ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ TRANG TOÁN TỬ SAI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌ[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ TRANG TOÁN TỬ SAI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ TRANG TOÁN TỬ SAI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS Trịnh Thanh Hải THÁI NGUYÊN - 2019 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc PGS.TS Trịnh Thanh Hải (ĐHKH - ĐHTN), thầy trực tiếp hướng dẫn tận tình động viên tác giả suốt thời gian nghiên cứu vừa qua Xin chân thành cảm ơn tới quý thầy, cô giáo trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Toán K11, bạn học viên, bạn đồng nghiệm tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu trường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình người thân ln khuyến khích động viên tác giả suốt q trình học cao học viết luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2019 Tác giả Nguyễn Thị Trang i Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm 1.2 Một số tính chất toán tử sai phân 1.3 Phương trình sai phân tuyến tính 1.4 Phương trình sai phân phi tuyến 18 Ứng dụng toán tử sai phân vào giải số toán dành cho học sinh khá, giỏi 2.1 20 Ứng dụng toán tử sai phân vào giải tốn tìm số hạng tổng qt 20 2.2 Ứng dụng tốn tử sai phân vào giải tốn tính tổng 23 2.3 Ứng dụng toán tử sai phân vào số toán bất đẳng thức 27 2.4 Ứng dụng toán tử sai phân vào số toán chia hết, phần nguyên 29 2.5 Ứng dụng toán tử sai phân vào số tổ hợp 34 2.6 Ứng dụng toán tử sai phân vào số toán giới hạn 2.7 Một số tập đề nghị 39 Kết luận 36 54 Tài liệu tham khảo 55 ii Mở đầu Toán tử sai phân cho ta nhiều lời giải thú vị ta dựa vào định nghĩa, tính chất tốn tử sai phân để giải số toán sơ cấp, đơn cử: • Bài tốn chia hết, phần ngun; • Bài tốn đếm giải tích tổ hợp; • Bài tốn giới hạn hàm số; • Bài tốn bất đẳng thức; • Tính tổng dãy số; • Xác định số hạng tổng quát dãy số Ngoài việc vận dụng phương pháp sai phân vào dạng tốn kể trên, ta cịn tìm thấy nhiều ví dụ minh họa việc vận dụng phương pháp sai phân vào giải toán thực tiễn Với mong muốn tìm hiểu, sưu tầm việc vận dụng toán tử sai phân vào giải số toán dành cho học sinh giỏi THPT để vận dụng vào trình dạy học thân, Em lựa chọn đề tài ứng dụng toán tử sai phân vào giải số toán sơ cấp Luận văn có nhiệm vụ sau: • Tìm hiểu định nghĩa tính chất tốn tử sai phân; • Đọc hiểu ý tưởng vận dụng tốn tử sai phân vào giải mơt số tốn sơ cấp trình bày báo [5], [6] • Sưu tầm số toán, đề thi tổ hợp dành cho học sinh giỏi mà tập giải cách vận dụng khái niệm, tính chất tốn tử sai phân; • Trình bày tường minh lời giải số toán sở vận dụng khái niệm, tính chất tốn tử sai phân Ngồi ra, luận văn trình bày cách giải khác toán so sánh phương pháp giải với lời giải ứng dụng tính chất tốn tử sai phân người đọc đưa nhận xét, so sánh lời giải với Chương Kiến thức chuẩn bị Chương sử dụng để nhắc lại kiến thức thường trình bày giáo trình giảng dạy bậc đại học Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [4] - [7] 1.1 Một số khái niệm Định nghĩa 1.1.1 [5] Cho h số thực khác hàm f (x) Khi f (x + h) f (x) số thực, ta gọi ∆h f (x) = f (x + h) − f (x) sai phân bậc f x với bước nhảy h Cho hàm f, g số thực c, ta có ∆h (f + g) = ∆h f (x) + ∆h g(x) ∆h (cf (x)) = c∆h f (x) Ký hiệu ∆0h f (x) If (x) thay cho f (x) Với số nguyên n > 1, định nghĩa sai phân bậc n ∆nh f (x) = ∆n (∆n−1 h f )(x) Ví dụ ∆2h f (x) = f (x + 2h) − 2f (x + h) + f (x), ∆3h f (x) = f (x + 3h) − 3f (x + 2h) + 3f (x + h) − f (x) Bằng quy nạp, chứng minh ∆nh f (x) = n X (−1)n−k Cnk f (x + kh), (1.1) k=0 Cn0 = Với k > 0, ta có n n(n − 1) (n − k) k Cn = = k k! Chú ý với nhiều cơng thức, cho n số thực Nếu h = ta viết ∆ bỏ qua số h Ví dụ, trường hợp dãy {xn }, có ∆xn = xn+1 − xn Nhận xét (i) Cho hàm f (x), n = 0, 1, 2, , f (x + n) = n X Cnk ∆k f (x); k=0 trường hợp đặc biệt, ∆m f (n) số khác với số nguyên dương n f (n) = n X Cnk ∆k f (0) k=0 (ii) Nếu P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + + an xn , với an 6= với x, ta có: ∆nh P (x) = an n!hn ∆m h P (x) = 0, với m > n Với k số nguyên dương cho trước Như hàm x, Cxk có tính chất: k (a) Cxk−1 + Cxk = Cx+1 (vì ∆Cxk = Cxk−1 ) (b) Ta có ∆r Cxk = Cxk−r , với r k ∆r Cxk = 0, với r > k k+1 (c) C1k + C2k + + Cnk = Cn+1 Tương tự (i), f (x) đa thức có bậc m f (x) = m X Cxk ∆k f (0) k=0 (1.2) 1.2 Một số tính chất tốn tử sai phân Tính chất 1.2.1 [4] Nếu c = const ∆c = Chứng minh Nếu c = const ∆c = c − c = Tính chất 1.2.2 [4] Ta có ∆n (xn ) = n!hn ; ∆m (xn ) = 0(m > n) Chứng minh Ta có ∆(xn ) = (x + h)n − xn = n.hxn−1 + ∆2 (xn ) = ∆(nxn−1 h) + = n.h∆(xn−1 ) + n(n − 1).h2 (xn−2 ) + ∆n (xn ) = n!hn Từ Tính chất 1.4.2, suy ∆m (xn ) = 0, ∀m > n Tính chất 1.2.3 [4] Nếu P (x) đa thức bậc n ta có: ∆P (x) = P (x + h) − P (x) n X hi (i) p (x) = i! i=1 Tính chất 1.2.4 [4] f (x + nh) = n X Cni ∆i f (x) i=0 Chứng minh Ta có f (x + h) = (1 + ∆)f (x) = f (x) + ∆f (x) Sử dụng liên tiếp công thức trên, ta được: f (x + nh) = (1 + ∆)f (x + (n − 1)h) = (1 + ∆)2 f (x + (n − 2)h) = = (1 + ∆)n f (x) n X = Cni ∆i f (x) i=0 Tính chất 1.2.5 [4] n ∆ f (x) = n X Cni (−1)i Cin f (x + (n − i)h) i=0 Chứng minh Ta có ∆n f (x) = [(1 + ∆) − 1]n f (x) n X = (−1)i Cin (1 + ∆)n−i f (x) = i=0 n X (−1)i Cin f (x + (n − i)h) i=0 Tính chất 1.2.6 [4] Giả sử f ∈ C n [a; b] (x; x + nh) ⊂ θ(0; 1), đó: ∆n f (x) = f (n) (x + θnh); θ ∈ (0; 1) n h Chứng minh Ta chứng minh quy nạp Với n = 1, ta có cơng thức số gia hữu hạn: f (x + h) − f (x) = f (x + θh) h Giả sử công thức với k = n, nghĩa là: ∆n f (x) = f (n) (x + θnh) n h Ta chứng minh công thức với k = n + Thật vậy, ta có: ∆n+1 f (x) = ∆[∆n f (x)] = ∆[hn f (n) (x + θ0 nh)], θ0 ∈ (0; 1) Áp dụng công thức số gia hữu hạn cho f (n) (x + θ0 nh) ta có ∆n+1 f (x) = hn ∆(n) (x + θ0 nh) = hn [f (n) (x + θ0 nh + h) − f (n) (x + θ0 nh)] = h(n+1) f (n+1) (x + θ0 nh + θ”h); với (θ0 , θ” ∈ (0; 1)) Đặt θ = θ0 n+θ” n+1 ∈ (0; 1), ta có ∆(n+1) f (x) = f (n+1) (x + θ(n + 1)h) Tính chất 1.2.7 [4] Nếu f (x) xác định tập số nguyên h = 1; kí hiệu xk = f (k); k = 0, 1, n X ∆xi = xn+1 − x1 i=1 Chứng minh Ta có: n X ∆xi = (x2 − x1 ) + (x3 − x2 ) + + (xn+1 − xn ) = xn+1 − x1 , i=1 với ∆xi = xi+1 − xi Vậy n X ∆xi = xn+1 − x1 i=1 Giả sử ∆ toán tử sai phân D hàm giá trị thực Với hàm giá trị thực f tồn giới hạn: df f (x + h) − f (x) = lim dx h→0 h Cho h = thay biến x n ta có tốn tử sai phân ∆ Như ∆ có tính chất tốn tử sai phân D.Ta xét số tính chất thơng qua định lý sau với D(xn ) = nxn−1 D(f (x)) = n Định lý 1.2.1 [7] Nếu f (x) = x − = x(x − 1) (x − n + 1) ∆f (x) = nx n−1 − n Trong x − kí hiệu giai thừa Chứng minh Ta có ∆f (x) = f (x + 1) − f (x) n n ∆f (x) = (x + 1) − − (x) − ∆f (x) = (x + 1)x (x + − n + 1) − x(x − 1) (x − n + 1) ∆f (x) = (x + 1)x (x − n + 2) − x(x − 1) (x − n + 1) ∆f (x) = ([x + 1] − [x − n + 1])(x(x − 1) (x − n + 2)) ∆f (x) = nx n−1 − Nếu f (x) = ex df dx = ex Khi ta tìm hàm f cho ∆f = f Từ ta có định lý sau Định lý 1.2.2 [7] Nếu f (x) = 2x ∆f (x) = ∆2x = 2x Chứng minh ∆f (x) = ∆2x ∆f (x) = 2x+1 − 2x ∆f (x) = 2x (2 − 1) ∆f (x) = 2x x x Định lý 1.2.3 [7] Nếu f (x) = k ∆f (x) = k−1 Chứng minh Dựa vào tính chất dương tương tự Định lý 1.2.1 ta có x ∆f (x) = ∆ k k x− ∆f (x) = ∆ k! k ∆f (x) = ∆x − k! k−1 ∆f (x) = kx − k! k−1 x− ∆f (x) = (k − 1)! x ∆f (x) = k−1 1.3 Phương trình sai phân tuyến tính Định nghĩa 1.3.1 [4] Phương trình sai phân tuyến tính hệ thức tuyến tính sai phân cấp dạng: F (un , ∆un , ∆2 un , , ∆k un ) = 0, ∆k un sai phân cấp k un , k bậc phương trình sai phân Định nghĩa 1.3.2 [4] Phương trình sai phân tuyến tính hàm un hệ thức tuyến tính giá trị hàm un điểm khác Phương trình sai phân tuyến tính tổng qt có dạng: a0 un+k + a1 un+k−1 + + ak un = fn , (1.3) a0 , a1 , , ak (với a0 6= 0, ak 6= 0) hệ số biểu thị số cho trước hay hàm số n, fn hàm số biến n, un ẩn số cần tìm Định nghĩa 1.3.3 [4] + Nếu fn ≡ (1.3) gọi phương trình sai phân tuyến tính nhất; + Nếu fn 6≡ (1.3) gọi phương trình sai phân tuyến tính không nhất; + Nếu fn ≡ a0 , a1 , , ak số, a0 6= 0, ak 6= (1.3) trở thành a0 un+k + a1 un+k−1 + + ak un = (1.4) Đây phương trình sai phân tuyến tính bậc k với hệ số + Nếu a0 , a1 , , ak hàm số n (1.3) phương trình sai phân tuyến tính với hệ số biến thiên Định nghĩa 1.3.4 [4] + Hàm số un thỏa mãn (1.3) nghiệm phương trình sai phân tuyến tính (1.3) + Hàm số un thỏa mãn (1.4) gọi nghiệm tổng quát phương trình sai phân tuyến tính (1.4) Nếu với tập giá trị ban đầu u0 , u1 , , uk−1 ta xác định tham số C1 , C2 , , Ck để nghiệm un trở thành nghiệm riêng (1.4), nghĩa đồng thời thỏa mãn (1.4) un = ui , i = 0, k − Cấu trúc nghiệm: Định lý 1.3.1 [4] Nghiệm tổng quát (1.3) un = un + u∗n , un nghiệm tổng quát (1.4), u∗n nghiệm riêng (1.3) Định lý 1.3.2 [4] Nghiệm tổng quát (1.4) có dạng: un = C1 un1 + C2 un2 + + Ck unk , un1 , un2 , , unk k nghiệm độc lập tuyến tính (1.4) C1 , C2 , , Ck số tùy ý Định lý 1.3.3 [4] Xét phương trình đặc trưng: a0 λk + a1 λk−1 + + ak = (1.5) + Trường hợp Nếu (1.5) có k nghiệm thực khác λ1 , λ2 , , λk hệ {λn1 , λ,2 , λnk } hệ k nghiệm độc lập tuyến tính (1.5) Khi nghiệm tổng qt (1.5) un = C1 λn1 + C2 λ2 + + Ck λnk , Ci , i = 1, 2, , k số tùy ý + Trường hợp Nếu (1.5) có nghiệm thực λj bội s ngồi nghiệm λnj ta bổ sung thêm s − nghiệm nλnj , n2 λnj , , ns−1 λnj nghiệm độc lập tuyến tính (1.5) Khi un = k X Ci λni + s−1 X Cji ni λnj , i=1 j6=i=1 Cji Ci số tùy ý + Trường hợp Nếu (1.5) có nghiệm phức λj = r(cos ϕ + i sin ϕ), tanϕ = b/a, r = |λj | = √ a2 + b2 ta lấy thêm nghiệm rn cos nϕ, rn sin nϕ Khi un = k X Ci λni + rn (Cj1 cos nϕ + Cj2 sin nϕ), j6=i=1 Ci , Cj1 , Cj2 (i = 1, 2, , k) số tùy ý Phương pháp tìm nghiệm riêng Phương pháp Phương pháp chọn (hệ số bất định) Trong số trường hợp đặc biệt hàm fn , ta tìm u∗n cách đơn giản Để xác định tham số dạng nghiệm ta dùng phương pháp hệ số bất định * Trường hợp Nếu fn = Pm (n) đa thức bậc m n, m ∈ N + (1.5) khơng có nghiệm λ = ta chọn u∗n = Qm (n) + (1.5) có nghiệm λ = bội s ta chọn u∗n = ns Qm (n) * Trường hợp Nếu fn = αn Pm (n), α 6= 0, m ∈ N, Pm (n) đa thức bậc m n 10 + (1.5) có nghiệm thực khác α ta chọn u∗n = αn Qm (n) + (1.5) có nghiệm λ = α bội s ta chọn u∗n = ns αn Qm (n) * Trường hợp Nếu fn = α cos nu + β sin nu, với α, β số ta chọn u∗n = a cos nu + b sin nu * Trường hợp Nếu fn = fn1 + fn2 + + fns ta chọn u∗n = u∗n1 + u∗n2 + + u∗ns , u∗ni ứng với hàm fni , i = 1, s Phương pháp Phương pháp biến thiên số Lagrenge Nghiệm tổng quát un = C1 (n)un1 + C2 (n)un2 + + Ck (n)unk Phương pháp Phương pháp đưa dạng tắc phương trình sai phân tuyến tính Xét phương trình sai phân tuyến tính cấp k, k > 3: un+k = a1 un+k−1 + a2 un+k−2 + + ak un + fn Trong a1 , a2 , , ak hệ số; un , un+1 , , un+k ẩn; u0 , u1 , , uk−1 gia trị ban đầu Phương trình cho ln đưa dạng tắc → − → − − y n+1 = A→ y n + f n Trong uk−1 un+k f0 − 0 u u → k−2 n+k−1 → − = , f n = , y = un+1 u0 → − y n+1 a1 1 A= 0 a2 ak−1 11 ak 0 0 Với ma trận A tìm ma trận Q không suy biến cho QAQ−1 = Λ Trong Λ ma trận đường chéo Gioocđan Thực phép đổi biến → − → − → − − x n = Q→ y n, F n = Q f n, ta có n X → − − − → − − Λn−k F k−1 , → y n = Q−1 → x n x n = Λn → x0+ k=1 Từ xác định un Định nghĩa 1.3.5 [4] Phương trình sai phân tuyến tính cấp có dạng: aun+1 + bun = fn , với a, b 6= un+1 = qun + fn , q 6= + Nếu fn ≡ ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp + Nếu fn 6≡ ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp khơng + Nếu a, b hay q số ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp với hệ số + Nếu a, b hay q hàm n ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp với hệ số biến thiên Nghiệm tổng quát un phương trình sai phân tuyến tính cấp khơng có dạng: un = un + u∗n , un nghiệm tổng quát phương trình sai phân tuyến tính cấp u∗n nghiệm riêng phương trình sai phân tuyến tính cấp khơng Nghiệm tổng quát un phương trình sai phân tuyến tính cấp khơng có dạng un = Cλn , với λ = −b/a hay λ = q Để tìm nghiệm riêng u∗n phương trình sai phân tuyến tính cấp khơng nhất, ta xét trường hợp sau: * Trường hợp Nếu fn = Pm (n) đa thức bậc m n, m ∈ N + λ 6= u∗n = Qm (n) + λ = u∗n = nQm (n) * Trường hợp Nếu fn = αn Pm (n), α 6= 0, m ∈ N, Pm (n) đa thức bậc m n + λ 6= α u∗n = αn Qm (n) 12 + λ = α u∗n = nαn Qm (n) * Trường hợp Nếu fn = α cos nu+β sin nu, α2 +β 6= 0, u 6= kπ, k ∈ Z ta có u∗n = a cos nx + b sin nx Ví dụ 1.3.1 Giải phương trình un+1 = 2un + n + 1, ∀n ∈ N∗ , với u1 = Giải Xét phương trình đặc trưng λ − = ⇔ λ = Nghiệm tổng quát phương trình cho có dạng: un = un + u∗n , un = C2n , u∗n = an + b Thay u∗n = an + b vào phương trình ban đầu ta có a(n + 1) + b − 2(an + b) = n + ⇔ −an − b + a = n + 1, ∀n ∈ N∗ Suy a = −1, b = −2 Do u∗n = −n − Vậy un = C2n − n − Vì u1 = nên = 2C − ⇔ C = Vậy un = 2n+1 − n − Định nghĩa 1.3.6 [4] Phương trình sai phân tuyến tính cấp có dạng: aun+2 + bun+1 + cun = fn , a, b, c 6= un+2 = pun+1 + qun + fn , q 6= + Nếu fn ≡ ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp + Nếu fn 6≡ ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp khơng + Nếu a, b, c hay p, q số ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp với hệ số + Nếu a, b, c hay p, q hàm n ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp với hệ số biến thiên Nghiệm tổng quát un phương trình sai phân tuyến tính cấp khơng có dạng: un = un + u∗n , un nghiệm tổng qt phương trình sai phân tuyến tính cấp u∗n nghiệm riêng phương trình sai phân tuyến tính cấp khơng 13 Để tìm nghiệm tổng qt un phương trình sai phân tuyến tính cấp nhất, ta giải phương trình đặc trưng aλ2 + bλ + c = + Nếu phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt λ1 , λ2 số hạng tổng qt có dạng: un = c1 λn1 + c2 λn2 + Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép λ1 = λ2 = λ số hạng tổng quát có dạng: un = (c1 + nc2 )λn + Nếu phương trình đặc trưng khơng có nghiệm thực số hạng tổng qt có dạng: un = rn (c1 cos nϕ + c1 sin nϕ), r= √ B −b A2 + B , ϕ = arctan , A = ,B = A 2a p |∆| 2a Để tìm nghiệm riêng u∗n phương trình sai phân tuyến tính cấp khơng nhất, ta xét trường hợp sau: * Trường hợp Nếu fn = Pm (n) đa thức bậc m n, m ∈ N + λ 6= u∗n = Qm (n), Qm (n) đa thức bậc m n, m ∈ N + λ = nghiệm đơn u∗n = nQm (n) + λ = nghiệm kép u∗n = n2 Qm (n) * Trường hợp Nếu fn = αn Pm (n), α 6= 0, m ∈ N, Pm (n) đa thức bậc m n + λ 6= α u∗n = αn Qm (n), Qm (n) đa thức bậc m n, m ∈ N + λ = α nghiệm đơn u∗n = nαn Qm (n) + λ = α nghiệm kép u∗n = n2 αn Qm (n) * Trường hợp Nếu fn = Pm (n) cos αn+Q` (n) sin αn, với Pm (n), Q` (n) tướng ứng đa thức bậc m, ` n Ký hiệu k = max{m, `} Ta thấy + Nếu α = cos β + i sin β, i2 = −1 khơng nghiệm phương trình đặc trưng u∗n = Tk (n) cos αn + nRk (n) sin αn 14 + Nếu α = cos β + i sin β, i2 = −1 nghiệm phương trình đặc trưng u∗n = nTk (n) cos αn + Rk (n) sin αn Ví dụ 1.3.2 Giải phương trình sai phân u = 2, u = un+2 = 5un+1 − 6un , ∀n ∈ N Giải Xét phương trình đặc trưng λ2 − 5λ + = ⇔ λ = λ = Khi số hạng tổng quát dãy có dạng un = c1 2n + c2 3n Theo giả thiết u = 2, u1 = c + c = 2, ⇔ 2c1 + 3c2 = c = 1, ⇔ c2 = Vậy un = 2n + 3n Ví dụ 1.3.3 Giải phương trình un+2 = un+1 − un , ∀n ∈ N,∗ u1 = u2 = Giải Xét phương trình đặt trưng λ2 − λ + = có hai nghiệm phức liên hợp λ1,2 √ ± 3i π π = = cos ± i sin 3 Suy un = C1 cos nπ nπ + C2 sin 3 Theo giả thiết u1 = u2 = ta có √ C + C =1 2 √ C2 − + C2 = Vậy C = √ ⇔ C2 = 3 √ nπ un = sin 3 15 Định nghĩa 1.3.7 [4] Phương trình sai phân tuyến tính cấp có dạng: aun+3 + bun+2 + cun+1 + duu = fn , a, d 6= un+3 = pun+2 + qun+1 + kuu + fn , k 6= + Nếu fn = ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp + Nếu fn 6= ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp khơng + Nếu a, b, c, d hay p, q, k số ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp với hệ số + Nếu a, b, c, d hay p, q, k hàm n ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp với hệ số biến thiên Định nghĩa 1.3.8 [4] Nghiệm tổng quát phương trình sai phân tuyến tính cấp khơng có dạng: un = un + u∗n , un nghiệm tổng quát phương trình sai phân tuyến tính cấp u∗n nghiệm riêng phương trình sai phân tuyến tính cấp khơng Cách tìm nghiệm tổng qt un phương trình sai phân tuyến tính cấp nhất: Giải phương trình đặc trưng: aλ3 + bλ2 + cλ + d = + Nếu phương trình đặc trưng có ba nghiệm phân biệt λ1 , λ2 , λ3 số hạng tổng qt dãy có dạng: un = c1 λn1 + c2 λn2 + c3 λn3 + Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm bội λ1 = λ2 = λ3 = λ số hạng tổng quát dãy có dạng: un = (c1 n2 + c2 n + c3 )λn + Nếu phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt λ1 λ2 = λ3 = λ số hạng tổng quát dãy có dạng: un = c1 λn1 + (c2 n + c3 )λn 16 ... 20 Ứng dụng toán tử sai phân vào giải tốn tìm số hạng tổng quát 20 2.2 Ứng dụng toán tử sai phân vào giải toán tính tổng 23 2.3 Ứng dụng tốn tử sai phân vào số toán. .. 27 2.4 Ứng dụng toán tử sai phân vào số toán chia hết, phần nguyên 29 2.5 Ứng dụng toán tử sai phân vào số tổ hợp 34 2.6 Ứng dụng toán tử sai phân vào số toán giới... tài ứng dụng toán tử sai phân vào giải số toán sơ cấp Luận văn có nhiệm vụ sau: • Tìm hiểu định nghĩa tính chất tốn tử sai phân; • Đọc hiểu ý tưởng vận dụng tốn tử sai phân vào giải mơt số tốn sơ