PT BẬC HAI VÀ ÁP DỤNG HỆ THỨC VI ET TRONG GIẢI TOÁN

- Trong nhà trờng các tri thức và phơng pháp giúp học sinh học tốt các bộ môn khác, tính công cụ của môn toán trong việc học các môn khác càng trở nên rõ ràng, trong đời sống hàng ngày c

A: Phần mở đầu I/ Vai trò của bài tập toán trong tr ờng phổ thông:

- Môn toán là một trong những môn học công cụ Đặc điểm của toán học quyết

định vị trí của môn toán trong nhà trờng phổ thông Phân tích ta thấy toán học có tính trừu tợng cao độ, do đó có tính thực tiễn phổ dụng tri thức và phơng pháp của toán học xâm nhập đợc nhiều khoa học khác và vào thực tiễn Ngời ta thờng dùng ngôn ngữ của toán học để diễn tả nhiều sự kiện ở các lĩnh vực rất khác nhau

- Trong nhà trờng các tri thức và phơng pháp giúp học sinh học tốt các bộ môn khác, tính công cụ của môn toán trong việc học các môn khác càng trở nên rõ ràng, trong đời sống hàng ngày các kỹ năng tính toán, vẽ hình, đọc và vẽ biểu đồ, đo đạc, ớc lợng, khái niệm sử dụng các dụng cụ toán học, máy tính điện tử là điều kiện cần có để tiến hành hoạt động của ngời lao động trong đời sống công nghiệp hoá, hiện đại hoá

- Ngoài ra môn toán còn có tiềm năng phát triển năng lực, trí tuệ và hình thành các phẩm chất trí tuệ Là môn học mang sẵn trong nó chẳng những phơng pháp quy nạp thực nghiệm mà cả phơng pháp suy diễn logic Môn toán nói chung và bài tập toán nói riêng tạo cơ hội cho ngời học rèn luyện khả năng suy đoán và tởng tợng Vị trí không tách rời ngôn ngữ nên học toán có điều kiện rèn luyện ngôn ngữ chính xác và trong sáng Bên cạnh đó bài tập toán còn có tiềm năng phát triển phẩm chất đạo đức học sinh, tạo điều kiện hình thành và hoàn thiện dần những nét nhân cách

II/ Căn cứ lý luận:

- Mỗi một chuyên đề của toán học đều có đặc thù riêng Bên cạnh đó chuyên đề

Ph

“Ph ơng trình bậc hai và áp dụng hệ thức vi-ét trong giải toán” là một trong những

chuyên đề trọng tâm của chơng trình đại số lớp 9 Để giảng dạy có hiệu quả chuyên đề này trớc hết giáo viên phải đặt mục tiêu đề ra là: Học sinh phải nắm vững lí thuyết, phải hiểu sâu bản chất của bài toán xuất phát từ những kiến thức cơ bản và trọng tâm là: Công thức nghiệm của phơng trình bậc hai và định lí viet đối với phơng trình bậc hai

- Để đạt đợc mục tiêu đó một cách có hiệu quả nhất thì hơn hết học sinh phải hiểu đợc lý thuyết một cách sâu sắc và biết vận dụng thành thạo, kết hợp với khả năng phân tích, tổng hợp bài toán phải có kỹ năng trình bày, xét các khả năng có thể xảy ra với bài toán Vì thế học sinh đợc cọ sát với các dạng toán với các bài toán chứa tham

số các bài toán về nghiệm của phơng trình bậc hai Đồng thời khi đợc tiếp xúc nhiều với dạng toán này thì khả năng trên càng đợc phát huy tốt hơn, điều này rất tốt trong phơng pháp học toán và học các môn khoa học khác

III/ Căn cứ thực tiễn:

- Trong thực tiễn dạy học toán và bài tập toán học đợc sử dụng với những dụng

ý khác nhau Một bài toán có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát để gợi động cơ, để làm việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra Tất nhiên việc dạy giải một bài toán

cụ thể không chỉ nhằm vào một dụng ý đơn giản nào đó mà thờng bao hàm nhiều ý đồ

Do đó khi học các em thờng hay chủ quan với các bài toán, với kiến thức cơ bản, khả năng lập luận logic, cha hiểu sâu sắc bản chất của vấn đề

- Do đó khi dạy chuyên đề Ph“Ph ơng trình bậc hai và áp dụng hệ thức vi-ét trong giải toán” giáo viên cần giúp học sinh nắm chắc lí thuyết, giải thành thạo phơng

trình bậc hai cơ bản làm tốt các bài toán có chứa tham số để củng cố lý thuyết và phát

1

huy t duy logic khả năng biện luận các trờng hợp xảy ra đối với bài tập có chứa tham

số Từ bài toán đơn giản không giải phơng trình tính tổng và tích 2 nghiệm của phơng trình bậc 2 , học sinh có phơng tiện là hệ thức Vi- ét để tính toán Hệ thức còn giúp học sinh xét dấu 2 nghiệm của phơng trình mà không biết cụ thể mỗi nghiệm là bao nhiêu

- Giải và biện luận phơng trình bậc 2 có chứa tham số là loại toán khó Tiếp tục bài toán này thờng kèm theo yêu cầu tính giá trị biểu thức , quan hệ giữa 2 nghiệm , các phép tính trên 2 nghiệm của phơng trình Việc tính mỗi nghiệm của phơng trình theo công thức nghiệm là vô cùng khó khăn vì phơng trình đang chứa tham số Trong trờng hợp đó hệ thức Vi- ét là một phơng tiện hiệu quả giúp học sinh giải loại toán này

- Cuối học kỳ 2 lớp 9 , thời gian gấp rút cho ôn thi học kỳ 2 và các kỳ thi cuối cấp Các bài toán cần áp dụng hệ thức Vi- ét đa dạng có mặt trong nhiều kỳ thi quan trọng nh thi học kỳ 2, thi tuyển sinh vào lớp 10 , thi vào các trờng chuyên lớp chọn Trong bài viết này , tôi hy vọng đóng góp thêm một số kinh nghiệm hớng dẫn học sinh làm quen và tiến tới giải tốt các bài cần áp dụng hệ thức Vi - ét

B: Nội dung

“Ph Phơng trình bậc hai và áp dụng hệ thức vi-ét trong giải toán”

- Các bài toán về phơng trình bậc hai rất phong phú và đa dạng Để giải đợc các bài toán đó phải khéo léo kết hợp giữa việc vận dụng lý thuyết và các kết quả đã biết

về phơng trình bậc hai đặc biệt là định lí viet với đặc thù riêng của phơng trình đã cho

mà biến đổi cho phù hợp Cách giải phơng trình bậc hai

- Nếu phơng trình bậc hai có dạng: ax2 + bx = 0 (1) thì ta nên đa phơng trình trên về dạng tích: (1)  x (ax + b) = 0

0 0

0

x x

b

a













- Nếu phơng trình bậc hai có dạng: ax2 + c = 0 (2) thì cũng không nên sử dụng công thức nghiệm để giải (2)  ax2 = -c

 2 c

x a





+ Nếu

a

c



< 0  phơng trình vô nghiệm

+ Nếu

a

c



> 0  phơng trình có nghiệm x =

a

c



- Nếu phơng trình có dạng ax2 + bx + c = 0 (3) (a  0) thì sử dụng công thức nghiệm để giải

Công thức tổng quát

Tính:  = b2 – 4ac

- Nếu  < 0  Pt vô nghiệm

- Nếu  = 0  Pt có nghiệm kép

x1 = x2 =

a

b

2



- Nếu  > 0  Pt có 2 nghiệm phân biệt

2a

a

b

2







Công thức nghiệm thu gọn

Tính:   ' b,2  ac b(  2 )b,

Nếu ,

 < 0  Pt vô nghiệm Nếu  , = 0  Pt có nghiệm kép x1 = x2 =

a

b'



- Nếu ,

 > 0  Pt có 2 nghiệm phân biệt x1 = ' ' ;

a

b  

a

b' '





- Ngoài ra việc ứng dụng định lí vi-ét để nhẩm nghiệm phơng trình bậc hai cũng

là một cách ngắn gọn và hay mà học sinh thờng hay không chú ý tới

- Định lí vi-ét: Nếu phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) (3) có nghiệm x1; x2 thì: x1+ x2 =

a

b



và x1x2 =

a c

Nếu pt (3) a + b + c = 0 thì pt có hai nghiệm: x1 = 1; x2 =

a c

Nếu pt (3) a - b + c = 0 thì pt có hai nghiệm: x1 = -1; x2 =

a

c



- Muốn tìm hai số biết tổng của chúng bằng S và tích của chúng bằng P ta chỉ cần giải pt: x2 - Sx + P = 0 Nếu pt có nghiệm thì hai số cần tìm là 2 nghiệm của phơng trình này Nếu pt vô nghiệm thì bài toán không có lời giải

I/ Dạng 1 : Giải và biện luận phơng trình bậc hai.

1) Bài tập 1 : Giải các phơng trình bậc hai sau:

a) ( 1 - 2) x2 – 2x + 2 + 1 = 0 (1)

b) x2 – 5x + 6 = 0 (4)

*Phân tích tìm lời giải:

- Khi giải phơng trình bậc hai học sinh thờng ít khi chú ý đến ứng dụng của

định lí viet vì thế hay sử dụng công thức nghiệm để giải Phơng trình (1) Rõ ràng nếu

sử dụng công thức nghiệm để giải phơng trình (1) thì rất dài Nếu ta chú ý ứng dụng của định lí vi-ét thì việc giải pt (2) rất đơn giản:

Lời giải: a) ( 1- 2)x2 - 2x + 2 + 1 = 0

Ta có a + b + c = 1 - 2 - 2 + 2+ 1 = 0 Vậy pt có hai nghiệm x1 = 1; x2 =

) 2 1 ( ) 2 1 (

) 1 2 ( 2

1

1















= 2 ( 2 1 ) 2

1

) 1 2 (











- Có thể sử dụng công thức nghiệm để giải hoặc biến đổi về phơng trình tích

2) Bài tập 2: Giải phơng trình sau:

94

6 99 95

5 99 96

4 99 97

3 99 98

2 99 99

1

2

































x

*Phân tích tìm lời giải:

- Hạng tử cao nhất của phơng trình có bậc bằng 2 Nếu quy đồng để biến đổi

ph-ơng trình về dạng chính tắc thì phép tính sẽ rất cồng kềnh Để ý đến đặc thù của phph-ơng trình ta có thể biến đổi nh sau:

3

1 94

6 99 1

95

5 99 1

96

4 99 1

97

3 99 1

98

2 99 1

99

1

2













































x

94

100 99 95

100 99 96

100 99 97

100 99 98

100 99 99

100

2

































x

(x2 + 99x – 100) (

94

1 95

1 96

1 97

1 98

1 99

1









x2 + 99x – 100 = 0

Vì a + b + c = 1 + 99 - 100 = 0

 Phơng trình có 2 nghiệm x1 = 1; x2 = -100

* Khai thác bài toán:

* Từ lời giải bài toán trên ta có thể đa ra giải các bài toán tơng tự nh giải phơng trình sau:

Bài tập:

14

7 13

8 12

9 11

















ax x ax x ax x ax x

Với đặc điểm của phơng trình này ta cộng mỗi phân thức ở cả hai vế với 1 và làm tơng tự nh ở bài toán trên ta sẽ đợc phơng trình x2 + ax + 21 = 0

3) Bài tập 3: Giải và biện luận phơng trình sau:

a) x2 – mx – 3(m + 3) = 0 (1)

b) mx2 – 2(m + 2)x + m + 5 = 0 (2)

* Phân tích tìm lời giải:

- Trớc hết xét phơng trình (1) là phơng trình bậc hai vì (a 0)

 = (-m)2 + 4.3 (m + 3) = m2 + 12m + 36 = (m + 6)2;  = 2

) 6

- Nếu  = 0  (m+ 6)2 = 0  m+ 6 = 0  m = - 6 thì phơng trình có nghiệm kép x1 = x2 =

2

m

= -3

- Nếu  > 0 hay m > -6 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt

x1 =

2

6

; 2

6 2









x m m

- Ta xét phơng trình (2) Vì hệ số a của x2 có chứa tham số Vì vậy ta xét các tr-ờng hợp xảy ra đối với phơng trình (2) Nếu m = 0 thì phơng trình (2) là phơng trình bậc nhất Nếu m  0 thì phơng trình (2) là phơng trình bậc hai Vậy ta xét các trờng hợp xảy ra nh sau:

- Nếu m = 0 Phơng trình (2)  - 4x + 5 = 0  x =

4 5

Vậy m =0 thì pt có nghiệm là x =

4 5

- Nếu m 0 Ta có ’= (m+2)2 – m(m+5)

= m2 + 4m + 4 – m2- 5m = 4 – m

- Nừu ’ < 0  4 – m < 0 thì pt vô nghiệm

- Nếu ’ = 0  4 – m = 0 Vậy pt có nghiệm kép x1 = x2 = m 2

m



=

4

2

4 

=

2 3

- Nếu ’ > 0  4 – a > 0  a < 4 thì pt có hai nghiệm phân biệt

x1 = m 2 4 m

m

m

*Khai thác bài toán :

Qua việc giải bài tập trên ta thấy khi giải và biện luận phơng trình dạng ax2 + bx + c = 0 nếu hệ số a có chứa tham số thì chú ý xét hai tr ờng hợp xảy ra đối với a

đó là a = 0 và a 0 trong quá trình biện luận Ta có thể đa ra các bài tập tơng tự

Bài tập : Giải và biện luận các pt sau ( với m là tham số)

a/ x2 + 2(1 + 3m)x – m2

b/ 2m2x2 – 3x – 1 = 0 c/ mx2 – 2(m + 1)x – 2m = 0 d/ (m-1)x2 + 2(m+1)x + m-3 = 0

II> Dạng II : Chứng minh ( tìm điều kiện) để pt bậc hai có nghiệm

- Một bài toán có thể nhìn ở nhiều góc độ khác nhau, mỗi cách nhìn cho ta một cách giải khác nhau Việc tìm nhiều lời giải cho một bài toán giúp cho học sinh tái hiện đợc nhiều kiến thức, mỗi cách giải ứng với kiến thức ở nhiều mục khác nhau Cần nhiều cách giải cho một bài toán giúp học sinh khắc sâu kiến thức, hệ thống kiến thức, nhớ bài tập đó lâu hơn và là tiền đề giúp cho ta giải các bài toán khác Dựa vào công thức nghiệm tổng quát và thu gọn muốn chứng minh pt bậc hai có nghiệm ta có hai cách:

- Cách 1: CM   0 hoặc ’  0

- Cách 2 : có thể CM tích a.c < 0 ( Vì khi a.c < 0 thì chắc chắn  > 0 hoặc

 ’ > 0) Chú ý khi a.c > 0 thì cha kết luận đợc điều gì về dấu của  và ’

- Cách 3 : ứng dụng định lí Viét:

Nếu : a + b + c = 0 thì pt luôn có 2 nghiệm x1 = 1 ; x2 =

a c

Nếu a – b + c = 0 thì pt luôn có 2 nghiệm x1 = -1 ; x2 =

a

c



1)Bài tập 1 : CMR các pt sau luôn có nghiệm với mọi m

a/ x2 + (m+1) + m = 0 (1) b/ m2x2 + 10x – 1 = 0 (2)

Phân tích tìm lời giải:

- Ta nhận thấy pt (1) là pt bậc hai ( vì a  0) Vậy để chứng minh pt (1) luôn có nghiệm ta phải chứng minh   0 với mọi giá trị của m

Ta có  = (m+1)2 – 4m = m2 + 2m +1 – 4m = m2 + 2m + 1 = (m-1)2  0 với mọi m

Vậy   0 với mọi giá trị của m Chứng tỏ pt luôn có nghiệm với mọi m

- Tuy nhiên ở pt (2) có chứa tham số m ở hệ số a của x2 Vì thế để CM pt luôn có nghiệm với mọi m ta cũng phải xét hai trờng hợp với m = 0 và m  0

Nếu m2 = 0  m= 0 thì pt  10x – 1 = 0  x =

10 1

Vậy m = 0 thì pt có nghiệm là x =

10 1

Nếu m2  0  m  0 ta có ’ = 52 – m2 (-1) = 5 + m2 > 0 với mọi m Vậy với m  0pt cũng luôn có nghiệm

KL : Vậy với pt trên luôn có nghiệm với mọi m

*Khai thác bài toán:

- Qua bài toán trên ta thấy học sinh thờng quên không xét trờng hợp m = 0 Vì vậy khi dậy giáo viên cần phải nhấn mạnh, khắc sâu cho học sinh chú ý đối với pt

có tham số m ở hệ số a của x2 ta phải xét các trờng hợp xảy ra Từ đó có thể đa thêm bài toán tơng tự cho học sinh tự giải rèn kỹ năng

Bài tập 1 : CMR các pt sau luôn có no với mọi m

a/ x2 – mx + m – 1= 0 b/ x2 – 2mx + 2m – 1= 0 c/ 2m2x2 – 3x – 1= 0 d/ mx2 – 2(m+1)x – 2m = 0

Bài tập 2 : CMR pt x2 + (a + b)x – 2 (a2 – ab + b2) = 0 luôn có nghiệm

* Phân tích tìm lời giải :

- Đôi khi để CM pt luôn có nghiệm ta nên sử dụng cách 2 thì việc CM đơn giản

mà không dài dòng

5

Ta xét tích a.c = 1  2(a2 – ab - + b2)  = -2(a2 – ab +

4

2

b

) +

4

3b2

 = -2

(a 

2

b

)2 + 

2

3 4

b

 0

Do đó   0 với mọi a,b Vậy phơng trình luôn có nghiệm

* Khai thác bài toán :

- Từ lời giải bài toán trên ta có thể đa ra các bài toán tơng tự để học sinh vận dụng

Bài tập: Chứng minh rằng các phơng trình sau luôn có nghiệm với mọi m

a) x2 – 2 (10 – m)x – (m2 + 1) = 0

b) -2x2 + (m – 1)x + m2 + 3 = 0

c) x2 – (m + 1) – 2 (m2 + m + 1 ) = 0

III/ Dạng III : So sánh nghiệm của ph ơng trình bậc hai với một số cho tr ớc.

1) So sánh nghiệm của ph ơng trình bậc hai với số 0.

Trong nhiều trờng hợp ta cần so sánh nghiệm của phơng trình bậc hai với một số cho trớc mà không giải phơng trình đó Theo định lí viet ta biết rằng nếu phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a  0) có nghiệm x1; x2 thì:

x1 + x2 =

a

b



x1.x2 =

a c

Do đó điều kiện để phơng trình bậc hai:

+ Có hai nghiệm trái dấu  a.c < 0

+ Có hai nghiệm dơng:  1 2

1 2

0

0

x x

x x

 











+ Có hai nghiệm âm :  1 2

1 2

0

0

x x

x x

 











- Nhiều bài toán đòi hỏi tìm điều kiện để phơng trình bậc hai (a 0) có ít nhất một nghiệm không âm Thờng ta có hai cách giải:

Cách 1: Xét biểu thức P =

a

c

phơng trình có ít nhất một nghiệm không âm nếu: + Có P < 0 (trờng hợp này có một nghiệm dơng, một nghiệm âm)

+ Hoặc P = 0 (trờng hợp này có một nghiệm bằng 0)

+ Hoặc: 1 2

1 2

0

0

x x

x x

 











(trờng hợp này có hai nghiệm đều dơng)

Cách 2: Xét biểu thức s =

a

b



Trớc hết ta có   0 Khi đó phơng trình có ít nhất 1 nghiệm không âm nếu:

+ S > 0 (trờng hợp này tồn tại một nghiệm dơng)

+ S = 0 (trờng hợp này tồn tại một nghiệm không âm)

+ S < 0; P  0 (trờng hợp này có một nghiệm không âm, một nghiệm âm).

Tuỳ theo đầu bài mà ta chọn cách xét biểu thức nào trớc

Bài tập 1: Cho phơng trình x2 – 2 (m + 2)x + m + 1 = 0 (1)

a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt dơng

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu

Phân tích tìm lời giải:

a) Từ điều kiện trên Để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt dơng

'

 > 0 (m + 2)2 – (m + 1) > 0  x1.x2 > 0  m + 1 > 0

x1 + x2 > 0 2 (m + 2) > 0

m2 + 4m + 4 – m – 1 > 0 m2 + 3m + 3 > 0 (m +

2

3

)2 +

4

3

>0

m > -1  m > -1  m > -1  m > -1

m > -2 m > -2 m > -2

Vậy m > -1 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt dơng

b) Phơng trình có 2 nghiệm trái dấu  a.c < 0  m +1 < 0  m < -1

Vậy m > -1 thì phơng trình có hai nghiệm trái dấu

Khai thác bài toán:

Từ kết quả bài toán trên ta có thể khai thác triệt để tìm thêm kết quả mới để giúp học sinh hiểu sâu hơn bài toán và nắm chắc hơn bài toán

Bài tập 1: Cho phơng trình: x2 – 2 (m – 1)x –m = 0

a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dơng

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm âm

Bài tập 2: Cho phơng trình x2 + 2(m + 1)x + 2m -11 = 0

a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dơng

c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm đối nhau

d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm âm

Bài tập 3: Tìm k để phơng trình sau có 4 nghiệm phân biệt.

x4 – 2kx2 + 2k – 3 = 0 (1)

Phân tích tìm lời giải:

- Phơng trình (1) ta có thể đặt ẩn phụ để đa về phơng trình bậc hai

Đặt x2 = t(t 0) ta có t2 – 2k.t + 2k – 3 = 0 (2)

Vậy để phơng trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì phơng trình (2) có hai nghiệm phân biệt dơng Do đó ta có:

2 2

1 2

1 2

k

k





Vậy k >

2

3

thì pt (1) có 4 nghiệm

phân biệt dơng

Khai thác bài toán :

- Từ lời giải trên ta có thể ra bài toán tơng tự : Tìm m để pt sau có 4 nghiệm phân biệt : x4 – 4x3 + 8x – m = 0 có 4 nghiệm phân biệt

-Ta có thể thay đổi một số yếu tổ của bài toán, có thể thay đổi một số dữ kiên, cũng có thể thay đổi một vài điều phải tìm, phải chứng minh để tìm ra bài toán ban

đầu, để sử dụng hoặc bồi dỡng học sinh giỏi Ta có bài toán sau:

Bài tập 4 : Cho pt (x2 – 1)( x + 3)(x + 5) = m (1)

Tìm m để pt có 4 nghiệm phân biệt thoả mãn

1

1

x +

4 3 2

1 1 1

x x

x   = -1

Phân tích tìm lời giải:

Trớc hết ta biến đổi pt trên rồi đặt ẩn phụ để đợc pt bậc hai

7

 (x - 1)(x+1)(x+3)(x+) = m

 (x2 + 4x – 5)(x2 + 4x + 3) = m

Đặt x2 + 4x + 4 = t (t 0)

Ta có pt : ( t – 9)(t – 1) = m

 t2 – 10t + 9 – m = 0 (2)

Để pt (1) có 4 nghiệm phân biệt thì pt (2) có 2 nghiệm phân biệt dơng

Do đó ta có :

,

1 2

1 2

16

9

10 0 0

m

m

m

t t

 











Khi đó ta có pt x2 + 4x + 4 – t1 = 0 có hai nghiệm x1, x2

Pt x2 + 4x + 4 – t2 = 0 có hai nghiệm x3, x4

Theo vi-ét ta có: 1 2

1 2 1

4 4

x x





 



và 3 4

3 4 2

4 4

x x





 



Mặt khác:

4 3 2 1

1 1 1 1

x x x



4 3

4 3 2

1

2

1

x x

x x

x

x

x





= m 

2

1 4

4 4

4

t









= m

 -4 (4 – t2) – 4 = m (4 – t1)(4 – t2)

 -16 + 4t2 – 16 + 4t1 = m(16 – 4t2 – 4t1 + t1t2)

4 (t1 + t2) – 32 = m [ t1t2 – 4 (t1 + t2) + 16 ]

Mà t1+ t2 = 10 thay vào ta giải tiếp đợc m = -7 (t/m)

t1t2 = 9m

Khai thác bài toán:

- Từ lời giải bài toán trên ta có thể đa ra các bài toán tơng tự

Bài tập 1: Tìm m để phơng trình: (x2 + 2x + 1)2 + x2 + 2x + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt thoả mãn:

4 3 2 1

1 1 1 1

x x x

x    = 1

Bài tập 2 : Tìm m để pt :x4 – 10mx2 + m + 8 = 0 có 4 nghiệm phân biệt thoả mãn x4 – x3 = x3 – x2 = x2 – x1 với x1 < x2 < x3 < x4

Bài tập 3 : Tìm m để pt (x – 7)(x – 6)(x + 2)(x + 3) = m có 4 nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 , x4 thoả mãn

4 3 2 1

1 1 1 1

x x x

x    = 4

2- So sánh nghiệm của các pt bậc hai với một số bất kỳ khác 0.

- Để so sánh nghiệm của pt bậc hai với một số bất kỳ cho trớc ta có thể dùng

định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai hoặc sử dụng công thức nghiệm để tìm ra nghiệm rồi so sánh

Bài tập 1 : Tìm m để pt x2 + 2 (m + 1)x + 2m – 11 = 0

a) Có 1 nghiệm lớn hơn 1 và 1 nghiệm nhỏ hơn 1

b) Có 2 nghiệm lớn hơn 2

Phân tích tìm lời giải:

Xét ,

 = (m + 1)2 – (2m – 11) = m2 + 12 > 0 với mọi m

Vậy pt luôn có 2 nghiệm phân biệt x1; x2

a) Giả sử phơng trình có 2 nghiệm x1; x2 sao cho:

1 2

1 1

x x











hoặc 1

2

1 1

x x











2

1 0

1 0

x x

 







hoặc 1

2

1 0

1 0

x x





 



 (x1 – 1) (x2 – 1) < 0

 x1x2 – (x1 + x2) + 1 < 0

Theo viet 1 2

1 2







thay vào ta có:

 2m – 11 – (-2m – 2) + 1 < 0

 2m – 11 + 2m +2 + 1 < 0

 m < 2

Vậy m < 2 thì phơng trình có 1 nghiệm lớn hơn 1 và 1 nghiệm nhỏ hơn 1

b) Giả sử pt có 2 nghiệm x1; x2 sao cho





































































































3 1 0

2

0

6

0

2

0

)2

2

(2

11

2

0 0 ) (2 0

2

0

)2

)(

(

0

2 2

2

1

2

1

2

2

m m m

m

m

m

x x x

x

x

x

x

x

x

Hệ vô nghiệm Vậy không có giá trị nào của m để pt có 2 nghiệm lớn hơn 2

Khai thác bài toán:

Với cách giải trên học sinh có thể làm đợc nhiều bài tập tơng tự

Bài tập 1: Tìm m để pt x2 + x + m = 0 có hai nghiệm đều lớn hơn m

Bài tập 2: Tìm m để pt x2 + mx – 1 = 0 có ít nhất 1 nghiệm nhỏ hơn 2

Bài tập 3: Tìm m để pt (m – 1)x2 – (m – 5)x + m – 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn -1

Bài tập 4: Tìm m để pt x2 + mx – 1 có ít nhất 1 nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2

Bài tập 5: Tìm m để pt x - 1  x2 = m có một nghiệm duy nhất

IV/ Dạng IV: Quan hệ giữa các nghiệm của hai pt bậc hai.

Bài tập 1: Tìm các giá trị của a để hai pt sau có ít nhất 1 nghiệm chung:

x2 + ax + 1 = 0 (1)

x2 + x + a = 0 (2)

Phân tích tìm lời giải:

Để giải bài toán trên ta có thể sử dụng một trong các cách sau:

Cách 1: Giả sử x = x0 là một nghiệm chung nào đó của hai pt Khi đó ta có:

x2 + ax0 + 1 = 0 và x0 + x0 + a = 0

 x0 (a – 1) = a – 1 (*)

- Nếu a = 1 thì thay vào 2 pt đã cho ta có x2 + x + 1 = 0; và x2 + x + 1 = 0 là hai

pt vô nghiệm

- Nếu a  1 thì (*) x =

1

1





a

a

= 1 Thay x = 1 vào (1) ta có a = -2

Cách 2: Hai pt có nghiệm chung  hệ sau có nghiệm:

x2 + ax + 1 = 0  x (a – 1) = a – 1

x2 + x + a = 0 x2 + x + a = 0

đến đây ta giải nh cách 1

Cách 3: Ta thấy x = 0 không là nghiệm của mỗi phơng trình Vậy xét x  0 ta có:

x2 + ax + 1 = 0  a =

x

x2  1

  -x2 – x =

x

x2  1



x2 + x + a = 0 a = -x2 – x

 x2 + 1 = x3 + x2

 x3 = 1  x = 1

9

Thay x = 1 ta có a = -2.

Khai thác bài toán:

- Qua bài tập này có thể giáo viên cho học sinh tìm giả thiết của a để hai pt trên tơng đơng Dễ dàng ta thấy a = 1 thì hai pt tơng đơng vì a = 1 thì hai pt cùng vô nghiệm nên hai pt tơng đơng Còn hai pt có nghiệm mà tơng đơng thì trớc hết chúng phải có nghiệm chung, khi đó a = -2 Tuy nhiên a = -2 thì hai pt chỉ có một nghiệm chung nên không tơng đơng Từ đó ta có thể đa ra và giải các bài toán tơng tự

Bài tập: Tìm m để hai pt sau tơng đơng.

a) x2 – (m + 4)x + m + 5 = 0 và x2 –(m + 2)x + m + 1 = 0 b) x2 + mx + 2 = 0 và x2 + 2x + m = 0

c) 2x2 –(3m + 2) x + 12 = 0 và 4x2 – (9m – 2)x + 36 = 0

d) x2 – mx + 2m + 1 = 0 và mx2 – (2m + 1)x – 1 = 0

e) x2 + (m – 2)x + 3 = 0 và 2x2 + mx + m + 2 = 0

* Trong một số trờng hợp để tạo ra bài toán mới bằng phơng pháp tơng tự ta có thể giữ nguyên các giữ kiện giả thiết của bài toán và chỉ thay đổi kết luận (hay câu hỏi) của bài toán đó Chỉ có thể làm đợc điều này nếu ta khai thác kết quả mới của bài toán đã cho hoặc nghiên cứu bài toán theo một hớng khác Bài toán mới cùng với bài toán ban đầu giúp học sinh xem xét một vấn đề toán học dới những góc độ khác nhau biết cách khai thác các kết quả khác nhau giúp học sinh nắm vững kiến thức sâu hơn

và phát huy t duy phân tích, tổng hợp cho học sinh

Ta có bài toán mới sau:

Bài tập 2: Tìm giá trị của a để hai pt sau tơng đơng:

x2 + x + a = 0 (1)

x2 + ax + 1 = 0 (2)

Phân tích tìm lời giải:

Từ khái niệm hai pt tơng đơng là hai pt có cùng tập nghiệm Vì vậy gọi

N1 là tập hợp nghiệm của pt (1)

N2 là tập hợp nghiệm của pt (2) Vậy ta cần tìm a để N1 = N2 Do đó cần phải xét các trờng hợp xảy ra

Hai pt trên cùng vô nghiệm

TH1:  N1 = N2 = 

 









0 4 0 4

1

2

a

a

 









0 ) 2 )(

2 ( 4 / 1

a a a

 









2 2

4 / 1

a a



4

1

< a < 2

TH2: N1 = N2 

Gọi x1; x2 là hai nghiệm của pt (1); x3; x4 là hai nghiệm của pt (2) Vậy để hai pt trên

t-ơng đt-ơng

 1 2 3 4

1 2 3 4



Hệ vô nghiệm

KL: Vậy

4

1

< a < 2 thì hai pt trên tơng đơng

Khai thác bài toán :

Qua đó giáo viên cho học sinh giải các bài tập tơng tự để rèn kĩ năng vận dụng cho học sinh làm dạng toán này:

Bài tập 1: Tìm a để hai pt sau tơng đơng:

x2 + ax+ 8 = 0 (1)

x2 + x + a = 0 (2)

Bài tập 2: Tìm a; b để hai pt sau tơng đơng:

x2 – (a + 2b)x – 6 = 0

x2 – (2a + b)x – 3a = 0

Bài tập 3: Tìm m; n để hai pt sau tơng đơng:

x2 + (3m + 2n)x – 4 = 0

x2 + (2m + 3n)x + 2n = 0