ; nghiệm phơng trình : x + x + = x1 x2 c c 1 ) + ( x22 + ) + = x1 x2 = x1 =x2 = x1 =x2 = -1 x1 + x2= b, Ta có x12 + x22 + x32 + x42 = ( x12 + Dấu = xảy x12 = x22 x1.x2= - 13 + Nếu x1 =x2 = phơng trình (1) có nghiệm kép b x1 = x2 = 2a = b = 2a c = a x .x = c = 1 a + Nếu x1+ x2 = hay b = ; x1.x2 = -1 hay c = Khai thác toán : Từ toán giáo viên khai thác dạng toán sau: Bài tập 1: Tìm m n để phơng trình sau: x2 mx + n + = ( n+ 1)x2 mx + 1= có hai nghiệm phân biệt thoả mãn tổng bình phơng nghiệm hai phơng trình Bài tập : Giả sử x1 ; x2 hai nghiệm phơng trình: x2 (2m + 1)x + m = . Hãy lập phơng trinh bậc hai nhận x1 + x2 + , làm nghiệm. x1 x2 VII Dạng VII: ứng dụng phơng trình bậc hai vào quan hệ parabol đ ờng thẳng Hoành độ giao điểm parabol y = ax2 (a 0) đờng thẳng y = mx + n (m 0) nghiệm phơng trình : ax2 = mx + n (1) - Nếu phơng trình (1) vô nghiệm đờng thẳng parabol không cắt - Nếu phơng trình (1) có nghiệm kép đờng thẳng parabol tiếp xúc - Nếu phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt đờng thẳng parabol cắt hai điểm phân biệt Bài toán 1: Lập phơng trình tiếp tuyến (P) y = 0,5x2 biết qua điểm A (1;0) Phân tích tìm lời giải: Gọi phơng trình đờng thẳng cần lập y = ax + b (d) Vậy (d) qua A tiếp xúc với (P), nên sử dụng điều kiện (d) tiếp xúc với (P) ta lập đợc phơng trình đờng thẳng thoả mãn đầu Vì (d) qua điểm A(1;0) nên ta có : a + b = Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phơng trình: 0,5x2 = a x + b x2- 2a x 2b = (1) Vì (d) (P) tiếp xúc nên phơng trình (1) có nghiệm kép hay a = a + b = b = Vậy phơng trình đờng =0 a + 2b = Do ta có a = a + 2b = b = thẳng cần lập y = y = 2x- Khai thác toán : Qua lời giải toán ta đa toàn tơng tự nhng mức độ cao hơn, khó hơn. Vì ta có toán sau: Bài toán 2: Cho (P) y =x2. CMR với điểm M thuộc đờng thẳng y = - 0,5 tiếp tuyến kẻ từ M đến (P) vuông góc với nhau. Phân tích tìm lời giải : 14 Xét điểm M thuộc đờng thẳng y = - 0,25. Ta cần chứng minh qua điểm có hai đờng thẳng tiếp xúc với (P) hai đờng thẳng vuông góc với nhau. Gọi M(m ; - 0,25) thuộc đờng thẳng y = - 0,25. Xét đờng thẳng (d) có phơng trình :y = ax + b qua M tiếp xúc với (P). Ta có: ma + b = - 0,25 Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phơng trình : x2 = a.x 0,25 ma x2 ax + ma + 0,25 = Ta có = a2 4ma .Để (d) tiếp xúc với (P) = a2 4ma = (1) Dễ thấy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt a 1; a2.Vì m2 + > với m Vậy có hai tiếp tuyến (P) qua M đờng thẳng (d1) : y = a1x + b1 (d2) y= a2x + b2 Lại có a1.a2 = ( theo vi ét) nên (d 1) (d2) . Vậy chứng tỏ qua điểm M có thuộc đờng thẳng y = - 0,25 tồn hai tiếp tuyến (P) vuông góc với nhau. *Dựa vào hiểu biết sâu sắc vị trí tơng đối củađờng thẳng (d) (P) thông qua số nghiệm phơng trình hoành độ giao điểm mà học sinh làm đợc nhiều dạng toán có liên quan đến (P) đờng thẳng (d) Bài tập 1: Cho (P) : y = x2. Tìm điểm A thuộc (P) cho tiếp tuyến A (P) song song với đờng thẳng y = 4x + 5. Bài tập : Cho (P) y = x2. Gọi A, B giao điểm đờng thẳng y = mx + với (P). Tìm m để AB có độ dài nhỏ nhất. Bài tập 3: Cho (P) y = - 0,5x2 đờng thẳng y = 0,5x + (d) a, Tìm toạ độ giao điểm A B (P) (d) b, Tìm điểm M thuộc ằAB cho diện tích AMN lớn nhất. VIII Dạng VIII. ứng dụng điêù kiện có nghiệm ph ơng trinh bậc hai vào toán tim cực trị Bài toán 1: Tìm GTLN, GTNN biểu thức A = x x + x + x +1 Phân tích tìm lời giải Để tìm GTLN, GTNN biểu thức A ta phải chứng minh đợc m A k ( m k số ).Muốn ta xét giá trị biểu thức A a Khi sử dụng điều kiện có nghiệm ta tìm đợc GTLN,GTNN. Biểu thức A nhận giá trị a phơng trình sau có nghiệm. a = x x + ( x2 + x + ) (1) x + x +1 a x2 + a x + a = x x + ( a )x2 + ( a + 1)x + ( a ) = (2) TH1 : Nếu a = phơng trình (2) có nghiệm x = TH2 : Nếu a phơng trình (2) có nghiệm ( a + 1)2 4( a -1)2 ( 3a 1).(a 3) 15 a ( a ? 1) A3 x = 1. Với a = x = -1 x =1. MaxA = x = - Vậy Min A = Với a = Khai thác toán : Qua toán ta đa toán tơng tự cho học sinh vận dụng Bài tập 1: Tìm m ,n để A = x + mx + n đạt GTLN x + 2x + GTNN 3 Bài tập 2: Tìm GTLN, GTNN biểu thức sau: A= x x +1 B = x2 x + x + 2x + C Kết luận - Quá trình nghiên cứu tìm tòi việc dạy học toán cho học sinh nói chung học sinh THCS nói riêng vô quan trọng. Sau nhiều lần áp dụng kinh nghiệm thấy học sinh nắm bắt kiến thức tốt , khả xử lí toán học sinh góc độ , khía cạnh chặt chẽ t có chiều sâu.Điều lợi cho việc học toán. Để làm tốt nhiệm vụ ngời giáo viên phải trang bị cho kiến thức, kĩ khai thác toán . Có đợc kiến thức kĩ ngời giáo viên có điều kiện dạy học tốt tới nhiều đối tợng học sinh toán, có điều kiện giúp học sinh nắm hiểu sâu kiến thức, biết cách phân biệt yếu tố tập. Sau nhiều năm giảng dậy nghiên cứu tìm tòi thu đợc số kết giảng dậy cho học sinh phơng pháp - Trong năm học 2010- 2011: Kết kiểm tra đối chứng hai lớp 9A áp dụng phơng pháp 9B không áp dụng phơng pháp nh sau : Xếp loại Giỏi Khá TB Yếu Lớp 9A 3(10%) 15(50%) 10(33,3%) 2(6,7%) 9B 2(6,7%) 10(33,3%) 14(46,7%) 4(13,3%) Nh tỉ lệ học sinh đạt từ khá, giỏi lớp 9A cao 9B sử dụng phơng pháp dạy học này. Và đề tài có tác dụng tốt việc giảng dạy học tập học sinh trung học sở Trên số kinh nghiệm nhỏ tôi, mong đồng chí tham khảo đóng góp ý kiến để có phơng pháp dạy có hiệu với chuyên đề Tôi xin trân trọng cảm ơn! Duy Minh, ngày tháng năm 2011 16 Ngời viết Kiều Ngọc Kiên 17 [...]... Phơng trình bậc hai với tính chất các nghiệm: ở dạng này kiến thức trọng tâm là ứng dụng định lí viet cùng với điều kiện để pt bậc hai có nghiệm Các dạng toán về định lí vi t + Biểu thức đối xứng giữa hai nghiệm + Hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào cheath + Tìm điều kiện để pt có hai nghiệm thoả mãn một hệ thức cho trớc + Tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức liên quan tới hai nghiệm... c) Để tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m Từ hệ thức Vi ét ta rút m theo x1, x2 từ đó tìm đợc hệ thức x1 + x2 = 2(m 1) ( 1) ( 2) x1.x2 = m 3 Ta có Từ (2) => m = x1.x2 + 3 thay vào (1) ta có x1.x2 = 2(x1.x2 + 3 1) x1 + x2 = 2(x1.x2 + 2) Vậy hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m là : x1 + x2 = 2(x1.x2 + 2) d) Để có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp hai lần nghiệm... học sinh trong cùng một bài toán, có điều kiện giúp học sinh nắm chắc và hiểu sâu kiến thức, biết cách phân biệt các yếu tố chính cơ bản trong những bài tập Sau nhiều năm giảng dậy nghiên cứu và tìm tòi tôi đã thu đợc một số kết quả khi giảng dậy cho học sinh phơng pháp này - Trong năm học 2010- 2011: Kết quả kiểm tra đối chứng giữa hai lớp 9A áp dụng phơng pháp trên và 9B không áp dụng phơng pháp trên... AB VIII Dạng VIII ứng dụng điêù kiện có nghiệm của ph ơng trinh bậc hai vào bài toán tim cực trị Bài toán 1: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức A = x 2 x + 1 2 x + x +1 Phân tích tìm lời giải Để tìm GTLN, GTNN của biểu thức A thì ta phải chứng minh đợc m A k ( m và k là hằng số ).Muốn vậy ta xét một giá trị bất kì của biểu thức A là a Khi đó sử dụng điều kiện có nghiệm ta sẽ tìm đợc GTLN,GTNN Biểu thức. .. S X + P = 0 Bài toán 1: Lập một phơng trình bậc hai có 2 nghiệm là: x1 = 3 + 2 và x2 = 1 3+ 2 Phân tích tìm lời giải: Ta sử dụng tìm hai số khi biết tổng và tích vì thế ta có thể lập đợc phơng trình bậc hai nhận hai số đó là nghiệm Ta có x1 + x2 = 3 + 2 + x1.x2 = ( 3 + 2 ) 1 = 3+ 2 3+ 2 + 3 2 = 2 3 1 =1 3+ 2 Vậy x1 , x2 là hai nghiệm của phơng trình x2- 2 3 x + 1 = 0 Khai thác bài toán : Để phát huy... x1 + x2 = x3 + x4 1 = a a = 1 Hệ vô nghiệm a = 1 a = 1 x1.x2 = x3 x4 1 KL: Vậy < a < 2 thì hai pt trên tơng đơng 4 Khai thác bài toán : Qua đó giáo vi n cho học sinh giải các bài tập tơng tự để rèn kĩ năng vận dụng cho học sinh làm dạng toán này: Bài tập 1: Tìm a để hai pt sau tơng đơng: x2 + ax+ 8 = 0 (1) x2 + x + a = 0 (2) Bài tập 2: Tìm a; b để hai pt sau tơng đơng: x2 (a + 2b)x 6 = 0... biệt thoả mãn tổng bình phơng các nghiệm của hai phơng trình đều bằng 4 Bài tập 2 : Giả sử x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng trình: x2 (2m + 1)x + m = 0 Hãy lập một phơng trinh bậc hai nhận x1 + 1 x2 + 1 , làm nghiệm x1 x2 VII Dạng VII: ứng dụng của phơng trình bậc hai vào quan hệ giữa parabol và đ ờng thẳng Hoành độ giao điểm của parabol y = ax2 (a 0) và đờng thẳng y = mx + n (m 0) là nghiệm của... đúng Khai thác bài toán: Qua bài tập này học sinh có thể làm bài tập tơng tự Với nghiệm của pt này gấp k lần nghiệm của pt kia Bài tập 1: Cho các pt x3 5x + k = 0 (1) x2 7x + 2k = 0 (2) Xác định k để một trong các nghiệm của pt (2) lớn gấp hai lần một trong các nghiệm của pt (1) Bài tập 2: Cho các pt ax2 + bx + c = 0 (1) cx2 + bx + a = 0 (2) Biết pt (1) có một nghiệm dơng là x = m Chứng minh pt (2)... bài toán : Qua lời giải bài toán trên ta có thể đa ra một loạt các bài toán có tính chất tơng tự nh : Bài tập 1 : Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phơng trình x2 + 5x + 2 = 0 Tính giá trị các biểu thức: a) A = x12 + x22 b) B = x13 + x23 c) C = x14 + x24 12 d) D = x12.x23 + x13.x22 e) E = x1 x2 VI Dạng VI : Lập phơng trình bậc hai khi biết hai nghiệm Nếu x; y thỏa mãn x + y = S và x.y = P thì x, y là hai. .. quan trọng Sau nhiều lần áp dụng kinh nghiệm tôi thấy học sinh nắm bắt kiến thức tốt hơn , khả năng xử lí một bài toán của học sinh ở mọi góc độ , mọi khía cạnh rất chặt chẽ t duy có chiều sâu.Điều này rất lợi cho vi c học toán Để làm tốt nhiệm vụ này ngời giáo vi n phải trang bị cho mình những kiến thức, kĩ năng khai thác một bài toán Có đợc những kiến thức kĩ năng này ngời giáo vi n sẽ có điều kiện . đề Phơng trình bậc hai và áp dụng hệ thức vi- ét trong giải toán giáo vi n cần giúp học sinh nắm chắc lí thuyết, giải thành thạo ph- 1 ơng trình bậc hai cơ bản làm tốt các bài toán có chứa tham. bài vi t này , tôi hy vọng đóng góp thêm một số kinh nghiệm hớng dẫn học sinh làm quen và tiến tới giải tốt các bài cần áp dụng hệ thức Vi - ét B: Nội dung Phơng trình bậc hai và áp dụng hệ thức. cứ lý luận: - Mỗi một chuyên đề của toán học đều có đặc thù riêng. Bên cạnh đó chuyên đề Phơng trình bậc hai và áp dụng hệ thức vi- ét trong giải toán là một trong những chuyên đề trọng tâm của