Hệ thức lượng giác và ứng dụng

Lý do chọn đề tài Lượng giác là một trong những lĩnh vực cơ bản của toán học, đã tồn tại , phát triển trong hàng ngàn năm qua, và có nhiều ứng dụng trong khoa học và thực tiễn.. Đồng th

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN NGỌC CHÂU

Phản biện 1: TS LÊ HOÀNG TRÍ

Phản biện 2: PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG

Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng

08 năm 2016

Có thể tìm Luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lượng giác là một trong những lĩnh vực cơ bản của toán học,

đã tồn tại , phát triển trong hàng ngàn năm qua, và có nhiều ứng dụng trong khoa học và thực tiễn Trong khuôn khổ chương trình toán phổ thông hiện hành, lượng giác được giảng dạy vào cuối năm lớp 10 và đầu năm lớp 11 với những chủ đề cơ bản như: công thức lượng giác, phương trình lượng giác và hệ thức lượng giác Tuy nhiên, chủ đề hệ thức lượng giác và đặc biệt là phần ứng dụng của nó được đề cập đến với một thời lượng không nhiều và chỉ ở một mức

độ nhất định Hệ thức lượng giác là một chuyên đề tương đối khó đối với học sinh phổ thông Đồng thời, trong các đề thi tuyển sinh Đại học và cao đẳng, thi học sinh giỏi toán quốc gia, quốc tế hằng năm thường gặp những bài toán có liên quan đến các hệ thức lượng giác cùng những ứng dụng của nó

Là một giáo viên đang giảng dạy môn Toán ở trường phổ thông, với mục đích tìm hiểu các ứng dụng của lượng giác trong chương trình trung học phổ thông, nên tôi chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình là : “Hệ thức lượng giác và ứng dụng”

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu các kiến thức cơ bản về lượng giác, đặc biệt là các hệ

Các ứng dụng của hệ thức lượng giác trong tam giác và

tứ giác

Các bài toán thuộc chương trình phổ thông có thể giải được bằng cách sử dụng các hệ thức lượng giác

4 Phương pháp nghiên cứu

Thu thập, tổng hợp, hệ thống các tài liệu liên quan đến nội dung đề tài luận văn

Phân tích, nghiên cứu các tài liệu để thực hiện đề tài luận văn

Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của người hướng dẫn, của các chuyên gia và của các đồng nghiệp

5 Nội dung của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành 3 chương

Chương 1 Trình bày sơ lược các hệ thức lượng giác và một số bất đẳng thức đại số hay sử dụng trong các chương sau

Chương 2 Trình bày các bài toán về hệ thức lượng giác trong tam giác

Chương 3 Trình bày các bài toán về hệ thức lượng giác trong

tứ giác

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ

Chương này nhắc lại những hệ thức lượng giác cơ bản và một

số bất đẳng thức đại số nhằm làm cơ sở cho các chương sau

1.1 CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

1.1.1 Đẳng thức lượng giác

a Độ dài đường trung tuyến của tam giác

p b



 ; c

S r

p c





h Các đẳng thức lượng giác cơ bản trong tam giác

sin sin sin 4cos cos cos

tanAtanBtanCtan tan tanA B C

tan tan tan tan tan tan 1

A B B C  C A

cot cotA Bcot cotB CcotCcotA1

cot cot cot cot cot cot

3 3cos cos cos

tanAtanBtanC  3 3(ABCnhọn)

tan2Atan2Btan2C  9(ABCnhọn)

tan2 tan2 tan2 1

cot Acot Bcot C  1 ; cotAcotBcotC  3

cot cot cot 3 3

n n

Cho hai dãy số thực a a1, 2, ,a n và b b1, 2, ,b n trong đó b i > 0

với mọi i = 1, 2, , n Khi đó ta có:

HỆ THỨC LƢỢNG TRONG TAM GIÁC

Chương này trình bày việc sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác để giải một số lớp bài toán về tam giác, cụ thể là bài toán

nhận dạng tam giác, các bài toán về chu vi, diện tích tam giác 2.1 CÁC BÀI TOÁN VỀ NHẬN DẠNG TAM GIÁC

Để nhận dạng tam giác, ta thường sử dụng một trong các phương pháp như sau:

Phương pháp 1: Sử dụng các phép biến đổi lượng giác để tính góc hoặc cạnh

Phương pháp 2: Sử dụng bất đẳng thức cơ bản trong tam giác

và các bất đẳng thức đại số

Phương pháp 3: Sử dụng phương pháp đánh giá dựa trên các tính chất tam giác và tính chất của hàm số

2.1.1 Nhận dạng tam giác vuông

Để chứng minh ABC là tam giác vuông, ta sử dụng Định lý Pythagore, hoặc chứng minh tam giác có một góc vuông (góc đối diện với cạnh dài nhất của tam giác)

Bài toán 2.2 Cho ABC thỏa mãn hệ thức:

1 sin2 sin2 sin2

    Vậy ABC vuông tại A

2.1.2 Nhận dạng tam giác cân

Để chứng minh ABC là tam giác cân, ta chứng minh tam giác có 2 cạnh bằng nhau, hoặc có 2 góc bằng nhau

Bài toán 2.10 Cho ABC có:

Vậy ABC cân tại C

2.1.3 Nhận dạng tam giác đều

Để chứng minh ABC là tam giác đều, ta chứng minh tam giác có 3 cạnh bằng nhau, hoặc có 3 góc bằng nhau, hoặc chứng

minh ABC cân và có một góc bằng 600

Bài toán 2.19 Cho ABC có:

22sin

Vậy ABC đều

2.2 CÁC BÀI TOÁN VỀ CẠNH VÀ GÓC CỦA TAM GIÁC

Bài toán 2.30 Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện:

cosAcosB2cosC Chứng minh bất đẳng thức

Sử dụng Định lý côsin trong tam giác ABC, điều kiện bài toán

tương đương với 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Từ (2.3) suy ra b là nghiệm của phương trình:

sin sin sin 1 2cos

sin 1

B C

B C A

A A

Vậy ABC vuông cân tại A

2.3 CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG PHÂN GIÁC, ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN, ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC

Bài toán 2.41 Cho ABC Chứng minh rằng:

p a a A R

1 tan

2

A A

A



 và thay sin 2

a A R

Bài toán 2.43 Chứng minh rằng trong ABC ta có:

Trong ABC vẽ đường cao AH và đường phân giác AD

Tương tự:

C B

Dấu bằng trong (2.8) xảy ra   A B C Ta sẽ chứng minh rằng:

cos cos cos 8sin sin sin

B C CA A B A B C

 (2.9)

Thật vậy:

(2.9) 8cos cos cos cos cos cos 8sin sin sin

(2.7) đúng (đpcm) Dấu bằng xảy ra ABClà tam giác đều

2.4 CÁC BÀI TOÁN VỀ CHU VI VÀ DIỆN TÍCH TAM GIÁC

Bài toán 2.52 Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ABC Các

đường thẳng AI, BI, CI kéo dài cắt đường tròn ngoại tiếp ABC lần

lượt tại A ’ , B ’ , C ’ Chứng minh rằng:

  '2   '2   '2 1

2

pa IA  p b IB  pc IC  abc

Giải:

Giả sử O, R, r lần lượt là tâm, bán kính đường tròn ngoại tiếp,

bán kính đường tròn nội tiếp ABC Gọi D là tiếp điểm của

đườngtròn (I ; r) với cạnh AB Khi đó:

A bc

A

A' E

diện tích tứ giác

3.1 CÁC BÀI TOÁN VỀ NHẬN DẠNG TỨ GIÁC

Bài toán 3.2 Cho tứ giác ABCD thỏa mãn điều kiện:

sin sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin sin sin



 ; 2

sinsin sin

B a



 ; 4

sinsin sin

D a





b1 sinAsinBsinC ; b2  sinBsinCsinD

b3 sinCsinDsinA ; b4 sinDsinAsinB

Dấu bằng trong (3.1) xảy ra sinAsinBsinCsinD

Bài toán 3.3 [11] Cho tứ giác lồi ABCD Gọi R 1 , R 2 , R 3 , R 4

lần lượt là bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Chứng minh rằng: Nếu R 1 R 3 = R 2 R 4 thì tứ giác

ABCD nội tiếp

1

1 1

Từ (3.5) và (3.3) có D 1 = A 1 Vậy ABCD là tứ giác nội tiếp

3.2 CÁC BÀI TOÁN VỀ CẠNH VÀ GÓC CỦA TỨ GIÁC

Bài toán 3.8 Cho ABCD là tứ giác lồi và không có góc nào

vuông Chứng minh:

tan tan tan tan cot cot cot cot

tan tan tan tan

tan tan tan tan

tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan

tan tan tan tan tan tan

tan tan tan tan tan tan tan tan

tan tan tan tan

cot cot cot cottan tan tan tan

Bài toán 3.10 Cho tứ giác ABCD nội tiếp Đường tròn với

tâm trên cạnh AB tiếp xúc với ba cạnh kề Chứng minh:

O

Gọi O là tâm đường tròn OABtiếp xúc với AD, DC, CB lần lượt tại M, N, P Ta có:

cos 1 cos cos 1 cos

Do ABCD là tứ giác nội tiếp nên A C   B D 1800

sinA sin ; sinC B sinD;cosA cos ;cosC B cosD

Vì vậy từ (3.3) suy ra:

3.3 CÁC BÀI TOÁN VỀ CHU VI VÀ DIỆN TÍCH TỨ GIÁC

Bài toán 3.19 Cho ABCD là tứ giác nội tiếp với AB = a ’ , BC = b ’,

CD = c ’ , DA = d ’ và p ’ là nửa chu vi của tứ giác Chứng minh rằng:

p a p d A

b'

a'

d' c'

C

D A

Bài toán 3.21 Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường

tròn , đường chéo AC = a, hợp với hai cạnh AB, CD các góc , 

Giải:

β

β α

K

B

C

D A

Giả sử sin  sin Trên AB kéo dài về phía B lấy K sao cho BKCCAD 

Do KBCCDA BKC đồng dạng với DAC

Do sin  sin BCCDS KBCS CDAS ABCDS ACK

Tương tự nếu 1 2sin  

KẾT LUẬN

Luận văn “Hệ thức lượng giác và ứng dụng” đã thực hiện được

mục đích và nhiệm vụ đề ra, cụ thể là đã giải quyết được những vấn

đề sau:

1 Tìm hiểu và trình bày những hệ thức lượng giác cơ bản

2 Hệ thống và phân loại một số lớp bài toán về hệ thức lượng trong tam giác, trong tứ giác

3 Đối với mỗi lớp bài toán đều có các bài toán minh họa và các bài toán tương tự

Hy vọng rằng nội dung của luận văn còn được tiếp tục hoàn thiện và mở rộng hơn nữa, nhằm có thể là một tài liệu tham khảo cho học sinh, sinh viên, cũng như những ai quan tâm đến lĩnh vực hệ thức lượng giác