(LUẬN văn THẠC sĩ) một số vấn đề về tính chất và đồ thị của hàm số trong giải toán sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ THU THANH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TÍNH CHẤT VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ TRONG GIẢI TỐN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2019 download by : skknchat@gmail.com BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ THU THANH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TÍNH CHẤT VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8460113 Người hướng dẫn : TS Nguyễn Hữu Trọn download by : skknchat@gmail.com Mục lục Danh mục chữ viết tắt ký hiệu iii MỞ ĐẦU 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm hàm số 1.2 Một số tính chất đặc biệt hàm số 1.2.1 Hàm số chẵn hàm số lẻ 3 4 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 Hàm đồng biến nghịch biến Hàm số tuần hoàn Hàm lồi hàm lõm Cực đại, cực tiểu hàm số 4 5 1.2.6 1.2.7 Giá trị lớn nhỏ hàm số Các phép biến đổi đồ thị SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ TRONG GIẢI TỐN SƠ CẤP 2.1 Hàm số tính tuần hồn 2.2 2.3 2.4 2.5 Hàm Hàm Hàm Hàm số tính chẵn lẻ số, tiếp tuyến đồ số tính liên tục số tính đơn điệu thị 13 19 22 28 2.6 Hàm số tính lồi lõm 36 i download by : skknchat@gmail.com BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ 41 3.1 Các toán nhận dạng đồ thị hàm số 41 3.2 3.3 3.4 Các tốn liên quan đến tính đơn điệu hàm số Các toán liên quan đến cực trị hàm số Các toán liên quan đến tương giao đồ thị hàm số 52 62 76 KẾT LUẬN 82 Tài liệu tham khảo 83 ii download by : skknchat@gmail.com Danh mục chữ viết tắt ký hiệu N Z : tập hợp số tự nhiên, : tập hợp số nguyên, Q R HSG T HP T : : : : tập hợp số hữu tỉ, tập hợp số thực, Học sinh giỏi, Trung học phổ thông, T HP T QG : Trung học phổ thông quốc gia, V MS : Vietnam Mathematical Society , IM O : International Mathematical Olympiad iii download by : skknchat@gmail.com LỜI MỞ ĐẦU Hàm số nội dung quan trọng chương trình tốn THPT, đề tài hay, lôi phần lớn giáo viên học sinh, đặc biệt học sinh giỏi Trong năm gần đây, với việc đổi hình thức thi từ tự luận sang trắc nghiệm, đề thi toán THPT quốc gia trọng đến việc khai thác tính chất đồ thị hàm số việc thiết kế đề thi trắc nghiệm, việc giải toán trắc nghiệm THPT Hơn nữa, kỳ thi HSG cấp cấp tỉnh, cấp quốc gia, quốc tế kỳ thi Olympic Toán sinh viên nước quốc tế tốn liên quan đến tính chất đồ thị hàm số thường xuyên xuất Những toán thú vị đơi khó, nhiên tài liệu dành cho học sinh THPT số nghiên cứu trước ứng dụng tính chất đồ thị hàm số chưa trình bày cách hệ thống đầy đủ Vì với suy nghĩ theo ý tưởng chúng tơi khai thác tính chất đồ thị hàm số góp phần nâng cao hiệu việc giảng dạy giáo viên học tập học sinh trường THPT Đó lý tơi chọn đề tài " MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TÍNH CHẤT VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP” để làm đề tài luận văn thạc sĩ Ngoài Mục lục, Danh mục ký hiệu, Mở đầu Kết luận, nội dung luận văn chúng tơi trình bày chương: • Chương Kiến thức chuẩn bị download by : skknchat@gmail.com Trong chương hệ thống lại kiến thức tính chất đồ thị hàm số Đây phần lý thuyết sở để xây dựng phương pháp vận dụng cho toán ứng dụng chương sau • Chương Sử dụng tính chất hàm số giải toán sơ cấp Chương này, chúng tơi trình bày số tốn (tự luận) sử dụng tính chất hàm số chương trình tốn sơ cấp bậc phổ thơng Có thể chia theo chủ đề sau: Hàm số tính tuần hồn, Hàm số tính chẵn lẻ, Hàm số, tiếp tuyến đồ thị, Hàm số tính liên tục, Hàm số tính đơn điệu, Hàm số tính lồi lõm, Tuy nhiên, nhiều tốn chúng liên quan đến nhiều tính chất khác hàm số • Chương 3: Bài tốn trắc nghiệm liên quan đến đồ thị hàm số Chương này, nội dung chúng tơi trình bày toán trắc nghiệm liên quan đến đồ thị hàm số cụ thể là: Các toán nhận dạng đồ thị, Các tốn liên quan đến tính đơn điệu hàm số, Các tốn liên quan đến tính chất hàm lồi, hàm lõm, Luận văn hoàn thành giúp đỡ tận tình thầy TS Nguyễn Hữu Trọn; Trường Đại học Quy Nhơn Chúng xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy tận tình giúp đỡ chúng tôi, truyền đạt nhiều kiến thức quý báu suốt trình học tập thực luận văn Chúng xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học, Khoa Tốn q thầy giáo giảng dạy lớp cao học Phương Pháp Toán Sơ Cấp khóa 20 dày cơng giảng dạy suốt khóa học, tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tơi trình học tập thực đề tài Nhân xin chân thành cảm ơn hỗ trợ mặt tinh thần gia đình, bạn bè tạo điều kiện giúp đỡ để chúng tơi hồn thành tốt khóa học luận văn download by : skknchat@gmail.com Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý q thầy giáo để luận văn hoàn thiện Quy Nhơn, tháng năm 2019 Học viên Nguyễn Thị Thu Thanh download by : skknchat@gmail.com Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương chúng tơi trình bày cách định nghĩa, tính chất hàm số hàm số chẵn, hàm số lẻ, tuần hoàn đơn điệu, lồi lõm giới thiệu số định lý quan trọng liên quan đến tính đơn điệu hàm số, cực trị, phép biến đổi đồ thị hàm số nhằm phục vụ cho việc giải toán sơ cấp liên quan đến hàm số đồ thị trường phổ thông Nội dung đặc biệt lấy chủ yếu tài liệu tham khảo [8] 1.1 Một số khái niệm hàm số Định nghĩa 1.1 Cho tập hợp D ⊂ R D khác rỗng Hàm số f xác định D quy tắc đặt tương ứng số x thuộc D với số, kí hiệu f (x); số f (x) giá trị hàm số f x i) Tập D gọi tập xác định (hay miền xác định), x gọi biến số hay đối số hàm số f ii) Tập hợp tất giá trị hàm số gọi miền giá trị hàm số iii) Đồ thị hàm số y = f (x) tập hợp điểm có tọa độ (x; f (x)) mặt phẳng tọa độ download by : skknchat@gmail.com 1.2 Một số tính chất đặc biệt hàm số 1.2.1 Hàm số chẵn hàm số lẻ Định nghĩa 1.2 Cho hàm số y = f (x) với tập xác định D ⊂ R i) Hàm số f với tập xác định D gọi hàm số lẻ với x ∈ D −x ∈ D f (−x) = −f (x) ii) Hàm số f với tập xác định D gọi hàm số chẵn với x ∈ D −x ∈ D f (−x) = f (x) 1.2.2 Hàm đồng biến nghịch biến Định nghĩa 1.3 i) Hàm số y = f (x) gọi đồng biến khoảng (a, b), với x1 , x2 ∈ (a, b) mà x1 < x2 f (x1 ) < f (x2 ) ii) Hàm số y = f (x) gọi nghịch biến khoảng (a, b), với x1 , x2 ∈ (a, b) mà x1 < x2 f (x1 ) > f (x2 ) Hàm số đồng biến nghịch biến khoảng (a, b) gọi hàm số đơn điệu khoảng Định lí 1.1 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm khoảng (a; b) i) Nếu f (x) > với x ∈ (a; b) hàm số y = f (x) đồng biến khoảng ii) Nếu f (x) < với x ∈ (a; b) hàm số y = f (x) nghịch biến khoảng 1.2.3 Hàm số tuần hoàn Định nghĩa 1.4 Hàm số y = f (x) xác định D ⊂ R gọi hàm số tuần hồn có số T = cho với x ∈ D ta download by : skknchat@gmail.com Đặt g(x) = f (x) − x − x3 + Khi giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y = g(x) đoạn [−1; 3] bằng: A g(2) g(3) B g(−1) g(3) C g(−1) g(1) D g(2) g(1) Lời giải Ta có g (x) = f (x) − (x2 − 1) Vẽ thêm Parabol y = x2 − hình vẽ  x = −1  x=1 g (x) = ⇔ f (x) = x2 − ⇔  x=2  x=3 Ta có bảng biến thiên y = g(x) 69 download by : skknchat@gmail.com Từ bảng biến thiên, ta có g(x) ∈ {g(−1); g(2)} [−1;3] max g(x) ∈ {g(1); g(3)} [−1;3] Từ đồ thị hàm số, ta có 1 f (x) − (x2 − 1) dx = S1 = −1 −1 g (x)dx = g(x) −1 2 (x − 1_ − f (x) dx = − g (x)dx = −g(x) S2 = = g(1) − g(2) f (x) − (x − 1) dx = S3 = = g(1) − g(−1) g (x)dx = g(x) = g(3) − g(2) Ta thấy S1 > S2 ⇒ g(1) − g(−1) < g(1) − g(2) ⇔ g(−1) < g(2), suy M in g(x) = g(−1) [−1;3] Và S2 < S3 ⇒ g(1) − g(2) < g(3) − g(2) ⇔ g(1) < g(3), suy M ax g(x) = g(3) [−1;3] Vậy giá trị nhỏ hàm số g(x) đoạn [−1; 3] g(−1) giá trị lớn hàm số g(x) đoạn [−1; 3] g(3) ⇒ Chọn đáp án B Bài toán 3.36 Cho hàm số y = f (x) liên tục R đồ thị y = f (x) hình vẽ 70 download by : skknchat@gmail.com Đặt g(x) = f (x) − x2 + 2019 Khi giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y = g(x) đoạn [−2; 4] bằng: A g(−2) g(4) C g(3) g(0) B g(−2) g(0) D g(3) g(4) Lời giải Ta có g (x) = [f (x) − x] Vẽ thêm đường thẳng y = x hình vẽ  x = −2  x=0 g (x) = ⇔ f (x) = x ⇔  x=3  x=4 Ta có bảng biến thiên, ta có y = g(x) : 71 download by : skknchat@gmail.com Từ bảng biến thiên, ta có M in g(x) ∈ {g(−2); g(3)} [−2;4] M ax g(x) ∈ {g(0); g(4)} [−2;4] Từ đồ thị hàm số, ta có diện tích 0 [f (x) − x] dx = S1 = −2 3 g (x)dx = −g(x) = g(0) − g(3) [f (x) − x] dx = S3 = = g(0) − g(−2) −2 [x − f (x)] dx = − S2 = −2 g (x)dx = g(x) g (x)dx = g(x) = g(4) − g(3) Ta thấy S1 < S2 ⇒ g(0) − g(−2) < g(0) − g(3) ⇔ g(−2) > g(3), suy M in g(x) = g(3) [−2;4] Và S3 > S2 ⇒ g(4) − g(3) < g(0) − g(3) ⇔ g(4) < g(0), suy M ax g(x) = g(0) [−2;4] Vậy giá trị nhỏ hàm số g(x) đoạn [−2; 4] g(3) giá trị lớn hàm số g(x) đoạn [−2; 4] g(0) ⇒ Chọn đáp án C 72 download by : skknchat@gmail.com Bài toán 3.37 Cho hàm số y = f (x) liên tục Rvà có đồ thị y = f (x) hình vẽ, đặt g(x) = 2f (x)−(x − 1)2 Khi giá trị nhỏ hàm số y = g(x) đoạn [−3; 3] bằng: A g(0) B g(1) C g(−3) D g(3) Lời giải Ta có g (x) = [f (x) − (x − 1)] Vẽ thêm đường thẳng y = x − hình vẽ  x = −3  g (x) = ⇔ f’(x) = x - ⇔  x = x=3 Bảng biến thiên hàm số y = g(x) 73 download by : skknchat@gmail.com Từ bảng biến thiên, ta có M in g(x) ∈ {g(3); g(−3)} [−3;3] Mặt khác 1 [f (x) − (x − 1)] dx = 2S1 = −3 g (x)dx = g(x) −3 2S2 = [(x − 1) − f (x)] dx = − g (x)dx = −g(x) = g(1) − g(−3) −3 = g(1) − g(3) Nhận thấy S1 > S2 ⇒ g(1) − g(−3) > g(1) − g(3) ⇔ g(−3) < g(3) Vậy giá trị nhỏ hàm số g(x) đoạn [−3; 3] g(−3) ⇒ Chọn đáp án C Bài toán 3.38 Cho hàm số y = f (x) liên tục R đồ thị y = f (x) hình vẽ Đặt g(x) = 4f (x) + (2x + 1)2 + Khi giá trị lớn hàm số y = g(x) đoạn [−3; 2] bằng: 74 download by : skknchat@gmail.com A g(0) B g(−3) C g(2) D g(−1) Lời giải Ta có g (x) = [f (x) − (−2x − 1)] Vẽ thêm đường thẳng y = −2x − hình vẽ  x = −3  g (x) = ⇔ f (x) = −2x − = ⇔  x = x=2 Bảng biến thiên hàm số Mặt khác 0 [(−2x − 1) − f (x)] dx = − 4S1 = −3 −3 = g(−3) − g(0) −3 4S2 = [f (x) − (−2x − 1)] dx = g (x)dx = −g(x) g (x)dx = g(x) 2 = g(2) − g(0) Nhận thấy S1 > S2 ⇒ g(−3) − g(0) > g(2) − g(0) ⇔ g(−3) > g(2) Vậy giá trị lớn hàm số g(x) đoạn [−3; 2] g(−3) ⇒ Chọn đáp án B 75 download by : skknchat@gmail.com 3.4 Các toán liên quan đến tương giao đồ thị hàm số Bài toán 3.39 Cho hàm số bậc bốn y = f (x) có đồ thị hình vẽ Số giá trị nguyên tham số m để phương trình f (|x + m|) = m có nghiệm phân biệt A.2 B vơ số C.1 D.0 Phân tích tư Để tìm số giá trị nguyên tham số m cho phương trình f (|x + m|) = m có nghiệm phân biệt ta cần tìm số giá trị nguyên m để đường thẳng y = m cắt đồ thị y = f (|x + m|) điểm phân biệt Chú ý đồ thị hàm số thiết lập từ đồ thị hàm số y = f (x) cách vẽ đồ thị hàm số y = f (|x|) trước sau tịnh tiến sang trái sang phải tùy theo giá trị m Để giải theo hai hướng : Vẽ đồ thị không cần vẽ đồ thị Lời giải 76 download by : skknchat@gmail.com Cách Vẽ đồ thị Hàm số y = f (|x|) có đồ thị hình vẽ m = −1 có m = −1 ∈ Z thỏa mãn Khi tịnh tiến sang trái, Ta thấy đường thẳng cắt đồ thị điểm phân biệt m = phải m đơn vị không làm thay đổi số nghiệm phương trình Vậy có giá trị ngun thỏa mãn Cách Không cần vẽ đồ thị Đặt t = |x + m| ≥ i) Với t = suy x = m ii) Với giá trị t > ứng với giá trị x Ta có phương trình f (t) = m (t ≥ 0) (3.1) Để phương trình cho có nghiệm phân biệt phương trình (3.1) có nghiệm phân biệt dương  m = Từ đồ thị hàm số y = f (t) miền t ≥ , suy  m = −1 Vậy có giá trị nguyên thỏa mãn ⇒ Chọn đáp án C Bài toán 3.40 Cho hàm số bậc bốn y = f (x) có đồ thị hình vẽ 77 download by : skknchat@gmail.com Số giá trị nguyên tham số m để phương trình |f (|x − 2m|)| = m có 10 nghiệm phân biệt A.0 B.2 C.1 D.vô số Lời giải Vẽ đồ thị hàm số y = |f (|x|)| hình bên Ta có |f (|x − 2m|)| = m ⇒ |f (|x − 2m|)| = m Đường thẳng y = m cắt y = |f (|x|)| 10 điểm phân biệt < m < nên có giá trị nguyên m thỏa mãn ⇒ Chọn đáp án B Bài toán 3.41 Đồ thị hàm số đa thức y = f (x) có dạng hình vẽ 78 download by : skknchat@gmail.com Phương trình f (f (x)) = m c nghiệm số giá trị nguyên m thỏa mãn A.3 B.4 C.5 D.6 Lời giải Ta có đồ thị Phương trình f (f (x)) = m có nghiệm đồ thị hàm số y = f (f (x)) cắt đường thẳng y = m điểm phân biệt Đặt f (x) = t ⇒ f (t) = m Phương trình f (x) = m có nghiệm phân biệt m > −1 Do để phương trình f (f (x)) = m có nghiệm phân biệt đồ thị hàm số f (t) = m có nghiệm >-1 Dựa vào đồ thị ta có −1 < m < hay m = {0; 1; 2} ⇒ Chọn đáp án A Bài toán 3.42 Cho hàm số y = f (x) y = g(x) có đồ thị hình vẽ Tổng số nghiệm hai phương trình f (g (|x|)) = g (|f (x)|) = 79 download by : skknchat@gmail.com A.16 B.18 C.24 D.26 Lời giải Đồ thị y = f (x) cắt trục hoành điểm x ∈ (−4; −3) , x ∈ (0; 1) , x ∈ (2; 3) , x ∈ (4; 5) Vẽ đồ thị y = g(|x|), đó: i) Với x ∈ (−4; −3) vẽ đường thẳng y = m, m ∈ (−4; −3) không cắt y = g(|x|) ii) Với x ∈ (0; 1) vẽ đường thẳng y = m, m ∈ (0; 1) cắt y = g(|x|) điểm phân biệt iii) Với x ∈ (2; 3) vẽ đường thẳng y = m, m ∈ (2; 3) cắt y = g(|x|) điểm phân biệt iv) Với x ∈ (4; 5) vẽ đường thẳng y = m, m ∈ (4; 5) cắt y = g(|x|) điểm phân biệt Vậy phương trình f (g (|x|)) = có nghiệm phân biệt Đồ thị y = g(x) cắt trục hoành điểm x ∈ (−2; −1) , x = 0, x ∈ (1; 2) Vẽ đồ thị y = |f (x)| , đó: i) Với x ∈ (−2; −1) vẽ đường thẳng y = m, m ∈ (−2; −1) không cắt y = |f (x)| ii) Với x = vẽ đường thẳng y = cắt y = |f (x)| điểm 80 download by : skknchat@gmail.com iii) Với x ∈ (1; 2) vẽ đường thẳng y = m, m ∈ (1; 2) cắt y = |f (x)| điểm Vậy phương trình g (|f (x)|) = có 12 nghiệm phân biệt Vậy tổng số nghiệm hai phương trình f (g (|x|)) = g (|f (x)|) = 18 nghiệm ⇒ Chọn đáp án B Bài toán 3.43 Đồ thị hàm số f (x) = ax3 + bx2 + cx + d có dạng hình bên Có giá trị nguyên m để phương trình f (f (x) + 1) = m có số nghiệm lớn nhất? A.5 B.2 C.4 D.3 Lời giải Vẽ đồ thị hàm số y = f (x) + từ đồ thị hàm số y = f (x) cách tịnh tiến lên đơn vị theo phương Oy Khi phương trình f (f (x) + 1) = m có tối đa nghiệm Do đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số điểm phân biệt có hồnh độ lớn -2 ⇒ m ∈ (−2; 2) có giá trị nguyên m thỏa mãn ⇒ chọn đáp án D 81 download by : skknchat@gmail.com KẾT LUẬN Luận văn "Một số vấn đề tính chất đồ thị hàm số giải tốn sơ cấp" trình bày cách hệ thống kiến thức liên quan đến tính chất đồ thị hàm số Bên cạnh chúng tơi khai thác tính chất đồ thị hàm số thơng qua số tốn (tự luận trắc nghiệm) chương trình tốn sơ cấp bậc phổ thông nhằm đáp ứng nhu cầu học tập giảng dạy giáo viên Hơn nữa, chúng tơi hệ thống phân loại dạng tốn từ đến nâng cao lựa chọn từ đề thi học sinh giỏi, thi Olympic toán nước Quốc tế nhằm tạo niềm đam mê tìm tịi, sáng tạo học tập tốn học sinh 82 download by : skknchat@gmail.com Tài liệu tham khảo [1] Các đề thi Trung học phổ thông quốc gia năm 2017, 2018 [2] Các đề thi Học sinh giỏi Trung học phổ thông quốc gia, quốc tế năm [3] Lê Hải Châu, Các thi chọn học sinh giỏi Tốn Trung học phổ thơng tồn quốc, Nhà xuất Giáo Dục, 1995 [4] Nguyễn Quý Dy, Nguyễn Văn Nho, Vũ Văn Thỏa , Tuyển tập 200 thi vơ địch tốn Tập 3: Giải tích, Nhà xuất Giáo Dục, 2002 [5] Nguyễn Văn Mậu, Một số chuyên đề giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ thông, Nhà xuất Giáo Dục, 2010 [6] Nguyễn Văn Mậu, Phương trình hàm, Nhà xuất Giáo Dục, 1997 [7] Nguyễn Trọng Tuấn, Bài toán hàm số qua kì thi olympic, Nhà xuất Giáo Dục, 2004 [8] Phan Đức Chính, Phạm Văn Điều, Đỗ Văn Hà, Phan Văn Hạp, Phạm Văn Hùng, Phạm Đăng Long, Nguyễn Văn Mậu, Đỗ Thanh Sơn, Lê Đình Thịnh, Một số phương pháp chọn lọc giải toán sơ cấp, Tập 2, Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 1983 83 download by : skknchat@gmail.com ... thác tính chất đồ thị hàm số góp phần nâng cao hiệu việc giảng dạy giáo viên học tập học sinh trường THPT Đó lý chọn đề tài " MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TÍNH CHẤT VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP”... dụng tính chất hàm số chương trình tốn sơ cấp bậc phổ thơng Có thể chia theo chủ đề sau: Hàm số tính tuần hồn, Hàm số tính chẵn lẻ, Hàm số, tiếp tuyến đồ thị, Hàm số tính liên tục, Hàm số tính. ..BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ THU THANH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TÍNH CHẤT VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ TRONG GIẢI TỐN SƠ CẤP Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 8460113 Người